Hello बच्चो, आज जो हम topic लाए हैं वो है System of Particles, मतलब simple भाषा में बात करें तो Center of Mass. तो यार कई बच्चे हमसे request कर रहे हैं collision पे video बनाने को तो बच्चो elastic collision, inelastic collision आएगा थोड़ा था center of mass का basics जान लो तब collision के अंदर जाने में मज़ा आएगा collision पे भी series बनानी पड़ेगी कम से कम 2 या 3 video बनाने पड़ेगी एक video में नहीं होगा तो start करते हैं आज center of mass my name is Alak Pandey and my channel is physics wala, no, it's not my channel our channel is physics wala so आज का topic है center of mass या system of particles जैसे आप deal करो इसको इसके बाद rotation आएगा पहले इसको सीखना पड़ेगा center of mass क्या है बच्चो center of mass समझने के लिए आप ऐसे समझो मान लो मेरे पास एक्सी वर्मा का example लेता हूँ मान लो मेरे पास एक cricket ball है ठीक है उस ball को मैं ऐसे घुमा कर ऐसे spin करा के उपर फेकूं क्या उस ball के किसी भी एक particle का उस ball के उपर जो surface है उस surface के किसी भी एक particle का particle का motion कुछ आपको समझ में आ रहा है कैसे गुमाई ball मैंने ऐसे और उपर की तरफ फेक दी मतलब ये ball है पहले थे इसको spin कराया फिर इसको उपर फेक दिया तो किसी एक particle को देखोगे तो वो ऐसे ऐसे ऐसे spiral से अजीब सी path लेके जा रहा होगा उपर इस तरह से इस बॉल के अलग-अलग particle की study करना possible नहीं है बहुत अजीब हो जाएगा motion तो हम क्या करते हैं? हम इस बॉल के center of mass की study करते हैं माललो मैंने बॉल को ऐसे spin करा के जब उपर ऐसे सीधा फेका तो जो इसका center of mass होगा बच्चों वो तो straight line में चलेगा हाँ, तो ऐसा होता है, जब बहुत complex motion हो रहा हो, तो center of mass का जो रास्ता रहता है, वो बड़ा simple रहता है. एक बार center of mass का रास्ता पढ़ लेंगे, फिर center of mass के respect में उस particle का रास्ता check कर लेंगे.
ये method जादा आसान होगा चलो मैं आपको दूसरा example देता हूँ और complex करता हूँ मालो ये marker है और इस marker को मैंने यहां से ऐसे घुमा कर ऐसे घुमा कर ऐसे फेक दिया projectile में एक ऐसे ठीक है ऐसे घुमा के फेक दिया इसको किसमें प्रोजेक्टाइल में ये जून ये ठीक है ये मारकर है इसको मैंने ऐसे घुमाया और इसको प्रोजेक्टाइल में फेक दिया अगर आप बोलूं मारकर की इस पॉइंट का या इस पॉइंट का ये ऐसे ऐसे ऐसे भी हो रहा और अगर भी जा रहा मतलब इसका पात अजीब सा ऐसे ये घुम भी रहा है और प्रोजेक्टाइल भी कर रहा है तो बहुत मुश्किल है मारकर की किसी एक पार्टिकल का पात समझना पर फिर से अगर आप center of mass को धियान से देखो तो देखो धियान से center of mass सिफ projectile motion किया जिसका center of mass उसने कौन सा motion किया projectile motion किया तो हम center of mass की study कर लेंगे और उसके respect में different particle की बात करेंगे है कि नहीं देखो imagine करो अब सोचो कि सिफ center of mass देख रहे हैं हम तो ज़रा center of mass पर ध्यान दो center of mass देखो पूरा एक्या कर रहा है सिफ projectile motion तो यह importance है center of mass की center of mass का रास्ता पढ़ लो उसके बाद बाकी particle की बात कर लो basically अभी हम लोग को अगला चाप्टे जो पढ़ना है वो rotation है rotation में क्या होगा body गोल गोल घूमेगी फिर rotation के साथ translation आ जाएगा मतलब गोल गोल घूमेगी भी और चलेगी भी अब समझ लो जो भी कर ला था मैं तो वहाँ पर हम किस की study करते हैं center of mass की सिर्फ कि path के लिए हमने ऐसा किया है बहुत बड़ा importance है physics में जैसे मैंने पिछले lecture में याद है आपको एक question दिया था कि ये एक platform है और इस पर मैंने एक chain रख दी इस platform पर मैंने एक chain रख दी, semicircle platform पर एक chain, इस chain का mass m था, है न इस chain का mass कितना था, m था और मान लो इसका radius यहां से यहां r था, तो मैंने आपसे कहा था इस chain की potential energy बताओ potential energy का formula होता है mgh पर यहां problem यह था कि mass पूरा distributed था, कुछ mass यहां पे है पर है कुछ मास मतलब कुछ की हाइट कम है कुछ की हाइट ज्यादा कुछ की और ज्यादा कुछ की और ज्यादा फिर कुछ मास की हाइट कम फिर कम तो कौन सा एक्शन एक्शन तो लगातार चेंज हो रहा है तो हमने कहा था आप ऐसे सिस्टम में पोटेंशल एनरीजी इस तरह की जगहों पे भी यूज होगा, जहां मालों हमको इंटिग्रेशन करना पड़े, तो हम इंटिग्रेशन से बच गए डियम लेते फिर डियम की MGH करते फिर उसको इंटिग्रेट करते वगेरा वगेरा कुछ जरवती नहीं हमने सेंटर ओफ मास की हाइट ली काम बन गया बहुत यूज़ है यार फिजिक्स मतलब ऐसा एक दो नहीं मतलब बताता रहों तो चलते रहे जैसे मान हमारे पास मालो ये एक स्फियर है और ये गोल गोल भूम रहा है उमेगा स्पीड से और ये आगे चल रहा है वी स्पीड से ठीक है? मालो इसके पास एस्कलिरेशन भी है, फोर्स वगेरा भी है, मालो इस पर फोर्स लग रहा है. तो बच्चो फोर्स इस इक्वल्स टू मास इंक्व एस्कलिरेशन लिखते हैं आप? ये किसका एस्कलिरेशन है? यार इस point का acceleration देखो अजीब सा होगा ये गोल भी घूम रहा है तो इसके पास centripetal acceleration भी होगा आगे भी चल रहा है इसका acceleration अलग इसका acceleration अलग सब particle का देखो acceleration सबकी अलग अलग path है यार इकदम ये किसका acceleration है center of mass का जब भी आप physics में लिखते हो ना f net is equals to m a तो आप body के center of mass का लिख रहे होते हो हम जब भी एक्वेजिन लिखते हैं, हम एस्क्लोरेशन किसका लेते हैं?
