Halo, bismillahirrahmanirrahim. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Kita ketemu lagi ya di semester baru, semester ganjil tahun akademik 2020-2021. Karena sekarang masih dalam masa pandemi COVID-19, berarti perkuliahan kita di semester ganjil ini masih dilaksanakan secara daring atau secara online.
Dan untuk mata kuliah statistika matematik 1 juga tentunya mengikuti ya, mengikuti berarti kita harus melaksanakan secara daring juga. Oke, untuk stat mat 1 dosen pengampunya ada Bu Siti Sunendiari atau biasanya teman-teman boleh panggilnya Bu Ari dan saya sendiri. Oke, karena ini masih pertemuan awal, jadi saya akan sampaikan beberapa kontrak belajar dan beberapa ketentuan dalam proses perkuliahan kita. Untuk yang pertama, masalah buku teks. Jadi, saya harapkan semuanya punya buku acuannya, yang buku teks yang utama, yaitu bukunya Hogg & Craig.
Judulnya adalah Introduction to Mathematical Statistics. Mungkin sekarang sudah ada yang edisi terbaru, silahkan di browsing, cari e-booknya, dan dipelajari bahwa Apa yang kita pelajari di Satmat 1 itu hanya sebagian saja dari isi bukunya Hawk and Craig. Jadi masih banyak yang lain yang tidak kita masukkan ke dalam materi di Satmat 1. Jadi Satmat 1 itu baru basicnya saja.
Tapi kalau kalian mau tahu perluasannya seperti apa, silakan baca di bukunya Hawk and Craig. Lalu ada buku pengayaannya, kalian bisa baca bukunya. Muth Alexander and Franklin, judulnya adalah Introduction to the Theory of Statistic, lalu yang bahasa Indonesia-nya ada karya Pak Hakim ya, Mastutian Andi Hakim.
Oke, untuk bisa mengambil Statistika Matematik 1, prasyaratnya adalah kalian semua harus sudah ngambil pengantar teori peluang. Selain sudah ngambil, tentunya harus paham juga apa yang kita pelajari di... Pengantar teori peluang.
Jadi sebelum kita masuk materi, nanti kalian harus baca-baca dulu, buka lagi catatannya, apa yang dituliskan pada saat kita belajar PTP atau pengantar teori peluang, dibuka lagi, difahami lagi, supaya nanti tidak kesulitan pada saat kita belajar statma. Oke, lalu ini komponen penilaiannya. Komponen penilaian saya dan Bu Ari akan menerapkan komponen penilaian seperti ini ya, kuis 10%. tugas 20%, UTS 30%, lalu UAS 40%. UAS bobotnya paling besar di antara yang lainnya.
Jadi, tapi bukan berarti juga menyepelekan yang lain ya, tetap semua 4 komponen ini harus kalian isi. Dan kita berusaha setransparan mungkin, makanya kita kasih komponen penilaiannya seperti ini. Jadi, buat nanti kalian semua yang sekiranya nilai akhirnya tidak sesuai dengan apa yang sudah kalian dapatkan, kalian bisa... boleh mengkonfirmasi hal itu kepada saya atau ke Bu Ari. Jadi nanti kalian bisa hitung sendiri, kuisnya dapat berapa, tugasnya dapat berapa, UTS-nya sekian, luasnya sekian, lalu kalian hitung pakai komponen seperti ini, terus nanti nilai akhirnya sesuai nggak dengan apa yang saya atau Bu Ari kasih.
Kalau nggak sesuai, kalian berhak untuk meminta konfirmasi dari saya dan Bu Ari. Jadi saya dan Bu Ari berusaha untuk setransparan mungkin mengenai nilai. Oke, ini adalah outline materi selama 16 kali pertemuan, plus UTS dan UAS ya, berarti kalau sesi perkuliahannya adalah 14 kali. Yang pertama, kita akan belajar tentang ekspektasi.
