Λοιπόν, ο σκοπός μας σε αυτό το βίντεο είναι να κάνουμε μία εισαγωγή στο μαγικό κόσμο των μηγαδικών αριθμών. Να δούμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών, να δούμε τους ορισμούς των μηγαδικών, κάποιες ιδιότητες και γενικότερα πώς πραγματεύονται οι μηγαδικές αριθμοί, κάτι που είναι πάρα πολύ χρήσιμο για όσα παιδιά σπουδάζουν σε σχολές των θετικών επιστημών. Παλιότερα ήταν και στην ηλίτης γαμαλικίου. πλέον είναι εκτός ύλης, αλλά είναι πάρα πολύ χρήσιμη η θεωρία τους για όλες τις σχολές των θετικών επιστημών. Λοιπόν, γνωρίζουμε το σύνολο C για τους μηγαδικούς αριθμούς, το οποίο τι κάνει, περιέχει ένα καινούριο σύνολο, ένα υπερσύνολο το σύνολο C, το οποίο περιέχει το σύνολο ρο, το r, το γνωστό μας των πραγματικών αριθμών, με τις ίδιες πράξεις και ιδιότητες, τα ίδια οδετέρες στοιχεία στην πρόσφυση το 0 που είχαμε και στον πολλαπλασιασμό το 1 και επιπλέον...
το καινούριο στοιχείο είναι το Ι, το οποίο είναι η φανταστική μας μονάδα. Και η ιδιότητα που έχει αυτή η φανταστική μονάδα είναι ότι αν την υψώσουμε στο τετράγωνο μας δίνει το μείον 1. Αυτή λοιπόν η ιδιότητα είναι που ανοίγει και ένα καινούριο κόσμο, ένα καινούριο σύνολο, το σύνολο των φανταστικών αριθμών, όπου οι φανταστικοί αριθμοί μαζί με τους πραγματικούς φτιάχνουν το σύνολο των μηγαδικών αριθμών. Κάθε στοιχείο Z. του συνόλου των μηγαδικών αριθμών γράφεται με μοναδικό τρόπο με τη μορφή Z ίσον α συν βιτα γιότ και η μοναδικότητα με την οποία γράφεται το κάθε στοιχείο οφείλεται στο γεγονός ότι αν πάρουμε το γνωστό μας καρτεσιανό σύστημα στενταγμένο με τους άξονες χ τόνος χ και ψ τόνος ψ ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας των πραγματικών αριθμών δεν άλλαξε κάτι σε αυτό αλλά ο κατακόρυφος άξονας θα είναι πλέον ο άξονας των φανταστικών αριθμών οπότε ο μηγαδικός Z ίσον α και βι, γ, όπου το α θα αποτελεί πάντα το πραγματικό του μέρος και το συμβολίζουμε με το real z και β θα είναι το φανταστικό του μέρος και το συμβολίζουμε με το γ, μ, ζ από το imagine και το real, αντίστοιχα αυτές οι συμβολισμοί, για να το σχεδιάσουμε στο καρτσενό σύστημα συνταγμένων. Εδώ έχουμε το α, εδώ έχουμε το β, άρα πρόκειται για ένα μοναδικό σημείο στο επίπεδο, το σημείο με συνταγμένες α, β ή αλλιώς λέμε το σημείο μ, ζ πλέον.
αφού μιλάμε για μηγαδικούς αριθμούς και για την παράστασή τους στο επίπεδο. Λοιπόν, το πρώτο πράγμα που θα δούμε είναι πότε δύο μηγαδικοί είναι ίσοι και πότε ένας μηγαδικός είναι ίσος με το 0. Για να είναι δύο μηγαδικοί ίσοι, αν έχουμε για παράδειγμα τον α συν βι και τον γ συν δι, θα πρέπει το πραγματικό μέρος του ενός να ισούται με το πραγματικό μέρος του άλλου και το φανταστικό μέρος του ενός να ισούται με το φανταστικό μέρος του άλλου. Αντίστοιχα για να κάνει ένας μηγαδικός 0 θα πρέπει και το πραγματικό του μέρος να κάνει 0 και το φανταστικό του μέρος να κάνει 0. Αυτή λοιπόν είναι μια πρώτη προσέγγιση για να δούμε πότε διαμηγαδικνύσει και πότε ένας μηγαδικός κάνει 0. Πάμε να δούμε τώρα πώς ορίζονται οι πράξεις με μηγαδικούς.
