Ok, quindi riprendiamo dal punto che avevamo interrotto ieri, vi richiamo brevemente la definizione di maggiorante e di minorante che abbiamo visto nell'ultima parte di ieri. Quindi, dato un insieme A sotto insieme dei reali, A diverso dall'insieme vuoto, si definisce un numero reale S Si dice maggiorante di A se S è maggiore o uguale di A per ogni elemento dell'insieme. E due, un numero S si dice minorante di A se S invece è minore o uguale di A per ogni A in A. Quindi se S è più piccolo di tutti gli elementi all'insieme.
Abbiamo visto degli esempi, quindi abbiamo visto ad esempio l'intervallo 0,1 E abbiamo visto in questo caso, per esempio, che qualsiasi numero maggiore o uguale di 1 è un maggiorante dell'insieme. S maggiore o uguale di 1 è un maggiorante di A. Mentre, ovviamente, S minore di 1 non è un maggiorante di A.
Infatti esistono gli elementi dell'insieme che sono più grandi. Quindi vedete come il numero 1 gioca un po'un ruolo particolare fra i maggioranti, nel senso che è il più piccolo dei maggioranti dell'insieme. Analogamente in una situazione simile, per esempio se prendiamo l'intervallo meno 1, 5, Meno 1 è un minorante e, d'altra parte, s minore uguale di meno 1 è un minorante di a e, invece, qualsiasi numero è s maggiore di meno 1 non è un minorante.
di A. Quindi nelle due situazioni, uno è il più piccolo dei maggioranti, cioè separa gli insiemi degli elementi che sono maggioranti di A da quelli che non sono maggioranti. In questa seconda situazione, meno.
meno 1 è il più grande dei minoranti dell'insieme, cioè separa l'insieme dei numeri reali che sono minoranti dell'insieme A da quelli che non sono minoranti. Allora questa osservazione, quindi vedete questi numeri, 1 nel primo caso e meno 1 nel secondo, giocano un ruolo particolare. E questo quindi porta a introdurre la seguente definizione.
Sempre dato il nostro A contenuto in R e A diverso dall'insieme vuoto. Allora, quindi, stavamo dicendo, appunto, queste osservazioni ci portano a introdurre una definizione che è quella di estremo superiore e estremo inferiore. Uno, un numero S grande appartenente ad R.
Si dice... Estremo superiore dell'insieme A di A se S grande è il più piccolo dei maggioranti di A. Il più piccolo dei maggioranti dell'insieme.
cioè in simboli adesso diciamo la stessa cosa cosa utilizzando i quantificatori e scriviamo così S uguale al sub di A se e solo se per definizione metto def per dire che intendo per definizione si verificano le seguenti due cose S è un maggiorante di A, quindi, poiché è il più piccolo dei maggioranti, è sicuramente un maggiorante, quindi S è maggiore o uguale di A per ogni A appartenente ad A. D'altra parte, comunque prendo un numero positivo ma arbitrariamente piccolo, S-epsilon non è un maggiorante, cioè esiste un elemento dell'insieme A appartenente ad A tale che S-epsilon è minore strettamente, possiamo dire, di A. Quindi la prima riga di questa definizione ci dice che S è un maggiorante, lo scriviamo qui, S è un maggiorante.
No, no, questo... Allora... Quindi la prima riga ci dice che S è un maggiorante dell'insieme.
La seconda riga dice che per ogni ε maggiore di 0, S-ε, cioè quindi un numero più piccolo di S, non è più un maggiorante. S-ε non è un maggiorante dell'insieme. In questo modo abbiamo espresso in simboli il fatto, questa frase che avevamo detto discorsivamente, che S grande è il più piccolo dei maggioranti. Analogamente andiamo a dare la definizione di estremo inferiore, 2, Creiamo lo s minuscolo appartenente ad R. Si dice estremo inferiore dell'insieme A se s piccolo è il più grande dei minoranti.
Questa volta è il più grande dei minoranti, cioè, risprimendolo in simboli matematici, cioè S piccolo è l'estremo inferiore di A, scriviamo inf di A per dire estremo inferiore di A, se e solo se, per definizione, S piccolo è un minorante dell'insieme, quindi S piccolo è minore o uguale di A per ogni A appartenente ad A. D'altra parte, ogni numero reale più grande di S piccolo non è più un minorante dell'insieme, quindi per ogni ε maggiore di 0 Esiste un elemento dell'insieme A appartenente ad A tale che A è strettamente minore di S più epsilon. Quindi questo vuol dire che S più epsilon non è più un minorante dell'insieme.
Quindi la prima riga dice che S piccolo è un minorante. La seconda riga dice che per ogni ε preso arbitrariamente piccolo ma positivo, s più ε non è un minorante. Allora, quindi queste sono delle definizioni rispettivamente il più piccolo dei maggioranti e il più grande dei minoranti. Tornando agli esempi che avevamo fatto poco fa, andiamo a vedere, a caratterizzare appunto quei numeri che avevo detto che erano rispettivamente il più piccolo dei maggioranti e il più grande dei minoranti. Quindi il primo esempio era 0,1.
Allora, affermo che l'estremo superiore di A è 1. Infatti, ricordate che questo è l'intervallo, quindi questo è l'insieme dei numeri reali, tali che 0, minore di x, minore di 1. Da qui vediamo subito che 1 è un maggiorante, d'altra parte, quindi 1 è un maggiorante, e lo leggiamo da qui. 2. Per ogni ε maggiore di 0 esiste sicuramente un x appartenente a 0,1 tale che x è maggiore di 1 meno ε. Se pensate all'intervallo 0,1 allora gli elementi quindi sono identificando l'intervallo con i punti della retta reale troviamo questo segmento.
Appena ci spostiamo di un po'dal punto 1 troviamo tanti elementi dell'insieme, quindi in realtà ne esistono infiniti, ma basta che ne esiste uno solo. Quindi in questo caso abbiamo che 1 è l'estremo superiore. Cancello qui, tanto voi l'avete scritto su J'appunti. Allora, chiediamoci invece chi è l'estremo inferiore di questo insieme.
Chi è l'estremo inferiore dell'insieme? Innanzitutto, ammette minoranti l'insieme? Per esempio, meno 10 è un minorante dell'insieme, perché sicuramente...
Ma chi è il più grande di questi minoranti? Zero. Zero...
Sicuramente l'estremo inferiore dell'insieme è zero. Infatti si vede subito, dalla prima condizione, zero è un minorante. E per ogni ε maggiore di 0, il numero 0 più ε, che quindi è un numero strettamente positivo, non è un minorante.