सेंटर ओफ मास का, इंडिविजुअल पॉइंट्स का हम एस्क्लोरेशन नहीं निकालते हैं, हम सेंटर ओफ मास का निकालते हैं, यार मालदे इस बॉडी का मॉमेंटम मुझको लिखना है, इस बॉडी का फॉर्मला बोलो, मास इंटू विलोसिटी अलग-अलग है, गूमने के बाद पीछे जा रहा हूँ, वी स्पीड से आगे जा रहा हूँ, मतलब सबकी स्पीड भी अलग-अलग होती है, तो जब हम पीज इक्वल्स टू एम बी लिखते हैं, तो विलोसिटी किसकी लेते हैं, सेंटर ओफ मास की, तो जो भी हमारी एक्वेजिन है, फिज इ इस point को देखो, जब ये घूमेगा चक्का, तो ये ऊपर जाना चाहेगा किसी velocity से, B is equal to R omega वगेरा, घूमने के वाइसे, और ये आगे तो जाए रहा है B velocity, तो इसके पास यार, इसकी velocity अलग, इसकी अलग, सबकी अलग है न, तो हम P is equal to MV किस के लिए लिखते हैं, for, center of mass so many importance of center of mass center of mass पढ़ने से बहुत कुछ समझ में आने वाला है तो यार center of mass को पढ़के चलना है मेरे ख्याल से मैंने आपको introduction दे दिया topic का कि एक तो ये center of mass का राज़ा रास्ता बड़ा सिंपल होता है। दूसरा F is equals to MA और P is equals to MV में। F is equals to MA और P is equals to MV में। एस्क्लाइडेशन किसका होता है। सेंटर ऑफ मास। विलोसिटी किसके लिए थे। सेंटर ऑफ मास। तो यहाँ इन स्टार्ट करते हैं। करते हैं कि center of mass determine कैसे करते हैं तो पहले मैं आपको एक हड़बा सवाल दे दू माल लो ये एक rod है माल लो ये एक rod है और इसमें हर जगे mass बराबर है तो बताओ center of mass कहा होगा आप खटाक से बोलोगे sir बीच में होगा है न इतना सबको पता है कि center of mass sir कहा पे होगा बीच में तो बिल्कुल सही जो body uniform mass की हो uniformly distributed mass की हो उसका center of mass geometrical center पे बता दो कि भाई इतना center पे होगा जैसे मैं आपसे अगला question दू मेरे पास एक mass m है एक mass m है और इनके इनके बीच में distance D है तो इनका center of mass कहाँ होगा आप खटाक से बोलोगे सर center पे होगा D by 2 यहाँ से बहुत बढ़िया है clear है अच्छा अगर मैं आपसे पूछूँ एक mass M है एक mass 2 M है इनके बीच में distance D है अब center of mass कहाँ होगा अब इन दोनों का जो center of mass है वो कहाँ पे आएगा इसके बारे में बात करते हैं, how to determine center of mass, अगर आपकी symmetric body है, mass uniform है, तब तो geometric center पे मार दो, जैसे माल लो, हमसे बोला disc है, हमसे बोला disc है, और हर जगे mass बराबर है, तो center of mass कहां होगा, center पे, हमसे बोला ring है, क्या है, ring है, और हर जगे mass uniform है, center of mass कहां होगा, center पे, मेरे पास sphere है, जिसमें material भरा हो, या hollow जिसमें material ना भरा हो, तब भी या center of mass कहाँ होगा, center पे, तो ये सब तो simple है, है न, मैं जो अभी बात किया था, 1m, 1,2m, तब center of mass कहाँ जाएगा, तो मेरे कहाल से आप लोग शायद उसका ही formula जानते होंगे, तैयारी कर रहे हों, तो कोई बात नहीं, तो मान लो, जैसे मेरे पास एक मास है M1, एक मास है M2, और ये हमारी ओरिजन है, 0,0, ओरिजन से M1 मान लो, R1 distance दूर है, M2 मान लो, R2 distance दूर है, तो center of mass कहा होगा, definitely center of mass इनके बीच में कहीं होगा, इसको हम देखते हैं, बोलेंगे position vector r of center of mass r1 क्या है position vector of m1 r2 क्या है position vector of m2 rcom क्या है position vector of center of mass so जो formula आएगा बच्चों note करेंगे rcom is equals to m1 r1 vector plus m2 r2 vector divided by m1 plus m2 note करेंगे बच्चों rcom is equals to m1 r1 plus m2 r2 upon m1 plus m2 और और ज़्यादा mass होंगे तो इसमें और variables को आप बढ़ा दोगे ठीक है अब बच्चों R क्या होता है position vector अब R क्या होगा 2 dimensional 3 dimensional 1 dimensional कैसा भी हो सकता है तो यहाँ जैसे हमसे कोई कहें कि x coordinate क्या है center of mass का भाई center of mass यहाँ देख रहे हो कुछ x में भी है कुछ y में भी है हमसे कोई कहें x coordinate क्या है तो बच्चों आप x coordinate m1 x1 plus m2 x2 divided by m1 plus m2 y coordinate y coordinate of center of mass m1 y1 plus m2 y2 divided by m1 plus m2 and similarly आपसे कोई बोले z coordinate of center of mass you can say m1 z1 plus m2 z2 divided by m1 plus m2 note करेंगे इतनी चीज़े बच्चो Note करेंगे, center of mass अगर निकालना है तो क्या करो? सबसे पहले एक origin select करो, सबसे पहले एक origin, जैसे यहाँ पर देखो यह एक origin नहीं है, कहा से measure कर रहे हैं center of mass, यह बड़ा important है. बहुत important है यह बात कहां से measure कर रहे हो एक origin लो वहां से इसका distance R1 इसका distance R2 और center of mass का distance RCOM M1 R1 M2 R2 upon M1 plus M2 है न x coordinate निकालना है तो यह formula y coordinate तो यह z पर हम यह कहां से लेंगे किसी origin से चरूर नहीं कि 00 पर ही origin origin जहां चाहो वहां मान लो ठीक है, तले नोट कर रहे इतना, नोट कर लिया, x1, x1, x2, x1, x2, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1, y1 तो सबसे पहले एक numerical जो भी हमने आपको दिया था उसी को ले लेते हैं मान लो हमारे पास दो mass हैं ठीक है पहला mass हमारे पास मान लो यहाँ है पहला mass हमारे पास यहाँ है कहाँ पे 1,0 पे और दूसरा mass मान लो हमारे पास 2m यहाँ पे है 4,0 पे हमसे पुछा है center of mass का coordinate बताईए तो आपको पता है center of mass इस बार इसी में कहीं like करेगा बीच में तो यार y निकालने की तो जरूरत नहीं है इतना तो जिमाग clear है मतलब तो अगर हम पता है यहाँ पे ycom कितना आने वाला है?
0 zcom कितना आने वाला है? 0 y axis में ऊपर नीचे तो भागेगा नहीं रहेगा तो इसी axis पे रहेगा तो यहीं पे ना? ठीक है z में भी आगे पीछे नहीं, सिर्फ x चीज़ों निकालना है so we have to find xcom, तो m1 x1 कितना हो गया? 1 plus m2 into x2 कितना हो गया? 4 upon m1 plus m2, 3 हो गया m, 2 4 7 8 m 8m, तो कितना हो गया ऊपर?
9m. m, 8m, 9m. नीचे कितना हो गया?
3m. m से m मर गया. कितना आया?
कहां मिलेगा? 3,0 पे. Center of mass m into 0, m to 2m into 0 तो फाइदा क्या है सब करके दिख रहा है न या एकसेस पे तो है ही नहीं एकसेस पे लाइ कर रहा है clear है चलिए आगे बढ़ते हैं अच्छा तो 3,0 पे अम मान लो मैं तुमको coordinates बना के ही ना दूँ मतलब सर मतलब मैं तुमें ऐसे दूँ एक मास m है मेरे पास और एक मास मान लो 3m है मेरे पास और मान लो m और 3m के बीच में कुछ distance है let the distance be b अब हमसे पूछा center of mass कहा है हुँ अब मैं पास कोई origin है नहीं है, आप एक काम करो, इस मास को origin मान लो, बहुत बढ़िया है, इस मास को origin मान लो, यह M1 हो गया, यह M2 हो गया, ठीक है, अच्छा, अब M1 कहाँ पे है, 0, 0 पे, M2 कहाँ पे है, D, 0 पे, आया न, XCOM is equals 2 m1 into x1 कितना है 0 m2 कितना है 3m into x2 कितना है d divided by m1 plus m2 बोलो सही है origin अपने आप कहीं भी choose कर सकते हैं मैंने यहाँ choose कर ली अब यह कितना हो गया 3md divided by 4m m से m मर गया center of mass 3 by 4d कहां से origin से यहाँ center of mass कितना दूर है आएगा 3 by 4d बी 3 by 4D यहां कहीं 3 by 4D that is 0.75D पे और यहां से कितना दूर हो गया 0.25D यहां से 0.75D तो कहीं भी मान सकते हैं ओरिजन यहां पे भी मान सके आपकी मरजी बीच में मान लो तुम चाहो तो बीच में मान लो यार तुमारी मरजी यह question tough होगा यहां से मानोगे इसका coordinate D by 2 आएगा इसका coordinate minus D by 2 आएगा फिर calculation करोगे नहीं आया कहीं पे भी origin मान सकते हैं घर पे मान लो अपने कोई डिक्कत नहीं कर दो origin कहीं भी मान सकते हैं यहां मान लेता origin बीच में तो यह minus d by 2 यह plus d by 2 यही तो difference होता चलि आगे बढ़ते हैं फिर उस origin जो answer आता वो उस origin के respect में आता, clear है? चला अगला सवाल लेता हूँ मैं, माल लो मेरे पास एक square है, और square के corners पे mass है, corners पे mass है भाईया, यहाँ mass है m, यहाँ यहाँ मास है 2M, यहाँ मास है 3M, यहाँ मास है 4M हमसे कहा find करिए center of mass square के 4 corner पे मास रखे है M, 2M, 3M, 4M और square की side हमको मालो देख रखी है each side is A each side is A, यह square है each side is A square off side A आपको center of mass निकालना है, क्या किया जाये, क्या किया जाये, एक काम करें, पहले तो origin कहीं पकड़ें, किसके respect में निकालना है, यह तो समझ में आया, तो मैं इसको origin मना लेता हूँ, कोई दिक्कत, कोई दिक्कत नहीं, 0,0, अब यह A है, तो यह distance A हुआ, coordinate क्या हो जाएगा, a, 0, ये distance भी a है, इसका coordinate क्या हो जाएगा, 0, a, अच्छा, ये a, ये भी a, तो इसका coordinate क्या हो गया, a, a, ये इधर बड़े, ये इधर बड़े, बोला साइए, हो गया, M1, M2, M3, M4, निकाल लो अब, क्या क्या निकालना पड़ेगा, XCOM, क्या लिखोगे, M1, into X1, plus M2, into X2, plus M3, into X3, X कितना है इसका, A, plus M4, into X4, which is 0, plus 2M, into 0, divided by M1, plus M2, plus M3, plus M4.
