करते हैं आपको आपका बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत स्वागत है बेसिक मैस के नेक्स्ट लेक्चर में और आज देखते हैं कि हम लोग क्या पढ़ने वाले हैं बच्चों आज हमारा गोल है लोगरिथम पढ़ना बच्चों बहुत जादा ये इंपोर्टेंट चाप्टर है ये because calculus में बच्चों बहुत सारी problems होती हैं, जो कि mixed problems होती हैं, जिसमें log को डाल ही दिया जाता है, ऐसे बच्चों देखो, दो chapter हैं, पहला log हो गया, और दूसरा है trigonometry, ये जो बच्चों दो chapter हैं, आपको बहुत ध्यान से करने हैं, इसके questions आपको बहुत अच्छे से solve करने हैं, and then साथ में, जो जो properties, जो जो formulae आप इस वाले chapter में, और जो trigger chapter में पढ़ोगे, उन सब का use finally जाके, functions के सवालों में होगा क्योंकि function के जो सवाल आएंगे function बच्चों calculus का पहला chapter है तो जो function के जो सवाल होगे उसमें log और trigonometry mix problem दी होगी तो ठीक है गबराने की बच्चों कोई भी बात नहीं है हम लोग अपना बाबा का नाम लेके बस बस मस्ती करते रहें और मेरे साथ बहुत जादा पढ़ते रहें तो देखे विया logarithm में क्या है यह है असली मैथमेटीशियन यह है भाई साब हमारे बहुत बहुत बहुत बहुती ज़्यादा प्यारे से बाबा इनका नाम है जॉन नेपियर ठीक है मतलब नाम है कि अब यह है नहीं इनका नाम था जॉन नेपियर भाई साब जो logarithm का जो concept था वो इनो ने ही दिया था जो logarithm का concept है वो इनो ने ही दिया था इनकी बहुत इजद करनी है मेरे प्यारे से बच्चो इनी की देन थी logarithm का concept इनके देखो बच्चो शब्द क्या थे इनके देखो भाई साब शब्द क्या थे इनके शब्द ये थे इनो ने ये बोला था कि every positive real number every positive real number capital N, okay, can be expressed, can be expressed in exponential form, can be expressed in exponential, exponential form, जो क्या है मेरे बच्चों, लिख देता हूँ, that is that is that is that is n equals to a की power l बहुत अंग्रेजी हो गई सर तो भाई साब एक अपना इसे पढ़ भी देता हूँ मैं ये बुलना चाहता हूँ कि according to John Napier Baba दुनिया का हर positive real number बहुत ध्यान से सुनना positive real number इनोंने जब logarithm का भाई concept दिया तो इनोंने ये बुला कि दुनिया के हम सिर्फ real numbers की बात कर रहे हैं वैसे तो आप लोग class 11th में हो ये के छोटे से बच्चे हो जस्ट अभी अपना JEE का preparation start कर रहे हो या फिर backlog है इसलिए देख रहे हो लेकिन मैं ये मान के चल लोगी अभी आपको कुछ भी नहीं आता तो बच्चों मैं ये बोलना चाहता हूँ कि जो जॉन नेपियर बाबा थे इन्होंने ऐसा बोला कि दुनिया के सिर्फ real numbers के बारे में ये concept दिया उन्होंने बोला देखो बाई हम अभी complex number की बात नहीं कर रहे हैं अभी हम सिर्फ real number की बात कर रहे हैं और उन्होंने ऐसा बोल हम लोग represent कर सकते हैं सबसे पहला doubt आया कि सर ये exponential form का मतलब क्या होता है exponential का मतलब होता है बच्चो exponent और exponent का मतलब क्या होता है power के form में ठीक है भाई साब तो देखो उन्होंने ये बोला कि दुनिया का कोई भी number अकर capital N है उसको आप एक ही power L तरीके से लिख सकते हो ठीक है बच्चा पार्टी तो हम लोग सिर्फ किस में डील कर रहे हैं positive real number में डील कर रहे हैं अब क्या पता कुछ लोगों ने complex number पढ़ लिया हो कि सर हमने तो complex number का भी log लेना सीखा हुआ है ओके, very good फिलाल हम लोग basic math में सिर्फ किस से डील कर रहे हैं real number से डील कर रहे हैं तो इन्होंने ऐसा बोला कि दुनिया का कोई भी जो positive real number है हम उसे exponential form n equals to a की power l के form में लिख सकते हैं अब इन्होंन देखोब या दो तीन ची� वो देखो दो तीन चीजें क्या थी इन्होंने ये बुला कि जो A है ना जो base है ये देखो base है समझ दो ना ये देखो base है clear है भाई ये base है base और ये power है इससे बुलते हैं base A को और L को बुलते हैं exponent उन्होंने बुला देखो भाई base को सिर्फ positive लेना और साथ में ये बुला कि जो base है ये कभी भी 1 के बराबर नहीं हो सकता इनोंने बहुत important word ये बोले, देख रहा हूँ उपर photo है, इनोंने बोला भाई कि जो base है ये कभी one के बराबर नहीं हो सकता, और साथ में base हमेशा positive होना चाहिए, तो देखो भाई साम हम जरा कुछ यहाँ पे बातें लिख देते हैं, कि जो A है, इसका नाम क्या होता है, इसका एक अंग्रेजी नाम, एक फिरंगी नाम सोच लिया, जो नाम है logarithm, ठीक है सर, सर थोड़ा feel नहीं हुआ, कोई बार नहीं बच्चे, feel ये कैसे होता है, यहाँ पर ध्यान दे, पहली चीज आई, मैं जरा ये बात करना चाहता हूँ, कि सर, सर ये A negative क्यों नहीं हो सकता, तो देखो भाई, A negative नहीं हो सकता, इसका reason जो है, ये थोड़ा continuity of the function होता है, देखे थोड़ा continuity of the function होता है, और भी चीज़े होती है, तो जब हम calculus पढ़ेंगे, तब ही आपको feel होगा कि ये negative क्यों नहीं हो सकता, यानि कि ये अभी सा आपको नहीं सोचना है, मैं चाहूं तो आपको satisfy कर सकता हूँ, मैं कोई ऐसे words use कर दूँगा कि आप satisfy हो जाओगे, तो बाई वो काम मुझे नहीं करना है, इसके बारे में मैं ऐसे बच्चों continuity में बात करूँगा, जब domain-domain वाली चीजें पढ़ लेंगे clear हो जाएगा, ठीक है, okay sir, अभी हम इसके आरे में, नहीं सोचेंगे, एकदम सही मेरे बच्चे, I love you, तूसरी चीज होती है, कि sir, एका value, one क्यों नहीं हो सकता, मैंने कहा, देखो यार, ये चीज अभी आप सोच सकते हो, कि अगर, एकी value आपने one कर दी, if a equal to one, a की power l, one की power, वन ही आता है, तो इससे क्या हो जाएगा, कि बाई, n नंबर तो fix ही हो जाएगा, ये नंबर तो बाई साफ fix हो गया, आप तो एकदम फस गये, मतलब वन की power L आपने क्यों नहीं किया, आपने इसलिए नहीं किया, क्योंकि उस टाइम नंबर तो fix हो गया, वन की power L रहा, तब तो बच्चा पस जाओगे ठीक है ना अभी भी आपको ये फील कि कोई बात नहीं इसके लिए हम लोग अगर किसी को यह चीज फील हो गई है तो आई लव यू और नहीं हुई है दिन ऑलसो मैं आप सबसे बहुत प्यार करता हूं यह सारी चीजें हम लोग भाई कैलकुलस में देखेंगे कि ऐसा क्यों नहीं हो रहा था वहां पर इसकी क्लारिटी थोड़ी ज्यादा बनेगी तो देखो भी यह जो बाबा थे इनको प्रणाम कर दो या प्रणाम कर देना कमेंट बॉक्स में इनको भाई साथ प्रणाम कर दो तो देखो भाई साथ फाइनल क्या चीज आ रही है फाइनल यह चीज आ रही है यह भाई साब simple सी चीज है कि यह जो n equals to जो a की power l होता है, अब देखो कितना आपको ध्यान रखना है, कितना आपको दिल दिमाग में रखना है, कि यह जो n होता है, यह बच्चा n हमेशा क्या होता है, positive, क्योंकि logarithm का भाई साब जो concept है, यह सिर्फ positive real numbers के लिए है, यह concept ऐसे ही बनाया गया है, यही इसकी परिभाशा है, यही इसकी definition है तो please यहाँ पे overthink मत करना मुझे पता है बहुत से लोग कहेंगे हम नहीं मान रहे हम नहीं मान रहे बिटा मानोगे लेकिन आगे मानोगे जब हम calculus पढ़ेंगे पर फिलाल question आपसे बन जाए तो अब यह ध्यान रखो दिमाग से को बिटा I'll as well और N सिर्फ भाई साब यहाँ positive हो सकता है बाबा ने एक concept सिर्फ positive नंबर के लिए दिया है तो देखो N हमेशा positive होना चाहिए ठीक है सर दूसरा चीज एके साथ बवाल क्या है मैंने कहा A होना चाहिए greater than 0, लेकिन A 1 नहीं हो सकता, A negative क्यों नहीं हो सकता, मैंने कहा ये भी बच्चा हम बात में देखेंगे, पिलाल से बच्चा पार्टी हम लोग इतना इनको बोलते हैं, कि A होना चाहिए positive, A का value 1 नहीं हो सकता, पस इतना भाई साब आपको ध्यान रखना है, कि इसी time भाई साब हम लोग logarithm हैं, जब ये conditions भाई साब satisfy होती हैं, ठीक है सर, जब ये conditions satisfy होती हैं, अब यहाँ पे ध्यान दो भाई साब यह जो L होता है L होता है log जो power है यही होता है logarithm यही होता है logarithm ठीक है सर मतलब इतनी चीजों से आपको familiar हो जाना है जितने points मैंने बोले उतने points बच्चा पाटी आपको दिल दिमाग में रखने है फिर आपको question करने का प्रयास करना है कुछ चीज का reason अभी नहीं दे सकता पर यह आपको करना अभी ही सीखना है हाँ सर हम क्या करें मैंने कहा देखो यार A की ये representation होता है N equals to A की power L इसी L को लिखने का एक और representation होता है जो होता है log AN सर ये कैसे लिखा है सर power तो समझ में आती है परन्तु ये कैसे लिखा है तो बच्चा पाटी यहाँ पे ज़रा ध्यान देना ये representation है ये representation है power को मतलब L को लिखने का ये representation है इसको देखो आप कैसे पढ़ते हो आप इसको ऐसे पढ़ते हो, कि जो L है, वो log to the base A, N है, मतलब देखो, मैं यहाँ पे Hindi में लिख दे रहा हूँ, कि L is, चलो English में लिख देता हूँ, कुछ बच्चे कहते हैं, सर English में लिखा करो, ठीक है N is, L is log to the base, ए, ठीक है, base A, यह दोगों थोड़ा सा नीचे लिखते हैं, to the base A, और यहाँ पे number क्या होता है, N, मैं ऐसे लिख दे रहा हूँ, to the base A, N, ठीक है, ऐसे लिख देते हैं, base A है, और number, जिसका log ले रहे हैं, उसको हम लोग बोलते हैं, बच्चा पाटी, N. ठीक है सर अब ध्यान दो भाईजाब ये जो दोनों जो relations होती है n equals to a की power l जैसे यहाँ पे लिखा हुआ है चाहे आप लिखो n equals to a की power l और चाहे लिखो आप l equals to log a n बच्चो सुनते रहना ठीक है ना जो reason मैंने कहा अभी मैं नहीं बता सकता तो नहीं बता सकता, ये थोड़ा मैं उसी time आपसे मैं बात करूँगा, ठीक है, please this is my request, और फिलाल मैं बस इतना चीज बोलना हूँ कि n equals to a की power l अगर कहीं दिया हुआ है, और l equals to a की power एंड बच्चा पार्टी कहीं दिया हुआ है, तो देखो मैं ये बोलता हूँ, these are same relations, ये दोनों भाई बहन हैं, ये same relation हैं, both are same, ठीक है भाई तो देखो इसको आप ऐसे रीड कर सकते हो कि n क्या है a की पावर l है ऐसे आप रीड कर सकते हो कि n क्या है you will say a की पावर l है base की पावर l है तो देखो इसको मैं सडे नाल रूल भी गयता हूँ पहले गाना था ना सडे नाल रहोगे तो एश करोगे जिन्दी की के to the base A, base A है, number N है, जिसका log लिया जा रहा है, value L आती है, इसको मैं बोलता हूँ सद्देनाल rule, N equals to A की power L, ठीक है सर, थोड़ा थोड़ा समझ में आ गया, ओके बच्चे, I love you. अब देखो भाई कुछ लोग को लॉक थोड़ा बहुत आता ही होगा तो वो लोग लॉक की प्रॉपर्टीज यूज करके सवाल करेंगे प्रॉपर्टीज यूज करके सवाल करेंगे fresh तरीके से त्यारी यहां से start करो, यहां पे आपको सारे सवाल करा जाएंगे, आपके साथ कुछ भी धोका नहीं किया जाएगा, complete चीज आपको पढ़ाई जाएगी, ठीक है बच्चो, तो यहां पे बहुत ध्यान से देखें, एक बार फिर से अपना fresh start करें, मैंने बोला find, find, L, if, इफ L equals to log to the base 2 16, देखा मैं कैसे बोल लाओ, log to the base 2 16, ऐसे घर बैठे बैठे बोलो, जितने लोग पहले वर पढ़ने हैं, इसको ऐसे ही बोलो, log to the base 2 16, तो देखो भाईया, आप कैसे करोगे, आप देखो simple इसको ऐसे सोचोगे, इसका solution देखना आप कैसे सोचोगे, इसका solution बच्चा पार्टी आप ऐसे सोचोगे, कि L की value है log AN, ठीक है सर? compare करो, जैसे आप compare करोगे, तो देखो, a का value हो जाएगा 2, बिल्कुल सही, n का value हो जाएगा 16, एकदम सही, निकालना आपको l है, बिल्कुल सही, तो देखो, आपको पता है, तो एश करोगे, n equals to a की power l लिख दो, simple से चीज है, n कितना है, 16 है, यह है 2 की power L, एकदम सही बात है, 2 की power L है, अब आपको पता है, 16 को आप कैसे लिख सकते हो, 2 की power 4 लिख सकते हो, और यह है 2 की power L, यानि सर, ल की value कितनी होनी चाहिए, 4, और देखो, L ही आपको निकालना था, मुझे पता है