Ciao ragazzi, in questo video ci occupiamo di probabilità. Cominciamo con l'analizzare la cosiddetta definizione classica di probabilità, che è quella che viene utilizzata più spesso. In base alla definizione classica, la probabilità che un certo evento accada è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili.
Consideriamo un esempio per capire meglio. Supponiamo di voler calcolare la probabilità che lanciando un dado da 6 esca come risultato la faccia 4. Capite che in questo caso uno ha 6 casi possibili perché lanciando il dado che cosa può risultare? Chiaramente uno può ottenere un numero che va da 1 a 6. Invece ci sarà solo un caso favorevole, cioè l'unico caso in cui ci va bene è quando esce la faccia con il 4. E quindi la probabilità che lanciando un dado 6 si ottenga 4 diciamo che è un sesto. Sempre applicando la definizione classica proviamo a calcolare la probabilità che lanciando una moneta esca testa.
Beh, stavolta avremo che il numero dei casi possibili sarà 2, no? Perché lanciando una moneta può uscire testa oppure croce. Mentre l'unico caso favorevole chiaramente sarà l'uscita della testa. e quindi in base alla definizione classica diremo che la probabilità che lanciando una moneta esca testa sarà un mezzo e fin qui ragazzi capite che questa definizione sembra funzionare abbastanza bene nel senso torna abbastanza con l'idea intuitiva che uno ha di probabilità il problema è che questa definizione in realtà formalmente non funziona e non funziona perché per capire dove sta il problema proviamo a considerare la seguente situazione supponete che ci sia io da una parte Quindi qui ci mettiamo Elia e dall'altra parte ci mettiamo 20 uomini, abbastanza robusti, facciamo trattare, adesso non ho voglia di disegnarli tutti, comunque 20 palestrati, gente che non scherza, d'accordo? E decidiamo di fare una gara di tiro alla fune, quindi da una parte c'è il giovane Elia e dall'altra ci sono i 20 palestrati che tirano la fune tutti contemporaneamente, quindi immaginiamo che stiano tutti prendendo la fune.
Quale sarà la probabilità di vittoria di Elia? Quindi se io dovessi calcolare la probabilità che alla fine vince Elia. Se cerco di applicare la definizione classica, cosa dovrei concludere ragazzi?
Quali sono i casi possibili? Beh capite, o vince Elia o vincono i 20 palestrati, quindi abbiamo due casi possibili. D'altra parte il caso favorevole a me è solo uno, quindi c'è solo il caso in cui vince Elia da considerare come favorevole.
E quindi dovrei concludere che la mia probabilità di vittoria è un mezzo. A questo punto però, nonostante la mia potenza sia effettivamente devastante, è piuttosto difficile pensare che io abbia davvero la probabilità di vittoria uguale a un mezzo. Cioè questo vorrebbe dire in altri termini che io ho il 50% delle probabilità di vincere contro i 20 palestrati. E capite che questo non torna con l'idea intuitiva che uno ha di probabilità.
Quindi questa definizione sembra funzionare male questa volta, d'accordo? Ed effettivamente quant'è che possiamo usare questa definizione qui? Cioè che cos'è che è cambiato rispetto ai due esempi precedenti in questo esempio?
È cambiato che mentre nei primi due esempi la probabilità di qualunque caso possibile era sostanzialmente la stessa, quindi nel caso del dado la probabilità che uscisse 4 piuttosto che 5 piuttosto che 6, Era sempre un sesto, no? E anche nel caso della moneta la probabilità che uscisse testa era la stessa probabilità che uscisse croce. Mentre qui è difficile pensare a priori che i due casi possibili, quindi la vittoria di Elia e la vittoria dei palestrati, abbiano la stessa probabilità di accadere.
Ci siamo? Quindi verrebbe da pensare che la definizione funziona bene quando i casi possibili sono tra loro equiprobabili. Però capite ragazzi che questo è un problema, perché cosa vuol dire equiprobabili?
Noi stiamo cercando di definire adesso la probabilità e quindi qui probabili è una parola che non possiamo usare rigorosamente nel definire probabilità. Quindi dal punto di vista formale ragazzi questa è una definizione circolare, richiere infatti che i casi possibili abbiano tutti la stessa probabilità che è però proprio l'oggetto che stiamo cercando di definire. Quindi è un po' come un gatto che si morde la coda.
Questa definizione poi ha un altro problema tra virgolette. Si presta male ad essere utilizzata quando il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili sono infiniti. Ad esempio, qual è la probabilità che se io scelgo a caso un numero naturale prenda un pari? Applicando la definizione classica di probabilità, uno cosa dice?
Beh, i casi possibili sono tutti i numeri... naturali quindi sono infiniti e i casi favorevoli sono tutti numeri pari e questi sono a loro volta ancora infiniti uno si aspetta che siano un po' meno no moralmente dei numeri naturali per intero però sono comunque infiniti e quindi come si fa a fare infinito fratto infinito vedete che c'è un problemino qui nella definizione classica nel senso ok uno si aspetta che questa cosa debba fare un mezzo no perché dice bah un naturale su due è pari quindi Questa probabilità deve farmi un mezzo. Però se cerco di ottenerla, no, spudoratamente dalla divisione del numero dei casi favorevoli e del numero dei casi possibili, arrivo, no, ad oggetti di questo tipo che non ci piacciono. Questo è il tipico oggetto, no, che in matematica va preso con le pinze.