Ini adalah basicnya, kalian harus tahu sebenarnya bagaimana sih menghitung ekspektasi, terus nanti fungsi untuk mendapatkan ekspektasi itu seperti apa, dan perluasannya dari ekspektasi ini buat ngitung apa. aja ya, jadi kita akan belajar ekspektasi, baik itu untuk variable acak diskret atau pembahas acak diskret dan continue lalu nanti ada fungsi pembangkit moment, ada kita menghitung bagaimana rata-rata dan varias melalui fungsi pembangkit moment, lalu kalau distribusi normal itu udah biasa buat kalian kita belajar di PTP ya, ada distribusi normal kalau sekarang yang di statmat itu yang kita pelajari adalah distribusi normal b-variant. B itu 2, variat itu adalah variable.
Berarti kita akan menghitung atau mencari distribusi normal dari 2 buah uba acak yang kita gambungkan. Lalu distribusi dari fungsi uba acak, ada distribusi sampling, distribusi samplingnya disini ada distribusi rata-rata, distribusi ns kuadrat, lalu kita beli Belajar juga statistik order. Order itu apa? Order itu adalah sesuatu yang sudah kita urutkan. Itu namanya order.
Lalu kita mencari ekspektasi, masih tetap ekspektasi dari fungsi pembaca. Jadi kurang lebih ini adalah materi-materi yang akan kita pelajari selama satu semester ke depan atau selama 14 kali pertemuan. Dan tentunya tadi balik lagi bahwa untuk bisa paham apa yang ada di materi di sini, maka saya harapkan kalian baca lagi materi-materi di pengantar teori peluangnya.
Karena kalau PTP-nya ada yang tidak faham, nanti takutnya teman-teman kesulitan dalam memahami materi statmat. Di statmat yang akan dipelajari kurang lebih adalah prosesnya. Jadi mungkin akan sedikit sekali kalian menemukan angka di sini.
Kalau di statmat, kalian akan banyak menemukan... penurunan rumus kenapa sih bisa gini kenapa sih hasilnya ini jadi secara teoretical nya kita akan uraikan di start gitu ya oke lalu kontrak belajar tadi sudah saya sebutkan di awal bahwa perkuliahan kita karena dalam masih dalam masa pandemi COVID-19 itu juga terpaksa harus dilakukan secara dari melalui ikuliah ya seperti biasa plus ada aplikasi lain sesuai keperluannya jadi ini akan sewaktu-waktu kita butuhkan misalkan nanti tiba-tiba saya akan minta kalian untuk melakukan video call di line jadi harus standby selalu ya pada saat jam kuliah kalau misalkan nanti saya mau meeting online dengan kalian misalkan pakai Google Meet atau misalkan pakai WebEx atau pakai Zoom atau aplikasi lain itu juga dimungkinkan jadi Kita akan lihat keperluannya nanti sesuai dengan kebutuhan kita. Kita akan pakai atau tidak, tapi yang utama dan pasti akan dipakai adalah e-kuliah.
Jadi, seperti biasa, pastikan bahwa kalian bisa login ke e-kuliahnya masing-masing. Lalu, yang kedua adalah pada setiap sesi perkuliahan, tentunya saya dan Bu Ari akan memberikan modul, baik itu PDF atau PPT mungkin, mungkin. Dan plus video pembelajaran seperti ini ya, jadi kalian bisa mengulang materi yang kami sampaikan di rumah untuk latihan soal ya.
Lalu plus setiap sesi perkeliahan juga kalian semua harus aktif. Aktifnya di mana? Yang pertama adalah aktif di forum. Jadi selain tadi kita akan memberikan materi dan video, juga saya pasti buatin satu seksian forum.
Di situ kalian harus aktif. Aktif, aktifnya dalam artian apa? Bahwa kalian boleh bertanya, kalian boleh menjawab pertanyaan temannya, dan kita berdiskusi di forum.
Jadi keaktifan kalian di forum akan dihitung sebagai kehadiran. Plus, ini juga wajib bahwa setiap kali pertemuan, kalian harus mengisi absensi di menu attendance. Karena ada persyaratan nanti, syarat kehadiran minimal adalah 80%.
Jadi sekitar 2 kali pertemuan ya. Dua kali pertemuan ini, kita kasih kompensasi dua kali pertemuan kalian tidak masuk, itu buat apa? Pada saat misalkan kalian sakit, atau misalkan ada keperluan, atau misalkan yang memang mengharuskan kalian untuk tidak masuk kuliah. Jadi kita kasih kompensasi keringanan sebanyak dua kali pertemuan kalian boleh tidak masuk.