Infatti, come ci spostiamo un pochino da 0, arriviamo nel punto 0 più ε, abbiamo tanti elementi dell'insieme che sono compresi fra 0 e 0 più ε. In realtà questa è una situazione, ok? Se ci sono domande...
chiedete se volete che spiegazioni domandate. Questa è una situazione un po'particolare perché 0 è l'estremo inferiore dell'insieme, cioè il più grande dei minoranti, ma ha anche un elemento dell'insieme, infatti 0... Mettiamo un'osservazione.
Zero appartiene all'insieme A. Nel primo caso, vedete, uno era l'estremo superiore, ma uno non apparteneva all'insieme, non era un elemento dell'insieme. In questo caso abbiamo l'estremo inferiore che appartiene all'insieme, che è un elemento dell'insieme. Allora questo porta ad un'ulteriore definizione. Ovviamente la situazione che posso avere, per esempio se prendo l'insieme 0,2, in questo caso ho che l'estremo superiore di A è uguale a 2, l'estremo dell'intervallo, e 2 inoltre appartiene ad A, quindi insomma sia l'estremo inferiore che l'estremo superiore possono appartenere all'insieme.
Allora, quindi questo porta a una nuova definizione, sempre richiediamo che A sia diverso dal vuoto, è sotto insieme di R1. Se S uguale estremo superiore di A appartiene ad A, appartiene all'insieme A, allora S si dice il massimo, si dice allora S si dice il massimo di A. E 2, se S piccolo uguale l'estremo inferiore di A appartiene ad A, allora S piccolo è si dice il minimo di A e scriveremo mi S piccolo uguale minimo di A.
Nell'altro caso scriviamo S grande uguale al massimo di A, max di A. Grazie. Ok, quindi quando l'estremo superiore o rispettivamente l'estremo inferiore appartengono all'insieme, hanno una proprietà ulteriore, oltre a quella di essere, ad esempio, estremo superiore, ha una proprietà ulteriore che appartiene all'insieme e si dice massimo, si chiama massimo. Adesso, ancora, diciamo, tornerò su questo punto facendo gli esempi. Però prima volevo richiamarvi qual era il motivo per cui avevamo introdotto queste definizioni di estremo superiori e estremo inferiori.
Infatti, se ricordate, ieri avevamo osservato che sia l'insieme dei reali con le sue operazioni di somma, prodotto e relazione d'ordine data dal maggiore uguale, sia l'insieme dei razionali con le stesse operazioni di somma, prodotto e relazione d'ordine data dal maggiore uguale, avevano esattamente la stessa struttura dal punto di vista matematico e la struttura di campo algebrico ordinato. Allora, il problema era per quale motivo l'analisi differenziale, cioè i concetti di limite e poi tutto ciò che deriva dal concetto di limite, quindi integrale, derivata, eccetera, si danno nel campo dei reali, si prende insieme il campo dei reali e non quello dei razionali, perché rispetto al campo dei razionali, il campo dei reali ha un'ulteriore proprietà, che è quella di essere completo. Adesso vado a questo, è un torema che non dimostreremo, è un torema che richiede un po'di lavoro per dimostrarlo, completezza di R.
Allora, R, il campo di relazione, è completo. Completo vuol dire esattamente la seguente cosa, cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore. E'totalmente equivalente a dire o equivalentemente ogni insieme limitato inferiormente ammette in estremo inferiore, ogni insieme limitato inferiormente ammette.
a mette estremo inferiore. Questo è un torema, nel senso non è una definizione, cioè non si dà per vera, ma è un torema, quindi si dimostra. Noi la dimostrazione la facciamo, è una dimostrazione abbastanza complessa. Vuoi chiedere qualcosa? La definizione di massi più o meno, questa è la stessa definizione.
Quello è un altro ambito, nel senso in quel caso stiamo parlando di funzioni, quindi quando parlerai di massimo parlerai massimo e minimo di funzioni, qui siamo ancora nell'ambito degli insiemi. Ovviamente connessa a questa definizione, però c'è un po'di lavoro in mezzo, quindi vanno definiti cos'è una funzione, il dominio, l'immagine, quindi richiede ulteriore lavoro. Però ovviamente è connessa a questa, ci torneremo a suo tempo. Ok, invece ritorno...
Quindi, ieri avevo definito che cosa vuol dire limitato superiormente e limitato inferiormente, lo richiamo brevemente, l'avevo definito ieri, però richiamiamolo. Limitato superiormente vuol dire che ammette un maggiorante, uno insieme si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante. Osserviamo.
A si dice limitato superiormente, mettiamo fra parentesi rispettivamente inferiormente. Se A ammette un maggiorante, almeno un maggiorante, ma sappiamo che se ammette un maggiorante ne ammette automaticamente infiniti, rispettivamente un minorante. Per esempio gli intervalli che abbiamo visto stamattina sono insieme limitati e abbiamo visto anche insieme non limitati come i numeri naturali che non erano limitati superiormente o z che non era limitato né superiormente né inferiormente, non ammetteva né maggioranti né minoranti. Allora, quindi questo teorema, questa proprietà di completezza, dice che ogni insieme limitato, ogni sottinsieme di R che sia limitato superiormente, automaticamente ammette l'estremo superiore. Quel numero che abbiamo definito prima, che è il più piccolo.
dei maggioranti. E'la proprietà equivalente a dire che ogni insieme è limitato inferiormente a un metto estremo superiore. Adesso facciamo vedere che questa proprietà è vera nei reali, ma non è vera nei razionali, è falsa nei razionali. L'esempio è molto semplice.
Prendiamo questo insieme. I numeri reali tali che x quadro è minore di 2. Quindi tutti quei numeri il cui quadrato è minore di 2. Come sapete bene, sapete qual è la soluzione di questo, diciamo, a che intervallo corrisponde una disequazione di secondo grado, che sapete risolvere bene, perché l'avete fatto alle scuole superiori, quindi questo è l'intervallo, meno radice di 2, radice di 2. Quindi in particolare, diciamo un insieme limitato perché è un intervallo limitato, il sup di questo insieme è radice di 2 e l'inf di A è uguale a meno radice di 2. e ricordate che radice di 2 meno radice di 2 si può dimostrare forse l'avete fatto alle scuole superiori ma è una dimostrazione abbastanza semplice si dimostra che sono numeri irrazionali cioè questo è importante radice di 2 appartiene ad r meno q cioè è un numero irrazionale Adesso consideriamo lo stesso insieme, ma nel campo dei razionali. Quindi notate adesso la differenza, considero A, gli x in Q, Qui è la differenza, l'insieme ambiente tale che x quadro è minore di 2. Ok, quindi la differenza è dove sto nel mio insieme ambiente. In questo ambiente dei reali trovo un intervallo che trovo facilmente estremo superiore e estremo inferiore. Allora, con la stessa idea, questo me lo posso scrivere come l'intervallo meno radice di 2 intersecato l'insieme dei numeri razionali.