कुछ लोग को log आता होगा, अब तक जितना मैंने आपको पढ़ाया है, उससे भाई साब ये सवाल आपका हो जाना चाहिए बस मैं इतना जानता हूँ उसके लाव अच्छा मैं कुछ नहीं जानता हूँ बस मैं इतना जानता हूँ जितना अब तक मैंने पढ़ाया है ये सवाल हो जाना चाहिए मतलब आपको ये रिफाइन कर लेना है कुछ मेरी लिमिटेशन सी जो मैं अभी नहीं बता सकता था परन्तु एकदम बेसिक से अब तक जितना मैंने पढ़ाया है उसमें देखो भाई सिर्फ और सिर्फ देखो ज्यान की बात यही आई है सर ज्यान की बात क्या ही है देखो सिंपल सी बच्चा टे ज्यान की बात आई है कि अगर n एकूल्स टू एकी पावर l है तो l एकूल्स टू लॉग एन होता है मतलब l ए और n ढूंडो l की वल्यू 4 आगई ठीक है सर I love you sir Yes बिटा but I love बाबा ओके अब देखो भाई हम लोग करते हैं कुछ जरूरी बातें सर जरूरी बातें हम क्या करते हैं सबसे पहले देखो मैं एक चीज तब तक बोलूंगा जब तक तुमारे मूँ से खून ना निगलने लगे तुम लोग बोर हो जाओगे लेकिन मैं बोर करूँगा तो देखो बच्चा पाटी जैसे L equals to log N दिया है तो देखो N positive होना चाहिए A positive होना चाहिए और A not equal to 1 होना चाहिए intersection मतलब तीनों एक साथ exist करनी चाहिए, कहीं अगर L equals to log n लिखा है, तो n greater than 0 भी होना चाहिए, a greater than 0 भी होना चाहिए, और a1 के बराबर नहीं भी होना चाहिए, मेरी बात आप समझ गया होगे, ठीक है अब जरा यहाँ पे ध्यान दू, हाँ सर, next चीज बताओ सर, next चीज भाई यह बोला है, कि for a unique n, ठीक है सर, for a unique n, we get, we get, एक अड़ोख ना, जरा एक चीज मैंने यहाँ पर नहीं लिखी, for a unique n and a, ठीक है भाई, we get a unique value of l, ठीक है सर, अच्छा सर, आप ऐसा कुछ बोल ले हो, हाँ बिटा, ऐसा कुछ बोल ले हैं सर, हिंदी में बताओ, चलो भाई, बताता हूँ, मैं यह कहना चाहता हूं बच्चा कि किसी भी सवाल में जैसे कि आपसे मैंने बोला गया जैसे मैं दोस्त सिंपल सी चीज बोल दी ठीक है फिर पर सी चीज कैसे बोल दी मैंने सिंपल सी चीज यह बोल दी एक्जांपल में पर लिखता हूं मेरे बच्चों प्लीज यहां पर ध्यान दीजिए एक्जांपल यह लिखता हूं भाई जैसे आपको बोला मैंने लॉक 215 ठीक है अब देखो इसको सॉल्व कर पाना बहुत ज्यादा टॉप है ठीक है इसके लिए भाई साथ आपको log table देखनी आनी चाहिए, लेकिन देखो, बस मैं एक चीज कहना चाहता हूँ, इसको कोई simplify करने का try नहीं करेगा, इसको ऐसे ही छोड़ा जाएगा, ठीक है, लेकिन मैं देखो, एक चीज आपसे बोलना चाहता हूँ, ये बोलना चाहता हूँ, इसकी value क्या आएगी, हमको नहीं पता, लेकिन अगर इसकी value कुछ आएगी, तो वो unique होगी, unique का मतलब एक ही value आएगी, इसकी एक ही value आएगी, only one unique value, ठीक है सर, only one, unique value, एकदम सही बात है मेरे बच्चे, ऐसा नहीं हो सकता, मानो किसी का value इसका, कुछ मानो, something मानो कि 3 आ गया, वैसे 3 नहीं आएगा, ठीक है, चलो 3 नहीं बोलता हूँ, चलो एक चीज तो मैं और बताता हूँ, एक चीज और बताता हूँ, इसी को simplify करके, log 2, 15 equal to L, आपको पता है बच्चा, A का value है 2, N का value कितना है, 15, एकदम सही, L का value आपको निकालना है, इसका मतलब क्या है सर देखो बाई इसका मतलब ये है लाइन को पहले सीधी कर दें फिर बात करते हैं ठीक है आ गया आ बाई अब जरा यहाँ पे ध्यान दो जैसे आप देखो बाई n equals to a की power l लगाओगे तो देखो 15 equals to क्या जाएगा 2 की power l एकदम सही सर, 2 की power L, अब एक चीज़ बताओ, 15 का अगर मैं सोचना चाहूँ कि 15 किस के बीच में लाई करेगा, तो आपको पता है 15 लाई करेगा, 8 और 16 के बीच में, हाँ सर, 8 और 16 के बीच में, सर 8 को हम क्या लिख सकते हैं, मैंने कहा 8 को 2 का cube लिख सकते हैं, ये कितना है 15 है और ये कितना है 2 की पावर 4 अब आपको पता है ये 15 की value हमने बच्चा कितने निकाली है ये भाई साब हमने 2 की पावर L निकाली है मतलब 2 का cube less than 2 की पावर L क्योंकि देखो 15 की value 2 की पावर L है और ये है 2 की पावर 4 तो देखो भाई एक आप idea लगा सकते हो समझे न एक idea लगा सकते हो एक अनुमान लगा सकते हो कि जो L होगा न ये देखो 3 से 4 के बीच में होगा बिल्कुल सही बात है, L जो है, देखो, 3 के 4 के बीच में होगा, तो देखो, इसमें आप दिक्कत ना फील करना, मैं फिर से बोल दे रहा हूँ, लॉग 2, 15 दिया था L, A ढूंडा, N ढूंडा, सड्डे नाल लगाया, फिर 15 equal to 2 की power L आया, तो हमें पता है, 15 किस के बीच में लाई कर रहा था, 15, 8 और 16 के बीच में लाई कर रहा था, 15, 2 की power L होता है, हमने 15 को लिख दिया क्या, हमने 15 को लिख दिया 2 की पावर L, और 8 होता है 2 का क्यूब, और यह होता है 2 की पावर 4, तो आप एक आइडिया, एक अनुमान लगा सकते हो, कि यह जो L है, यह जो भाई साब L है, यह L क्या होगा, मैंने कहा L होगा 3 से 4 के बीच में, लाई कर रहा होगा, एक भाई अनुमान लगा दिया है, with a dil, मैं समझ जाओंगा आपको ये अनुमान समझ में आ गया है, एक approximation कर दिया है, तो देखो बस मैं ये कहना चाहता हूँ, कि भाई साब, अगर आपको A और ये fix दिया हुआ है, तो बाई इसकी सिर्फ एक value आएगी, अब एक चीज बताओ, L3 से 4 के बीच में lie कर रहा होगा, क्या lie कर रहा होगा, exact हमको नहीं पता, लेकिन अगर for example, मैं कुछ ऐसा मान लूँ, for example, किसी तरह, किसी हमने calculator से, या फिर किसी instrument की help से या तो रात में भाई साब एक परी आई उसने बता दिया कि बाई L की value मानो की कुछ 3.9 आ रही थी मतलब भाई assume किया है ध्यान रखना ये आ रही होगी कि नहीं आ रही होगी मुझको नहीं पता ये किसी को नहीं पता लेकिन हाँ मशीनों को पता है तो calculator की help से Google की help से मैंने पता लगाया है कि L इतना आ रहा है तो ये ध्यान रखना इसका value आप किसी भी calculator से निकालो कोई भी निकाले, चाहे Apple से निकाले, कोई Nokia से निकाले, कोई Samsung से निकाले, कोई MI से निकाले, कोई Vivo से निकाले, किसी के भी calculator से answer निकालोगे, तो वो same ही आएगी, मेरी बात समझ में आ रही है, तो देखो जितना मैंने बकवास कर दिया, मैं बस इतना बोलना चाहता था, पहला log meaningful कब है, ये चीजें आपको हमेशा ध्यान रखनी है, और अगर n और a fix हैं, तो इसकी multiple value कभी नहीं आएगी, बस मैं ये गहना चाहता हूँ, इसकी एक ही value आएगी, वो unique value होगी, इकलावती value होगी, और यहाँ पर मैंने देखो, एक आ मैंने क्या idea लेना सिखा दिया, idea लेना सिखा दिया कि log215L है, तो देखो compare करके मैंने बता दिया, कि L देखो 3-4 के बीच में कोई value ले रहा होगा, कोई एक value 3-4 के बीच में ले रहा होगा, क्या ले रहा होगा, वो भाईया हम नहीं बता पाएंगे, ये human के tendency से, human की capability से एकदम अलग चीज है, लेकिन अगर किसी instrument के दुआरा या फिर किसी के दुआरा निकालोगे, तो भाई इसकी 3 से 4 में मानो कोई ना कोई value आ रही होगी, मैंने assume कर लिया, मानो 3.9 आ रही थी, अगर किसी तरह हमने किसी एक चीज से सही निकाल लिया, तो हर machine से इसकी वही value है, गि different value नहीं आ सकती, मतलब unique value होती है, ऐसा नहीं हो सकता कि एक मैंने log का question दिया, चंगू कहता L equals to log n n equals to a की power L ये पता होना चाहिए दूसरा ये पता होना चाहिए बाकी सब ऐसी की तैसी तो पढ़ाए क्यों हो आइडिया देने के लिए जिसमें कि आप भोकाली बाबा बन सको ठीक है सर और बताओ सर मैंने कहा भाई साब जैसे ये सवाल आता है आपसे बोला गया कि log to the base x 2x-1 meaningful है, तो इसका x बताओ, ठीक है सर, तो देखो आप इसको कैसे करोगे, आप compare करोगे तो पता है, n का value कितना है, 2x-1, a का value कितना है, x, तो आपको पता है, आपको ये चीज बहुत बढ़िया से पता है, कि ये जो n है, वो होना चाहिए greater than 0, n होना चाहिए greater than 0, मैंने कहा, sir, यह जो a लिखा हुआ है, यह होना चाहिए greater than 0, अब देखो, a का value x है, मतलब x होना चाहिए greater than 0, next क्या है, मैंने next बोला कि a का value 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, यानि कि x भाईया 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, मैंने कहा, ok, sir, यह देखो, दो conditions आ गई हैं, और तीसरा जैसे, भाईसा, मैंने यह green वाले को solve किया, तो x का value, देखो, half से बड़ा आ गया, ओके सर अब जरा यहाँ पे ध्यान देना यहाँ पे ध्यान देना x आ रहा है greater than half x आ रहा है greater than zero और x वन के बराबर नहीं होना चाहिए आपको इन pinkie ओं का क्या लेना होगा intersection तो देखो after intersection हमारा final answer क्या आएगा intersection लेना बच्चों मैंने सिखाया हुआ है कृपिया मेरी हाथ जोड़के गुजारिश है वह या बस करो प्लीज बस करो और ये आपको क्या करना है, intersection लेके answer लिख देना है, तो देखो x greater than half है, x greater than 0 है, मतलब x क्या होना चाहिए, greater than half होना चाहिए, लेकिन इसकी value भाई 1 नहीं हो सकती, इसलिए 1 हटाएंगे, एक तो भाई साब लिखने का तरीका ये है, और देखो दूसरा तरीका क्या इसको लि� देख लो बाई, दोनों आंसर सेम है, आपको option कैसा भी दिख सकता है, मतलब देखो, दो type के सवाल हम लोग कर चुके हैं, पहला type क्या था, सर पहला type था ये वाला, कौन वाला type था, मैंने का, जो लोग property से भी करेंगे, पहला type था ये वाला, कि L equals to log to 16 दिया हुआ है, तो L की value ठीक है सर और चीजें बताओ चलो भाई और चीजें बताता है अब देखो भाई दो टाइप की होते हैं लॉक कैसे एक होता है भाई कॉमन लॉक ठीक है सर एक होता है कॉमन लॉक तो कहीं पे भाई कॉमन लॉक का मतलब क्या होता है बेस इस टेन उस टाइम भाई साब लॉक का बिल्कुल सही बात है तो देखो इसको आप लिखते कैसे हो जैसे मैंने लिखा log x अब इसमें देखो कुछ लोग रो सकते हैं अरे यार base नहीं दिया यार बेस नहीं दिया तो हम कहेंगे देखो बाई जब base ना दिया जाए वैसे सवालों में ठीक है सर, जनरली बच्चों जो base 10 होता है, जनरली मैं बात कर रहा हूँ, ये physics chemistry में base 10 use होता है, ठीक है न, physics और chemistry में common log use होता है, जैसे कि pH value निकालते होगे, तुम लोगों ने निकाला होगा, pH कैसे निकाला होगा, minus log of hydrogen ion concentration, जितने लोग को याद है तो बहा कमेंट कर देना, natural lock कहते हैं, ठीक है सर, अब देखो भाई, ये natural lock क्या होता है, natural lock का मतलब होता है, base is E, base is E, ठीक E क्या होता है, E होता है भी या, Napier's constant, इनी की respect में इसका नाम दिया गया है, Napier's constant, ठीक कुछ लोग इसे Napierian base भी कहते हैं, ठीक चाहे इसको बच्चा पार्टी नेपेरियन बेस बूलो ठीक है ओके सर ये दोनों चीज बोल सकते हो ये नेपियर बाबा जॉन नेपियर बाबा के रिस्पेक्ट में ऐसा काम किया गया है अब देखो भीया सवालों में कभी कवार देखो ऐसे लिख के आएगा सर कैसे जैसे लिख के आएगा बच्चा पार्टी LNX तो LNX का मतलब क्या है Log to the base EX ठीक है लॉ एलनेक्स लिखा है मतलब बेस इ है इसका मतलब यह होता है और जनरली यह जो बच्चा जो लॉग होता है ना यह जो नैचुरल लॉग होता है यह हम लोग भाई मैस में यूज करते हैं ठीक है जनरली आपका जो ग्राब भी बनाते हैं एलनेक्स का बनाते हैं डिफरेंट यह जो E होता है इसका approximate value होता है 2.71 ठीक है बच्चा पाट्टी जैसे पाई का 3.14 होता है जो पाई होता है वैसे यह E होता है 2.71 approximate ठीक है सर next चीज बताओ सर अब आती है बच्चा पार्टी, properties of logarithm, क्या-क्या log की property होती है, ठीक है sir, अब देखो भाई, पहली property क्या आती है, पहली property भाई साब यह आती है, कि अगर मानो आपको दिया गया है, log to the base a, number दिया है n, ठीक है भाई, तो देखो इसमें एक property काम आती है, अब इसे ऐसे कर सकते हो, log to the log n, base मानो कुछ ले लिया alpha, और upon कर दिया log to the base alpha, और यहाँ पे a, देखो भाई, यह property पहले समझो, यह property याद होनी चाहिए, मतलब क्या करा, हमने इसे एक तरह से लिख दिया, लोग n, मतलब n उपर था न, मतलब यह number था