यहाँ से यहां से यह जी रोग यह वाला जी रोग यह फोटर में एम एम फाइड में नीचे टोटल तीन चार साथ आठ दो दस एम से एम मर गया फाइड जो टेन ए बाई टू तो एक्स यहां से एक्स कितनी दूर होगा सेंटर ऑफ मास्क एक्स ए बाई टू यहां आधे पर अच्छा आवाइस यह में निकाल ले वाइसी ओए वाइसी ओए क्या होगा एम वन into y1 m2 into y2 इसका y कितना है 0 m3 into y3 इसका y कितना है a m4 into y4 इसका y कितना है a divided by m1 plus m2 plus m3 plus m4 कितना होगा यह हो गया 0 mA plus 2 mA कितना हुआ 3 mA divided by 3, 4, 7, 8, 9, 10 m m से m कड़ गया 3 mA 3a by 10, तो आपको coordinate मिल गया center of mass का, center of mass का coordinate क्या है, x है a by 2, और y कितना है, 3a by 10, किसके respect में, इसके, हो सकता हूँ कोई बच्चा यहाँ पे original है, और उसके respect में center of mass बता रहा हूँ, कोई दिक्कत दिये, तो a by 2, और 3a, तो देखा किताब में answer कहां से दिया है, इसका center of mass का answer नहीं match करा, तो तुमने origin कहां लिया है? किताब origin कहां ले रहा है? that's a difference तो तुमने origin यहां लिया, तो a by 2 x में और y में 3 a by 10 मतलब कहीं नीचे यहाँ पे ना 0.3 a 0.3 यहाँ पे यहाँ पे 0.7 distance, यहाँ पे 0.3 center of mass a by 2, 3 a by 10 clear है?
feel हो रहा है आपको? देखो पूरी चीज को मैं समझा सकता हूँ समझाओ सर पूरी चीज को मैं समझा सकता हूँ बहुत छोटी चीज मे अगर मैं इसको बीच से लाइन खीचता, तो इस तरफ कितना मास है? 3, 2, 5, इस तरफ भी, 1, 4, 5, मतलब बराबर है मास, तो center of mass इस लाइन पे तो आएगा ही आएगा, बीच वाले पे, आया भी इसी पे, AY2 पे, इस तरफ कितना मास है? 3, 2, 5, इस तरफ भी, 5, अच्छा, अगर यहां लाइन कीचूं, बीच में, उस तरफ मास कितना है?
2, 1, 3, इस तरफ 3, 1, 3, 4, 7, मतलब नीचे मास ज़्यादा है, इधर मास कम है, तो center of mass, यहां से नीचे की सक जाएगा और इसलिए देखो कहाँ पे आया 3A by 10P अभी आगे सिखाएंगे shortcut भी इसके clear हो रहा है logic भी समझा करो जैसे मैंने देखा कि इस center के इस तरफ कितना mass है 3,2,5,3,2,5 definitely center of mass यही फिर मैंने इधर एक geometrical center बनाया देखा उपर मास कम है नीचे जादा तो center of mass नीचे भाग आया निकलने का तरीका तो क्या आपको आ गया चलिए एक question और कर लीजे इस तरह का फिर आगे बढ़ते हैं आज basic lecture है आज तो बहुत basic बाते होंगी ठीक है आगे आपको center center of mass of solid sphere, hollow sphere, hollow ring, sorry, semi circular ring, semi circular, hemisphere, cone, cylinder, इन सब का भी हम आपको center of mass निकलवाएगे, जिसमें बहुत मज़ा आता है integrate वगैरा करते हैं, अभी आप पहले हल्की पहली की चीज़ देखो, मालू यहाँ पे triangle है, triangle, यहाँ पे mass M रखा है, यहाँ mass, चलो आसान करता हूँ, M, यहाँ mass M, triangle इसाइड A, A, A, मैं आपको कहा देता हूँ origin इसको मालू, फाइंड दा सेंटर ऑफ मास चलिए खुद से करके दिखाईए ओरिजन इसको मान लिया है मैंने खुद से यह फाइंड दा सेंटर ऑफ मास यह फाइंड दा सेंटर ऑफ मास पास करके ट्राइ करें पी ए यू सी पास यह कहता है पास विश्राम रोक के ट्राइ करें कल लिया ट इसका coordinate क्या होगा बच्चो इस line पे होगा ये distance कितना हुआ a by 2 इसका x coordinate हो गया a by 2 अरे हाया ना यार, ये कितना होगा, a by 2, आधे पी तो होगा न, equilateral triangle दिख रहा है, a, a, a, a by 2, कॉमा, इसका y कितना होगा, ये distance कितना होगा, तो यार equilateral है तो ये angle कितना होगा, 60 degree, ये a है, a का इधर component हैगा, a cos 60, इधर a sin 60, तो इसकी height हो गई a sin 60, sin 60 कितना होता है, root 3 by 2, a root आरे कुछ नहीं आया अरे ये A है ये कितना है 60 degree है A का इधर component इधर कितना आएगा A cos 60 और इधर कितना आएगा A sin 60 sin 60 की value root 3 by 2 हो गया सबका XY मिल गया चलू जाओ अब क्यों निकाल लोगे XCOM एक्सीओ वैसे एक्सीओ निकालने की जरूरत नहीं बीच में नहीं आएगा, distribution देख लिया करो थोड़ा logic लगाओ, distribution देखो, इसका center of mass इस line पर पढ़ लाओ की नहीं, क्योंकि इधर भी mass बराबा नहीं, इधर भी, निकाल के देख लो, xcom, m into कितना हो जाएगा, 0 plus m, m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m a by 2 divided by m mm, कितना हुआ, 3 m, 3 m से 3 m मर गया, देखो कितना आया, a by 2, यही मैं पहले बोल रहा था यार, कि दोरों तरफ mass का distribution same है, तो center of mass बीच में, यहां भी बहुत लगाएंगे सब दिमाग, चलो y c o m निकालना पड़ेगा, y center of mass, y center of mass इसी line पर कहीं मिलेगा मैं, y center of mass इस line पर lie कर रहा है, a by 2 distance पर, अब y c o m निकालना है, तो m into, 0, 0, वाले का y कितना है, a root 3 by 2 divided by m, m, m, कितना हो गया, 3m, तो यह आएगा, m a root 3 by 2 divided by 3m, m से m मर जाएगा, नीचे 2 into 3 है, तो 6 है, तो क्या किया जाएँ, उपर नीचे root 3, root 3 से multiply कर ले, तो a into 3, और नीचे root 3 से multiply करेंगे, तो 2 into 3 into root 3, 3 से 3 मर गया, so answer is a by 2 root 3, तो center of mass का coordinate क्या रहेगा मेरे पास a by 2, a by 2 root 3 यानि इस line पे कहीं यहाँ पे center of mass मिलेगा हमको a by 2, a by 2 root 3 पे clear है दो पक्के से समझ में आ गया? बहुत बढ़िया. तो इस तरह से आप center of mass के coordinate निकाल सकते हो using this formula XCOM, YCOM, ZCOM जब Z की ज़रूरत पड़े तो Z को भी लगा देंगे 3 dimension में. ठीक?