Sono tutti numeri razionali che si trovano nell'intervallo meno radice di 2. Radice di 2, perché il mio insieme ambiente è proprio gli x razionali che soddisfano questa diseguaglianza. Allora mi chiedo, chi è l'estremo superiore, stesso discorso poi sarà per l'estremo inferiore, chi è l'estremo superiore dell'insieme? Nell'ambito dei razionali però, il mio insieme è come se io non conoscessi i reali, quindi il mio ambiente, il mio mondo sono i razionali, e mi chiedo chi è l'estremo superiore di questo insieme nell'insieme dei razionali. Allora, a me andrebbe di dire che l'estremo superiore è radice di 2, ma questo numero non esiste nell'insieme dei razionali, come abbiamo detto è proprio un numero irrazionale.
Quindi radice di 2 non può essere l'estremo superiore di A. La mia domanda è chi è l'estremo superiore, poiché radice di 2 non appartiene a Q. Non può essere l'estremo superiore.
Se non è radice di 2 potrebbe essere un numero maggiore di radice di 2 o minore di radice di 2, può essere a destra o a sinistra. Allora, però vi ricordo una proprietà dei numeri razionali, che si chiama anche la densità dei razionali nei numeri reali. Diciamo, queste sono proprietà elementari che però poi in matematica assumono un nome e hanno un ruolo importante. Quindi questa proprietà si dice la densità di Q in R. Questa proprietà dice che comunque dati i due numeri reali, comunque dato X e Y appartenente ad R con X strettamente minore di Y esiste sempre un numero razionale Q compreso fra essi.
fra due numeri reali, comunque prendo due numeri reali vicini quanto voglio, ma distinti, posso sempre trovare un numero Q compreso fra essi, in realtà ne possono sempre trovare infiniti numeri razionali compresi fra essi. A me basta che ne esista almeno uno. Allora, tornando al mio problema, quindi sto cercando questo estremo superiore nell'ambito irrazionale, dico, prima suppongo che il mio estremo superiore S, nell'ambito dei numeri razionali, sia un numero maggiore di 2, ok? Ma questo sicuramente porta a una contraddizione, perché fra S e radice di 2 posso trovare degli altri numeri, un altro numero razionale Q, seguite con attenzione, quindi se l'estremo superiore fosse maggiore di radice di 2, potrei trovare un altro numero razionale che è compreso fra radice 2 e S, che è più grande di tutti gli elementi dell'insieme e più piccolo di S, quindi S non è il più piccolo dei maggioranti, ok?
Quindi, ripeto, se S fosse maggiore di 2, da questa proprietà potrei trovare un numero razionale compreso fra radice 2 e s che è maggiorante dell'insieme perché è più grande di radice 2 e più piccolo di s e questo quindi contraddice il fatto che s sia più piccolo dei maggioranti quindi ho escluso il caso che s sia maggiore di 2 nel caso in cui s fosse minore di radice di 2 Supponiamo che S sia qui a questo punto, un numero razionale più piccolo di radice di 2. Nuovamente, fra S e radice di 2 posso trovare un numero Q, compreso fra loro, ma a questo punto, poiché Q è minore di radice di 2, appartiene all'insieme e è più grande di S. Quindi S in questo caso non è un maggiorante. Nell'altro caso, invece, questo era S, non è il più piccolo dei maggioranti. E vedete, quindi, siamo arrivati a una contraddizione, perché s non può essere radice di 2, d'altra parte non può essere più grande di radice di 2, né più piccolo, quindi nell'insieme dei razionali l'estremo superiore non esiste.
Quindi, se riguardate... quella proprietà di completezza di R, diciamo Q non è completo nel senso che esistono insiemi limitati che non ammettono estremo superiore. Quindi quella è una proprietà specifica dell'insieme dei reali, vuol dire, posso interpretarla in questo senso, se identifico i numeri reali con la retta reale e su questi...
Numeri reali prendo quelli a coordinate razionali che saranno infiniti. Allora, se mi muovo su R rimango sempre in R, no? Se mi muovo su un intervallo dei reali rimango sempre e quindi arriverò a un estremo che è un numero reale, l'estremo del mio insieme. è limitato. Se invece mi muovo sui razionali, quindi salto di razionali in razionali, quando arrivo all'estremo è come se trovassi un buco, cioè trovo un numero che non è razionale e quindi non posso passare da un insieme all'altro.
Pensate al limite, quando vedremo il limite, poi su questo torneremo, quando faccio tendere un numero a un altro numero. In R il limite sarà sempre un numero reale. Se invece il concetto di limite, perché non l'ha visto, diciamo, questo poi ci tornerò più in dettaglio, se mi muovessi sui razionali...
Muovendomi dai razionali rischerei di cadere in un buco che è un numero irrazionale. Quindi la proprietà di completezza è una proprietà fondamentale e poi, diciamo, è alla base, è quella che si utilizza per introdurre il concetto di limite. Sì?
Ma non è una sconservazione? Qua è un sottinsieme di R. Ma non è un sottinsieme di R? Sì, ovviamente sì.
Quindi in realtà... No, devi pensare, cioè, tu hai due oggetti matematici, due oggetti che sono R con le sue operazioni di somma prodotto e maggiore uguale e Q con le sue operazioni di somma prodotto e maggiore uguale. tu vivi in questi ambienti nel senso che se sommi due numeri razionali trovi un numero razionale se moltiplichi due numeri razionali trovi un numero razionale se fai l'inverso trovi un numero razionale quindi fin queste operazioni cioè a un certo insieme ambiente in cui tu sei autorizzato a effettuare certe operazioni. Allora, se fai l'operazione di estremo superiore in questo insieme ambiente, vai fuori dall'insieme ambiente, vai in un insieme più grande che è l'insieme dei reali. Mentre in R, no, qualsiasi operazione, somme, prodotto, relazione d'ordine e estremo superiore o inferiore ti portano nuovamente alle menti dell'insieme.
Quindi finché ti muovi in quell'ambiente rimani nell'ambiente. Infatti, Infatti un altro modo di dire questa cosa è che R è il completamento di Q, cioè è Q a cui sono stati aggiunti tutti i punti che possono raggiungere i numeri razionali. Questa è una parte più avanzata, più legata ai corsi di matematica e quindi non svilupperemo.
