Note sulla Circonferenza in Geometria Analitica

Definizione di Circonferenza

• Luogo geometrico: insieme di punti del piano equidistanti da un punto dato (centro).
• Importanza della specifica "del piano" per distinguere da una sfera nello spazio tridimensionale.

Differenza tra Circonferenza e Cerchio

• Circonferenza: perimetro del cerchio.
• Cerchio: superficie interna delimitata dalla circonferenza, che include la circonferenza stessa.
• Formule:
  • Lunghezza della circonferenza: $L = 2 \pi R$
  • Area del cerchio: $A = \pi R^2$

Equazione della Circonferenza

• La circonferenza può essere descritta in un sistema di coordinate.
• Distanza: se un punto P (x,y) è sulla circonferenza, la sua distanza dal centro deve essere uguale al raggio R.
• Formula della distanza:
  [ R = \sqrt{(x - x_{centro})^2 + (y - y_{centro})^2} ]
• Elevando al quadrato, si ottiene: [ (x - x_{centro})^2 + (y - y_{centro})^2 = R^2 ]

Forma Canonica dell'Equazione

• Sviluppare i quadrati per ottenere la forma canonica:
  • Riordino dei termini e definizione di:
    • a = -2(x_{centro})
    • b = -2(y_{centro})
    • c = (x_{centro}^2 + y_{centro}^2 - R^2)\
• Risultato finale: [ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 ]

Trovare Centro e Raggio dalla Forma Canonica

• Dati a, b, e c:
  • (x_{centro} = -\frac{a}{2})
  • (y_{centro} = -\frac{b}{2})
  • (R = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c})

Rappresentazione della Circonferenza nel Piano Cartesiano

1. Equazione direttamente fornita:
   • Riconoscimento immediato del centro e del raggio.
2. Equazione in forma canonica:
   • Necessità di calcolare centro e raggio usando relazioni precedenti.

Casi Particolari

• Se a = 0: centro sull'asse Y.
• Se b = 0: centro sull'asse X.
• Se c = 0: circonferenza passa per l'origine.

Conclusione

• Preparazione per esercizi sulle circonferenze nel prossimo video.
• Invito a porre domande nei commenti e a interagire con il canale.