कराने को तो मैं इस पर बहुत सवाल अभी आगे करा सकता हूँ, ठीक है, कराने को इस पर मैं बहुत सवाल करा सकता हूँ, जैसे मैं तुमको अभी एक सवाल देता हूँ, आप खुद करोगे, मैं उसको थोड़ी दिर बात करेगा, चलो एक सवाल देखो, मान लो ये, ये, ये, मैं एक ठीक है, x में भी है, y में भी है, z में है, 3 dimension हो गया, a, a, a हर जगह, यहाँ पे हमने एक mass रखा m, यहाँ पे एक mass रखा m, आगे एक mass रखा 2m, यहाँ एक mass रखा 2m, यहाँ एक mass रखा 2m, यहाँ एक मास रखा 2M, यहाँ एक मास रखा M, यहाँ एक मास रखा M, अब आपको find करना है coordinate of center of mass, you have to find coordinate of center of mass, चलिए pause करके, करके try करेंगे, a, b, c, d, मैं आपको चार option दे देता हूँ, option a is a by 2, a by 2, a by 2, और हमारा कितना होगा ये, चलि आप try करते रहें, अब यह भी बात है आपकी origin आपने कहा मानी है न, इस पर भी चीज़े डिपेंट करने लगेगी, तो origin मैंने मानी है कहाँ पे, यहाँ मानी है, of mass of the system with respect to origin origin मैंने बना दी अब वहीं से निकालना है ठीक है तो चलिए दूसरा option है a by 2, a by 2, a by 3 अगला option है a by 2, a by 2, 2, a by 3 अगला option है a by 2, minus a by 2, a by 3 चलिए try करिए करके क्या निकालने का तरीका होगा भाई होगा XCOM, YCOM, ZCOM पहले सबका coordinate लिखना पड़ेगा ट्राइ कर लिजे ट्राइ कर लिया मैं नहीं solve कर रहा हूँ इसको ना ना ना आंसर यह सही है C A by 2, A by 2, 2A by 3 इसके respect यह आना चाहिए आया कि नहीं आया पता नहीं अब मैं इसको निकालूंगा शॉर्टकट से देखो इसका नॉर्मल तरीका क्या वो समझ लो पहले यह ओरिजन है यहां से कॉर्डिनेट लिखेंगे यह कितना आ गया है ए इसका कॉर्डिनेट हो गया ए कॉमा जीरो यह कितना तो यह 0,a हो गया और यह z में भी कितना है यह भी z में कितना है इस तरह सबका coordinate लिखो पहले यह यहां आगे आओगे बाई z में आगे बढ़े x में कितना है कुछ नहीं y में कितना है कुछ नहीं 0,0,a है कि नहीं फिर तुम मान लो यह 3 point हो गया x में a चलोगे z में a चलोगे तो a,0,a x में a चले z में a ठीक है जैसे मान लो इस point का coordinate चाहिए तो Z में A चले, Y में A चले तो X में 0, A, A अब जैसे माल ले इसका coordinate चाहिए तो यह coordinate कैसे हैगा भाई X में A चले, Y में A चले Z में भी A चले, तो इसका coordinate होगा A, A, A सभी points का coordinate मिल गया, बस अब XUM, YUM निकाल लो, ठीक है ठीक है, सभी points का coordinate मिल गया है, अब XUM इसका नहीं मिला क्या, हाँ तो X में A चले, Y में भी A चले तो a, a, 0, देखो सही लिखा है सबका coordinate, x में a, y में 0, z में 0, y में a, x में 0, z में 0, z में a, x में 0, y में 0, यहाँ के लिए z में a, x में a, तो z में a, x में a, y में 0, यहाँ के लिए z में a, y में a, तो z और y में a, यहाँ 0, यहाँ के लिए x में a, y में a, z में a, ठीक है, यहाँ के लिए x में a, y में a, और z में 0, ठीक है, तो हो गया, अब इसके आद तो maximum y, निकाल सकते हो, M1, X1, M2, X2, देखना option आएगा, आपका C वाला, attempt कलो इसको भाई, तभी आगे मज़ा आएगा, ठीक है, चलो, मैं आपको आगे एक तरीका बताता हूँ, जिससे ये question आपके लिए बहुत easy हो जाएगा, ठीक है, इस तरह के questions, और भी करने को कर सकते हो, तो आपको मैं एक topic पढ़ा रहा हूँ, note करो पहले तो, लिखो note, very important topic, note, center of mass of two particle system, सेंटर आफ मास आफ टू पार्टिकल सिस्टम मान लो मेरे पास दो पार्टिकल है एक है एम एक है एम टू अब मान लो इनके बीच में डिस्टेंस डी है अब मुझे सेंटर आफ मास निकालना है तो मैं इसका कॉर्डिनेट बोल सकता हूं 0.0 मान लो झाल इसके respect में मैं center of mass तिकालना चाहता हूँ, तो center of mass का coordinate, xcom, इसको r ले लेते हैं चलो, distance r है, तो rcom, बोलो, m1, n2, 0, plus m2, n2, यह कितना हो गया, r,0, r, upon, m1, plus m2, center of mass आएगा, m2, r, upon, m1, plus m2, यानि, सुनो ध्यान से, यहां से center of mass कितना, दूर है, यहां से center of mass दूर है M2R upon M1 plus M2, कितना दूर है? M2R upon M1 plus M2 इस जगह से center of mass कितना दूर पड़ रहा है? M2R upon M1 plus M2 इसी तरह से अगर इस जगह से मैं center of mass की दूरी पूछू, तो बोलो M1R upon m1 plus m2, very important result, very important result, हमको यहाँ पे बहुत important result मिला, कि इस जगह के center of mass अगर निकालना है, तो यहाँ origin माना, m1 into 0, m2 into r, अगर इनके बीच में distance आ रहे हैं तो center of mass का distance इस जगह से कितना है M2R upon M1 plus M2 इसी तरह से अगर इधर origin मानते हैं तो यह distance दूर होता तो एकदम इसी जैसा equation आता M1R upon M1 plus M2 shortcut है याद रखो इसको मान लो मैं पास दो mass हैं एक mass M1 एक mass M2 बोलो मेरे साथ यह distance D मैं पूछू यहाँ से center of mass कितना दूर होगा सीधा M2D upon M1 plus M2 question solved सब्सक्राइब करें यहां से सेंटर आफ मास कितना दूर है यहां से सेंटर आफ मास कितना दूर है तो में टू पर उठाओ मल्टीप्लाइड वाइट नीचे एम एन प्लस एम टू सीधा अंसर आ गया है यह समझ में आ रही है बात मेरे पास दो मांस का सिस्टम अगर है तो यह मैथड बहुत तड़ा काम करेगा बहुत बढ़िया काम करेगा इसे मान लो मैं बोलूं यहां पर मेरे पास एक मांस है पचूरे टू केजी और यहां पास एक मांस है मान लो 6 केजी मैं बोलूं तो इससे इस तरफ आएंगे तो M2 और यह मालने वो distance हमको दे रखा है मालने 4 meter ठीक है हमको इसके respect में center of mass पूछा तो हम इससे इस तरफ आएंगे M2 कितना हुआ 2 into D upon M1 plus M2 सीधा मिल गया यहाँ से center of mass का दूरी इतना यहाँ से कोई center of mass पूछे 6 into D upon M1 plus M2 खतब बोली आ रहा है 24 by 10 कितना हुआ?
24 by 10 कितना हुआ? नहीं या 24 by 8 कितना हुआ? 3 यहाँ से कितना दूर हुआ?