Kalau misalkan kalian masuk tapi ternyata tidak mengisi tendens, maka... saya dan Bu Ari akan menganggap kalian tidak masuk. Jadi diingat-ingat lagi bahwa kalian harus setiap kali pertemuan harus mengisi attendance. Karena saya dan Bu Ari akan menghitung kehadiran kalian lewat attendance dan lewat keaktifan kalian di forum. Lalu poin berikutnya adalah untuk kelancaran komunikasi bahwa setiap masuk perwakilan kelas, harap dibuat grup kelas.
Dan saya dan Bu Ari memilih untuk di line. Mungkin sebelum kalian nonton video ini juga kalian sudah bikin grup kelas ya. Nah, poin yang berikutnya adalah tidak ada pengumpulan tugas atau kuis susula.
Jadi, kalau misalkan ada tugas atau kuis, kalau tugas saya akan berikan rentang waktunya. Misalkan kalian harus mengumpulnya sebelum jam berapa gitu ya. Sehingga kalau ada yang lewat dari jam yang sudah ditentukan, maka saya anggap dia tidak mengumpulkan tugas.
Atau pada saat kuis, kuis itu sifatnya bisa saya kasih tahu, bisa tidak saya kasih tahu, maka kalian harus siap terus. Dan pada saat misalkan terjadi kuis dan kalian tidak masuk, Saya dan Bu Ari tidak menginginkan adanya kuis susulan. Jadi dari sekarang saya mudah beritahukan ya, tidak ada kuis susulan dan tidak ada pengumpulan tugas susulan. Kalau tidak sesuai dengan jamnya, berarti saya anggap tidak mengikuti, baik itu mengumpulkan tugas atau mengikuti kuis. Lalu kalau ada ketentuan-ketentuan lain yang belum saya sampaikan di kontrak belajar ini, atau yang ini kontrak belajarnya untuk semua kelas ya, jadi baik untuk kelas Bu Ari, maupun untuk kelas saya, semuanya sama.
Dan kalau ada yang belum saya sampaikan, nanti akan kita diskusikan lagi di grup kelasnya masing-masing. Dan kalau ada yang ditanyakan, misalkan mengenai kontrak belajar ini, silakan bertanya di grup kelasnya masing-masing. Oke, kita akan masuk pertemuan pertama.
Ini adalah materi di pertemuan pertama. Kita akan bahas mengenai ekspektasi. Ini yang paling basic pada saat kita belajar statunat, karena mau seberapa, misalnya mau kita perluas teorinya sebesar apapun, pasti endingnya adalah salah satunya pasti kita harus mencari nilai ekspektasinya berapa. Nah, ini yang paling dasar.
Ekspektasi, secara definisi, misalkan saya punya sebuah peubah acak X, di sini X adalah berubah besar, sehingga X-nya adalah peubah acak. di mana peubah acaknya adalah dia sifatnya diskret, ada diskret, ada kontinyu. Masih ingat di PTP itu ada diskret, ada kontinyu.
Kapan kita sebut dia peubah acak diskret, kapan kita sebut dia peubah acak kontinyu, itu kalian harus buka lagi materinya. Karena ketika kita tidak bisa membedakan ini diskret atau kontinyu, rumusan yang akan dipakai juga akan berbeda. Oke, untuk definisi pertama, Ketika X merupakan sebuah pembaca diskret, dan ketika dia pembaca, pasti dia punya fungsi peluang. Silahnya ini adalah fungsi peluang.
Simbolnya adalah P kecil X, artinya fungsi peluang dari pembaca X. Maka nilai ekspektasinya disimbolkan dengan ini simbolnya, EX atau ekspektasi dari X. Maka menghitungnya adalah... Ekspektasi X sama dengan sigma X dikali PX atau variable acaknya dikali fungsi peluangnya. Kalau dia diskret, kita akan selalu berhubungan dengan sigma.
Sigma itu apa? Sigma itu adalah penjumlahan. Akan tetapi, yang definisi kedua, ketika pelubah acaknya adalah kontinu, sehingga kalau A. Dia pembacaannya continue, bukan lagi namanya fungsi peluang, tapi namanya adalah fungsi densitas. Simbolnya adalah fx.