Però ecco appunto la proprietà importante è che R è completo, cioè quando faccio l'estremo superiore di un insieme limitato in R troverò sempre Q. un numero reale. Ok, torniamo adesso, quindi, questo sulla completezza di R, torniamo adesso un pochino invece su quelle definizioni di estremo superiore e estremo inferiore, quindi a questo punto siamo autorizzati a prendere estremi superiori e inferiori di numeri reali e rimaniamo nella mia.
niente dei reali. Abbiamo osservato, quindi riprendiamo un attimo prima, quindi sappiamo che dato un insieme diverso dal vuoto, l'estremo superiore, anche limitato superiormente, L'estremo proprio per la completezza di R, l'estremo superiore di A esiste sempre. S uguale S, estremo superiore di A, esiste sempre.
E questo abbiamo detto che si chiama proprio la completezza. Adesso poi abbiamo detto che se in particolare S appartiene ad A, allora S si dice non soltanto sup di A, ma anche massimo di A. Quindi, prima proprietà, l'estremo superiore esiste sempre, mettiamoci un puntino, 2. Se in particolare l'estremo superiore appartiene all'insieme, allora si dice anche massimo di A. Però osservate che il massimo non necessariamente esiste. Quindi, tornando a un esempio, se prendo l'insieme 1, 2, Allora, l'estremo superiore esiste, ormai abbiamo capito che è l'estremo destro dell'intervallo, ma il massimo non esiste perché?
E quindi non esiste il massimo di A. Quindi per un insieme limitato l'estremo superiore esiste sempre. Se in particolare l'estremo superiore appartiene all'insieme, allora ho anche il massimo.
Ma se non appartiene all'insieme, allora in questo caso il massimo dell'insieme non esiste. In qualche modo l'estremo superiore è una generalizzazione del concetto di più grande di un insieme. Se voi avete un insieme di numeri reali, avete sempre il più grande di questi, quando sono in numero infinito.
Se però avete un numero infinito di numeri reali, non necessariamente il più grande esiste. Allora, sostituite questo concetto di più grande dell'insieme con estremo superiore, cioè il più piccolo dei maggioranti. Analogamente, per il minimo, anche in questo caso, vedete, l'estremo inferiore dell'insieme è se piccolo.
Allora, diciamo, 1 è l'estremo inferiore, 1 non appartiene ad A, e quindi... non esiste il minimo di A. Quindi, importante, l'estremo superiore e inferiore esistono sempre, ma massimo e minimo non necessariamente possono esistere o non esistere, dipende un po'dall'insieme.
Ultima definizione, poi facciamo qualche ulteriore esempio. La metto, non è proprio una definizione, è più una scrittura di comodo, quindi la metto come osservazione. Se A non è limitato superiormente, cioè non ammette maggioranti, allora poniamo che il suo estremo superiore è più infinito. Allora diciamo che sup di A è uguale a più infinito.
Ricordate che più infinito non è un numero, è soltanto un simbolo. In questo caso, questo simbolo serve per dire che l'insieme non è limitato superiormente. Analogamente, se A non è limitato inferiormente, Allora, diciamo, scriviamo che l'inf di A è uguale a meno infinito. Quindi dire che inf di A è uguale a meno infinito vuol dire che l'insieme non ammette minoranti.
Quindi, ad esempio, come abbiamo visto ieri, il sup dei numeri naturali è uguale a più infinito. L'inf di Z. uguale a meno infinito e così via.
Anche sup di z uguale a più infinito. Facciamo qualche esempio per capire un pochino meglio queste definizioni che abbiamo dato. Se abbiamo degli intervalli, abbiamo visto che è abbastanza semplice, perché basta che guardo gli estremi dell'intervallo rispettivamente l'estremo sinistro e l'estremo destro e trovo facilmente chi sono estremo superiore e inferiore.
Ad esempio la stessa cosa vale se ho unioni di intervalli, pensate per esempio che A sia meno pi greco, 3, unione 0, unione... 1 più infinito. Quindi questo insieme A si è dato dall'unione di tre intervalli. Questo è l'intervallo degenere, cioè quello che si deduce al solo punto 0, poi l'intervallo a meno pi greco 3 e 1 più infinito.
Chi è l'estremo inferiore? è il più, diciamo, devo guardare l'intervallo che è più a sinistra, no? Se pensate, l'ho sempre identificato con la retta reale. Quindi ho, qui ci sarà meno pi greco, poi, no, qui, vabbè, zero, in realtà zero è il contenuto qui, quindi, tre e poi uno più infinito.
Quindi in realtà, diciamo, questo è meno π più infinito, come in sé. Quindi l'estremo inferiore è meno π. L'estremo superiore?
non è limitato superiormente perché questa parte dice che sono tutti numeri maggiori o uguali di 1, quindi non può essere limitato superiormente, allora in questo caso scriviamo più infinito. E poi, ok, se il sup è più infinito ovviamente non può esistere il massimo, il massimo esiste solo se l'insieme è limitato superiormente. Il minimo esiste? Sì, perché il punto meno pi greco è contenuto nell'insieme, quindi posso scrivere che questo è il massimo.
sarà anche uguale al minimo. Quindi in questo caso, su probabilità, uguale a più infinito, inf uguale a minimo uguale a meno pi greco. Prendiamo questo insieme 1 su n dove n appartiene ad n ok qui lo scrivo, però in generale potrei anche non scriverlo, insomma, tolgo lo 0, che chiaramente non è definito per n uguale a 0 questo insieme, no?
in n uguale a 0, 1 su 0 non è definito, comunque andrebbe bene anche scrivere così perché automaticamente io lo escludo, cioè so che per 0 non è definito, quindi lo escludo, cioè è sottinteso che lo 0 venga escluso. Quindi però scriviamo con più precisione, scriviamo in quella maniera, e chiediamoci innanzitutto se è un insieme limitato e poi dopo se ammette estremo superiore o inferiore. Allora, è un insieme limitato? Superiormente prima?
Vi è chiaro come è fatto questo insieme? Qui sono tutti i numeri del tipo 1 su n dove n è un numero naturale, quindi questo insieme è fatto così. 1, un mezzo, un terzo, un quarto, eccetera.
Ok? Non sono i numeri naturali, sono i numeri del tipo 1 su n, dove n è un numero naturale. Quindi tutte le frazioni con numeratore 1. Quindi questo insieme è limitato superiormente?
Sì. Ok. 1... è il più grande di tutti questi, appartiene all'insieme e quindi in particolare posso dire subito che sup di A uguale al massimo di A uguale a 1, ok? Perché queste sono tutte frazioni del tipo 1,5, 1,3, 1,4, quindi sono tutte minori uguali di 1 1 in particolare appartiene all'insieme e quindi automaticamente è subito il massimo dell'insieme è limitato inferiormente?