Η πρόσθεση είναι αρκετά εύκολη. Για να προσθέσουμε δύο μηγαδικούς προσθέτουμε το πραγματικό μέρος του ενός με το πραγματικό μέρος του άλλου και αντίστοιχα το φανταστικό μέρος του ενός με το φανταστικό μέρος του άλλου θα βγει κοινός παράγοντας το ι, οπότε θα έχουμε τελική μορφή α συν γ συν β συν δι. Για να τους αφαιρέσουμε τώρα δύο μηγαδικούς, σκεπτόμενοι ότι το γ συν δι γράφεται πλήν γ πλήν δι, μπορούμε να το μετατρέψουμε και αντί για αφαίρεση να κάνουμε πρόσθεση, δηλαδή να προσθέσουμε το α συν β γ με το πλήν γ πλήν δι. Οπότε πάλι προσθέτουμε πραγματικό με πραγματικό μέρος και φανταστικό με φανταστικό μέρος. Το ι θα βγει κοινός παράγοντας στην δεύτερη περίπτωση και θα έχουμε το β πλειν δελταγιότ για το φανταστικό κομμάτι του μηγαδικού μας.
Στον πελαπλασιασμό θα κάνουμε τη γνωστή μας ιδιότητα επιμεριστική. τετράγωνο, εδώ πέρα βγαίνει κοινός παράγοντας το ιότ που κάνει μειον ένα οπότε κρατάμε σαν πραγματικό μέρος το αγ πλυν β δ συν α δ συν β γ επ ιότ εδώ κάθε φορά αρκεί να κάνουμε τις πράξεις, δεν χρειάζεται να μάθουμε από έξω κάποιους τύπους για τον πολλαπλασιασμό ή και για τη διαιρέωση θα δούμε παρακάτω. Όταν έχουμε να διαιρέωσουμε τώρα δύο μηγαδικούς αυτό που κάνουμε είναι να πολλαπλασιάσουμε όπως θα δούμε και στη συνέχεια με το συζυγί του παρανομαστή αριθμητή και παρονομαστή, δηλαδή ο συζυγής του γαμμα συν δελτα γιωτ είναι το γαμμα πλην δελτα γιωτ, κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μας αριθμητή και παρονομαστή, άρα πάλι κάνω το γαμμα πλην δελτα γιωτ. Σε επιμεριστικές μας στον αριθμητή θα καταλήξουμε σε μια τέτοια μορφή. Από κάτω αυτό μας θυμίζει διαφορά τετραγώνων, όμως θα μας δώσει γάμα τετράγωνο πλήν δέλτα γιώτ στο τετράγωνο.
Οπότε το γιώτ στο τετράγωνο κάνει μείον ένα, οπότε αντί να δούμε διαφορά τετραγώνων βλέπουμε άθροισμα τετραγώνων στον παρονομαστή. Εδώ είναι χρήσιμο πάντα σε ασκήσεις να σπάμε το κλάσμα για να προκύπτει το φανταστικό μέρος. το πραγματικό μέρος, συγγνώμη, και το φανταστικό μέρος του μηγαδικού.
Πάντα είναι χρήσιμο να είναι ξεχωριστό και το πραγματικό από το φανταστικό μέρος του μηγαδικού για να μπορούμε να το μελετάμε πιο εύκολα. Λοιπόν, πάμε να δούμε τι είναι το συζυγί που χρησιμοποίησαμε προηγουμένως, τι είναι συζυγί σε ένας μηγαδικού αριθμού z ίσον α σύν βιν τα γιον και τι ιδιότητες έχει ο συζυγής. Καταρχήν ο συζυγής συμπολίζεται με αυτήν την παυλίτσα πως βλέπουμε, δηλαδή αν Z ίσον με α και βι, ο συζυγής θα είναι Z με μια παυλίτσα από πάνω α πλην βι, ή αλλιώς μπορούμε να το γράψουμε ότι ο συζυγής το α και βι με μια τεράστια παύλα από πάνω που να καλύπτει πραγματικό και φανταστικό μέρος θα είναι ίσο με α πλην βι.
