Catatan Kuliah: Konsep Limit

Pada kuliah hari ini, kita membahas dua masalah berbeda yang mengharuskan kita untuk menggunakan konsep limit. Meskipun masalahnya tidak terkait, keduanya menghadapi tantangan yang sama.

Masalah Pertama: Menghitung Kecepatan Rata-rata

• Grafik Posisi:

  • Posisikan dengan huruf S pada waktu t = t1 dan t = t2.
  • Pada t1, posisi = S1, dan pada t2, posisi = S2.

• Menghitung Kecepatan Rata-rata:

  • Rumus:
    [ v_{avg} = \frac{S2 - S1}{T2 - T1} ]
  • Diperoleh dari selisih posisi dan waktu.

• Pertanyaan:

  • Berapa kecepatan pada saat t1?
  • Untuk menghitung ini, kita perlu membuat T2 mendekati T1.

• Masalah Pembagian dengan Nol:

  • Ketika T2 mendekati T1, penyebut akan menjadi nol, sehingga kita harus mempertimbangkan gradien garis yang terbentuk.
  • Ini menunjukkan bahwa kita perlu mendalami konsep limit untuk memberi arti pada pembagian ini.

Masalah Kedua: Menghitung Luas Lingkaran

• Lingkaran dengan Jari-jari R:

  • Lingkaran dibagi menjadi pita-pita tipis.
  • Lebar tiap pita = ΔR.

• Menghitung Luas Pita:

  • Ketika pita dipotong dan direntangkan, luas pita dapat dihampiri.
  • Luas pita = Panjang x Lebar = 2πR × ΔR.

• Membentuk Segitiga:

  • Ketika pita-pita ini disusun, kita mendapatkan bentuk segitiga.
  • Luas segitiga = [ \frac{1}{2} \times R \times (2πR) = πR^2. ]

• Masalah Penjumlahan Strip-tipis:

  • Meskipun kita menjumlahkan strip-strip tipis yang luasnya mendekati nol, hasilnya dapat menghasilkan luas lingkaran yang dikenal yaitu πR².

Kesimpulan

• Keduanya, baik masalah kecepatan rata-rata dan luas lingkaran, membutuhkan konsep limit untuk menyelesaikan permasalahannya.
• Limit membantu kita memahami situasi di mana kita menghadapi pembagian dengan nol atau penjumlahan dari besaran yang sangat kecil.