Infinito non è un numero, infinito ho detto più volte non è un numero. Allora, è sicuramente limitato inferiormente perché tutte le frazioni del tipo 1 su n Sono maggiori o uguali a zero, sono rapporti di due numeri positivi, è un numero positivo, quindi zero è un minorante sicuramente, quindi è limitato inferiormente. Non dovete pensare ad n, dovete pensare a questi numeri, uno, un mezzo, un terzo, un quarto.
Sono tutti rapporti di due numeri positivi, quindi è sicuramente un numero non negativo, zero quindi è un minorante. Quindi è limitato inferiormente. Adesso mi chiedo, chi è l'inf di questo insieme?
Più che mi chiedo, lo chiedo a voi, chi è l'inf di questo insieme? Chi dice zero adesso viene a dimostrarlo alla lavagna. No scherzo.
Va bene, quindi zero è l'estremità. Dimostriamo però che è abbastanza intuitivo che sia zero. Perché è intuitivo?
Perché pensiamo come sono fatti questi numeri. un mezzo un terzo diciamo sta qui un quarto un quinto eccetera vedete al crescere di n questi numeri diventano sempre più piccoli e si avvicinano a zero però in effetti Osservate che 0 non appartiene all'insieme, 0 non viene mai raggiunto. Dimostriamo che 0 è l'estremo inferiore di A.
Adesso però lo dimostro, dimostrazione. Allora, punto 1, 0 deve essere un minorante, ma questo l'ho già affermato, 0 minore uguale di 1 su n per ogni n in n. Punto 2. Devo dimostrare che comunque prendo un numero più grande di 0, questo non è più un minorante.
Ricordate la definizione. Comunque dato ε maggiore di 0, esiste un elemento dell'insieme, cioè esiste un n appartenente ad n, tale che 0 più ε è maggiore di 1 su n. Ok, leggiamo con attenzione. Attenzione, sto dicendo che 0 è un minorante, 0 più ε non è più un minorante, cioè esiste un elemento dell'insieme, ma gli elementi... che è più piccolo di 0 più ε...
gli elementi dell'insieme sono del tipo 1 su n, quindi dico esiste un n... numero naturale, tale che 0 più ε è strettamente più grande di 1 su n. Allora adesso vado a verificare se questa diseguaglianza è vera per qualche n, quindi lo scrivo qua.
Scriviamolo qua. Allora, 0 ovviamente non lo scrivo, quindi devo verificare la diseguaglianza ε maggiore di 1 su n. Questa è equivalente, moltiplicando a destra e a sinistra per n, dividendo per ε, se solo se n maggiore di 1. ok, ho moltiplicato per n quindi ho portato sopra n e diviso per n allora vedete che la posso risolvere quindi questa diseguaglianza ammette soluzioni pensate per esempio se epsilon è uguale a un decimo Questa diventa n maggiore di 10. Se epsilon è uguale a un centesimo, n deve essere maggiore di 100. In ogni caso, comunque prendo epsilon piccolo, 10 alla meno 9, la diseguaglianza è soddisfatta per qualche n, per esempio per n maggiore di 10 alla 9. Quindi ho dimostrato che per ogni epsilon, purché prenda n abbastanza grande in corrispondenza di epsilon, posso trovare un numero 1 su n.
più piccolo di epsilon e questo quindi ho dimostrato la seconda proprietà caratterizzante dell'estremo inferiore e quindi posso concludere che 0 è uguale all'inferiare vi è chiaro? rispiego? quindi in un compito d'esame non vi dovete accontentare di dire questo ma dovete dimostrarlo quindi dovete fare questa è la parte importante perché in generale questo con un minimo di occhio ci si arriva abbastanza facilmente però a questo livello la differenza tra la scuola superiore e un corso di laurea in ingegneria è che quello che affermate lo dimostrate voi ok Adesso l'ultima cosa da dimostrare, è chiaro che devo verificare se esiste il massimo.
Quindi ho verificato che 0 è l'estremo inferiore. Infine, verifico se 0 è il massimo di A. Metto un punto interrogativo per dire che 0 è il massimo di A se e solo se 0 appartiene ad A.
Ma 0 appartenente ad A è equivalente a dire che esiste un n appartenente ad n tale che 0 è uguale a 1 su n. Cioè, 0 lo posso scrivere nella forma degli elementi dell'insieme 1 su n. Arrivo, eh? Arrivo. Mi esegui, grazie.
Grazie. Quindi, giustamente, quindi devo verificare che esiste il minimo. 0, quindi 0 appartiene a A, se e solo se 0 si può scrivere come un elemento e l'insieme. Ma questa equazione non ammette soluzione, non esiste nessun numero naturale tale che 1 su n uguale a 0. Quindi questa equazione non ammette soluzione. E quindi vuol dire che questo minimo non esiste, quindi il minimo non esiste.
Questa è falsa. Ok? Quindi questi sono i passaggi, quindi all'inizio cerco un minorante. dell'insieme.
Poi cerco di capire qual è il più grande di questi minoranti, in questo caso era abbastanza scontato, dimostro quello che ho intuito e alla fine verifico se anche questo estremo inferiore è anche il minimo dell'insieme. Ok, quindi questo è il primo esercizio di questo tipo, non vi spaventate, vedrete che fatto qualcuno di questi esercizi in realtà sono tutti molto simili e non sono particolarmente difficili. Facciamone qualcun altro.
Anche così per alternare la teoria alla parte di esercizi. Allora, prendiamo per esempio... Ok, facciamo questo che è abbastanza simile.
Quindi, se avete capito questo primo esercizio, non dovreste trovare difficoltà a fare quest'altro esercizio. Quindi, dato l'insieme A, voglio trovare inf sup, trovare strano inferiore sup e eventualmente massimo e minimo. Trovare inf sup, massimo e minimo.
Allora, prima, diciamo, quando comincio a fare questi esercizi, innanzitutto cerco di capire come è fatto l'insieme, quindi mi posso scrivere qualche elemento. Allora, per esempio, per n uguale a 1 viene 1 meno 1, 0, per n uguale a 2 mi viene un mezzo, per n uguale a 3 un terzo, eccetera, e così via. Allora, partiamo questa volta prima dall'estremo inferiore perché è un po'più semplice, quindi...
Un terzo, sì, grazie. 1 meno un terzo, due terzi. 1 meno...