न, log n upon log a कर दिया, और देखो alpha any base हो सकता है, तो alpha is any base, लेकिन हाँ ये बेज हमें तमीज में लेना है तमीज का मतलब क्या है, alpha greater than 0 होना चाहिए, और alpha 1 नहीं होना चाहिए, इसका हमें ध्यान रखना, यह नहीं कि minus 2 base लेके आपने सवाल कर दिया, जो base है मेरे बच्चे, base हमेशा क्या होना चाहिए, इस वाले rule को follow करना चाहिए, कि जो n है, n greater than 0 होना चाहिए, अब यहाँ देखके कुछ लोग सिर्फ a greater than 0 बोल सकते हैं, यहाँ पे कुछ लोग देखके a greater than 0 बोल सकते हैं, क्योंकि अब यहाँ पे इसका behavior देखो number जैसा हो गया है, लेकिन ध्यान रखना कि यह असली क्या है, इनका background क्या है, यह भाई सा बन नहीं हो सकता, simple जा rule, जितनी भी कहानी मैंने सुना दी, log a n होता है, log a n, और upon, sorry, log alpha n upon log alpha a, log उपर वाला, इसको मैं उपर वाला बोल देता हूँ, time being n को, और a को बोल देता हूँ, नीचे वाला, log n upon log a, और base आपको क्या रखना है बच्चा पाटी, alpha रखना है, I love you all, ठीक है sir. और बताओ सर और बताओ अब देखो भाई इसको हम लोग प्रूव करने का प्रयास करते हैं ठीक है सर चलो प्रूव करते हैं तो भाई इसका देखो हम लोग प्रूव कैसे करेंगे प्रूव जरूर करो ठीक है रफ्तार है यार चीज बताएंगे चिंता मत करो तो देखो भाई अब प्रूव कैसे होगा हम लोग ऐसा करते हैं बच्चा बादी लॉग ए एकदम सही सर, LHS को माना हमने L, अब पता है आपको कि दूसरा coexistence होता है, सड्डे नाल, होए, होए, सड्डे नाल, मेरी बात clear है, तो ये log कह रहा है, उससे सड्डे नाल रहोगे तो, एश करोगे, N equals to A की power L हो गया है, ठीक है सर, next चीज बताओ, मैंने कह यार, ऐसा करो, क्या एलफा की पावर एलवन हो जाएगा, बिलकुल सही, इसके बाद जरा सर एक और चीज बताओ, नेक्स चीज देखो भाई, अगर कोई बोलेगा, लॉक एलफा ए, जो इसका डिनोमिनेटर है, उसको अगर एलटू मानेंगे, तो देखो, ए इकॉल्स टू क्या हो जाएगा, एलफा की पावर एलटू, एकदम सही मामला है, और मामला एकदम अच्छा बाटी, कूल है, ठीक है सर, अब बताओ सर, अब देखो बाई एक तरह से तुम्हें proof क्या करना है, ये जो बच्चा जो सारी questions, जितने भी questions में देखो आपको proof क्या करना है, एक तरह से देखो बाई, to prove बचा क्या, to prove बच्चा party बचा, कि ये वाली चीज क्या है, L है, ये वाली चीज क्या है, बाकी चाहे कुछ भी किया जाए अब यहाँ पे ज़रा ध्यान देना मैंने भाई साफ ना इन तीनों से बहुत ज़्यादा प्रेम जोड़के रखा हुआ है इन तीनों से क्योंकि भाई प्रेम हमारा यही है क्योंकि सड्डे नाल रहोगे तो एश करोगे मैंने बोला है ना जिन्दिगी के सारे मचे कैश करोगे आप क्या करोगे चीज है यह दोनों देखो बराबर है एनेन इनेक्वेट कर दो एकी पावर एल एकुल टू एलफा की पावर एल वन ठीक है सर नेक्स चीज Sir, यह जो आपको दिया है, यह alpha की power L2, यह दिया है, बिल्कुल सही, इसको यहाँ पे जाके, एकी जगा put कर दो, बहुत है, Sir, जैसे इसको आप put करोगे, तो देखो कितना आजाएगा, alpha की power L2, यह जाएगा alpha की power L2, ठीक है यह देखो, एकी value सिर्फ मैंने put करी, एकी value put करी, alpha की power L2, एकी value, doubt है, please somebody help, doubt है, put करो, alpha की power L2, बाहर है L equals to alpha की power L1 ओके सर अब बताओ power क्या होती है multiply हो जाती है ठीक है power multiply हो जाती है तो alpha की power L into L2 जो है यह दोखो point का मतलब multiplication है यह आजाएगा भाई साब L2 अब क्योंकि भाई base same है बिल्कुल सही बात है क्योंकि सर base same है और मेरे को base पसंद है यानि power same होनी चाहिए यानि कि सर L into L2 क्या होना चाहिए L1 ठीक है भाई, power देखो, same होनी चाहिए, इसका मतलब क्या है, सर ये L की value आ जाएगी, L1 upon L2, एकदम सत्य वचन है, जो L है, इसकी value आ जाएगी, L1 upon L2, I hope, hence proved हो चुका है, जो आपको prove करना था, अब देखो, बहुत से बच्चे कहेंगे, सर क्या prove important है, मैं कहूंगा नहीं, प्रूफ समझ में आ गया, मेरे लिए काफी है, finally जो सवालों में काम आएगा, और आपको देखो सवाल करना ही सीखना है, तो हमेशा question solving mode में रहना है, तो भाई साब हम लोग क्या करेंगे, हमेशा हम लोग first चीज को भाईया, यह जो formula है, यह हम लोग याद करेंगे, इसको याद रखना है, question में यही काम आएगा, ओके सर, अब देखो बच्चा पार्टी, नेक्स्ट चीज क्या आती है नेक्स्ट चीज दो तो आती है वो जैसे मैंने आप से बोल दिया मेरे क्यूट से बच्चों मैंने एलफा वन अपन एलफा तो देखो इसको मैं पढ़ता हूं लॉक सीधा उल्टा मतलब जो यहां पर दिया है उसी का देखो रेसिप्रोकल दिया है सही बात है ना नंबर की जगह क्या है भाई साहब देखो रेसिप्रोकल है तो देखो इसकी वैल्यू जाती तो देखो नंबर होगा वन बाई एलफा बिल्कुल सही ठीक है क्या है एलफा फिर से गाना आपको मैंने कोई शौक नहीं है, मैं सारी चीज़ें आपके दिल दिमाग में एकदम गुसेडना चाहता हूँ, तो यह ध्यान रखो, n equals to जैसे a की power l करोगे, यह मानो इसकी value है l, तो देख लो, एनपूट करो, 1 by alpha equals to alpha की power l, और solve करोगे, तो देखो alpha की power minus 1 जो है, L will equal to minus 1, सबी ने सोच लिया होगा, तो देखो, finally देखो, जो conclusion निकला है, अगर सवाल आप बहुत जल्दी करना चाहते हो, तो ये चिदल दिमाग में ध्यान रखना, कभी भी log of सीधा उल्टा पूछा जाए, तो उसका answer हमेशा कितना होता है, minus 1, आपको directly लिख देना, meaningful चीजे हमेशा ध्यान रखनी है, कि meaningful क्या, कि base कभी 1 नहीं होना चाहिए, और positive रहना चाहिए, log में ये सारी चीजें भाई साब define होनी चाहिए अब जैसे भाई साब मैं example की बात करता हूँ ठीक है sir example की बात करता हूँ मानो किसी ने आपसे सवाल पूछ लिया पूछ लिया चलो बेटा जल्दी निकालो log 3 1 by 3 minus 1 और ऐसा कब होगा ध्यान से सुनना जब reciprocal लिखे हो log 1 by 3 और 3 तब भी answer क्या होता, minus 1 ही होता, ठीक, अब ये pattern ना बना लेना, कि यहाँ पे हमेशा one upon something होगा, ना बेटा, हमेशा आपको एक चीज़ ध्यान रखनी है, हमेशा देखो एक चीज़ ध्यान रखनी है, कि होगा क्या, सर देखो, होगा, lock और ये दोने एक दुसरे के reciprocal दिये हों� अब देखते हैं बच्चों हम लोग next property ये बहुत जादा important property है जैसे भाई साब आपको अगर कहीं दिया हुआ है log a n1 plus मानो इसमें कर दिया गया log a n2 और इसका देखो value कितना आता है ये बच्चा party आता है log a n1 into n2 ये इसका value आता है ठीक है सर ठीक है सर अब देखो भाई साब इसमें यह जो प्रॉपर्टी इसमें देखो क्या चीज जरूरी होती है कि भाई देखो सबके बेस देखो सेम होने चाहिए जब बेस सेम है तभी आप दोनों को क्या कर पाते हो एड कर पाते हो तो देखो जैसे आपने इन दोनों को यह अभी आप इसको पिलकुल याद कर लो दिल-दिमाग में बसा लो विकस आगे चलकर इसका यूज बच्चा पार्टी कैलकुलस में भी होगा उसके बाद में इसका यूज प्रिगो में भी कोई ऐसा सवाल हो सकता है जो लॉक के साथ मिक्स आ जाए ठीक है वाले वह लॉक के मिक्स के आ सकते हैं तो देखो बच्चा बार यह हम लोग क्या करेंगे अब हम लोग इसका बच्चा प्रूव करेंगे अब देखो ये कैसे proof होगा हम लोग देखो क्या करते हैं ये जो दिया है पहला वाला log a n1 इसको ले लेते हैं l1 जो ये दिया है दूसरा वाला log a n2 इसको ले लेते हैं बच्चा पार्टी l2 अब आपको याद है मैंने क्या बोला था सड़े नाल रहोगे तो एश करोगे ठीक है भाई, तो देखो इसका अंसर क्या आएगा, N1 equals to A की power L1, इसका अंसर क्या आएगा, N2 equals to A की power L2, ठीक है सर, अब जरा बच्चा बाटी एक चीज़ ध्यान देना, हाँ सर बताईए सर क्या ध्यान दिया जाए, मैंने कहा इसका करो इन दोनों को multiply कर दो, जैसे इसको multiply करोगे क्या जाएगा n1 into n2 देखो ये एक नया number आएगा मेरे cute से बच्चे हों देखो नया number आएगा मानो n आगिया और आपको पता है n1 into n2 product होगा तो यहाँ पे क्या आएगा a की power l1 into a की power l2 बिलकुल सही बात है आपने multiply किया n1 into n2 a की power l1 into a की power l2 अब देखो जैसे इसको आप और simplify करोगे you will get n1 into n2 जो एक नया number हमने assume कर लिया है बच्चा, capital N, और यहाँ देखो power add हो जाएगी, ठीक है, अब जरा बच्चा बाटी एक चीज देखे ना, मैंने क्या करा, मैंने देखो n1 into n2 को assume कर लिया है n, ठीक है, और ऐसे ही देखो मैं क्या करने वाला हूँ, ये जो दिया हुआ है l1 plus l2, बिल्कुल सही बात है, ये जो दिया हुआ है l1 plus l2, इसको मान लेते हैं a की power l, ठीक है सर, तो देखो यार एक चीज आप समझ गए होगे, ये समझ गए होगे, बस आप इतना देखना, बस इतने में गौर फर्माईयेगा कि n equals to क्या लिखा हुआ है a की power l, इसको भूल जाना, इसको भूल जाना, इसको भूल जाना, जहां पर सफेत किया है, ये क्या लिखा equals to L के साथ, मैंने कहा, हाँ भाई साथ, coexistence इसके साथ होता है, अब एक चीज बता, यहाँ पे देखा जाएं, n की value कितनी है, n1, n2, हरे हरे देखो, बिल्कुल सही, तो इसको लिख सकता हूँ सर मैं, log a, 1 into N2, बिल्कुल सही, equal to क्या दिया हुआ है, equal to L दिया हुआ है, और देखो, L है क्या, Pinky को देखो, L क्या है, L है sir, L1 plus L2, बिल्कुल सही, अब देख लो बच्चा पार्टी, हम लोग देखो, क्या करने वाले है, सिंपल सी चीज़े, L1 की value कितनी है, देखो, L1 की value है, log A and 1, L2 की value क्या है, log A and 2, तो I'm sorry, ठीक है space cover कर लेता हूँ तो देखो इससे you will get log a n1 into n2 equals to l1 की value log a n1 हाँ सर, log a n1 एकदम सही, और plus कितना हो जाएगा, log a n2, सर, proof कर लिया, हाँ बिटा, हमने proof कर लिया, कि log a n1 n2 जो है, उसकी value होती है, log a n1 plus log a n2, कि यह बोला मैंने हां सही बोल दिया देखो बच्चा टीपस में एक चीज आपसे बोलना चाहता हूं कि आपको यह याद होनी चाहिए प्रूफ आपको समझ में आ गया होगा लेकिन इसमें यह दिन-रात बर्बात कर इसको प्रूव करते रहो इसका चीज यह आती है कि अगर कहीं आपको दिया है लॉग ए एन वन अ इसमें सब्ट्रैक करने को कहा गया लॉग ए एंड टू तो देखो ये क्या होता है इस वाले केस में ये नमबर्स आपस में डिवाइड हो जाते हैं ठीक है सर हाँ बिटा ये आपस में डिवाइड हो जाते हैं मैं log a n1 को मान लेता हूँ l1 ठीक है सर log a n2 को क्या मान लेता हूँ इसको मान लेता हूँ बच्चा पार्टी l2 ठीक है सर, अब ऐसा करता हूँ बच्चा पाटी, यहाँ पे सड्डे नाल वाला रूल लगाता हूँ, तो देखो आपको पता है कि उपर जैसे सड्डे नाल रूल लगेगा, तो देखो N1 equals to A की power L1, और यहाँ पे जो N2 होगा, वो होगा N2 equals to A की power L2, ठीक है सर, अब देखो तो n1 अपन जब आप n2 की value निकालोगे, तो आपको पता है this will equal to a की power l1 अपन क्या हो जाएगा, a की power l2, यह हो जाएगा a की power l1 minus l2, ठीक है सर, अब जरा यहाँ पे ध्यान देना, मैं ऐसा करता हूँ, यह जो आपको दिया हुआ है n1 upon n2, इसको मान लेता हूँ n, एकदम सही ठीक है, मतलब भाई इसको n माना है, और ये जो चीज आपको दी गई थी, ये मैंने क्या माना है मेरे cute से बच्चों, l, अब आपको पता है कि यहाँ पे क्या लग रहा है, सडडे नाल लग रहा है, इसका मतलब ये है सर, कि जो l है, इसकी value होगी log a n, एकदम सही, अब आप द नीचे यहाँ substitute किया, equal to क्या है बच्चा पार्टी, equal to है a की power l, मैंने सही लिखा है, ने नी, sorry, यह नीचे देख रहा हूँ, और यह दिया है log a n, n है n1 upon n2, तो यह आजाएगा भाई साहब, log a, एन वन अपन कितना हो जाएगा बच्चा पार्टी एन टू एकदम सही अब देख लो भाई साफ आपको समझ में आ गया है क्या समझ में आ गया है कि इसका अंसर यही होगा, L1 minus L2, अब देख लो भाई साब, यह L1 minus L2 क्या है, L1 है, log AN1, put कर दो, तो यह आजाएगा भाई साब, log AN1, बहुत ध्यान से देखना, मैंने क्या किया है भाई, log AN1 जो है, देखो मैंने इसकी जगह put किया है, जिसको मैं curly bracket से कर रहा