Αντίστοιχα το α πλην βι θα ισούται με το συζυγί του θα είναι το α συν βι. Χρήσιμο είναι να ξέρουμε ότι αν κάναμε τους άξονες πάλι και σχεδιάζαμε τον Z και τον συζυγί του, η συμμετρία που έχουν είναι με τον άξονα Χ των ως Χ. Βιλέπουμε εδώ πέρα ότι αφού έχει αλλάξει το πρόσφατο του Βι, η εικόνα του μηγαδικού Α και Βιι βρίσκεται πάνω από τον άξονα Χ των ως Χ και το Α πλύν Βιι θα βρίσκεται από κάτω.
Συμμετρία με τον άξονα Χ των ως Χ. Δύο χρήσιμες ιδιότητες για τους συζυγείς, δύο πρώτες χρήσιμες ιδιότητες είναι ότι το άθροισμα των συζυγών, Z και Z συζυγής, θα ισούται με δύο φορές το πραγματικό μέρος, ουσιαστικά αν αντικαταστήσουμε και κάνουμε τις πράξεις θα φύγουν τα φανταστικά μέρη. Το γράφουμε λοιπόν 2α ή αλλιώς 2ρζ, μια και αλφ, το α είναι το πραγματικό μέρος του μηγαδικού.
Αν αφαιρέσουμε δύο μηγαδικούς, πάλι αν αντικαταστήσουμε, πρώτα το κάνετε και σαν άσκηση αυτό. θα φύγει το πραγματικό μέρος και θα μείνει το 2βι, δηλαδή 2 φορές το imagine z του γιό του. Λοιπόν, αυτά και για τους συζυγείς.
Πάμε τώρα στις ιδιότητες των συζυγών, τι ιδιότητες μπορούμε να χρησιμοποιούμε όταν τους συναντάμε. Πρώτα απ'όλα όταν έχουμε z1 και z2 συζυγή μπορούμε να το σπάσουμε σε z1 συζυγή και z2 συζυγή, κάτι που ισχύει και αν έχουμε και ένα άθροισμα με περισσότερους μηγαδικούς με το συζυγή τους. Αν έχουμε τη διαφορά τους γίνεται Z σιζυγές πλην Z σιζυγές, το γινόμενο αντίστοιχα Z σιζυγές επί Z σιζυγές, το ίδιο και για το πηλίκο και φυσικά για το γινόμενο ισχύει και για περισσότερους από έναν μηγαδικούς.
Αυτές λοιπόν είναι οι βασικές ιδιότητες των σιζυγών. Κάτι αρκετά σημαντικό, μια και γνωρίσαμε το Ι, που μας άνοιξε τους φανταστικούς αριθμούς και γενικότερα μας όρισε τους μηγαδικούς, χρήσιμο είναι να ξέρουμε πώς υπολογίζουμε τις δυνάμεις του Ι. Εδώ λοιπόν χρησιμοποιούμε το, αν υποθέσουμε ότι έχουμε το Ι στη ΝΗ, για να υπολογίσουμε τις δυνάμεις, κάνουμε την ευκλή διαδιέρεση του ΝΗ με το 4. Οπότε, σε αυτή την περίπτωση λοιπόν εδώ θα προκύψει ένα υπόλοιπο που το λέμε ΥΨΙΛΟΝ και το πηλίκο αυτής της διαίρεσης θα είναι, από την ευκλή διαίρεση θα έχουμε το ΝΗ, αν το διαίρεσουμε με το 4 θα μας δώσει το ΝΗ, ίσως με 4 ΡΟΚΕ ΥΨΙΛΟΝ.
Το ρ είναι το πηλίκο λοιπόν, το y είναι το υπόλοιπο της ευκλήδης διαιρέσεις του ν με το 4. Άρα, παίζουμε μετά με ιδιότητες δυνάμεων και έχουμε το y στην 4 ρο επί το y στο y. Το y στην 4 ρο μπορούμε να το σπάσουμε, y στην 4 και όλο εις τη ρο. Το y στην 4 εδώ να πούμε ότι γράφεται y στο τετράγωνο επί y στο τετράγωνο που σημαίνει μίον 1 επί μίον 1 θα μας κάνει τη μονάδα που βλέπουμε εδώ.
