[Musica] Ciao ragazzi in questo video Parleremo della circonferenza in geometria analitica vedremo la sua equazione la sua rappresentazione e discuteremo alcuni Piccoli dettagli che ci torneranno poi molto utili nella risoluzione degli esercizi cominciamo Innanzitutto col darne la definizione la circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto dato delto centro per chi non avesse mai sentito la parola luogo geometrico significa semplicemente un insieme di punti che godono di una stessa proprietà in questo caso l'equidistanza dal centro notate inoltre che è fondamentale precisare del piano perché se voi non mettete questa precisazione Allora l'insieme dei punti la cui distanza dal centro è uguale al raggio descrive in uno spazio tridimensionale una superficie sferica Mentre se noi diciamo del Piano Allora la definizione ci dà esattamente la circonferenza Mi raccomando ragazzi è molto importante non confondere la circonferenza con il cerchio infatti quello che accade è che la circonferenza divide il piano In due regioni una superficie interna limitata e una superficie esterna illimitata la superficie del Piano interna quindi quella delimitata dalla circonferenza e che comprende la circonferenza stessa e tutti i punti all'interno prende il nome di cerchio mentre la circonferenza è se volete il perimetro del cerchio quindi sono due oggetti molto diversi che si misurano anche con unità di misura diverse qui sulla destra vi ho riportato le formule per calcolare la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio queste non sono formule che si introducono di solito in geometria analitica ma vengono introdotte No molto prima vanno comunque tenute sempre presenti perché capita spesso No in certi problemini di doverle utilizzare cerchiamo adesso di ricavare l'equazione della circonf Enza e per fare questo facciamo come si fa sempre in geometria analitica cioè la descriviamo all'interno di un sistema di coordinate ora la prima cosa da fare è ricordare la definizione che abbiamo dato prima quindi abbiamo detto che la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano e qui distanti da un punto dato detto centro e quindi per ricavare l'equazione della circonferenza sarà sufficiente notare che se un punto P di coordinate generiche X e Y sta sulla circonferenza allora la sua distanza dal centro dovrà essere uguale al raggio a questo punto è sufficiente esplicitare questa relazione bisogna naturalmente ricordare la formula della distanza tra due punti che poi è banalmente il teorema di Pitagora Se ci pensate perché è un po' come se uno considerasse questo triangolino rettangolo Qui no E allora avremo che l'ipotenusa R è uguale a che cosa alla somma dei quadrati dei cateti messa sotto radice e se ci pensate il cateto qui misurerebbe X - la x del centro e invece questo cateto misurerebbe y - la Y del centro a questo punto basta elevare al quadrato e si ottiene l'equazione generale della circonferenza che sarà quindi X - la x del centro al quadrato + y - la Y del centro al quadrato = R qu questa equazione scritta in questo modo risulta particolarmente comoda in certe situazioni però non è la forma standard in cui trovate di solito l'equazione della circonferenza su molti libri Infatti spesso a questa forma si preferisce la forma Canonica Vediamo come si fa a passare dalla prima alla seconda l'idea Innanzitutto è che uno deve sviluppare questi quadrati e per fare questo è sufficiente Ricordarsi la formula del quadrato del binomio a questo punto uno Riordina Questa scrittura anteponendo certi termini e lasciando per ultime tutte le costanti e quindi si passa da questa relazione a quest'altra relazione qui notate inoltre che R quad è stato portato a sinistra e l'ultima cosa che c'è da fare è ribattezzare alcuni termini quindi - 2x del centro lo chiamiamo a - 2y del centro lo chiamiamo B mentre questa Terna di oggetti qui quindi la x del centro al quadrato più la Y del centro al quadrato - R qu la chiamiamo c e così facendo si ottiene finalmente l'equazione in forma Canonica della circonferenza Come avremo modo di vedere questa equazione E questa equazione sono fondamentalmente equivalenti Tuttavia ci sono dei casi in cui risulta più comodo utilizzare la prima e invece molti altri casi in cui risulta più comodo utilizzare la seconda prima di occuparci della rappresentazione ci resta da capire Un'ultima cosa ragazzi se ci troviamo davanti un'equazione in forma Canonica Come facciamo a capire quali sono il centro e il raggio della circonferenza In altre parole se conosco A B e C perché mi viene assegnata l'equazione Come faccio a risalire alle coordinate del centro e alla misura del raggio Ecco l'idea è che per fare questo basta Ricordarsi che cosa avevamo chiamato a che cosa avevamo chiamato B e che cosa avevamo chiamato C si conclude che visto che - 2x del centro lo avevamo chiamato a Allora la x del centro deve essere - a FR 2 visto che - du volte la Y del centro l'avevamo chiamata B Allora la Y del centro dovrà essere - B / 2 e infine una volta che uno ha la x del centro e la Y del centro prende la terza relazione di prima Cioè dove avevamo definito C come X del centro al quadrato + Y del centro quadrato - R qu e si ricava che R è uguale alla radice quadrata della X del centro al quadrato più la Y del centro al quadrato - c e quindi grazie a questa serie di relazioni anche se l'equazione è data in forma Canonica voi riuscite a ricostruire i descrittori geometri della circonferenza cioè il centro e il raggio Vediamo adesso come si fa a rappresentare la circonferenza nel piano cartesiano chiaramente nelle ipotesi che ci sia nota l'equazione della circonferenza e qui ci sono due casi la Prima possibilità è che ci venga fornita l'equazione di una circonferenza assegnata nel primo dei due modi che abbiamo visto prima e in questo caso ragazzi non è difficile disegnarla perché uno riconosce a vista le coordinate del centro e la misura del raggio Mi raccomando che in questo caso il raggio ragazzi è la radice quadrata di quello che vedete a destra perché a destra Voi vedete r quadr e quindi se r qu è 4 Allora R deve misurare 2 una volta trovati chiaramente le coordinate del centro e il raggio uno prende il centro apre il compasso con la misura del raggio e il gioco è fatto la seconda possibilità ragazzi è che invece vi venga assegnata l'equazione della circonferenza in forma canonica E quindi consideriamo ad esempio questa qui X qu + Y Y qu - 4x - 2y + 1 = 0 in questo caso le coordinate del centro e la misura del raggio non sono evidenti a vista ma dobbiamo calcolar Cele E come facciamo si usano esattamente le relazioni che abbiamo introdotto prima e se fate il conto ragazzi trovate che la x del centro è uguale a 2 la Y del centro è uguale ad 1 e il raggio misura 2 di conseguenza se notate che cosa avevamo concluso prima ragazzi si tratta della stessa circonferenza solo che in un caso l'equazione era stata data nella prima diciamo delle due forme che abbiamo visto e invece nel secondo caso era stata data in forma Canonica per concludere Ragazzi volevo dirvi che ci sono dei casi tra virgolette particolari e quindi facendo riferimento all'equazione della circonferenza data in forma Canonica se per caso trovate una circonferenza con a = 0 Allora significa che quella circonferenza lì ha il centro sull'asse Y Se invece avete che B è uguale a 0 Allora si tratta di una circonferenza con centro sull'asse delle x e infine se C è uguale a 0 Allora la circonferenza passa per l'origine nel prossimo video passeremo in rassegno a tutte le tipologie più classiche di esercizi sulle circonferenze se vi sono rimaste delle domande Ragazzi Potete farmele nei commenti qui sotto Se vi è piaciuta questa video lezione e volete vedere altre video lezioni sulla circonferenza ricordatevi di mettere mi piace e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video a [Musica] questo