1 meno un mezzo, poi prendo n uguale a 3, 1 meno un terzo, due terzi, 1 meno un quarto, tre quarti, ok. 1 meno un quinto, quattro quinti, eccetera. Grazie. Ok, quindi cerco innanzitutto di...
partiamo dall'estremo inferiore. Allora, chi è un minorante dell'insieme? 0, infatti è facile vedere che tutti questi numeri, 1-1 su n, è sempre maggiore o uguale a 0, perché da 1 sto ottenendo una frazione del tipo 1 su n che al più è proprio 1, o altrimenti è minore o uguale di 1. E vediamo anche chi è un estremo superiore, è un maggiorante dell'insieme, 1. Quindi è abbastanza semplice vedere che tutti questi numeri sono sempre compresi fra 0 e 1. D'altra parte, una prima parte immediata, perché poiché 0 è un minorante e 0 appartiene all'insieme, posso dire subito che l'estremo inferiore dell'insieme, uguale al minimo dell'insieme, è uguale a 0. 0 è un minorante, 0 appartiene all'insieme e quindi 0 è il minimo all'insieme.
Adesso abbiamo visto che 1 è un maggiorante. Cerchiamo di capire chi è l'estremo superiore. Pensate che al crescere di n questa frazione diventa sempre più piccola. Quindi da 1 sto togliendo un numero sempre più piccolo, sempre più piccolo. E quindi tanto più grande è n, tanto questo...
più questo numero, pur essendo minore di 1, si avvicina ad 1. Quindi posso pensare, è abbastanza immediato pensare, che l'estremo superiore dell'insieme è uguale a 1. Sono 1 meno... qualcosa che diventa sempre più piccolo, sempre più piccolo e quindi posso provare a pensare che l'estremo superiore dell'insieme è 1. Allora, adesso lo dimostro, la prima parte abbiamo visto che 1 è un maggiorante, infatti abbiamo già visto che 1 per ogni nenne. E d'altra parte voglio dimostrare anche che è il più piccolo dei maggioranti. Quindi voglio dimostrare che comunque dato ε maggiore di 0 esiste un n appartenente ad n meno lo 0 tale che Questa volta, ricordate, sto lavorando sul maggiorante, quindi s meno epsilon non è più un maggiorante, quindi vuol dire che 1 meno epsilon è minore di 1 meno 1 su n. Vi riscrivo sotto.
per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un elemento dell'insieme tale che S-epsilon è strettamente meno o meno era la seconda condizione che comunque tolgo Se tolgo un epsilon positivo al mio numero, questo non è più un maggiorante. Quindi io sto affermando che l'estremo superiore è 1, quindi 1 meno epsilon non è più un maggiorante. Quindi deve esistere un elemento dell'insieme che è più grande di 1 meno epsilon.
Allora, come prima, adesso cerco di capire se questa diseguaglianza è vera a mettere una soluzione sui numeri naturali. Quindi me la riscrivo qui. Quindi, risolvo la diseguaglianza, quindi 1-epsilon minore di 1-1 su n equivale a dire, togliendo 1 a destra e a sinistra, 1 su n minore di epsilon e se, solo se, n.
è maggiore di 1 su y ritrovo esattamente la stessa condizione di prima quindi ho verificato che comunque prendo y piccolo ma positivo posso sempre trovare un numero naturale che è più grande che è maggiore di 1 su y quindi posso sempre trovare n maggiore di 1 su epsilon e quindi questa diseguaglianza ammette soluzioni. E quindi la seconda condizione è verificata, questo mi consente di concludere che il sup di a uguale a 1 Infine posso verificare se questo estremo superiore è anche il massimo, quindi il massimo di a uguale a 1 devo verificare soltanto, metto un punto interrogativo, allora questo è vero se 1 esiste un n appartenente a n meno lo 0, tale che 1 si può scrivere come un elemento dell'insieme, cioè 1 uguale a 1 meno 1 su n. Esiste un elemento dell'insieme che è uguale a 1, ma questo vuol dire 1 su n uguale a 0, che non ammette soluzione, impossibile. Quindi, riepilogando, abbiamo che inf di a uguale al minimo di a uguale a 0 Sup di A uguale a 1, massimo non esiste. Ultimo esempio e poi vado un po'avanti con la teoria.
Poi ulteriori esempi magari li faccio alla fine di questo capitolo. Faccio ancora un esempio, leggermente diverso. Allora, questo insieme.
A uguale n più 2 su n al variare di n in n. Anche qui è chiaro che lo 0 non è incluso, n uguale a 0 non è incluso, perché 2 su n non posso dividere per 0. Sempre stessa cosa, trovare sup, inf, massimo e minimo. Sup, inf, massimo e minimo.
Quindi, vado a vedere questi numeri, n più 2 su n. Posso dire qualcosa? Diciamo, per esempio, un minorante è immediato. Il minorante è l'insieme, chi è, per esempio, dovrebbe essere immediato. Tenete conto che ai minoranti non è importante essere preciso, non è che dovete trovare subito l'estremo inferiore, dovete trovare un minorante, quindi vi basta trovare un numero reale che è più piccolo di tutti gli elementi all'insieme.
Sentito zero? è corretto, perché questa è la somma di due numeri non negativi, positivi, no? n è maggiore o uguale a 0, 2 su n è maggiore o uguale a 0, quindi in prima approssimazione posso dire che 0 è un minorante, sono tutti numeri non negativi e quindi 0 è sicuramente un minorante.
Maggiorante? Maggioranti? Riflettere prima di rispondere.
Ok, si può pure dare una risposta sbagliata, però guardate i numeri. Questo 2 su n è una parte che al crescere di n diventa piccola, però è una parte limitata. Sicuramente... sono tutti numeri minore o uguale di 2 maggiore o uguale di 0 e minore o uguale di 2 perché se mettete n uguale a 1 avete 2 se mettete n uguale a 2 avete 1 2 terzi eccetera però questo termine qui invece è un termine termine che al crescere di n prosegue a crescere, n1, 2, 3, 5, questo gli dà un contributo piccolo ma positivo, quindi posso dire che n più 2 su n è sicuramente maggiore di n per ogni n. I numeri naturali, sappiamo già, abbiamo visto ieri, che non costituiscono un insieme limitato, quindi questi numeri non sono limitati, cioè diciamo non esiste un maggiorante dell'insieme.
Posso dire che il sup di A è uguale a più infinito. Ripeto questa parte? Sì.
Ah, quello ancora ci dobbiamo... Io in prima fase trovo un minorante dell'insieme per dire se è limitato inferiormente. La diseguaglianza è importante, questa non diventerà mai zero, però a me interessa trovare un numero reale che sia più piccolo di tutti gli elementi.