1 ιστηρό κάνει 1, άρα τελικά μας μένει το Ι στο υπόλοιπο. Το υπόλοιπο της διευκλήτριας διαίρεσης μπορεί να πάρει τιμές 0, 1, 2, 3. Άρα όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να μας δώσει το Ι ψωμένο σε κάποια δύναμη είναι 1 αν το υπόλοιπο κάνει 0, Ι αν το υπόλοιπο κάνει 1, πλήν 1 αν το υπόλοιπο κάνει 2, Ι στο τετράγωνο πλήν 1 όπως το έχουμε ορίσει. Και αν είναι Ι στην τρίτη θα είναι Ι τετράγωνο επί Ι, δηλαδή πλήν Ι τελικό αποτέλεσμα.
Άρα λοιπόν εδώ για να υπολογίσουμε γενικά όλες τις δυνάμεις του Ι, μια και στην ουσία επαναλαμβάνονται, έχουμε τέσσερα διαφορετικά αποτελέσματα, κάνουμε την ευκλήδη διαίρεση του νι με το τέσσερα και παίρνουμε το νι θεωρησούται με το τέσσερα ρο συν ίψιλον. Λοιπόν, πάμε τώρα να δούμε πώς λύνουμε την εξίσωση αζ τετράγωνο και βζ και γάμα ίσο με το μηδέν. Το γνωστό μας τριώνυμο.
Εδώ δεν αλλάζει κάτι αν έχουμε ότι η διακρίνωση είναι θετική, τότε θα έχουμε σε αυτή την περίπτωση δύο πραγματικές λύσεις. Τις γνωστές μας πλήν β, συν πλήν β, προς διω α. Αν η διακρίνωση κάνει 0, τότε έχουμε μια διπλή πραγματική λύση, το ζ'πλήν β προς διω α, και τώρα πάμε να δούμε τι κερδίζουμε με τους μηγαδικούς αν η διακρίνωση είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση καλό είναι να θυμηθούμε τη μέθοδο συμπλήρωση τετραγώνων όπου είχαμε το z συν β προς 2α στο τετράγωνο, χ είχαμε παλιά με το τρίο νούμερο, τώρα βάλαμε το z εδώ, ίσουτε με το δέλτα προς 4α τετράγωνο. Όμως, η διακρίνουσα είναι αρνητική.
Άρα, για να μπορέσουμε να λύσουμε μια τέτοια μορφή εξίσωσης, βάζουμε το μείον 1 και το μείον δέλτα, έτσι ώστε το δέλτα, η διακρίνουσα μας με το μείον μπροστά, να γίνει θετική σαν ποσότα και να μπορεί να μπει κάτω από τη ρίζα. Το μείον 1 είναι το γιό του. τετράγωνο, άρα λοιπόν το έχουμε φέρει σε αυτή τη μορφή, τον παρονομαστή μπορούμε να τον γράψουμε 2α και όλο στο τετράγωνο αυτό μπαίνει όλο σε παρένθεση στο τετράγωνο άρα λοιπόν από τη μορφή που έχουμε από τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων εδώ πλέον για να λύσουμε τα τετράγωνα φεύγουν, θα πάει το πλυν β προς 2α στην άλλη μεριά όπως είχαμε κάνει και την απόδειξη τότε κλασικά για το τριώνυμο άρα λοιπόν εδώ θα έχουμε σαν αποτέλεσμα πλυν β συν πλυν γ ρίζα του πλυν δ Μπήκε λοιπόν το μειον στη διακρίνωσα για να γίνει θετική ποσότητα και να πάει κάτω από τη ρίζα και το μειον 1 που έχουμε απ'έξω ήταν το ιο τετράγωνο το οποίο συνεχεία έγινε ιο και φτάνουμε σε μία μορφή όπου οι λύσεις μας είναι 2 συζυγής μηγαδική.
Αυτό είναι χρήσιμο να το γνωρίζουμε διότι αν μας δίνουν μία εξίσωση μηγαδικών και μας λένε τη μία λύση ας πούμε ότι η μία λύση είναι το 2 συν 3ι δεν χρειάζεται να κουραστούμε για να βρούμε την άλλη λύση προφανώς η άλλη λύση θα είναι το 2 πλην 3ι. Πάντα οι λύσεις σε αυτές τις περιπτώσεις είναι συζυγής μηγαδική. Επίσης, οι τύποι του ΒιΕΤΑΙ, τα γνωστά μας τυπάκια για το άθροισμα ριζών που κάνει πλήν β προς 2α και γινόμενο ριζών που κάνει γαμμα προς α αισχύει και στους μηγαδικούς.