हूँ, यह जो L2 दिया गया है, minus A, sorry, minus log A and 2, ये देखो बच्चा पार्टी कुछ ना कुछ ऐसा हो जाए, मतलब भाई देखो hence proved हो चुका है, ठीक है अब तुम्हें समझ में आया तो भी ठीक नहीं समझ में आया तो भी ठीक आपको बस ये formula याद होना चाहिए वैसे तो और भी हैं कुछ लोग इसे base change theorem भी कहते हैं हमें भाईया इसका feel होना चाहिए कि ये चीज है क्या और सवालों में कैसे use करना है उसकी बच्चा पार्टी हम लोग को देखो प्रैक्टिस करनी है यह जो आपको दिया हुआ है ठीक है नेक्स्ट चीज अगर देखोगे तो देखो यह चीज आपको पता होनी चाहिए कि यह जो चीज है इसकी वेल्यू कितनी होती है देखो माइनस वन होती है जब भी कभी रे ठीक है तो देखो बच्चा पाटी क्या एग्जाम्पल है देखो बाइं की यूज़ बस में दिखा देता हूं जैसे भाई ऐसा कुछ मैंने कर दिया मैंने आपसे पूछ लिया कि भाई आपको निकालना है फाइंड ठीक है सर फाइंड पहला मैंने बोला लॉक टू दा बेस ठीक है इतना अब यहां पर जरह ध्यान देना अब आप यहां देख रहे हो दोनों के बेस सेम है इसका मतलब कि आप इसको ऐसे लिख सकते हो लॉग टू द बेस थ्री ही लिखना है और यह हो जाएगा एन वन अपॉन एन टू एकदम सही यह हो जाएगा एन वन अपॉन एन टू तो यह हो जाएगा लॉग टू द बेस थ्री और नंबर होगा टू बस यहीं पर छोड़ देना ठीक है इसके नेक्स्ट चीज आती बच्चा पार्टी, अगर मैं आपसे इसी में एक्जांपल करा लूँ, कि अगर आपको दिया होता है लॉक 3 4, प्लस दिया होता है बच्चा पार्टी लॉक 3 2, तो आपको बता है क्या होगा, बेस रहेगा बच्चा पार्टी 3, और ये नंबर उपर क्य अब इसी प्रकार भाई साब आपको बस यही ध्यान रखना है कि अगर base भाई साब different हुआ तो यह property काम नहीं करेगी ठीक है और base same हुआ तब ही property काम करेगी यहाँ 5 ए 3 की जग़े तो यहाँ भी 5 होना चाहिए आपको बच्चा पार्टी सबको समझ में आ रहा होगा जै बाबा की अब देखो भाई साब next चीज आती है देखो भाई 5th property की आती है 5th property बच्चा पार्टी यह आती है कि अगर कभी मैं बोल दूँ एक ही power log a n ठीक है, एक ही power, power में लिखा हुआ है बच्चा log n, तो देखो इसका answer क्या होता है बच्चा बार्टी, सिर्फ और सिर्फ देखो n होता है, अब यहाँ पर जरा ध्यान दो भाई, यह जो चीज है न, यह चीज भाई साफ, एजिटे ज्याद होनी चाहिए, क्योंकि सवालों में यह सारी चीजें यूज होंगी, अब यहाँ पर ध्यान देना, इसका proof करना है, तो देखो एक बर मैं फिर से बोल रहा हूँ, वैसे मैंने यहाँ पे base में तो a positive होना चाहिए लेकिन a1 नहीं हो सकता तब ही log बच्चा meaningful होगा तो यह देखो हर सवाल के लिए valid है आपको अपने math के संसकार एकड़म top level के रखने है मतलब कभी भी log आ जाए तो आपको यह ध्यान देना है कि यह कब meaningful है और यह कब meaningless है जैबावा की तो देखो बच्चा पाटी क्या proof आता है कि भाई देखो अगर मैं अब अब से बोल दू log a n को मान लू l एकदम सही, एकदम सही, अगर लॉग ए एन ये जो बच्चा पावर दिया हुआ है, इसको मैं मान लूँ L, इसका मतलब होता है, N एकवॉल्स टू, A की पावर L, बिल्कुल सही n equals to a की power l ठीक है सर अब जरा यहाँ पे ध्यान देना ठीक है अब भाई उपर जरा lhs उठाओ ठीक है सर आपने already जब आपने इसको ऐसे मान लिया log a n को l मान लिया तो सर मुझको पता है n तो a की power l के बराबर हो जाएगा अब सर इसका lhs उठाते हैं a की power log a n देखो l हो जाएगा अब आपको पता है a की power l होता क्या है सर ये तो n होता है कहां से यहां से और वही तो proof करना है hence proved तो देखो कुछ लोगों लगा है जटका लगा होगा यह कैसे प्रूफ हो गया लेकिन भाई प्रूफ हो गया शांती मन से सोचना यही प्रूफ है इट्स ओवर लेकिन आपको चीज ध्यान रखनी है कि यह चीज आपको याद होनी चाहिए कोई सवालों में यूज़ होगा ब तो देखो आप देखो दोनों base same है overall base भी 2 है और साथ में log का base भी 2 है तो इसका answer क्या हो जाएगा इसका answer हो जाएगा बच्चा पार्टी 7 इतना करा डाला life क्या हो जाएगी बच्चा पार्टी जिंगा लाला ठीक है sir और बताओ अब आती देखो next property next property बच्चा पार्टी अक्सर लोग ना गलत पढ़ लेते हैं ठीक है next property अक्सर तो देखो क्या है अब देखो भाई next property क्या है कि अगर आपको मैं बोल दूं lock to the base a x की power n ठीक है भाई ठीक है यह लिखा हुआ है तो देखो आपको ध्यान क्या रखना है लोग इसे गलत पढ़ लेते हैं आप लोग लिख दोगे n into log ax आप लोग बच्चा पार्टी ऐसा कुछ लिख लोगे जो की भाई गलत होता है ठीक है तो भाई जितने लोगों ने यही पढ़ा हुआ है गलत क्या ध्यान देना है अगर बच्चा पार्टी n होता है odd सही property यह है अगर n होता है odd तब इसका answer आता है देखो यह जो n होता है यह देखो आगे multiply हो जाता है n log a x हो जाता है पूरे log से multiply हो जाती यह जो power है यह पावर किसकी बेटा यह पूरे log की पावर नहीं है और देखो n जब होता है देख लो माया यही पर आती है, क्या माया आती है, कि जब आप n को आगे लेके जाओगे, तो यह हो जाएगा log a mod x, तो यहाँ पे mod लग जाता है, यह भाई साब देखो, सही property है, यह भाई साब सही property है, इसके बारे में जादा मत सोचना, यह दिल में आती है, समझ में नहीं, तीके अगर कोई fraction में तब तो बच्चा पाटी कोई भी दिक्कत नहीं है लेकिन भाई इसको ऐसे ही लिखा जाता है जैसे देखो भाई यह सवाल आता है इसको मैं prove नहीं कर रहा हूँ कोई जुरत नहीं है जैसे log मैंने आपको बोल दिया कि देखो सवाल दे दिया आपको x का value निकालन such that, आपको क्या बोला गया है, पहले part में, आपसे मैंने बोल दिया, log to the base 2, ठीक है, बहुत ध्यान से सुनियेगा, यहाँ पे बोल दिया, x की power 4, ध्यान देना बच्चा, यह x की power है, पूरे log की power नहीं है, ठीक है, equal to कुछ मैंने दे दिया, आ, क्या दे दू, क्या दे दू, 2 दे दिया, ठीक है, आ, सर, यह पूरे की value क्या है, इस पूरे log की value है, 2, तो देखो बच्चा मार्टी इसको हम लोग कैसे करेंगे इसको देखो ऐसे करेंगे हम लोग ऐसा करते हैं कुछ ये जो आपको दिया हुआ है x की power 4 इसको मान लेते हैं n ठीक है a क्या है 2 l का value कितना दिया है देखो 2 तो देखो हमेशा सडे नाल रहोगे तो ऐसे करोगे तो देखो भी यह 4 आगे multiply होगा 4 into log to the base 2 mod x, ठीक है equal to कितना हो जाएगा, 2, अब यहाँ पे ध्यान देखना, इसका मतलब क्या है, sir, log to the base 2 mod x, ठीक है, यहाँ पे ध्यान दो, तो यह जो 4 है यहाँ पे divide होगा, तो यह कितना आ जाएगा, एकदम सही अब भाई साब जरा यहाँ पे ध्यान देना सर कहाँ पे ध्यान देना है देखो यहाँ पे ध्यान देना है आपको कि जो A है वो होगा 2 बिलकुल सही जो N है वो होगा mod x बहुत सही जो L है L होगा half एकदम सही आप लगाओगे बच्चा पार्टी सड्डे नाल तो देखो mod x जो है इसकी value हो जाएगी A की power L अब आपको पता है mod कैसे हटता है mod हटता है plus minus तो x आ जाएगा plus minus ये दिया हुआ है root 2, लेकिन लोग भाई साप अक्सर इसमें mistake कर देते हैं, इसमें बता अक्सर क्या mistake कर देते हैं, अक्सर ये mistake कर देते हैं, mod नहीं लगाते हैं, तो उनका answer सिर्फ plus आ रहा होता है root 2, तो बच्चा टीक बहुत ध्यान से देखना, ठीक है, plus minus root 2, और यही इसके answer, इसके 2 answer आते हैं, ठीक है बच्चा, अब आप चाहो, तो देखो आप यहाँ पर check कर सकते हो, क्या check कर सकते हो, यहाँ पर root 2 अगर आप put कर दो, plus minus root 2 put कर दो, दोनों से answer आजाएगा, ठीक है, चाहे minus करो, चाहे plus करो, x की power 4 तो उसे positive बनाई देगा, अगर अब तक यह mistake करते आए हो, अब देख लो बच्चा बाटी, इसी में अगर second चीज मैं पूछ लूँ, कि आपको मैं बोल दू, log to the base 2 x का q, ठीक है सर, यह दिया हुआ है आपको कुछ 2, फिर से देखो आपको x निकालना है, सर कैसे निकालेंगे, simple क्या है, 3 को देखो आगे ले जाओ, तो देखो जैसे आप 3 को आगे ले जाओगे, यह आजाएगा log to the base 2 x equal to कितना होगा, 2, यानि जो log to the base 2, जो x होगा, यह आजाएगा 2 by 3, अब भाई compare कर दो, n की value कितनी है x, यहाँ पे भाई mod मत लगा देना, तो आप पाप के भागेदारी बन जाओगे, यह सिर्फ even power में होता है, तो देखो यहाँ पे x आ जाएगा n, a आ जाएगा भाई साथ 2, और l आ जाएगा कितना 2 by 3, यानि सर इसका मतलब क्या है, मैंने का coexist यही आंसर हो अब देखो भाई और भी प्रॉपर्टी देखते हैं ठीक है प्रूफ थोड़ा बहुत मैंने आपको फील दे दिया और से ज्यादा कोई लेने की तो देखो भाई जैसे next चीज मैं बोलता हूँ next चीज कितनी property हो गई मेरे कहाल से ज़रा कमेंट करो यार दिलाओ कितनी property हो गई 6 हो गई ना अब आती देखो बच्चा पाटी साथवी property ठीक है सर next property देखते हैं अब देखो बच्चा पाटी साथवी property क्या है कि अब क यह जो power होती reciprocal होके सामने आती है मतलब 1 by n यह होता है log a mod x ध्यान देना यही आपकी mistake है क्योंकि आपको यह चीज़ पता ही नहीं थी किसी ने बताये नहीं यह तब होता है जब n even होता है देखो मैंने गलत लिख दिया है power किस से गई है तो यहाँ देखो mod a आजाएगा यहाँ पे आजाएगा x एकदम सही लेकिन यह कब होगा जब n होगा even अगर भाई साब n odd है तो यह हो जाएगा 1 by n यहाँ जाएगा lock अब देखो किसी भी mod odd की जरूरत नहीं है तो इससे n जो है n हो जाएगा odd बिलकुल सही भाई बिलकुल सही मतलब अगर n odd है तो mod की कोई जरूरत नहीं है और अगर even है तो mod की जरूरत है तो यह भी देखो important property मुझे पता है maximum लोगों ने मुझे यह चीज पता है कि भाई साब mod वाली concept पहली बार देख रहा हूँगे तो इस बात का आपको ध्यान रखना है ये सारी properties आपको क्या करना है जैसा मैंने last lecture में आपको याद होगा जब आखरी में thank you slide चल रही थी thank you slide के time मैंने आपको बताया था कि आप एक flash pad बना लो एक बच्चा पाटी आप लोग pocket diary बना लो उस pocket diary में सारे important formula please लिख लो मैं आपसे request करता हूँ अगर आप रोज देखते हो नियमित रूप से हाँ, खुब सारे फॉर्मले हो जाएंगे, तो भाई साब जब आपकी मन्जिलें इतनी जिद्दी हैं, तो आपकी जो होसले भी तो जिद्दी होने चाहिए, तो आपको क्या करना है मेरे बच्चों, आपको वो सारे के सारे फ्ल ठीक है सर, अब आती देखो बच्चा पार्टी, next property आती, हमने कौन-कौन सी कर ली, हमने sum वाली कर ली, difference वाली कर ली, मतलब subtraction वाली कर ली, even ought, power वाली खेली, उल्टा सीधा खेल लिया, और base change जिसे बोलते हैं, upon वाली भी हमने कर ली, अब देखो बच्चा पार्टी एक और चीज होती है, जब भी कभी, ठीक है ये property कोई new नहीं है, log मानो कुछ nn हो गया, मतलब देखो same same हो गया, तो देखो इसका value बच्चा पार्टी हमेशा 1 आता है, कैसे आता है कुछ लोग पूछ लेते हैं बताओ भाई कि ये कैसे आया बताओ भाई कि ये कैसे आया तो देखो भाई ये कैसे आता है ये देखो ऐसे आता है कि अगर आपको दिया है मानो log n n इसको मान लो l ठीक है base chain से भी लोग proof कर लेंगे ठीक है तो इसको proof करा दे रहा हूँ तो देखो n equals to अब देखो a का behavior n करेगा आप इसमें देखो सिर्फ sudden null property लगाओगे तो ऐसे ही पहुँच जाओगे तो आपको पता है ये n की power 1 equal to कितना लिखा हुआ n की यानि कि भाई देखो L की value कितनी लिखी होगी, L की value लिखी होगी 1, log nn हमेशा आता है 1, ये चीज़ आपको ध्यान रखनी है, मेरे cute से, सुन्दर से, बहुत ही ज़्यादा प्यारे से बच्चों, अब देख लो बच्चा पार्टी, next एक property और होती है, वो property ये होती है, A log, ठीक है और फिर क्या बोल दूँ मैं कुछ बोल दिया ए नहीं बोलता हूं ऐसा करता हूं मैं कुछ ऐसे कर देता हूं बी बोल देता हूं बी लॉक टू द बेस ए एन ऐसे लिख देता हूं clear है भाई, तो ये B log A N, clear है, तो देखो B की power दिया हुआ है आपको log A N, देख रहा हुआ है, बी की power दिया हुआ है आपको log A N, अब जरह यहाँ पे ध्यान देना, ठीक है, तो देखो ये change हो जाता है, clear है, ये आपस में interchange हो सकते हैं, तो देखो जैसे इनको आप आपस में interchange