3 meters और यह 8 by 8 कितना हुआ? 1 meters 3 और 1 कितना हुआ? 4 meters बोलो फील हो रहा है जब इधर से सेंटर आफ मास पूछे तो M2R अपॉन M1 प्लस M2 इधर से सेंटर आफ मास पूछे तो M1R अपॉन M1 प्लस M2 खतम कहानी अब ओरिजन ओरिजन लेने का चक्कर भी खतम हो गया भाई मेरे मुझे पूरी उमीद है कि आप इस विज़र्ट को याद रखेंगे और सेंटर ओफ मास अब आप पलच जपकते ही निकाल देंगे। क्या बात है। मैं यहाँ पे इस कहानी को थोड़ा और आगे बढ़ाना चाहूँगा। मुझे बहुत खेद है इस बात का। कि आपको भी होगा है अच्छा मान लो इस distance को बच्चों मैं बोलूं R1 और इस distance को मैं बोलूं R2 मेरी बात समझो इस distance को मैंने बोला R1 distance of center of mass from first mass R2 distance of center of mass from second mass then then क्या M1 R1 is equals to M2 R2 क्या ऐसा हो रहा है चेक करके बताओ अगर M1 को R1 से multiply करूँ, R1 की value यह है, इससे M1 multiply करूँ, और R2 से M2 multiply करूँ, तो दोनों बराबर हो रहे हैं कि नहीं? Yes, very important result.
What? दो body का अगर center of mass हमें पता है, यहाँ ए��� body है M2, यहाँ एक body है M1, और यहाँ मालने इनका center of mass है, जो कि, इससे कितना दूर है R2, इससे कितना दूर है R1, then, तो m1 r1 एक्वल्स टू m2 r2 यह लिखा है m1 r1 एक्वल्स टू पक्का कि नहीं देखो यह r1 सेंटर ऑफ मास का रिस्टेंट से यह था इसमें मैंने क्या कहा m1 मिल्टिप्लाई कर लो और और इसमें M2 multiply को दोनों बराबर हो गए, यानि M1 R1 is equals to M2 R2, very important result, याद रखेंगे, proof करने को मांग सकता है, तो proof कर देंगे, M1 R1 is equals to M2 R2, clear है, बहुत बढ़िया, चलिए भाई आगे बढ़ते हैं, अब जैसे मैं आपको एक सवाल दे रहा हूँ ठीक है? मान लो मेरे पास दो रॉड हैं, एक सीवरों का सवाल उठा रहा हूँ मेरे पास दो रॉड हैं, ये पहला रॉड है Length L, Mass M, ये दूसरा रॉड है Length L, Mass M, मेरे पास दो रॉड हैं, दोनों की Length L है बोथ रॉड है लेंथ L, मास M, और इसको मैंने इसके mid point पे बांद रखा है, दूसरे रॉड को, हमसे पुछा है system का center of mass कहाँ पे होगा, where is the center of mass of this system, मैं solve कर रहा हूँ आपके लिए, देखो इसमें logic लगाओ, इस वाले रॉड का center of mass यहाँ पे होगा, मास M का center of mass यहाँ पे, और इस वाले rod का center of mass यहाँ पे होगा, यह पूरी length कितनी है L, तो center of mass आधे में होगा, यानि L by 2 में, यह पूरी length L, तो center of mass इसका भी कहा होगा, L by 2, अब इन दोनों system का center of mass, अब देखो तुम्हारे पास दो masses हो गए, फ़ोड़ा दिमाग लगाओ, ए पूरे लंबे लंबे रॉट की जगे हम center of mass इसका उठा लिये center of mass इसका इनके बीच में distance कितना है बच्चों L by 2 अब center of mass इनके बीच में तो कहीं पड़ेगा बाई इसका center of mass यहाँ इसका center of mass यहाँ तो इनके बीच में ही तो combined center of mass क्या करें यहाँ से distance ले रहे हैं यहाँ center of mass 2, कितना हो गया, 2M M से M cancel, L by 4 कहाँ पे आएगा center of mass इसके बीच में कहीं, यहाँ पे L by 4, वैसे आसान था, क्योंकि दोनों mass MM थे, तो बीच में आना ची center of mass जादा easy हो गया दोनों mass बराबर थे distance L by 2 था तो center of mass कहां कहाँ आएगा कहीं बीच में तो L by 4 तो center of mass इस line पर lie करेगा यहां से कितना नीचे L by 4 और यहां से कोई पूछे कितना उपर तो आप बोल दो के 3 L by 4 पूरा length L है यह L by 4 तो यह कितना हो जाएगा 3 L by 4 clear हुआ चलिए इसी के जैसे अगला सवाल मैं आ� चलो रे चलो खुद से solve करना है next question you have to solve it by yourself यहां मेरे पास एक plate है क्या है?
plate है इसमें रस्गुल्डा नहीं है रे कानी का सोचने लगा इसमें plate है ठीक है, design, designing, मान लो इस plate की जो बनावट कुछ ऐसी है, कि plate का ये वाले हिस्से का density row 1 है, ये वाले हिस्से का density row 2 है, ये भी HC Verma का ही सवाल है, और मान लो इस plate की total length L है, ठीक है न, ठीक है, यह रोवन है, यह रोटू है, और पूरी लेंथ L है. यह क्या है? इसकी density इस plate की और यह इस plate की, दोनों एकदम बराबर हैं, बीच से काटता है एकदम, ठीक है?
एकदम बीच से काटता है, L by 2 पे काटता है, L by 2 पे, ठीक है? बराबर एकदम, area area एकदम बराबर है. हमसे बूचा इन plates का center of mass का x coordinate बताईए, find the, खुद से करेंगे, find the x coordinate of center of mass of both plates.
ठीक है, चलो मैं option दे रहा हूँ, आप क्या करो, A, B, C, D, Y तो यार tension नहीं है, Y में तो पिचूक उठके, एकदम mid में जाएगा, तो Y नहीं पूछेगा न, Y तो बराबर से distribution है, दिख रहा है, तो बीच में आएगा, यहाँ पे एकदम, X में पूछाएगा, तो option है, आपका मेरे पास 3 times of row 1 plus row 2 multiplied by L divided by 4 times of row 1 plus row 2, ठीक है? तीस और option है, मेरे पास 3 times of row 2 plus row 1 multiplied by L अपन 4 times of rho1 plus rho2 और D option है मेरे पास 3 times of rho2 plus rho1 multiplied by L upon 4 times of rho1 plus rho2 चलिए ट्राइ करें इसको चार में से कौन सा option सही है ट्राइ करें वीडियो को पॉस्ट करके फिर मैं इसको solve करता हूँ डेंसिटी बता दी इस बार डेंसिटी कि उस side की density rho1 और इस side की density rho2 बाई साब पाउज करके सॉल्व करने का है इसे कहते है इंक इंक मरकर में डलो चलो भाईया हो गया चलो भाई मैं करके दिखाता है तेरे को अजय कैसे होईगा चलो एक काम करते हैं इसकी डेंसिटी रोवन इसकी डेंसिटी रोटू दोनों साइड का वॉल्यूम चाहिए ना देश दिए तो वॉल्यूम जरूर होगी इधर का वॉल्यूम से नहीं कि नहीं बराबर से डिवाइडेड तो मैं बोलता हूं इधर का वॉल्यूम वी इधर का वॉल्यूम वी ठीक है इस तरफ का मास कितना हो जाएगा एम वन मास इक्वल्स टू डेंसिटी इंटू वॉल्यूम तो रोवन वी इस तरफ का मास बोलो एम टू कितना हो जाएगा रोटू भी बाय कि बीच में डिजाइन को थोड़ी देर मिटार देते हैं अ कि अ कि अ कि अ कि अ बीच में पड़ेगा एकदम center of mass इसका? किते distance पे बोल बाई?
L by 4 पे हाँ या ना? अच्छा इस पूरे system का center of mass इधर वाले का center of mass फिर से बीच में यहां से कितने distance पे होगा वो भी? L by 4 अरे यार इसकी length कितनी होगी?
गधो वाला काम बद करो L by 2 इसकी length कितनी होगी? यह L by 2 यह L by 2 तो उसका भी आदा L by 4 अरे यार यहां तो mass बराबर से distributed है न सबकी density same है तो बीच में? यहां बीच में तो अब मेरे पास दो mass हो गए एक M1 एक M2 यह L by 4 यह भी L by 4 तो इनके बीच का distance कितना हुआ?