Z και Z ουσίτε με το πλήν β προς α α και το Z επί Z ουσίτε με το γαμμα προς α α. Λοιπόν, ας προχωρήσουμε με δύο σημαντικά κριτήρια που έχουμε για τους μηγαδικούς. Αν ένας μηγαδικός Z ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς, έχουμε το κριτήριο ότι ο Z ανήκει στο ρο, αν και μόνο αν, Z ίσον Z συζυγές.
Προφανώς αυτό σημαίνει ότι αν το Z ισούται με το συζυγί του, ο Z είναι πραγματικός και αντίστοιχα αν ο Z ανήκει στους φανταστικούς, αν και μόνο αν, Z ίσον με το πλήν Z συζυγές. Και το αντίστροφο ότι αν ο Z ισούται με το πλήν Z συζυγί του, τότε ο Z μας είναι φανταστικός, ανήκει στο σύνολο των φανταστικών. Λοιπόν, προχωράμε παρακάτω. Πάμε να δούμε τι λέμε μέτρο ενός μηγαδικού.
Είδαμε ότι ο μηγαδικός παρίσταται στο επίπεδο σαν ένα σημείο. Το μέτρο του μηγαδικού θα είναι η απόσταση που έχει αυτό το σημείο από την αρχή των αξώνων. Η απόσταση δηλαδή του μη από το όμικρον.
Αυτό λοιπόν θα είναι για μας το μέτρο του μηγαδικού. Αν έχουμε λοιπόν στο μη α, β ή μια εικόνα ενός μηγαδικού ζ ίσον α και βι, όπως βλέπουμε εδώ, στο μηγαδικό επίπεδο, το μέτρο... Θα είναι η απόσταση του μη από την αρχή ωμικρον και με το γνωστό μας πυθαγόριο θεώρημα έχουμε το μέτρο του ζ, συμβολίζεται όπως το απόλυτο, είναι η απόσταση ωμικρον μη και θα είναι ίσο με ρίζα α τετράγωνο συν β τετράγωνο. Οι βασικές ιδιότητες του μέτρου των μηγαδικών είναι το μέτρο ενός μηγαδικού στο με το μέτρο του συζυγίτου, άλλωστε ο συζυγής είχαμε πει ότι είναι συμμετρικός με τον άξονα χ, τον ως χ, θα έχουμε την ίδια απόσταση από την αρχή των αξώνων και ισούται και με το μέτρο του μήων.
Ωμήον Z, μια και το αναφέρουμε, θα είναι συμμετρικός με την αρχή των αξώνων. Επίσης άλλη ιδιότητα είναι το μέτρο του Z τετράγωνο γράφεται σαν Z επί Z στις Υγείας. Αυτό μπορείτε να το κάνετε και σαν ασκησούλα.
Να βάλουμε το α συν βιτ αιώτη επί α πλυν βιτ αιώτη να δούμε ότι θα πάρουμε το α τετράγωνο και βιτ τετράγωνο. Το μέτρο του γινωμένου διών μηγαδικών γράφεται μέτρο του ενός επί μέτρο του άλλου. Το πηλίκο το ίδιο, σπάει σε αριθμητή και σε παρανομαστή. Και τέλος έχουμε την ιδιότητα γνωστή ως κεντριγωνική ανισότητα, ότι το μέτρο της διαφοράς των μέτρων Z πλήν Z θα είναι μικρότερο ίσο από το μέτρο Z συν Z και μικρότερο ίσο από το μέτρο Z συν μέτρο Z.
Λοιπόν, αυτά είναι τα πρώτα βασικά στοιχεία θεωρίας των μηγαδικών για να μπούμε λίγο στο νόημα. Σε επόμενο βίντεο θα ασχοληθούμε με τους γεωμετρικούς τόπους των μηγαδικών αριθμών, μια πάρα πολύ σημαντική ενότητα. Και φυσικά θα μπορέσουμε έτσι να δούμε και κάποιες όμορφες ασκησούλες. Καλή συνέχεια, αν σας φάνηκε ενδιαφέρον το βίντεο μην ξεχνάτε να κάνετε την εγγραφή σας στο κανάλι.