करोगे, तो देखो ये कुछ ऐसा आ जाता है, ये आ जाता है N, clear है भाई, N log, log to the base A, और ये B उपर चड़ जाता है, यह भाई साब देखो कुछ ऐसा आ जाता है यह चीज आपको दिल-दिमाग में एकदम बसा लेनी है यह कुछ ऐसा आ जाता है वह सर्व क्रिएटिविटी है ग्रीन की जगह लाल की जगह ग्रीन अक्षकुमार का मीम याद होकर ना ढूंढ ठीक है भाई तो देखो यह बहुत ही ज्यादा इंपोर्टेंट रॉबर्� किसी का proof करने का मन है तो चलो भाई proof इसको कर लेते हैं तो देखो भाई इसको हम लोग कैसे proof करेंगे तो देखो भाई या proof करने हम लोग क्या करते हैं सबसे पहले बच्चा पार्टी हम देखो LHS को उठा लेते हैं आपको ये बहुती सुन्दरता पूर्वक B की पावर जो बच्चा पार्टी लोग A N है ठीक है सर यह जो B की पावर लॉग A N है इसको हम लोग मान लेते हैं बच्चा पार्टी L ठीक है साथ ठीक है अब देखो हम लोग क्या करने वाले हैं हम लोग यह करने वाले हैं यह जो लिखा हुआ है हम लोग देखो इसमें सडे नार लगाते हैं हम इसको ऐसा करते हैं बहुत ध्यान से तो सवधानी हटी दुरगटना घटी तो यहाँ पे बहुत ध्यान से देखना इसको हम मान लेते हैं ए तो पहले से दिया है तो देखो इसमें हम लोग सड्डे नाल से इसको कंपेयर करते हैं यह एक तरह से देखो बेस है आपको पता है जो पावर होती है वो क्या होती है वो स इसे लिखा बच्चा पार्टी, बेस, इसे बेला मैंने, जो पावर होता है, वो होता है, लॉक, और ये बराबर आ गया, एल, चलो, might be शायद ऐसे आपको नहीं समझ में आ रहा हूँ, अगर ऐसे नहीं समझ में आ रहा है, तो ऐसा करता हूँ मैं, log ले लेता हूँ, both the sides, मतलब take log, मैं log ले ले रहा हूँ, both the sides, जब ln लेते हैं तो बहीया base e लेते हैं तो देखो मैंने log to the base जैसे जैसे यहाँ पे 10 लिया देखो you will get log b की power बहुत ध्यान से देखेगा यह आजाएगा log a n एकदम सही and this will equal to log of l ठीक है सर, अब एक चीज देखना, ये एक तरसे बताओ कौन सा form है, ये देखो b की power, देखो number का बच्चा है, देखो power दिया हुआ है, यानि की भाई ये देखो आगे आके multiply हो जाएगा, देखो जैसे आप बच्चा पढ़ती, इसको देखो आगे आके multiply करोगे, देखो आगे तो यहाँ पर मानो इवेन होता अगर मानो इवेन आता तो देखो यहाँ पर मॉड भी आ जाता आई होप सबको क्लियर होगा अगर यह ऑड हो जो पावर है यह अगर आउड होती तब तो डायरेक्ट यहां पर मल्टीप्लाई होता ईवेन होती तो यहां पर देखो मॉड आ जाता लेकिन आपको एक चीज पता है देखो लॉग बी लिखा हुआ है इसका मतलब बी पॉजिटिव रहा होगा तब ही तो यह हम लोग लिख और दोता तो मॉड नहीं आता कोई और डेसिमल वेल्यू होती तो भाई कुछ भी नहीं आता डेसिमल वेल्यू में डिरेक्ट मॉल्टिप्लाई कर सकते हो कोई भी भाई सा पंगा नहीं है तो या तो मॉड आता या तो नहीं आता इतना ही सोचो ज्यादा मत सोचना क्वेश्चन है तब सोचना यहीं पर अपनी सोच खराब मत कर लेना हमने क्या करा भाई यह इवेन और कुछ तो यह ध्यान रखना जो चीज लॉक के अंदर लिखी रहती है वो प्लस से खुलती तो मॉड भी भाई साब मैंने यहाँ पर बी लिख दिया और इकुल टू कितना आ गया बच्चा पार्टी यहाँ पर लॉक एल आ गया आई हो बच्चा पार्टी यह सबको क्लियर होगा ठी यहाँ पे आप तो देखो भाई हम लोग कहा तक पहुँच गया कि लॉग ए एन लॉग ए एन इंटू क्या है बच्चा पार्टी लॉग औफ जो बी दिया है इकदम सही लॉग औफ बी दिया हुआ है ये वेल्यू बच्चा पार्टी देखो लॉग एलगे बराबर दिया हु log नीचे based in upon क्या लिख सकते हैं बच्चा पार्टी, log of A and this will equal to log B को नीचे भेज दो, इससे आजाएगा log L upon कितना आजाएगा बच्चा पार्टी, log B. थोड़ा सारा फालतू का मैं यहाँ पे देखो खिचली पका रहा हूँ लेकिन मैं प्रूव दे दे रहा हूँ जिसमें कि जो लोग प्रूव जानना चाहते हैं उनको बच्चा इसका प्रूव मिल जाए अदरवाइस बाई स्टे हैपी यह क्या जाएगा लॉग एन लॉग ए और अपउन में क्या आ जाएगा बच्चा पार्टी, यहाँ जाएगा लॉग और पी, ठीक है सर, इससे हमें क्या मिला सर, मैंने देखो इससे ये मिला, आपको देखो इससे ये मिला, कि जो लॉग to the base LN है, this will equal to लॉग to the base B A, एकदम सही है सर, एकदम सही है सर, अ� कैसा करोगे सर कैसा करोगे चलो भाई सब देखो एक काम मैं और भी कर सकता था यहाँ पे ठीक है न एक काम और भी कर सकता था अच्छली जो प्रूफ करना है यह format यहाँ से मैं तो कर सकता हूँ लेकिन यार आपको maybe शायद दिक्कत आ जाए देखने में easiest possible step में मैं कर रहा हूँ यहाँ जाएगा भाई साथ log L और upon कितना आ जाएगा log of N equal to आ जाएगा log of B और divided by कितना आ जाएगा log of A एकदम सही अब बताओ बच्चा पाटी जैसे इसको आप log में convert करोगे तो देखो यह आजाएगा log ठीक है सर base होगा n, number होगा l एकदम सही, इसका reciprocal लिया तो ऐसे ही आपको देख रहा होगा और जैसे log में convert करोगे जो मैंने base change theorem बच्चा पढ़ाई थी एकदम सही बाई, एकदम सही इसको मैं अगर कुछ बच्चा पाटी l1 मान लूँ ठीक है इसको मैं कुछ बच्चा पार्टी n1 मान लूँ और इसको कुछ मैं बच्चा पार्टी a1 मान लूँ दिखाओ सुन्दर सा दिख रहा है कि नहीं दिख रहा है आपको पता है यहां से आप यह कॉमेंट बाजी कर सकते हो कि n1 equals to a1 की power l1 हाँ सर ऐसा आप कमेंट कर सकते n1 की value n1 की value l है a1 की value n है तो देखो n की power log ab हो जाएगा तो यह हो जाएगा n की power यह हो जाएगा log ab एकदम सही, अब देखो भाई L की value N की power log A B आपने निकाल ली, लेकिन आपको पता है कि देखो आपने शुरुवात कहां से करी थी, आपने शुरुवात करी थी B की power log A N को देखो L मान के आपने शुरुवात करी थी, थोड़ा सा ये अटपटा सा proof है, but it's fine यार, सीखना है हम verify करना अलग चीज होती है, proof करना अलग चीज होती है, यह जो थोड़े statement है, मैंने उन बच्चों के लिए बुला है, जो अपने कुछ नुन्नु method से कर देंगा, और कहेंगे, देखो हमने तो shortcut कर दिया, ऐसा नहीं है बच्चा, यह देखो इसका exact proof है, तो L देखो N की power log AB आपने निकाल लिया, L माना था B की power log AN, तो देखो B की power log AN यह था, कि यह दोनों देखो बराबर होते हैं और देखो बच्चा पार्टी फाइनली हुआ क्या है इन दोनों को जैसे आप देखोगे यह देखो इंटर चेंज हुआ है समझे ना यह देखो इंटर चेंज हुआ है और यह इंटर चेंज जो के यहां पर पहुंचा इन शॉर्ट प्रूफ की ऐसी की तैसी आप एक बार ऐसा करना इसके बाद आप अपनी कॉपी खोलना बिना देखे प्रूफ जब तक खुद ना स्ट्राइक कर जाए, अगर आपका प्रूफ सीखने का मन है, और लगसे अगर आप प्रूफ नहीं भी सीखतो, तब भी बेटा आपका काम चल रहा है, इसमें आपको टाइम वेस्ट नहीं करना है, मैंने याली चीज करके दिखा दिया, क्योंकि मुझे हें मैंने सबसे आपको यह पढ़ाया प्रूव देखो सबके दिए और मोज सबके दिए कि लॉग एन होता है लॉग एलफा की पावर एन लॉग एलफा की पावर ए मतलब ऊपर वाला लॉग ऊपर वाला पर लॉग निचला फाइनली चलकर आप इसका बेस्ट एन भी दूसरे में अगर reciprocals लिखे हो यहाँ पे 1 by 3 हो तो यहाँ पे 3 होना चाहिए यहाँ पे 3 हो तो यहाँ 1 by 3 होना चाहिए मेरी बात समझ रहा हूँ ना यहाँ alpha की value अगर 1 by 3 तो यहाँ 3 होना चाहिए और यहाँ पे alpha की value 3 तो यहाँ 1 by 3 next में आते हैं बाई साब अगर base same है तो देखो number multiply हो जाता है base वही रहता है ठीक है सर उसके बाद में अगर भाई साफ देखो base same है, अगर बच्चा party base same है, और overall subtract हो रहा है, तो number देखो divide हो जाता है, base देखो बच्चा party same रहता है, फिर देखो 2-3 इसके हम लोगों ने question कर लिये बच्चा, फिर ये question है, मैंने कहा इसको बहुत से लोग देखो cancellation theorem बोल देते हैं, तो देखो अंग तो यहां पर सिर्फ एक्स आ जाएगा प्रॉपर्टी में जैसे पावर को बाहर मल्टीप्लाई करोगे और अगर यहां पर इवेन है तो मॉड आ जाएगा एकॉर्डिंग लिए आपको चीजों को सोचना है ठीक है सब नेक्स्ट चीज क्या थी मैंने कह यही चीज अगर बी लॉक ए एन ये थोड़ी important property है क्योंकि इसका बहीया बहुत अच्छे सवालों में use हो जाता है तो बच्चा please इस property के साथ धोका ना करें ये property आपको सिर्फ याद होनी चाहिए ठीक है otherwise आपको प्रूफ आता है नहीं आता है अगर JEE में सवाल आएगा तो आप दोनों same level पे हो तो प्लीज मेरी बात मान लो नीचे कमेंट कर दो मानते हैं और कृपया करके प्लीज ये बातें जरूर मानना तो देखो मैं सितारा लगा दे रहा हूं वैसे सब चीजें ब्रैकेट के अंदर मैंने लिखी हुई है चीजें आपको आनी चाहिए पर फिर भी मैं सारी जगह सितारा लगा दे रहा हूं कि ये सब चीजें आपको अपने फ्लैश पैट में जरूर लिख लेनी है जैसा मैंने और यह थर्ड है अगर देखा था तो कमेंट करने ना देखा था मस्ती के साथ पढ़ाई करते रहें तिर पढ़ाई ना करें ठीक है मस्ती के साथ पढ़ाई करें खुब मस्ती करें और खुब जादा पढ़ाई करें कभी भी बच्चा मायूस ना हो और जीवन इसी का नाम है और यही बाबा का ज्यान है तो भाई साब देख लो यह सारी प्रॉपर्टी आपने देख लिये है कि आप question करने को त्यार हो तो बच्चा पार्टी ready हो जाओ कोई भी किसी प्रॉपर्टी पे शक नहीं करेगा बस प्रॉपर्टी अपलाई करनी सीखनी है जैसे ये सवाल आता है इसकी value निकालनी है log half और यहां भी क्या होगा half sin 30 half होता है cost 30 आप देखो, same same का answer 1 आता है, ठीक है बच्चा पार्टी, इसको याद, याद नहीं मतलब, sorry, same same जब होता है, तो answer देखो, 1 आता है, अब इसे as it is आपको याद होना चाहिए, कहां proof किया है, देखो, log n ने लिखा है, same same में answer 1 आता है, ठीक है सर, next चीज में आजो, ये बच्चो ध्यान रखना ये देखो 1.3 बार है तो देखो ये लिखा क्या है ये लिखा हुआ है log 4 by 3 जो itself 1.3 बार है ये भी लिखा है 1.3 बार तो देखो same same में फिर से answer क्या आता है बच्चा पाटी 1 ही आता है इसका answer भी हो जाएगा 1 नेक्स्ट चीज में आ जाओ चलो बेटा यहां देख लो अब देखो बच्चा एक चीज मुझे बतानी है एक प्रॉपर्टी बोल लो जो बोल लो ऑब्जरवेशन बोल लो जो बोलना बोल लो देखो इसको मैं बोल देता हूं प्रॉपर्टी नंबर टेन प्रॉपर्टी नंबर टेन क्या है मैंने का देखो भाई प्रॉपर्टी नंबर टेन है अगर कोई आपसे बोल दे लॉग एवन ठीक है बेस लिखूंगा जरूर टेंसन ना लो अब यहाँ पे ध्यान दो बाई इसका अंसर हमेशा आता है 0 इस बात का आपको ध्यान रखना है जैवाबा की तो देख लो बाई जैसे इसको बिया करोगे तो ये देखो ऐसे कुछ लिख दोगे इसका प्रूव यही है कि n को ले लो 1 a की value a है सबको clear है तो आप क्या कर सकते हो ये जो log A1 दिया हुआ है इसको आप बोल सकते हो L अब देखो इसमें कुछ क्रांथिकारी युवक बोलते हैं कि सर आपने कहा था ये 1 नहीं हो सकता गलत, मैंने कहा था base 1 नहीं हो सकता number 1 हो सकता है क्योंकि number सिर बच्चा L को जैसे आप 0 रखोगे, तो देखो, L 0 रखते ही, A की power 0, 1 आ जाएगा, ठीक है, तो आपको इस सिगना है, कि log 1 is always 0, as it is, यादना कर, log of 1 पूछ लिया है, तो इसका answer बच्चा बार्टी, हमेशा 0 होगा, अगर मानों कभी ऐसे पूछ लिया आपसे, कि log to the base 2, minus to 1, ये define नहीं होता है, base कभी negative नहीं हो सकता, बाई log of 0 बताओ, तुरंद भाई साथ पीट देना ठीक है यहां 2 लिख दिया पीट देना क्योंकि लॉग 0 भी भाई साथ डिफाइन नहीं है क्योंकि नंबर क्या लिखा है भाई साथ greater than 0 होना चाहिए तब ही लॉग हम लोग डिफाइन कर सकते हैं इसे न पूछ लिया 2 और यहां दे दिया minus 7 पस अब की बार तो पीटी देना अब देखो यहां आते हैं यह सवाल पूछा है तो देखो मुझे उम्मीद है सब चीजें सभी को आती होंगी जैसे दिया लॉक टू द बीस्ट इन नंबर दिया है वन तो लॉक वन इस जीरो बस आ� नेक्स्ट आता है भाई इसको अगर आपको निकालना है तो देखो ये भी आप जानते हो इसको आप लिख सकते हो लॉक वो दा बेस टू और साइन स्क्वेर एक्स प्लस कॉस्क्वेर एक्स कितना होता है वन तो लॉक वन इस अगेन जीरो अब आता है नेक्स्ट चीज इसकी वेल्यू निकालनी है तो देखो यह देखो 0.6 बार दिया है मेरे बच्चे तो देख लो यह क्या होता है यह देखो लॉक सीधा उल्टा है यह 3 बाई 2 है बेस और 0.6 बार क्या होता है यह होता है 2 by 3 तो इसका अंसर होता है बच्चा पार्टी minus 1 ओके सर सर एक तरह से लिखा क्या मैंने कहा