L by 2 ये सोड़ों, अब तो question हलवा हो गया मेरे लिए, अब मेरे पास दो मासेस हैं, M1, M2, अब तो question हलवा हो गया, मेरे पास दो मासेस हैं, M1 and M2, और उनके बीच का distance कितना है, L by 2, बाइस का center of mass यहाँ है, इसका यहाँ, L by 4, L by 4, यह distance कितना हो गया, L by 2, पुरा L था, L by 2, L by 2 अब तो सवाल असान अब मुरे को यहाँ से center of mass का coordinates चाहिए यहाँ से तो मैं क्या करूँगा M2 into L by 2 upon M1 plus M2 हाँ या ना M2 मैं यहाँ से रिकाल दा ना इस तरफ से coordinate में कालूंगा तो क्या? m2 into a distance l by 2 upon m1 plus m2 इस तरफ से चाहिए तो m2 into d upon m1 plus m2 तो यह कितना हो गया? m2 की value कितनी थी हमारी?
rho2v और m1 की value कितनी है हमारी? rho1v m2 कितना है? रो टू इंटू वी, तो यहाँ पे लिखा रो टू वी, एल बाई टू, अपन, रो वन वी, रो टू वी, तो रो वन प्लस रो टू कॉमन, सॉरी, प्लस हो गया वी कॉमन, रो वन वी, रो टू वी, वी से वी मर गया, सो आंसर आ रहा है मेरे पास, बोलें, लो रो टू एल अपन टू टाइम्स आफ रो वन प्लस रो टू सर ऐसा तो कोई भी आजर नहीं है हो हो हो हो क्योंकि उन्होंने एक्स कॉर्डिनेट पूछा है बच्चों तो यहां से कहानी स्टार्ट होगी ना और इसने यह होगा कि यही से तो एक्स मेजर करूंगी तो तुमने तो यहाँ से answer बताया है, M1 से, M1 से कितना आ गए, row 2 L upon 2 times of row 1 plus row 2, तो अब यहाँ से निकालने में क्या दूविदा है, L by 4 जोड़ दो, अपने answer में L by 4 को जोड़ दे, आपको final answer मिल जाएगा, can you do it, can you do it, can you do it, यहाँ तो समझ में आएगा, आया है अपने answer में क्या छोड़ दो L by 4 अरे यहां तक समझ में आया है मैंने कहा XCOM निकाल ले हैं हम XCOM कहां से निकाल ले हैं M1 से निकाल ले हैं M2D M2D upon M1 plus M2 गुड़ ग़ड़ यहाँ आया है फिर हमने कहा हमको center of mass का यह distance आया है तो L by 4 और जोड़ दो अगर इसमें जोड़ दिया मैंने L by 4 L से मुझा आएगा 4 ओके, रो वन प्लस रो टू, यही होगा इलसीम, चार रो वन प्लस रो टू, इधर टू से मिल्टिप्लाई करना पड़ेगा, टू टाइम्स ओफ रो टू एल, इधर रो वन प्लस रो टू से मिल्टिप्लाई होगा, तो रो वन एल प्लस रो टू एल, सो कितना हो जाएगा यह रो वन प्लस रो टू मिल गया थ्री टाइम्स ऑफ रो टू एल प्लस रो वन एल अपन फोर टाइम्स ऑफ रो वन प्लस रो टू क्लियर हुआ बुद्धि खुली डर गए कई लोग कह रहे हैं यह क्या है यहां पर हम बोले डेंसिटी रो वन इधर डेंसिटी रो टू इधर का distance L2, तो मैंने यहाँ से center of mass निकालना है, तो formula लगाया, M2 into D upon M1 plus M2, यह आया, पर यह center of mass का distance M1 से था, हमें origin से चाहिए था, तो हमने L by 4 और जोड़ दिया, और जो answer है, उसको मार दिया, clear, yes sir, okay, तो आगे बढ़ते हैं भाई, clear हो गया, तो मैंने आपको M2D upon M1 plus M2 कर दो, तो M1 से center of mass का distance पता चल जाता है, क्या कर दो, M2D upon M1 plus M2, तो same प्रेंटर ऑफ मास का कॉर्डिनेट मिल जाता है अब मैं वापस आता हूँ उस सवाल पे जहां से हम लोग भाग गये थे जो मैंने आपको एक सवाल दिया था यादाया याराया याराया याराया याराया याराया यह सवाल मैंने आपको दिया था ठीक है थोड़ा सा इस बार छोटा सा क्यूब बना है X Y Z यहाँ एक मास रखा है YUM यहाँ एक मास रखा है YUM YUM C SAUCE BUTTER यम टमेटो चीप चीप चीप यम यहाँ 2 यम यहाँ 2 यम यहाँ 2 यम यहाँ फिर से 2 यम साइड कितनी है ए ए ए ए हमसे पुछा इसका center of mass का coordinate क्या निकालना है center of mass का coordinate तो answer आपको याद है मुझे याद है तो इसका center of mass का coordinate का answer आया था ऐसे था हमने बहुत मुश्किल से हमने a,0,a,0,a ये सब वगेरा करके है ना 0,a,a किया था अब कुछ नहीं करना अब दिमाग लगाएंगे कि सेटर ऑफ मास्ट को इस दिमाग खूब लगाया करो हां एक बात में बता रहा हूं कि यह दिमाग यह पहला वीडियो कि मैं तो लगा रहा हूं तो यह धीमे धीमे आएगा विडिटाइम इसलिए पहले तुमको बता देखा हूं कि यह सब कर सकते हैं तो यह तो यह यार ये बड़ा symmetric नहीं लग रहा, क्या इसका center of mass यहाँ पे होगा, बिल्कुल, टूम, टूम, एक plate देखो पीछे रखी है, ध्यान से देखो न, दो plate है, एक plate पीछे रखी है, M, M, M, M, इसका center of mass यहाँ पे होगा, पिशाली प्लेट, M, M, M, M, Center of Mass बीच में, 2M, 2M, 2M, Center of Mass बीच में, अब ध्यान से देखो तो ये 2 Mass System हो गया, कैसे? इसका Center of, ये पहला Mass, कितना है ये Mass?
2M, 2M, 2M, 2M, मतलब? एट एम का मास यहाँ पे आट कर रहा, एम एम एम, मतलब फोर एम का मास यहाँ पे आट कर रहा, सेंटर आफ मास वो जगा जहाँ बॉडी का पूरा मास आट करता है, क्या ये बात मैंने पहले नहीं बताई है, I am so sorry, सेंटर आफ मास is that point of the body, where whole, वो पूरा बात रहा है। ठीक है ना? चलो कोई बात नहीं हो जाती है। यह सब छोटे क्लासे पढ़ लगा तुमने। अच्छा अब इसका कॉर्डिनेट बताओ। यह M1 हो गया, M2 हो गया। यार तो यह तो इकदम बीच में आएगा की नहीं। मतलब यहां से कितना डिस्ट एबाई टू एक्स में एबाई टू वाइ में और जैड में कितना आगे है तो इसका कॉर्डनेट हो गया एबाई टू कमा एबाई टू कमा ए हां की ना भाई जैड में कितना आगे है यह पूरी प्लेट पूरा यह वाला सरफेस यह वाला फेस कितना आगे है ए इसका कॉर्ड x में a by 2, y में a by 2, तो इसका coordinate होगा a by 2, a by 2, 0. यार मतलब center of mass ये तो sure हो गया ना कि a by 2, a by 2 पे ही like करेगा, है की नहीं?
अब इस line पे देखना है center of mass कहाँ पे, ये जो line आ रही है पीछे से आगे की तरफ, पीछे mass कितना है? 4m, आगे कितना है? 8m, सवाल खतम.
एक मास 4M, एक मास 8M, यहाँ का Z कितना है? 0, यहाँ का Z? A.
इनके बीच का distance कितना है? A. हाँ की ना, कितना दूर है? A.
