Μιγαδικοί Αριθμοί: Εισαγωγή και Βασικές Ιδιότητες

Εισαγωγή στους Μιγαδικούς Αριθμούς

• Πολύ χρήσιμοι στις θετικές επιστήμες.
• Το σύνολο C (μιγαδικοί αριθμοί) περιλαμβάνει το σύνολο R (πραγματικοί αριθμοί).
• Κύριο νέο στοιχείο είναι το i (φανταστική μονάδα) με την ιδιότητα: i² = -1.

Βασικές Ιδιότητες των Μιγαδικών Αριθμών

• Κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται ως: Z = α + βi, όπου α το πραγματικό μέρος και β το φανταστικό μέρος.
• Αναπαράσταση στο καρτεσιανό σύστημα με τον άξονα των πραγματικών και των φανταστικών αριθμών.

Ίσαί Μιγαδικοί

• Δύο μιγαδικοί Z₁ = α₁ + β₁i και Z₂ = α₂ + β₂i είναι ίσοι αν και μόνο αν:
  • α₁ = α₂
  • β₁ = β₂
• Ένας μιγαδικός Z = α + βi είναι μηδέν αν και μόνο αν:
  • α = 0
  • β = 0

Πράξεις με Μιγαδικούς

• Πρόσθεση: Προσθέτουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη.
• Αφαίρεση: Όμοια με την πρόσθεση.
• Πολλαπλασιασμός: Επιμεριστική ιδιότητα, με χρήση της ιδιότητας i² = -1.
• Διαίρεση: Πολλαπλασιασμός με τον συζυγή του παρανομαστή.

Ο Συζυγής Μιγαδικού Αριθμού

• Z = α + βi, συζυγής: Z̅ = α - βi.
• Ιδιότητες:
  • Z + Z̅ = 2α
  • Z - Z̅ = 2βi

Υπολογισμός Δυνάμεων του i

• Χρησιμοποιούμε την ευκλείδεια διαίρεση ν/4 και το υπόλοιπο για τον υπολογισμό.
• iⁿ όπου n = 4κ + y (y = υπόλοιπο).
  • i⁰ = 1
  • i¹ = i
  • i² = -1
  • i³ = -i

Τριώνυμο στους Μιγαδικούς

• Τα αποτελέσματα είναι σύζυγοι μιγαδικοί.
• Αν η διακρίνουσα είναι αρνητική, χρησιμοποιούμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων.
• Βασικοί τύποι ισχύουν και για μιγαδικούς (άθροισμα ριζών, γινόμενο ριζών).

Κριτήρια για Πραγματικούς και Φανταστικούς Μιγαδικούς

• Z ϵ R αν και μόνο αν Z = Z̅.
• Z ϵ φανταστικούς αν και μόνο αν Z = -Z̅.

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

• Απόσταση από την αρχή των αξόνων στο καρτεσιανό σύστημα.
• Μέτρο: |Z| = √(α² + β²).
• Ιδιότητες:
  • |Z| = |Z̅|
  • |Z₁Z₂| = |Z₁| |Z₂|
  • Τριγωνική ανισότητα: |Z₁ + Z₂| ≤ |Z₁| + |Z₂|

Επόμενα Θέματα

• Γεωμετρικοί τόποι των μιγαδικών αριθμών.