format यही है जो मैंने बताया था log alpha 1 by alpha format की यह चीज़े है ओके सर हाँ बेटा इस format की चीज़े है अब आपको नेक्स्ट चीज आती है नेक्स्ट क्या बच्चा पार्टी यह इसको भी निकाल लेना हर कोई आपको पता है यह लिखा हुआ है लॉक वन बाई एट ठीक है 0.25 होता है वन बाई एट फिर लॉक सीधा उल्टा है तो इसका अंसर कितना बच्चा पार्टी माइनस वन हो जाएगा आई होब यह सबको भी या क्लियर हो रहा होगा ठीक है नेक्स्ट च ये वाला question देख लो अब इस वाले question में देख लो अब देखो ये जो दिया है मैं ऐसा करता हूँ इसको alpha मान लेता हूँ 2 minus root 3 को अब ऐसा करो इसको भी rationalize कर दो उपर नीचे rationalize कैसे करते हो 2 plus root 3 से divided by कितना हो जाएगा 2 plus root 3 अब आपको पता है उपर क्या होगा 2 का square minus root 3 का square जो कितना होता है बच्चा पाटी 1 upon 2 root 3 हो जाएगा ये तो 1 हो जाएगा अब देखो आपको पता है what is 1 upon alpha यहाँ जाएगा 1 upon 2 plus root 3 एकदम सही बहुत सही तो देखो आप यह चीज देख सकते हो आप क्या देख सकते हो कि सर यह जो सवाल आपने पूछा है यह सवाल क्या है सर simple सी चीज है यह हो जाएगा log 2 minus root 3 कितना है alpha है यह 1 by alpha है minus 1 तो देखो यह इसके बराबर हो जाएगा I hope सबको clear हो रहा होगा इस वाले question को और कोई try करो ठीक है जल्दी से pause जरूर कर लेना आप लोग पहली बार log पढ़ रहे हो तो देखो भाईया कैसे करेंगे root 7 लिखा है तो इसको लिख देंगे बच्चा पार्टी 7 की power half तर ये क्या हो जाएगा मैंने कहा इसको लिख सकते हैं ब ठीक है भाई, 7 की power 4, अब यहाँ पर ध्यान दो, अब देखो lock की property कैसे इसमें लगती है, बहुत ध्यान से देखना, अब देखो आपको बहुत बढ़िया से पता है, 4 आगे आके multiply होगा, तो देखो 4 even number है, तो देखो यहाँ पर आजाएगा mod of 7, ठीक है भाई, अब 7 की power half है clear भाई, half है तो देखो reciprocal होके ये divide होगी, तो reciprocal होके divide होगी, तो यहाँ पे सिर्फ आपको क्या लिखना है भाई, 7 ही रखना है, ठीक है बच्चा, अब यहाँ पे ध्यान दे दो, आपको पता है mod of 7, 7 होता है, तो देखो यह एक तरह से लिखा हुआ है, log 7, 7, mod 7, 7 होता है बच्चा, तो log same, same कितना होता है, 1 होता है, simplify करना, half उपर जाएगा, तो answer क्या जाएगा, answer आजाएगा 8, आपको अपने प्रोपर्टी बेस क्वेश्चन अभी दिए हुए हैं यह लाइक वेश्चन देखो भाई आप पॉस्ट करके सब 5 की power 3 by 2 5 root 5 यही होगा इसको लिख सकते हो 5 का cube अब क्या करेंगे तर यह 3 जो है आगे आके multiply होगा एकदम सही बचेगा log of 5 अब देखो आपको पता है जो 3 by 2 है fraction है आगे आके जैसे आप इसको divide करोगे यह भी देखो 5 हो जाएगा अब देखो आप clearly बता सकते हो what is log 5 5 यह ध्यान रखना 3 by 2 देखो reciprocal हो के आएगा तो नीचे डिवाइट करना है यहाँ कुछ भी लिखा हो इसको नीचे डिवाइट करना है तो कुछ लोग भी या 2 by 3 लिख देते हैं भूल से तो ध्यान रखना है यह नीचे लेके गए हैं जो भी दिया उसको नीचे लेके चले जाओ तो यह तो 1 हो जाएगा यहाँ 3 3 से 3 3 से 3 कटेगा आंसर आ जाएगा इसके बाद भी यह वाला सवाल आता है यह बहुत प्यारा सवाल है तो देखो इस वाले सवाल को हम लोग कैसे करेंगे पहले हम लोग भाई साब इसकी वेल्यू निकालते हैं तो देखो इसकी वेल्यू हम लोग कैसे निकालेंगे इसे लिखते हैं लॉक टू द बेस थी 27 को लिखते हैं 3 के क एकदम सही 3 के क्यूब का क्यूब अब यहां पर ध्यान दो पावर मल्टीप्लाई होती है तो यह जाएगा लॉक फ्री फ्री की पावर नाइन आई होप सबको क्लियर हो रहा होगा तो यह नाइन अब देखो यह जो नाइन है देखो आगे आके मल्टीप्लाई होगा तो यह हो जाएगा लॉक फ्री फ्री अब देखो लॉक फ्री फ्री कितना होगा लॉक फ्री फ्री होगा वन ठीक है बच्चा कितना नाइन मतलब सर यह पिंकी का अंसर कितना चुका है पिंकी का अंसर सर देखो नाइन आ चुका है अब यहां पर ध्यान दो अब देखो ये सवाल कैसा बचा अब मैं आपको कर सकता हूँ एक भी स्टेप में ठीक है बाई अब देखो ये सवाल क्या बचा है यहाँ पे सब लोग ध्यान देना इसकी वेल्यू देखो 9 है तो अब देखो इतना मैं सॉल्व कर रहा हूँ जितना देखो इतना मैं सॉल्व कर रहा हूँ ठीक है आपको पता है यह लिखा है लॉक बेस कितना है 3 और ये कितना है ये है 9 तो आपको पता है ये होगा log to the base 3 3 का square अब ये 2 देखो आगे आ जाएगा तो बचेगा log 3 3 इसकी value 1 होती देखो मैंने direct लिख दिया बच्चा तो देखो इस black वाले की value आ चुकी है 2 अब देखो कितना ये question बचा है तो देखो इसका answer मैं और ये है 2 एकदम सही सर what is 2 2 log base 2 2 मैंने का सर ये होता है 1 अब इसकी value 1 put करो बचेगा क्या बचेगा सर log 2 1 what is log 2 1 it is 0 ये होगा answer ठीक है इसमें mistake मत करना बच्चा पाटी बिल्कुल इसको ध्यान रखना अब देखो एक चीज बच्चा अर्डी मैं और बताना चाहता हूँ लोग देखो common mistake क्या करते हैं यहाँ पर देखो मैं आपको common mistake बता रहा हूँ देखो यह mistake नहीं करना है यह मैं हर साल पढ़ाता हूँ बच्चे यह पता नहीं अगर मैं कभी offline पढ़ा रहा हूँ तो उस टाइम भी बच्चे आके यही पूचा करते हैं यही mistake करते हैं log A x की power जो n है ठीक है, यह होता है n into log ax, अब रोना नहीं सर even odd का ख्याल नहीं रखा, बेटा even odd का ख्याल तुम रख ले ना, मैं एक पत general सी property बता रहा हूँ कि हाँ n आगे आके multiply हो जाता है, even odd वो तुम देख लेना सवाल में, ठीक है, मान लो यहाली बात, अब यहाँ पे चरा ध्यान दो तो भाई सब ये देखिये ध्यान रखिये कि ये जो उपर हमने जो किया हुआ ये correct है लेकिन जो नीचे हमने किया है ये बच्चा पार्टी देखो incorrect है अच्छा हाँ लॉग x की पावर है, जब देखो ये x की पावर होगी, तब आगे आता है, एकदम से, लेकिन जब ये पूरे की पावर होती है, तब ये आगे नहीं आता है, तो ये देखो बच्चा बार्टी, common mistake है, जितने लोग common mistake ये करते थे, वो लोग cm लिख देना, cm दिल, मैं समझ जा ठीक है, तो सर इसकी value होगी क्या, कुछ नहीं, इसको ऐसे ही छोड़ते हैं, लॉग एक्स की whole power n है, इसको हम further simplify नहीं कर सकते हैं, ठीक है, cannot simplified further by property, हाँ, कुछ value value अगर निकाल लो, एक लॉग एक्स की, फिर power कर दो, वो अलग बात है, ठीक है, cannot simplified more, using log property, अब भाई साब देखो, यहाँ पे कोई भी ऐसी property नहीं है, बहुत ध्यान से सुनना, कि आपने कोई देखो, log की property बच्चा पार्टी यूज़ करके, इसे further simplify कर दिया, ऐसा नहीं हो सकता है, लेकिन हाँ हाँ, generally simplified कर सकते हो, पता चला, लो लोग x की value 2 आ गई, n की value 7 होगी, कि log की property लग जाएगी, तो ये ध्यान रखो, लॉग एक्स की पावर एन आगे एन मल्टिप्लाई होगा, इसमें नहीं होता है, इतना बच्चा पाटी आपको ध्यान रखना है, ठीक है सर, समझ में आ गया सर, हाँ बिटा, अब जरा ध्यान दो, हाँ सर, इसमें ध्यान दो, बहुत प्यारा स� अब देखो भी यह इस वाले सवाल को कैसे करेंगे इसको मैं लिख सकता हूँ भाई log tan of 1 degree एकदम सही, 1 degree मैं degree लिख नहीं रहा हूँ into log of tan of 2 degree ठीक है degree भाई 2 लिख नहीं रहा हूँ, चलो लिख देता हूँ यार पता चला इसे ने बहुत ख़तरनाक चीज कर दी अब देख लो भाई ऐसे ही देखो या जाएगा log tan पॉटीफाइव डिग्री पॉटीफाइव यही चलता रहेगा चलता रहेगा और आखिरी में क्या दिया है लॉक एन ऑफ 89 डिग्री एकदम सही बात अब देखो चाहिए इसको लोग कैसे सिंप्लीफाई कर सकते हैं देखो यह तो आपको पता है यह चीज अब देखो बच्चा अटेस को हम लोग कैसे करेंगे आपको पता है कि लॉग 45 इसको लिख सकता हूं मैं लॉग ऑफ वन अभी रूना नहीं कि सर इसमें बेस नहीं दिया है बेस नहीं दिया तो क्या हुआ बेस 10 है मतलब ये किसका केस है सर ये कॉमन लॉग का केस है एकदम सह एक 0 पूरे तलाब को 0 कर देगा इसकी value देखो 0 आगे ही बच्चा पाटी अगर इसकी value 0 आगे तो सबकी value कुछ भी आती रहे हमें निकालने कोई मतलब नहीं ये 0 सबसे multiply हो जाएगा तो इसका answer क्या जाएगा भाई साब 0 आजाएगा ठीक है, तो देखो जितनी property मैंने अब तक बताई है, इन properties को आपको ध्यान लगना है, similarly जरा ये वाला question देखो, ठीक है, पहले भी यह solve जरूर कर लेना, ठीक है, ये नहीं कि तुम बस मेरा ही सुनते रहो, अब आप दोबारा इसको solve कर, दोबारा मतलब कि इसको solve करो, दो ती अगर log sin 90 0 हो गया है तो यह सबसे multiply होके कितना हो जाएगा 0 हो जाएगा सबसे multiply होके एकदम सही क्योंकि log of sin 90 है sin 91 होता है तो यह log 1 हो जाएगा 0 सबसे multiply होके कितना हो जाएगा यह हो जाएगा 0 एकदम सही अब भाई इसको देखो यह देखो कैसे होगा अब भाई साथ देखो यह जो आपको relation दी गई है इसमें आपको x निकालना है ठीक है भाई, तो देखो ऐसे question में क्या करते हैं, कि देखो exponent से log और log से exponent, अब देखो exponent word सुनके आप भ्योस मत होना, ठीक है, exponent का मेरा कहने का मतलब क्या है, मेरा exponent से कहने का मतलब ये है, कि देखो power वाले form में दिया है, ये मेरा exponent से कहने का मतलब है, अब भाई साब आपको क् एक log ओदा साइड एकदम साइड अब जैसे लोगे तो देखो ये आजाएगा log एकदम साइड base 10 है a की power 2x इंटू b की power 3x इक्वल टू log of c की power 5 ठीक है सर ऐसा कुछ होगा अब देखो भाई कौन सी property use होगी बहुत ध्यान से सुनो अगर भ्योस हो गए हो अगर तुम नहीं समझ पाओ ये तो आप पीछे देख सकते हो या तो PDF खुल के आप बैठा करो साथ में जिससे कि आपको जब मैं कहूँ कि पीछे आली property देख लो आप बस अपने PDF notes खुलो तो देखो कैसे कर सकते हैं जैसे आप log लोगे तो देखो क्या होगा पहला नंबर into दूसरा नंबर यह लिखा हुआ है log n1, n2 एक प्रकार से लिखा है हाँ सर तो देखो what is log n1 into n2 यह आजाएगा log of n1 plus यह आजाएगा log of n2 ठीक है सर ऐसा कुछ आजाएगा एकदम सही और यह value किसके बराबर हो जाएगी log of c की power 5 तो आपको पता देखो c की power है मतलब यह जो 5 है देखो आगे आके multiply हो जाएगी ठीक है सर अब देखो चौटी जैसे आप यहाँ पर values put करोगे n1 और n2 की, ठीक है सर n1, n2 की, तो देखो यह क्या आ जाएगा, यह आ जाए n1 होगा a की power 2x ठीक है, plus यहाँ पे क्या होगा, तर यहाँ पे लिख सकते हैं log of n2 मतलब b की power कितना हो जाएगा 3x, और यह equal to कितना आ जाएगा, यह आ जाएगा b log of c एकदम सही अब देखो भाई क्या होगा ये जो powers हैं ये आगे multiply होगा अब देखो इनके आरमे कुछ कहे नहीं सकता कि even है कि odd है तो भाई सब जब even odd आप कुछ कहे नहीं सकते तो देखो फालतू में दिमाग नहीं लगाना है ये बाबा का ज्यान है बाबा का experience है 2x को देखो आगे multiply कर दो तो यहाँ पे आ जाएगा log of a यहाँ भी परिशान ना हो 3x को देखो आगे multiply कर दो यहाँ पे क्या आजाएगा बच्चा पार्टी यहाँ आजाएगा log of b और equal to कितना आजाएगा यहाँ आजाएगा 5 times log of c एकदम सही, अब देखो बच्चा बाटी, next step क्या है, हम लोग ऐसा करते हैं, कि ये जो x है, इसको ले लो, common, तो जैसे x को common लोगे, अंदर बचेगा 2 log A, एकदम सही, plus कितना आ जाएगा, plus आ जाएगा 3 log of B, और this equal to कितना आ जाएगा, ये आ जाएगा 5 log of C, एकदम सही, यह देखो इसके बराबर हो जाएगा, अब देखो बाइसा हम लोग क्या करेंगे, इसको इससे यहाँ पर ले जाके डिवाइड कर दो, तो जैसे सॉल्व करोगे, तो x इकूल्स टू कितना हो जाएगा, x इकूल्स टू हो जाएगा 5 log C, x इकूल्स टू हो जाएगा 5 log C, यह देखो डिवाइड बाई हो जाएगा, कितना हुआ, 2 log A प्लस 3 log B, 2 log A प्लस 3 log B, एकदम सही अब यहां पर जरह ध्यान देना यह आजाएगा भाई लॉग ऑफ टी की पावर फाइव एकदम सही देखो फाइव ऊपर चल जाएगा ठीक है जैसे ही उतर सकता है ना वैसे चल भी सकता है तेम भाई साब इसको क्या लिख सकते हो लॉग ऑफ एका स्क्वेर एकद अगर एलन लिखा होता तो बेस ई लेते हैं बहुत से लोग हैं कि आ रहे हैं लेकिन आपने तो कहा था मैस में तो कम यूज होता है बेटा ज्यादा यूज हो रहा है यह भी बोला था कि भाई अगर कॉमन