Probabilmente zero non sarà neanche l'estremo inferiore, però ho già trovato un minorante, quindi ho dimostrato che l'insieme è limitato inferiormente e quindi so che esiste l'inf. Invece per l'estremo superiore ho visto che i numeri sono... Sicuramente per ogni n, n più 2 su n è maggiore di n, n i numeri naturali non sono limitati e quindi anche questi non sono limitati, diventano sempre più grandi al crescere di n e quindi l'insieme non ammette maggioranti.
è più infinito. Quindi ho stabilito che l'estremo superiore è più infinito. Adesso torno, sulla parte estremo superiore non c'è più nulla da dire, torno invece all'estremo inferiore e vado a vedere con più attenzione come sono fatti questi numeri.
Quindi in una prima fase posso essere anche abbastanza grossolano, non è importante essere particolarmente precisi. Adesso poi se mi chiedo chi è l'estremo inferiore devo essere un pochino più attento. Vediamo come sono fatti i numeri, allora per esempio per n uguale a 1 Questo mi corrisponde 1 più 1 fratto 1 uguale a 2, no? Metto n uguale a 1 e trovo...
no, 1 più 2 su 1, scusate. 2 su 1 uguale a 3. Quindi per n uguale a 1 trovo 1 più 1. Poi per n uguale a 2 trovo l'elemento 2 più 2 su 2, 3. Per n uguale a 3, e poi, vabbè, mi fermo, 3 più 2 terzi, che è sicuramente maggiore di 3, e così via. Per n uguale a 4, 4 più 2 quarti più un mezzo, che è sicuramente maggiore di 3. Vedete, quindi...
per ogni, adesso quindi questa mi dice 3, nei due primi elementi trovo 3, tutti gli altri sembrerebbero diventare più grandi di 3, lo verifico, allora per ogni n maggiore o uguale di 3, n più 2 a n, quindi per ogni numero naturale maggiore o uguale di 3, n più 2n è maggiore o uguale di 3 più 2 terzi, che è maggiore strettamente di 3. n è maggiore o uguale a 3, così non va bene, ho sbagliato. n più 2n è maggiore o uguale a n, che è maggiore o uguale a 3, così va corretto. Ok, perché n più 2n è n più una quantità positiva, è maggiore di n, ma n per ipotesi è maggiore o uguale di 3, quindi per ogni n è maggiore o uguale di 3, n più 2n è maggiore o uguale di 3. Tutti questi numeri sono più grandi di 3. I primi due valgono esattamente 3, e quindi posso concludere da questa informazione, da questa informazione, che... Allora, io ho detto, se prendo un qualsiasi numero naturale maggiore o uguale di 3, il corrispondente numero che ottengo è maggiore o uguale di 3, no? Perché n più 2n è maggiore di n.
Ma d'altra parte sto assumendo che n è maggiore o uguale a 3, quindi n più 2n è maggiore o uguale a 3. Allora, per ogni numero naturale maggiore o uguale a 3, il corrispondente elemento dell'insieme è più grande di 3. D'altra parte, però, io ho trovato che per n uguale a 1 e per n uguale a 2, che non sono inclusi qui dentro, trovo esattamente 3. E quindi posso concludere. 3 sarebbe un minorante a partire da n. n maggiore uguale a 3. Ma 3 è esattamente un elemento che corrisponde a n uguale a 1 e a n uguale a 2 e quindi è il minimo dell'insieme.
Quindi sto affermando che il minimo dell'insieme è uguale a 3. Ok? Ripeto, per ogni n maggiore o uguale di 3, tutti i numeri dell'insieme sono maggiori o uguali di 3. Quindi ad n uguale a 3, n è maggiore o uguale a 3. Per n uguale a 4, questo numero è maggiore o uguale a 3. Per n uguale a 5, questo numero è maggiore o uguale a 3. rimane un insieme finito, cioè quello costituito dai primi due indici, a questi due indici corrisponde esattamente il 3, quindi 3 è un minorante da questo livello in poi, per i primi due indici è anche un minorante, in realtà è un elemento dell'insieme e quindi posso concludere che è il minimo dell'insieme, perché è un minorante, tutti questi numeri sono tutti maggiori o uguali di 3. Ok? Quindi sono tutti maggiori o uguali di 3. 3 fa parte dell'insieme, quindi è il minimo dell'insieme.
Ok? Chiedere qualcosa? Sì?
Perché se anche per n uguale 1 e n uguale 3, ha dovuto dividere... Perché lo devo dimostrare, cioè io devo dimostrare questa cosa. Allora, scriviamolo in questa maniera. Scriviamo il nostro insieme come unione dei casi n più 2n, corrispondenza degli indici uguali a 1 e 2, unione n più 2n per n corrispondente agli indici n maggiore o uguale a 3. Lo separo, no? Separo in due pezzi.
Un pezzo che corrisponde ai primi due indici n uguale a 1 e n uguale a 2 e un pezzo che corrisponde agli indici che partono da 3. Allora, questo in realtà è uguale a 3 perché per n uguale a 1 e n uguale a 2 trovo esattamente l'elemento 3. Unione, quello lo riscrivo, n più 2n su 2n per ogni n maggiore o uguale di 3. Allora, il minimo di questo insieme, quando l'insieme si riduce a un solo elemento, il minimo coincide al massimo e vale 3. Quindi questo insieme ha un minimo 3. 3 però è un minorante di questo insieme, no? perché tutti questi numeri sono sempre numeri in realtà strettamente maggiori di 3. Quindi 3 è un minorante per questi. 3 però appartiene, vedi, perché è un'unione, quindi vi appartiene, l'unione è data dagli elementi che appartengono a questo insieme e a questo insieme, quindi 3 appartiene all'insieme, è un minorante dell'insieme e quindi automaticamente è il minimo. automaticamente con questo? esatto no, perché se la faccio così non mi funziona perché se n fosse maggiore per esempio per n uguale a 2 non funziona, vedi perché viene n più 2 però diciamo non funziona questa diseguaglianza qui questa è falsa per n uguale a 2 perché 2 non è maggiore uguale a 3 dovrei farla in maniera un po'più attenta diciamo un pochino più raffinata però insomma va bene anche così ok, no va bene diciamo a me interessa quando guardo i primi elementi vedo che ai primi due indici corrisponde 3 tutti gli altri sono maggiori di 3 a quel punto concludo che il minimo è 3 ecco Sì, cerco...
Comunque, diciamo, in generale gli esercizi non è che hanno una sola svolgimento, una sola soluzione. Un ragionamento, qualsiasi sia il ragionamento, purché corretto, è accettabile. Ok, andiamo leggermente avanti adesso. Ulteriori esercizi su minimo e massimo in FESUP li faccio poi a un certo punto mi fermerò e farò gli esercizi sul capitolo, quindi faremo ulteriori esercizi.