È una di quelle forme, no, un pochino delicate. E quindi il secondo inconveniente della definizione classica è che presuppone un numero finito di casi possibili. Cosa questa che come abbiamo capito non è che si verifichi sempre.
Detto ciò noi la useremo largamente perché è una definizione che in moltissimi casi funziona benissimo. Quindi anche se formalmente presenta questi due inconvenienti sarà quella che poi utilizzeremo più spesso ed è quella che comunemente si usa più spesso. Quindi è giusto che sappiate che ci sono dei problemi dal punto di vista formale che si risolvono dando un altro tipo di definizione di probabilità.
Tuttavia è anche vero che questa definizione funziona benissimo nella maggior parte dei casi. L'altra cosa da avere sempre ben presente ragazzi è che cosa rappresenta il numerino probabilità. Quindi il numero che otteniamo facendo numero di casi favorevoli diviso numero di casi possibili. Che cosa rappresenta concretamente?
Ecco quel numero rappresenta la facilità di realizzazione che ha l'evento che stiamo considerando. Quindi tanto più quel numero è vicino ad 1. tanto più sarà facile che l'evento considerato si realizzi e invece tanto più quel numerino è vicino a zero tanto più sarà remoto che l'evento che stiamo considerando si realizzi e quindi possiamo considerare la probabilità come un quantificatore della facilità di realizzazione dell'evento che stiamo considerando vediamo adesso qualche ulteriore esempio di calcolo di probabilità con la definizione classica consideriamo ad esempio questo esercizio che diceva Vengono lanciati due dadi. Qual è la probabilità di ottenere lo stesso numero con entrambi?
E allora, se proviamo ad applicare la definizione classica di probabilità, che cosa dobbiamo fare? P uguale, dobbiamo fare il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. Allora, è chiaro ragazzi che ogni volta che io lancio due dadi ottengo una coppia di numeri.
Quante sono le possibili coppie di numeri diverse che posso ottenere? Se ci pensate un attimo il primo dado può dare un numero tra 1 e 6, il secondo dado può dare un numero anche lui tra 1 e 6 e quindi avremo 36 possibili coppie di risultati, precisamente quelle che vi ho rappresentato qui in questo disegno. Quindi il nostro numero dei casi possibili sarà 36, mentre il numero di casi favorevoli sarà chiaramente 6 perché possiamo aver ottenuto o doppio 1 o doppio 2 o doppio 3 e così via fino a doppio 6. Queste sono le sei situazioni che mi vanno bene, cioè le sei in corrispondenza delle quali io ho ottenuto lo stesso numero con entrambi i dadi. E questo naturalmente una volta semplificato da un sesto. Oppure uno poteva vederla così, no?
Lancio il primo dado. A questo punto avrò ottenuto un numero tra uno e sei. Non mi interessa qual è questo numero.
Se io voglio poi riottenere lo stesso con il secondo lancio, quante probabilità avrò che questo avvenga? Naturalmente per il secondo lancio avrò sei casi possibili e solo un caso favorevole perché devo riottenere lo stesso di prima e quindi la probabilità di riottenere al secondo lancio la stessa cosa che avevo ottenuto al primo di lancio sarà chiaramente un sesto e quindi anche ragionando in questo modo concludo che la probabilità che stavo cercando deve essere un sesto. Vediamo un altro esempio supponiamo sempre di lanciare due dadi e chiediamoci questa volta qual è la probabilità. che la somma dei numeri ottenuti sia 4. Allora anche in questo caso uno deve fare probabilità uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili. Quanti sono i casi possibili?
Come prima chiaramente sono 36 perché abbiamo 36 possibili coppie di risultati che possiamo ottenere. E invece quali sono i casi favorevoli? Quindi quali sono le possibili coppie? di risultati che escono dal primo e dal secondo lancio tali per cui la loro somma di a4 chiaramente possiamo ottenere 4 se al primo lancio abbiamo ottenuto 1 e al secondo lancio abbiamo ottenuto 3 oppure possiamo ottenere 4 se al primo lancio abbiamo ottenuto 2 e poi abbiamo ottenuto 2 anche al secondo lancio O come ultima alternativa possiamo avere ottenuto 3 con il primo lancio e poi 1 con il secondo lancio. E quindi 3 rappresenta il numero dei casi favorevoli che abbiamo.
E quindi in questo caso abbiamo 3 su 36, cioè un dodicesimo di probabilità di ottenere somma 4 lanciando due dadi da 6. In termini di percentuale questo corrisponde più o meno all'8,3%. Naturalmente per esprimere il risultato in termini di percentuale è sufficiente che lo digitate a calcolatrice e poi lo moltiplicate per 100. Nel prossimo video, a cui potete accedere utilizzando il collegamento che vedete comparire qui sulla vostra destra, ci occuperemo di capire la differenza tra due eventi indipendenti e due eventi invece dipendenti e parleremo quindi di probabilità condizionata. Come sempre, se hai trovato utile questa video lezione e ti è piaciuta, iscriviti al canale. Moltissimi altri video sono in arrivo.
Ciao! Presto