लॉग यूज है तो रोने की जरूरत नहीं है इसको सिंप्लीफाई करो क्या जाएगा यह लॉग टू द बेस 10 सी की अब यह क्या है भीया, यह दोनों नंबर आपस में multiply होंगे, तो यह आजाएगा log to the base 10, और यह बचेगा a square into b का cube, बिल्कुल सही, अब ज़रा यहाँ पे ध्यान देना, अब ज़रा पता है, देखो, बेस 10, 10 है, तो जब same base है, तो इसको ऐसे लिख सकते हो, लोग t की power 5, और नीचे हो जाएगा a square b cube, पहली property यूज़ करी है, log, यह कौन सी property यूज़ करी है, कि log अगर आपको कहीं दिया, next, जैसे यह answer है, वो यहाँ पे कौन सी property यूज़ करी, मैं भी उपर लिख देता हूँ, कौन सी property यूज़ करी है, using property, okay sir, using property के कहीं पे दिया है, log n1, base मानो alpha, यह दिया है log alpha n2, और यह जो चीज़ है, यह बराबर हो जाती है, log of n1, base होता है, n2, क्या ध्यान रखना है यह चीज़ आपको ध्यान रखना है कि यही है आंसर एकदम सही यही है आंसर तो देखो सिंपल सी चीज है प्लीज यह तब तक करना जब तक दिल-दिमाग में न बस जाए ठीक है तो देखो कितने टाइप के सवाल करा है अब तक मैंने अगर टाइप वाइस अगर मैं कैटेगराइज करूं तो देखो बच्चा पार्टी टाइप तो देखो यही टाइप चलता रहा चलता रहा है फिर इसका देखो एक type आया है कि log1 equal to 0 हो रहा था, ठीक है, तो देखो जबरदस्ती कि मैं type बनवा देता हूँ, कि कैसे कैसे type बनते हैं, इसमें देखो log1 की value 0 हो रही थी, ऐसे चलते रहे, चलते रहे, फिर देखो log सीड़ा उल्टा कितना होता है, minus 1 होता है, तो देखो ये type तो ये था वाईसाब type 4 ये था एक तरह से आपका type number 4 एकदम सही अब देखो ऐसे ही चलते रहोगे चलते रहोगे यहाँ पहुचोगे फिर ये simple type 4 ही चल रहा है simplify ही करना है ठीक है ये सारी चीजे थी फिर देखो इसको तुम type 5 बोल सकते हो जिसमें x की value निकाली जाती तो हमे जैसे जनरल प्रोपरिटी आप लोगों ने पहले पढ़ी हुई थी अब देखो भाई साम नेक्स्ट आता है जो है टाइप नम� terms में लिखा जाता है टाइप नमबर 6 चलो बच्चों जल्दी से इसको ट्राइ करो फिर मेरी बारी आगे 2 मिनिट जरूर इसको ट्राइ करो ठीक है चलो अब देखो बच्चों इस वाले question को हम लोग कैसे करते हैं ठीक है सर्ट और साथ में बच्चा पार्टी ये आपको दिया हुआ है y का value आपको log 3 10 का value लिखना है in terms of x and y x and y के बच्चा देखो terms में लिखना है ठीक है ठीक है सर देखो कैसे करते हमेशा क्या करो भाई इसको आप प्राइम फैक्टराइज कर दो जैसे यह देखो लॉक थ्री टेन दिया है इसको आप लोग बच्चा पाटे लिख सकते हो लॉक थ्री और टेन को लिख सकते हो टू इंटू अगर बच्चा पार्टी आप एको प्रॉपर्टी को अगर आप भूल गए हो अगर आप प्रॉपर्टी को भूल गए हो तो देखो ध्यान रखो कि ये देखो दो जो है लॉक के अंदर नंबर मल्टीप्लाई हो रहे हैं तो जब लॉक के अंदर नंबर मल्टीप्लाई होते ह आप इसे लिख सकते हो x equals to log 3 4 तो देखो 4 क्या होता है 4 होता है 2 का square अब आप पढ़ चुके हो तो 2 देखो आगे आके multiply होगा तो जैसे ये आगे आके multiply होगा तो ये हो जाएगा log 3 mod 2 तो mod 2 2 के बराबर होता है तो देखो उसे log 3, 2, आप समझ रहे हो, log base जो 3 है, number 2 है, इसका value कितना आ रहा है, देखो, x by 2 आ रहा है, ठीक है सर? अब देख लो, यह जो blackish है, इसको मैं देखो, white मैं solve करूँगा, यह जो blackish वाली चीज है, अब इसको जैसे आप सॉल्व करोगे चलो यहां ऐसे ही सॉल्व कर देते हैं तो देखो भी यह क्या चीज है कि इसको आप कैसे लिख सकते हैं इसे वह लिख सकते हो यह हो जाएगा लॉक थ्री अपन लॉक पाइट ठीक है सर एकदम देखिए सेम चीज देखो आप क्या करो यहां पर आप रेसिप्रोकल ले लो तो जैसे आप रेसिप्रोकल लोगे देखो भाई वन अपन वाई यह रेसिप्रोकल होकर क्या हो जाएगा लॉग फाइव अपन लॉग थ्री तो देखो वही प्रॉपर्टी यूज होगी जो मैंने थोड़े number बन जाएगा, तो मेरे कल सबको clear होगा, तो देखो जैसे आप इसको simplify करोगे, तो देखो log 32, तो यहाँ से देख रहा है, log 32 की value x by 2 है, और यह जो log 35 है, यह value कितना है, यह है 1 upon y, और यह होता है answer, एकदम सही आयो भाईयो बहुत लोग का अंसर मैच कर गया होगा जितने लोगों मैच कर गया है वह लोग कमेंट कर देना तो मेरी बातें बहुत ध्यान से सुनो और बहुत ही ध्यान से कंसेप्ट को लगाओ अब देख लो भाई, next चीज क्या है, यह वाला जैसे बच्चा बाटी question आता है, ठीक है न, यह थोड़ा अच्छे level का question है, यह थोड़ा आप देखो बढ़िया level के questions है, ठीक है, जैसे JEE advance या means में पूछे जा सकते हैं, अब यहाँ पे ध्यान दो, जैसे आप यहाँ पे दे� आपको ये क्या दिया हुआ है हम लेका भी ये दिया हुआ है log2 3 जिसको आप लिख सकते हो log3 अपन log of 2 एकदम सही equal to a ठीक है सर इससे देखो log3 की value क्या आजाएगी ये आजाएगा a log2 अब देखो बच्चा math के जो सवाल होते हैं ना वो करने के देखो बहुत सारे method होते हैं मैंने आपसे बोला कि इस type के question जहां पर लिखा हो in terms of हमेशा भाई prime factor में तोड़के करो हमेशा prime factor में तोड़के करो हाँ उसके बिना भी कर लोगे कोई बात नहीं लेकिन जो method मैं बताता हूँ उससे answer जरूर आएगा मेरी बात समझ लो खुद से हो गया very good नहीं हुआ मेरे method पर चले अब यहाँ पे ज़रा बच्चा आर्टी ध्यान दो जिसकी value आपको निकालनी है log 63 140 तो देखो इसको आप ऐसे लिख सकते हो you can write it as log 63 देखो बाई base 10 में तोड़ा है यही देखो property number बच्चा पार्टी 1 है तुम चौख किसी भी base में तोड़ सकते हो लेकिन generally आप log को base 10 में ही तोड़ना यह मेरी तरफ से आपको एक राय है 63 को लिख सकते हो कैसे यह होता है 3 का square into 7 एकदम सही बात divided by करोगे 140 क्या होगा मैंने कहा यह होगा log of 35 x 4 35 x 4 होगा न 35 x 4 हाँ 35 x 4 होगा 2 x 3 x 7 dot से भी multiplication को दिखाते हैं वही देखे मैंने यहाँ पर किया है अब देख लो बाई अब आपको पता है दो number देखो multiply हो रहे हैं यानि कि यह आजाएगा log of 3 का square और plus कितना आजाएगा बच्चा पार्टी log of 7 मतलब सर यह है log of 2 का square plus log of 3 plus log of 7 एकदम सही तर ऐसा हो गया बिलकुल सही अब बच्चा पार्टी आप जानते होगी यहाँ पे देखो प्रॉपर्टी लगेगी तो यही चीज़ आजाएगी देखो 2 आगे आएगा तो देखो लॉग मॉट 3 होगा जो 3 के बरापर होगा 2 लॉग ओफ 2 प्लस करोगे कितना आजाएगा लॉग ओफ 3 प्लस करोगे कितना आजाएगा तो देखो यह आपकी required value है इसको मैं r मान लेता हूँ यह देखो required value है जो आपको निकालनी है अब देखो भाई सबको prime में तोड़ा है log 3 है, log 2 है, log 2 है, log 3 है, log 7 है अब देखो भाई next चीज इसमें देखो, अगर आप इसे देखोगे, तो देखो, same चीज आप यहाँ पे लगा सकते हो, तो देखो, इससे क्या आजाएगा, इससे आजाएगा, log of 5, divided by log of 3, equal to कितना होगा, 5, और solve करो, इससे भाई देखो, log of 5 कितना आजाएगा, इसको भाई हम नीचे put कर सकते हैं तो जैसे put करोगे log 3 कितना है यह है a log 2 put करो यह आजाएगा a log 2 मतलब देखो बच्चा बाटी इससे यह समझ में आया कि log 5 की value हम लोग a b log 2 put कर सकते हैं तीका वहीं पे हम भाई यह put करेंगे ओके सर और बताईए सर और बताईए सर और बताईए अरे यार एक मिनट से गलती हो गई यार यह देखो 5 x 7 है यह देखो चार्टी दिस फाइव इंटू सेवन आवाई यह है पाइव इंटू सेवन ठीक है यह कितना है यह भी है पाइव इंटू सेवन अरे यार गलती हो जाती है रिकॉर्डिंग टॉप होती है ना यार अने जिंदगी में सिर्फ लाइव क्लास ली है अब इस लिए नीचे भी कितना जाएगा पाइव लाइव ऑनलाइन क्लासेस नहीं है मैंने ऑफलाइन क्लासेस तो बेटा बहुत ली हुई है रिकॉर्डिंग नाइस है मजा आ रहा है करने में रिकॉर्डिंग यह मिस्टेक होती है जितना जीवन में बेजती नहीं हो उतनी यहां पांच मिनट में हो जाती है ठीक है अब देखो भाई कैसे करेंगे अब देखो भाई यह देखो लॉक पाइव आ गया है अब यहां पर ध्यान देना बच्चा पाटी जो देखो तीसरी चीज है लॉक पेविंट टू ठीक है तो देखो इसको आप कैसे देख सकते हो ऊपर से देखना भाई यह जाएगा लॉक टू डिवाइड बाई लॉक ऑफ सेवन एकुल टू कितना जाएगा यह जाएगा सी अब देखो जैसे आप solve करोगे तो देखो बच्चा आटी यहाँ से देखो log of 2 कितना आजाएगा log of 2 की value आजाएगी C log of 7 एकदम सही बात मेरे बच्चे अब देखो हम लोग क्या कर सकते हैं अब देखो भाई जितना green से मैं लिखूंगा हमारा final चीज यही है log 2 आया बच्चा आटी C log 7 यहाँ पे आप put कर दो लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक लॉक यह विल्यू निकाल ली बिल्कुल सर नेक्स्ट क्या आती है मैंने देखो भाई लॉक टू यह जो है ऊपर भी आप पूट कर सकते हो इससे देखो लॉक थ्री की विल्यू कितनी आई आपने जैसे देखो यह एक को पूट किया लॉक इतना भाई लॉक टू को आपने जैसे पूट किया एक्या दिया सी लॉक सेवन ऊपर तो यह आ गया एसी लॉग ऑफ सेवन अ एकदम सही अब देख लो भाई आपके पास क्या-क्या चीज आ चुकी है आपके पास यह चीज आ चुकी है कि कहीं पर अगर आप देखोगे लॉक थ्री पूट कर सकते हो एसी लॉक सेवन तहीं पर देखोगे लॉक टू इसे पूट कर सकते हो सी लॉक सेवन तो यहीं पर देखोगे आप लॉक फाइव उसकी जगह क्या पूट कर सकते हो एबीसी लॉक सेवन आई हो बच्चा यहां तक सबको क्लियर होगा तब देख लो भाई सामनों को देखो करना क्या है यह जो आर था यह सारी वेल्यूज जो है देखो आर में और ये जो आपको दिया हुआ है log of 2 तो बच्चा इसको देखो इसमें हम लोग put कर देते हैं तो देखो जैसे put करेंगे देख लो required कितना आएगा बहुत ध्यान से देखना भाई required आजाएगा क्या आएगा रे 2 log 3 2 log 3 तो देखो भाई log 3 की क्या value निकाली है log 3 की हमने value निकाली हुई है उपर से देखो AC log 7 ओके सर put कर दो AC लॉग ऑफ सेवन ठीक है सर प्लस अब यहां पर ध्यान देना लग जैसे यहां पर पहुंचोगे प्लस दिया है आपको लॉग सेवन लॉग सेवन का लॉग सेवन पूट करें रहने तो ठीक है ओके सर डिवाइड कर देते हैं अब देखो जैसे इसको लॉग सेवन तो टू लॉग सी लॉग सेवन या जगह टू लॉग टू था तो यह है थी लॉग ऑफ सेवन प्लस नेक्स्ट जाती है नेक्स्ट चीज क्या आती है बच्चा बार्टी लॉक फाइव तो देखो लॉक फाइव है ABC लॉक सेवन पूट कर दो भाईया इसी जगह पूट कर दो ABC लॉक सेवन एकदम सही इसका देखो नेक्स्ट चीज आती है ABC lock 7 और आखरी इसमें दिया हुआ है बच्चा पार्टी देखो ये lock 7 ही दिया हुआ है तो इसको lock 7 ही put करें रहने दो अब देखे ना बच्चा पार्टी इसको अगर आप और जादा simplify करोगे देखो कैसे simplify करोगे ये जो lock 7 देखो सब में common है तो देखो सब में कट जाएगा ये आजाएगा 2AC plus 1 divided by 2C plus ABC plus 1 भाई साब ये answer होगा ये answer होगा तो देखो बच्चो एक चीज मैं आपको बताना चाहता हूँ, मैं ये बताना चाहता हूँ कि जैसे आपको इसमें ये दिया गया, क्या दिया गया कि A की value ये है, B की value ये है, C की value ये है, तो इसकी value in terms of ABC आपको लिखनी थी, तो देखो इसका मतलब क्या होता है, इसका मतलब कोई से बच्चों की आदत खराब हो जाती दिखने में तो बहुत अच्छे लगते हैं आपको एक आदत डालनी है सब्जेक्टिव सवाल करने की मैं चाहता हूँ यहाँ पर चार आपको दे देता है आपके लिए चीज़ें आसान हो जाती हैं कि आप लोगी training बहुत extreme situations में होगी ठीक है वैसे इतना कोई tough सवाल नहीं है कि मैं इतना boast कर रहा हूँ कि नहीं देखो देखो कितना tough सवाल दिया ऐसा कुछ नहीं है लेकिन हाँ बस मैं ये कहना चाहता हूँ कि भाई साब ये सवाल मैंने करा दिया तब ही आप कहला होगे OPE student ठीक है बच्चा बाटी तो देख लो ये इसका अंसर आता है 2AC प्लस 1 अपन 2C प्लस ABC प्लस 1 अब देखो भाई यहाँ, अब जैसे कि भाई यहाँ पे देखो, log2a की value s दी गई है, ओके सर, log2a s दिया है, log4b की value s square दी है, एकदम सही सर, logc square 8 की value देखो, यह कुछ दी हुई है, ओके सर, साथ में abc positive real number दिये है, c की value लेकिन 1 के बराबर नहीं है, ओके सर, अब देखो इसकी value आपको निकालनी है, ठीक है सर, हमेशा भाई जितना simple form लिख सकते हो लिखो इसे लिखो log2 a2 into b5 divided by