Adesso invece voglio andare leggermente avanti con la teoria. Sempre. con questo ripasso di concetti fondamentali che stiamo facendo. Allora, introduciamo adesso alcune quantità che sono legate ai numeri naturali, che hanno un'interpretazione importante e poi vedremo a cosa servono.
Queste quantità sono fattoriale, sicuramente le conoscete, e coefficiente binomiale. Allora, prima cosa introduciamo il fattoriale? Definizione, dato numero naturale n Si dice fattoriale di n e come notazione scriverò n con un punto esclamativo che leggo n fattoriale, la seguente grandezza. Allora, n fattoriale è uguale a 1. se n è uguale a 0, quindi sto dicendo 0 fattoriale è uguale a 1, e invece è il prodotto dei primi n numeri naturali, quindi 1 per 2 per 3 puntini puntini per n, se n è diverso da 0. Giusto per definizione, vediamo per esempio 3 fattoriale è 1 per 2 per 3, cioè 6. 5 fattoriale sarà 1 per 2 per 3 per 4 per 5, quindi 120 e così via. Come vedete il fattoriale è una quantità che cresce rapidamente al crescere di n.
Allora, fattoriale è un'interpretazione n fattoriale rappresenta il numero di modi, il numero dei possibili ordinamenti di n oggetti dati. Per esempio, se voi volete, facciamo, vediamo in quanti modi potete ordinare i tre oggetti. Chiamiamo gli oggetti A, B e C.
Allora, tutti i possibili ordinamenti di questi tre oggetti sono A, B e C. A, C, B. Quindi, quel primo ordinamento corrisponde ad A in posizione, prima posizione, poi scambiato. Poi, secondo ordinamento, B, A, C, B, C, A. Terzo ordinamento, C a B.
e cibia e se ci riflette non ci sono altri possibili ordinamenti quindi tre oggetti possono essere ordinati in tre fattoriali modi cioè esattamente in sei possibili modi in generale quindi n oggetti si possono ordinare in n fattoriale distinti modi ok a partire dal fattoriale si definisce il coefficiente binomiale Quindi, definizione. Dati i due numeri naturali n e k, n e k appartenenti ad n, tale che k è minore o uguale di n, si definisce Coefficiente binomiale n su k si definisce coefficiente binomiale n su k e come notazione scriveremo Notazione, una parentesi tonda, n su k. Il seguente numero, allora il numero così definito, n su k è uguale per definizione a n fattoriale, k fattoriale su n meno k fattoriale.
Ok, al numeratore n fattoriale, al denominatore k fattoriale, n-k fattoriale. Calcoliamoci qualche coefficiente binomiale e poi vediamo le proprietà. Vedremo fra un attimo perché abbiamo introdotto questi oggetti e saranno importanti in seguito. Avete visto il coefficiente binomiale alle scuole superiori?
No. Eh? Quindi per esempio facciamo 3 su 2. Allora 3 su 2 fa 3 su 2. 3 fattoriale, k fattoriale, 2 fattoriale per 3-2 fattoriale.
Quindi è al numeratore 3 fattoriale 6, al denominatore 2 fattoriale è 1 per 2, quindi 2, 1 fattoriale 1, 2 per 1, uguale a 3. Oppure, che ne so, 5 su 2 fattoriale. 5 squadre, 5 su 2. Allora, 5 su 2 è 5 fattoriale, 2 fattoriale, 5 meno 2 fattoriale. Quindi n fattoriale, k fattoriale, n meno k fattoriale.
Quindi 120 diviso 2 fattoriale è 1 per 2, 3 fattoriale è 1 per 2 per 3, quindi 6. E quindi 120 diviso 12, 10. Allora, prima di vedere un po'di proprietà, notate che in questi due esempi il risultato è sempre stato un numero naturale. Questo in realtà non è un caso, come vedremo fra un anno. Però prima di vedere le proprietà, vediamo qual è l'interpretazione di questo n su k. Osservazione.
Questo numero n su k rappresenta il numero dei sottinsiemi dei sottinsiemi di K, costituiti da K oggetti degli N dati, degli N oggetti dati allora, oggetti dati Per esempio, pensiamo che noi abbiamo tre elementi, A, B e C, e vogliamo sapere quanti sono i sottinsiemi costituiti da due elementi dei tre elementi dati. Allora, è facile contarli, quindi quali sono? Sono A, B, A, C e B, C. Quindi non è importante l'ordine in questo caso, cioè gli insiemi costituibili da due elementi dei tre dati.
Infatti, vedete, sono esattamente tre sottinsieme. In effetti, 3 su 2, che è il numero dei sottinsiemi di due elementi dei tre, i dati viene esattamente uguale a 3 allora ok, quindi rappresenta il modo in cui potete estrarre il numero di chi è sotto insieme cioè il modo in cui potete estrarre k oggetti da n dati ad esempio se giocate al super enalotto quindi nel super enalotto voi avete 90 numeri non mi ricordo se c'è lo 0 no 1, 2, 3 90. E il vostro obiettivo è indovinare una sestina, giusto? Sei numeri...
Voi volete estrarre, quindi pensate alla vostra sestina, sei numeri, e volete sapere quante sono le sestine, cioè i sottinsiemi costituiti da sei elementi, dei 90 dati. Quindi il numero degli... delle possibili sottinsieme dei 6 elementi, cioè delle possibili sestine dei 6 elementi dei 90 dati è questo numero, 90 su 6, quindi 90 fattoriale 6 fattoriale fratto 90 meno 6 fattoriale 84 fattoriale. Quindi queste sono tutte le possibili sestine che potete estrarre dai 90 dati. Adesso vi dico quant'è questo numero.
Allora, se vi calcolate questo numero, questo viene quindi questo numero è quindi se andate a calcolare la probabilità di estrarre una sestina, cioè di indovinare tutti i sei numeri dati, dovete prendere uno fratto questo numero. Quindi la vostra probabilità di vincere all'inalotto giocando una sestina ok, giocando una singola sestina è uguale a 1 su questo numero che è dell'ordine di 10 alla meno 9, quindi è 1 su un miliardesimo. Quindi se vi giocate 6 numeri avete la probabilità 1 contro un miliardo di indovinare la sessina esatta. Quindi non spregate i soldi. Allora adesso vediamo un po'di proprietà, ancora due o tre minuti poi facciamo la pausa.
Se no facciamo la pausa subito, facciamo pausa e riprendiamo però puntuali a mezzogiorno, ok?