अब यहाँ से center of mass निकालना है, क्योंकि तुमको इस तरफ से निकालना था center of mass. है कि लिए, तो यहाँ से center of mass निकालना है, तो आगे बढ़े, तो क्या लिख दोगे M2 into D upon M1 plus M2 यह कितना हो गया 8A M2M cancel हो जाएगा, 4A 12, 42's are 8 43's are 12, 2A by 3, यहाँ से center of mass कितना दूर होगा, 2A by 3, इस जगह से center of mass कितना दूर होगा, 2A by 3, किस में? Z में और x और y में तो पता है a by 2, a by 2, अए राम भाई ये center of mass यहां यहां तो इसी line पे तो center of mass आएगा ये line का पूरा coordinate क्या होगा x के लिए a by 2, y के लिए a by 2 z vary करेगा, z यहां से कितना आगे आए, वो 0, 0, 0 यहां से कितना आगे, 2a by 3 that is the answer चाहो तो तुम वैसे निकालो सबको, मेहनत करके सारी, जिन्दगी भर की, कमाई लुटा दो उसमें, A,0,A,A,A,0,0,A,A,A,0,0, यह करो, या तो चाहो तो इसे लॉजिक लगा लो, कि M2, M2, M2, M2, M2 का सेंटर आफ मास बीच में 8M, MMM का center of mass बीच में, 4m, अब यह तो पता है यह कहाँ पे होगा, a by 2, a by 2, इकदम बीच में, a by 2, a by 2, मतलब z ही निकालना है, पीछे से जरे निकालना है, पीछे से आगे की तरफ आए, m2 into d upon m1 plus m2, 2a by 3, इससे z में हुआ, x, y में, हमको पता है बीच में, तो a by 2, a by 2, 2a by 3, हाँ की ना, good, तुम वहाँ बैठे हो, कई बार होता है, good, सर आप अपने में good खेल गए हो, क्योंकि, एलो गुड़ गुड़ या कुछ नहीं आ रहा है मैं गुड़ गुड़ के मर रहा हूँ गुड़ गुड़ खेल रहे हैं जब ऐसा हुआ करें तो वीडियो को धीमा कर लिया करो फिर मैं बताऊंगा तुमको की सेंटर आफ मास तो वैसे देख लिया करो मेरे को और अगर सब समझ नहीं आ रहा था तो वैसे देखाओ जल्दी नहीं मैं तुमको जल्दी देखाओ जैसे एक अलाकुषम मैं पिरामीडल शेप में तो मैं देता हूँ ठीक है तो तेज दिना तुम कर सकते हो जैसे मान लो हमको यहाँ पे चार मास दिये A स्क्वेर पिरामीडल के शेप में एक ये M M M M और एक मास यहाँ से पिरामिट के फर्म में ऊपर की तरफ हाइट पर दे दिया ठीक है ये पिरामिट बन गया मालिंग इस स्क्वायर की साइड ए ए ए ए है और ये जो ऊपर मास है ये भी ए डिस्टेंस ऊपर है हमसे पूछा सेंटर ओफ मास कहा होगा मतलब चा पार मास तो इस पे है और एक मास यहाँ पर है इस जखापर ठीक है पिरामिट के फॉर्म में तो हमसे पूछा सेंटर ऑफ मास कहा है यह सब ए ए ए MMM, सबका center of mass कहाँ आएगा, एकदम center में, MMM का center में, कितना mass हो गया, 4M, और एक M mass है, उपर की तरफ, ये 4M, इनके बीच का distance कितना है, A, देखो MMM, symmetric है, तो एकदम बीच में center of mass आया, और एक mass उपर है, अब यहाँ से आपको center of mass का distance चाहिए, ये distance कितना है, A, तो M2 into D, M2 into बटे 5mm cancel 5 तो यहाँ से कितना उपर होगा center of mass a by 5 और होगा कहाँ पे center पे यहाँ से a by 5 distance उपर तो इस logic को लगा के थोड़ा बहुत symmetry सोच के center of mass के question आप easily कर सकते हो otherwise xcom ycom zcom निकालो उसमें भी कोई दिक्कत नहीं है वो भी सही तरीका है तो यार इस तरह से आप different different body का center of mass निकाल सकते हो मैंने different different आपको tricks तरीके बताए मान लो यहाँ एक mass है 2 kg, सुनना ध्यान से, बड़ा प्यारा सवाल है यहाँ एक मास है 6 kg और मान लो इनके बीच में distance हमें नहीं दिये है अब हमने question पूछा आपसे, if 6 kg कुछ से करना, is moved 2 meters towards right towards right by what distance इस तरह सवाल आपने देखेंगे बहुत मिलते हैं हमसे बोल रहा है 6 kg को हमने 2 meter right में ले गए अब पूछ रहे है 2 kg को किधर ले जाएं और कितना ले जाएं कि center of mass remains at initial position इनका center of mass कहीं पे था बीच में यहां कहीं होगा 6 kg के पास में क्योंकि यह भारी है अगर 6 kg को मैं 2 meter right ले जाओं तो 2 kg को कितना आज़ी आगे या पीछे करूँ कि center of mass की position ना change हो और इनके बीच का distance given नहीं है चलिए try करिए और बताईए क्या answer होगा चलो भाई कुछ से करके दिखाने का चलो भाई बताओ बताओ बताओ 6 kg को मैं 2 meter right में ले गया तो 2 kg को right में लाओ कि left में लाओ ऐसा करना है कि center of mass की position ना change हो use करो M1 R1 is equals to M2 R2 खेल खतम M1 R1 is equals to M2 R2 6 kg को आप right ले जाओगे तो center of mass इधर भाग रहा होगा by 6 kg को आप 2 meter जब इधर ले जाओगे center of mass इधर भागेगा पर आपको center of mass वही रखना है जहाँ था तो आप 2 kg को आगे लाओगे कि पीछे definitely पीछे ले जाओगे तो 2 into इसको कितना move कराना है let it be R1 6 कितना move किया 2 M2 into R2 यहाँ से 2, 2 cancel R1 की value कितनी आई 6 इसको पीछे कितना लेके जाओ 6 meter तो 2 kg कितना पीछे ले जाना है 6 meter मैं जानता हूँ आपका सवाल यह है कि यह क्यों किया यह कहां से आया हमको कैसे पता चलेगा पहले तो याद कल लो M1 R1 is equals to M2 R2 लगाना है अगर center of mass अपनी जखा पे fixed है note करें अगर center of mass अपनी जगा पर fix है तो क्या लगा दो M1 R1 अभी सिखाऊंगा क्यों लगाया यार अभी तो इससे अच्� Center of mass अपनी जगह पे fixed है, 6 kg को 2 meter आगे ले जाओगे, तो center of mass भी आगे भागेगा, हमने कहा 2 kg को पीछे ले जाते हैं, कितना पीछे? M1 R1 is equal to M2 R2, 2 kg कितना पीछे ले गए?
R1, 6 kg कितना आगे? 2, तो R1 6 आया, मतलब 2 kg को 6 meter पीछे ले गाए, देखो, जैसे 6 kg वाले को हम 2 meter पीछे लें, ताकि center of mass वापस आ जाए, और कितना पीछे लाएं, 6 meter, मतलब 2 kg has to be moved, 6 meter किदर, left की तरफ, clear है, अच्छा, अब बात है यह सा क्यों किया सर आपने, आखिर ऐसा किया क्यों, आखिर यह आपने लिखा क्यों, तो आओ यार, इसको याद मत करो, M1 R1 is equals to M2 R2, मतल� x2 upon m1 plus m2 लिखोगे, बहुत बढ़िये अब जो सिखा रहे जा रहा हूँ, बहुत important है I am going to tell you something which is very important अब हम दोनों तरफ differentiate कर देते हैं तो dxcom is equals to m1 तो constant है, तो dx1 m2 constant है dx2 divided by m1 plus m2 यह equation ना बहुत कमाल की है dx, c, o, m मतलब center of mass की position में कितना change हुआ dx मतलब क्या होता है x में आने वाला change तो भाईया सवाल क्या कह रहा है so that center of mass remains at initial position उसमें कोई change नहीं हुआ मतलब इसकी value 0 है is equals to m1 dx1 कि इसका coordinate कितना change हुआ और m2 dx2 मतलब इसका coordinate कितना change हुआ divided by m1 plus m2 इधर आके वो भी 0 यहाँ देखो m1 dx1 is equals to minus m2 dx2 yes or no m1 पहले वाले का mass 2 kg dx1 मतलब उसके coordinate में कितना change हुआ कितना वो आगे पीछे गया तो इसको dx1 लहन वो यार is equals to m2 की value minus लगा के m2 की value 6 dx2 ये कितना move किया? 2 meter किदर?