c4 एकदम सही अब देखो इसको simplify जैसे करोगे ये क्या जाएगा you will get log to the base 2 उपर आएगा a2 into b5 minus log to the base 2, बहुत ध्यान से देखेगा मेरे बच्चे, देखो इसमें आपको in terms of ऐसे ही निकालना है, मतलब कि final answer में ऐसे ही दिखना चाहिए, बाकि कोई ABC फिर नहीं दिखना चाहिए, final answer में सिफ S दिखना चाहिए, और आप कुछ numbers आ सकते हैं, like 2, 3, 4, 5, 7, numbers आ सकते हैं, तो आप please इसको pause करके, अगर भाई साहब यह आपसे हो जाए, ठीक है तो भाई मुझे बहुत अच्छा फिल होगा कि आपने याली चीज सीख ली है अब यहाँ पे जरा ध्यान दे दो सिंपलिफाई करोगे यह क्या आएगा सर यहाँ आएगा log2 अब पता यह multiply में दो नमबर है तो इसको लिख सकते हो a square प्लस क्या लिख सकते हो log2 the base 2 b की power 5 minus इसको क्या लिख सकते हो log2 b की power 4 ठीक है अब देख लो बच्चा बाती जो जो value दी गई है ठीक है अब आपको पता है ये जो 2 है न ये देखो आगे आके multiply होगा ठीक है सर अब देखो जो ये 2 जैसे आगे आके multiply होगा यहाँ पर mod आएगा लेकिन आपको पता है कि जो यहाँ पर ABC positive है मतलब mod A A के बराबर होगा जो mod of B है वो बच्चा पार्टी B के बराबर होगा और mod of C जो है बच्चा वो C के बराबर होगा मानते हो ना अब यहाँ पर देहान दो यह जो mod A है इसको यह जो 5 है यह आगे multiply होगा तर यहाँ mod का चक्कर क्यों नहीं होगा इसका reason आपको पता ही है इसमें यहाँ पे mod का चक्कर क्यूं नहीं होगा क्योंकि ये odd power है अब यहाँ पे ध्यान देना भाई अब जरा देखो log2a इसकी value देखो आपको पता है कि log2a की value कितनी भाई S है ठीक है सर? log2a की value S है यानि यहाँ जाएगा 2 into S बिल्कुल सही लॉक 2 भी निगालना है तो देखो लॉक 2 भी कैसे निगालेंगे यहाँ जैसे पहुचोगे यहाँ जाएगा लॉक ध्यान से देखना भाई इससे लिख सकते हैं 2 का स्क्वेर भी इक्वल टू लिख सकते हैं S का स्क्वेर मानते हो न भाई लॉक 2 का स्क्वेर equal to s का square, अब ध्यान देना, ये जो 2 है, बाहर आएगा, तो ये हो जाएगा half, ठीक तो ये आजाएगा log 2b, अब ये ध्यान देना, equal to s square, और simplify करो, इससे भाई देखो, log 2b का value कितना हो जाएगा, 2s square हो जाएगा, अच्छा सर, log 2b का ही use है, 2s square, जैसे multiply करोगे, 10s square, एकदम सही, ठीक है बच्चा पार्टी अब क्या करना है भाई अब आपको log c square 8 की value इसके terms में देखो लिखनी है ये जो आपको दिया है log 2 c की power 4 ठीक है I hope यहाँ तक समझ में आ गया होगा अगर समझ में यहाँ तक आ गया तो comment कर देना question की बात हो रही है ऐसे में अब देखो भाई, यहाँ जैसे पहुचोगे, log 2 c की power 4, तो देखो भाई, कैसे निकालेंगे, log c square 8 है, तो यहाँ जाएगा log c square, और यहाँ हो जाएगा 8, equal to कितना हो जाएगा, equal to हो जाएगा, 2 upon s cube plus 1, एकदम सही, 2 upon s cube plus 1, simplify करो, 2 का cube, तो यहां पर लिखे रहें तो क्योंकि जो भी आपको यहां पर चाहिए है वहां पर देखो चीज पावर फॉर है तो देखो इसको मैं और सिंप्लीफाई कैसे कर सकता हूं मैं देखो भाई इसको और अगर सिंप्लीफाई करना चाहूं मैं ऐसे कर सकता हूं यहां पर बहुत ध्यान से देखना मैं इसको लिख सकता हूं यहीं पर म ठीक है भाई अब देखो यह सी स्क्वेर नंबर का स्क्वेर है तो यह जो है ना बच्चा बार्टी यह देखो जो भी चीज है ठीक है यह देखो जो भी चीज है आपको क्लियर होना चाहिए कि सी स्क्वेर देखो आगे आ जाएगा बिल्कुल सही जैसे यह देखो सी स्क्वे यहाँ पहुचो, यह कितना आ गया, सरी आ गया, 2 upon S cube plus 1, अब देखो, यह जो है न, 3, यह जो बच्चा 3 है, यह देखो भाई, आगे आ जाएगा, यह जो 3 है, यह देखो, आगे multiply हो जाएगा, कैसे होगा भाई, यह 3 देखो, यहाँ multiply होगा, अब यहाँ पे ध्यान दे दो, अब भाई साफ देखो ये बात मैंने पहले करी नहीं वैसे कोई इतनी बड़ी बात नहीं पर फिर भी मैं कर देता हूँ कि अगर आपको कहीं दिया है log AB तो ये value क्या होती है ये होती ही देखो भाई log B upon log of A एकदम सही अब इसको उल्ट नीचे ले जो log B को तो ये होता है भाई 1 upon log A upon कितना होता है भाई log of B एकदम सही ये क्या लिख सकते हो 1 upon समझे ना भाई, इसको नीचे लेके कहें, log b को, तो यह आजेगा 1 upon, यह है a, यह है b, मतलब सर हमने समझ लिया, 1 upon log b a equal to log a b, सर इसका मतलब क्या है, इसका मतलब भाई यह है, इसका मतलब यह है, कि आपने समझा कि अगर कभी भी दिया हो, तो log a b, यह value क्या होती है, log b a के बराबर होती है, ठीक है सर, यह value, log BA के बराबर होता है, देखो interchange हो गया, तो ये भी लोग as a property याद कर लेते हैं, पुरा proof देखने की जरूरत नहीं है, as a property ध्यान रखो, तो देखो इसी चीज को यहाँ पर apply करते हैं, तो ये log AB, तो देखो इसका मतलब क्या है, log AB का मतलब क्या है, यह हो जाएगा, 1 upon log, अब देखो interchange होगा, नीचे होगा 2, यहाँ होगा C square, और ये कितना है, 2 upon 3, S cube plus 1 अब भाई इसकी value आपको निकालनी है तो देखो इसकी value आप देखो कैसे निकालोग बच्चा पार्टी इसकी value निकालोगे या जाएगा log 2 C square reciprocal लिया है समझे न तो ये कितना हो जाएगा 3 into S cube plus 1 अपन कितना हो जाएगा 2 ठीक है सर यानि इसकी value आपने निकाल ली log 2 C square की 3S cube plus 1 by 2 अब तो भाई एकदम हलुआ सवाल है हाँ सर एकदम हलुआ सवाल है यहां पर माइनस होना चाहिए ठीक है इसको देखो जैसे सिंप्लीफाई करेगा यहां पर हो जाएगा माइनस और यहां अब यहाँ पे देख लो, इसकी value देखो, पीछे से हम लोग put कर रहे हैं, बच्चा पाटी, तो यही आ जाएगा, minus 2 times 3 by 2, और यह आ जाएगा, sq plus 1, ठीक है सर, अब देखो, 2 से 2 कट जाएगा, I hope भाई सब को यह clear हो गया होगा, इसको जैसे आप और simplify करोगे, देखो, इसक plus 2S ठीक है तो भाई ये देखिए इसका final answer है I hope सबको ये clear हो गया होगा क्या clear है बच्चा बार्टी ठीक है भाई तो बहुत असान सा सवाल था तो इसको कैसे तोड़ना है ये आपको समझना सीखना ही होगा इसके लावा कोई आपके पास चारा नहीं है ठीक है बच्चा बार्टी तो ये question ठीक है सर और बताईए सर अब देखो भाई ये logarithmic equations भी होती है logarithmic equations जिसमें आपको x के लिए solve करना होता है तो देखो easy से questions है एक बर जब आप इसको खुद से try करिए ठीक है खुद से try करिए फिर मेरी बारी आएगी ठीक है बच्चा बार्टी मेरी बारी आ गई बच्चा लोग तो देखो भाई क्या है अच्छा ये यार गलत दिया हुआ इसमें 5 की पावर लॉग एक्स था असली सवाल में ठीक है भाई 5 की पावर लॉग एक्स ठीक है तो देखो भाई साफ इसको हम लोग कैसे करेंगे इसको लिख सकते हैं भाई 5 की पावर लॉग एक्स एकदम सही माइनस 3 की पावर लॉग एक्स डिवाइडिट भाई क्या 3 ठीक है भाई क्योंकि यह देखो लिखा क्या हुआ एक चीज जरा मैं क्लियर करता हूँ आप लोगों को यहां पर ब्राकेट्स नहीं दिये हुए बच्चा बाटी ठीक है अगर यहां पर देखो ब्राकेट्स नहीं दिये हुए हैं तो इसको आप देखो ऐसे लिखोगे पूरे में भाई देखो 1 subtract हो रहा है ठीक है बच्चा अब कुछ लोग confused हो कि x-1 7 में ले लेते हैं तो देखो ये doubt मैं दूर करने आया हूँ कि x-1 7 में नहीं अगर कभी ऐसा दिया हुआ है log x-1 brackets यूज नहीं तो यहाँ पे ये bracket रहा होगा इसको लिख दोगे 3 की power log x एकदम सही और देखो plus में क्या हो जाएगा plus में हो जाएगा 1 minus 5 की power ये हो जाएगा log x एकदम सही और minus में आ जाएगा 1 I hope अच्छा पार्टी ये सबको clear होगा अब जरा यहाँ पे ध्यान देना क्या सर क्या ध्यान देना है मैंने कह देखो बाई ये दिया हुआ है 5 की power log x बिलकुल सही ये है minus 3 की power log x एकदम सही minus 1 का मतलब क्या है नीचे देखो 3 की power 1 जब दो same base की चीज तो ये log x minus बनाया होगा और ये equal to क्या जाएगा 3 की power log x एकदम सही और into क्या आजाएगा, 3 की power 1, minus आजाएगा 5 की power कितना log x, और divided by कितना आजाएगा 5, समझ में आ रहा है भी यह, देखो same base की चीज़ें, 3, 3 multiply हुए, इसलिए उनको power यहाँ पे add हुई थी, और यहाँ पे आप समझ गया होगे, कि same base की चीज़ 5, 5 है, 5 की power 1 नीचे है, तो log x minus 1 हुआ होगा, जैसे यह हो गया, यह हो गया, तो देखो what you will get, आपको मिलेगा 5 log x उधर से आया वो वाली चीज ये वाली चीज इधर आई तो यह आजाएगा देखो बच्चा पार्टी 5 log of x divided by 5, एकदम सही, या लिखी जी उधर जाएगी, तो यह आजाएगा, 3 की power log x, एकदम सही, और into क्या होगा, 3, और यह उधर जाएगा, तो यह कितना आजाएगा, 3 की power log x, whole divided by 3, एकदम सही, अब देखो बच्चा बार्टी, next step क्या है, next step यही आप देखो समझ रहे होगे, तो यह 5 की power log x, इसमें देखो 3 की power log x को common लेंगे, तो देखो बच्चा बाटी next page में क्या है next page में यह है कि जो 5 की power जो log x है ठीक है ना यार अंदर बचेगा 1 plus 1 by 5 हर साल यही बनता है 3 की power जो log x है हर साल भाई अंदर बसता है 3 plus 1 by 3 I hope यही बचाओ common लेने के बाद यही बचेगा बिल्कुल सही अब देखो भाई जैसे इसको और simplify करोगे तो देखो इन दोनों को साथ में ले जाओ 3 इधर लेके आओगे 5 की power log x divided by 3 की power log x equal to यह आजाएगा बच्चा पार्टी देखिए 10 by 3 यह आजाएगा भाई 5 by 6 और अगर simplify करोगे तो यह आ रहा है बच्चा तुको 25 by 9 मतलब 5 by 3 का whole square आ रहा है ठीक है सर, अब यहाँ पर देख लो, देखो, power same है, तो आपको बता है, power same होने का मतलब क्या है, 5 by 3, race power हो जाएगा, मेरे cute से बच्चों, log x, equal to आ जाएगा, 5 by 3 का whole square, अब बताओ, अगर ये दोनो numbers बच्चा पार्टी same है, अगर देखो, ये दोनो numbers आपके same है, इसका मतलब क्या होगा, इसका मतलब ये होगा भाई, कि ये जो log of x है, ये होगा बच्चा पार्टी 2, देखो भाई यह होगा 2 तो देखो इसका base दिया हुआ 10 दिया नहीं है नहीं दिया तो हम लोग 10 ही assume करेंगे तो सड्डे नाल जैसे लगाएगा तो सड्डे नाल से n equals to a की power l मतलब 100 आ जाएगा तो देखो भाई यही है answer यहाँ पे भाई हमने नाल property लगाई है n equals to a की power l ठीक है सर तो देखो बच्चों इसके आगे कुछ question जो रहे गए हैं यह आपके homework है बढ़िया questions है ठीक है तो इसका यह आप DPP की तरह ले लो यह आपके लिए बच्चों एक तरह से DPP की तरह questions है ठीक है बहुत बढ़िया questions है भाई साब बहुत बढ़िया questions है इसका मतलब मैं स वरना नेक्स्ट टर्न में मैं बताऊंगा ठीक है दिस एक्सिट रूट और अगर यहां पर ध्यान दोगे बच्चा बार टी और ध्यान दोगे यहां पर ध्यान दे दो यह भी देखो बहुत प्यारा सवाल है इस ऑल्सएड होमवर्क प्वेश्चन अगर इसका आंसर देना है तो इसमें homework में एक दिल कर देना मैं समझ जाओंगा इसका इसका आप कर रहे हो तो देखो हुमवर्क में भाई साथ तीन दिल दे देना तो मैं समझ जाओंगा इसका आंसर कर रहे हो ठीक है कुछ नंबरिंग उल्टी सीधी हो गई पर कोई बात नहीं इसमें देखो ऐसे दिल लगा देना और आंसर लिख देना तो मैं समझ जाओंगा क और उम्मीद है कि आप बहुत अच्छे से बिल्कुल पढ़ाई कर लेंगे तो बच्चों जैसे आप बहुत अच्छे से पढ़ लो बहुत अच्छे से पढ़ लो बहुत से अच्छे से पढ़ लो बस यहाँ पे कमेंट कर देना कि सर दिल में बस गया और बस इतना ही मुझे कहना था और हाँ जो previous turn था उसमें कुछ questions जो homework में दिये थे उनका discussion बिटा आपके कल वाले वीडियो में आ जाएगा कल जो set theory हम लोग start करेंगे पहले set theory मैं पढ़ाऊंगा और set theory पढ़ाने के बाद आखरी के कुछ time में मैं वो वाला वीडियो मतलब वो जो homework question है वो हम लोग discuss कर लेंगे ठीक है और साथ में log वाले question भी discuss कर लेंगे तो मिलते हैं बच्चों कल set theory के साथ और साथ में और साथ में और साथ में जितने आज तक homework question दिये हैं जिनके discussion नहीं हुआ है वो भी हम लोग करेंगे discuss कल ओके बच्चों बाबाई love you all