right में तो चलो हम right को positive माल लेते हैं इस direction को हमेशा positive पकड़ते हैं तो into plus 2 so now 2 से 2 मर गया dx1 की value minus 6 dx1 comes out out to be minus 6 dx1 मतलब इसका displacement x1 इसकी position तो dx मतलब position में कितना change हुआ इसकी position में minus 6 का change हुआ मतलब ये minus 6 किदर चला गया पीछे की तरफ चला गया minus 6 मतलब 6 पीछे की तरफ तो ये बहुत important है बच्चों very important better होगा इसको इस तार आप ये ऐसे तो आप डेल लिख लो डेल x1 sorry डेल x1 is equal to M1 डेल x1 x1 और यहाँ पे m2 del x2 यह लिख सकते हैं differentiate की जगह मैंने यहाँ differentiate किया dx यहाँ m1 dx1 m2 dx2 m1 plus m2 और उसके बाद अब बोल लखा था कि center of mass remains at initial position तो इसकी value कितनी हुई 0, अब M1 del X1, M2 del X2, है न, is equal to 0, तो M1 del X1 is equal to minus of M2 del X2, यही मैंने पहले लिखा था, M1 R1 is equal to M2 R2, और बोला था, अगर इसको इस तरफ ले जा रहे था, इसको इस तरफ, अब कुछ नहीं जरूरत है, यहाँ सब अपने आप आ गया, डेल x2, मतलब x2 की position कितनी change हुई, कितनी change हुई, 2 meter, किदर, positive में तो 2 लिख दिया, डेल x1, मतलब x1 की position कितनी change हुई, अपने आप आ गया, minus 6, clear हो गया, चलो, अब इस चीज़ को याद रखना, और इसी logic को use करते हुए second question करना, और अब ये question जो मैं दे रहा हूँ, ये m1 r1 और m2 r2 जो लोग याद करते हैं न, उनसे नहीं हिलने वाला, लगेगा, concept आपका जब तक सही नहीं होगा, तो तक कहानी सही नहीं होगी, नहीं है जैसे आपने सोचा सारे question पर M1, R1, M2, R2 लगा दे, कहानी खतम, देखो, question देखो फिर से, वही question लेते हैं, चलो यह 2 kg का mass है, same question और यहाँ mass ले लेते हैं, फिर से 6 kg का चलो ठीक है, इनके बीच का distance नहीं पता, ठीक है, हमने 6 kg को move किया by suppose 2 meter right, चलो ठीक है, 2 meter, ठीक है, फिर से 6 kg is moved 2 meter towards right अब सुनना ध्यान से by how much 2 kg should be moved so तो कि मास के पूरा शिफ्ट शिफ्ट शिफ्ट शिफ्ट तो वह राइट फॉर इनिशियल पोजीशन अब देखिए सवाल हो गया एकदम मस्त ट्राय करेंगे आप लोग खुद से क्या बोल रहा है मेरे पास दो मासेज हैं एक कितना है 2 केजी एक कितना है 6 केजी 6 केजी को हमने कितना मूफ किया 2 मीटर टूवर्ड्स राइट ठीक है इसको 2 मीटर दिल लाए तरफ भागने लगेगा, कह रहा है कि by how much 2 kg should be moved 2 kg को कितना move करें so that center of mass shifts 3 meter towards right from initial position, एक तो इनके बीच का distance नहीं पता, initial center of mass कहा है है नहीं पता पर यह कह रहा है कि 6 केजी को 2 मीटर बगाया आप 2 केजी को कितना बगाएं कि हमारा सेंटर ऑफ मास 3 मीटर टूवर्ड्स राइट आ जाए कल लेंगे चले मैं बता रहता हूं कल लेंगे मेरे क्याल से आप समझ गया होंगे देखो एक्स इस इक्वल्स टू एम एक्स टू डिवाइड बाई एम एक्स एक्स ए प्लस M2. DxOM, center of mass की position में कितना change हुआ? ये दिया है.
Center of mass shifts 3 meter towards right. तो हम एक काम करते हैं, right को positive और left को negative. तो center of mass की position में कितना change हुआ?
3 किस तरफ? आगे की तरफ तो plus 3 is equals to M1 dx1, यह M1 है मारा, ठीक है? M1 की value रख दो, कितनी है?
2 kg, dx1, इसकी position में कितना change हुआ? नहीं पता, यही तो निकालना है प्लस M2 6 kg, Dx2, इसकी position में कितना change हुआ? 6 kg is moved, 2 meter towards right, ठीक है? तो इसका x2 कितना change हुआ?
2 meters, कैसे है? Positive है, divided by M1 plus F2, 2 plus 6, तो यह हो गया 8, 8 इधर आके multiply हुआ, 8 x 3 is 24, is equal to 2 times of dx1, plus 6 x 2 is 12, यहां से 2 dx1 is equal to, बोलो भाई, यहां से बोलो, 2 dx1 is equal to, 24 minus 12 that is 12 यहाँ से dx1 is equals to 6 कैसा 6 आया? plus 6 मतलब इसको कितना move करना पड़ेगा?
6 meter और किस तरफ? positive मतलब आगे की तरफ इसको 2 meter move करो और इसको कितना? 6 meter move करो तब center of mass कितना shift होगा?
3 meter towards right एम आई क्लियर? पक्का समझ में आया क्या तरीका लगाना है? अब देखो यहाँ पे center of mass यह नहीं बोला remain at its oars position.
ज़्यादातर क्वेश्चन जो किताबों में दिये रहते हैं, वो ऐसे दिये रहते हैं कि HC Varma में भी है, बहुत है क्वेश्चन. कि इस मास को इधर move किया, तो इसको इधर move कर लो, M1 R1 is equal to M2 R2, जो पिछला वाला था, ताकि center of mass वही रहे जहाँ था, पर F की वादे को सवाल चतुर था, सवाल ले हमसे बोला by how much 2 kg should be moved? इसको कितना, so that center of mass shifts 3 meter towards right from initial position, अब भाईया initial position भी नहीं पता तो हमने का कोई दिक्कत नहीं है equation लिखा differentiate किया अन्या center of mass कितना बढ़ाना है उन्होंने बोला 3 meter हमने कितार positive है ने लिख दिया M1 इसको कितना बढ़ाना है यही निकालना है M2 इसको कितना बढ़ाया है 2 meter रख दिया खत्म answer clear है कई calculation mistake तो नहीं हुए 2 6 8 8 3 0 24 6 2 7 12 इधर आएगा minus 12 और ठीक है एकदम सही clear हो गया तो या center of mass की कहानी आज हम यहीं पे रोकेंगे खतम नहीं हुआ है start हुआ है पहला lecture था तो center of mass में भी कहानी है बहुत है जैसे center of mass uniformly distributed mass वाली bodies का hollow hemisphere का solid hemisphere का semi circular disc का cone का triangular lamina का rectangle का बहुत से चीज़ों का भी सीखना है कट हो गया कोई part निकाल दिया तो क्या motion of center of mass जैसे ये थोड़ी सी जलक थी motion of center of mass की देखो ये नहीं जलक ही तो है motion ही तो हो रहा differentiate कर दिया time के respect को करते है तो तो विलोसिटी बन जाती है, मोशन आफ सेंटर आफ मास, ठीक है, उसके बाद हमको पढ़नी है क्या, उसके बाद हमको यह पढ़नी है कि भाई सेंटर आफ मास पे फोर्स लगेगी तो क्या होगा, है न, सेंटर आफ मास पे टॉर्क लगेगा तो टॉर्क तो हम रोटेशन प� D upon M1 plus M2 लगा देना तीसरी बात मैंने बताई जहां हो सके वहाँ symmetry को ध्यान दो और चौती बात मैंने यह वाली आपको समझाई कि जब आपको कुछ movement करके दे अगर बोलता है center of mass वही है तब तो लगा लो M1 R1 is equal to M2 R2 इसको इधर ले गए तो इसको इधर