Maka ekspektasi x-nya adalah bukan lagi sigma, tapi kita akan pakai integral. Jadi beda ya. Kalau dia diskret, kita akan banyak kaitannya dengan sigma. Kalau dia continue, kita akan banyak kaitannya dengan integral.
Integral dari apa? Sama seperti tadi, integral dari x dikali fungsi densitasinya. Lalu di sini juga ada beberapa sifat ekspektasi.
Yang pertama, ketika variable acaknya adalah sebuah konstanta, ketika x-nya adalah sebuah konstanta, maka ekspektasi dari konstanta adalah konstanta itu sendiri. Ekspektasi 3? Ya 3. Ekspektasi 5? 5. Jadi ekspektasi dari sebuah konstanta itu adalah konstanta. Lalu kalau misalkan C adalah suatu konstanta, lalu X adalah pelubah aja, maka ekspektasi CX karena Cnya konstanta, kita bisa keluarin konstanta dari dalam ekspektasi.
Sehingga ekspektasi CX sama dengan C dikali ekspektasi X. Jadi kalau misalkan saya... punya X adalah sebuah puba acak, lalu saya mau mencari ekspektasi dari, misalkan saya mau cari ekspektasi 5X, berarti saya bisa 5 dikali ekspektasi X. Ya, salah satu sifatnya itu. Lalu sifat yang ketiga, kalau saya punya misalkan ada 2 buah konstanta, ada A dan ada B, di mana plus 1 buah puba acak X, maka ekspektasi, AX plus B adalah, seperti yang tadi ya, kalau saya uraikan ini adalah ekspektasi AX ditambah ekspektasi B.
Ini A-nya. Ini adalah konstanta, berarti bisa kita keluarin. Berarti A ekspektasi X ditambah ekspektasi dari konstanta, berarti konstanta itu sendiri ditambah B.
Nah, itu adalah sifat-sifat dari ekspektasi. Hanya yang harus kalian ingat adalah perbedaan antara diskret sama kontinu. Kalau diskret, berarti kita banyak mainnya sama jumlah atau sigma. Tapi kalau dia kontinu, berarti kita akan banyak mainnya dengan integral.
Oke, ini contohnya. Misalkan saya punya X adalah sebuah peubah acak diskret dengan fungsi peluangnya seperti ini. Lalu saya harus tentukan ekspektasi X, ekspektasi 2X, dan ekspektasi 3X-5. Oke, untuk yang pertama, ekspektasi X. Kenapa ini disebutin dia diskret ya?
Kalau misalkan kalian tidak tahu, misalkan cuma dikasih tabelnya aja seperti itu, ada peubah acak X, lalu ada peluangnya. Dari mana kita tahu bahwa dia adalah peubacak diskret? Kita bisa lihat dari nilai-nilai si peubacaknya. Kalau dia berupa bilangan bulat, maka itu termasuk ke peubacak yang diskret.
Tapi kalau batas-batas atau nilai-nilai X-nya dia berupa rentang, range, berarti itu salah satu ciri dari peubacak kontinu. Oke, di sini nilai X-nya itu berapa? Nilai X-nya dia bernilai dari 1, 2, 3, 4. Nah, ini salah satu ciri dari dia pasti diskret.
Lalu, masing-masing nilai dia punya fungsi peluangnya, nilai PX-nya. Yang pertama adalah kita suntukkan ekspektasi X-nya berapa. Berarti ekspektasi X tadi, karena dia diskret, berarti kita akan mainin dengan sigma. Lalu, X dikali fungsi peluangnya. nilai X-nya bergerak dari berapa sampai berapa?
Dari 1 sampai 4. Berarti sigma-nya adalah dari I sama dengan 1 sampai 4. Lalu, habis ini, kalau dia sigma berarti jumlah ya. Berarti tinggal ganti X-nya dengan batas-batas yang kita masukkan ke dalam sigma. Berarti karena tadi X-nya mulai dari 1, masukkan 1 ke dalam fungsi. 1 dikali fungsi poluang untuk X-nya 1. ini 0,4 ditambah ketika X-nya 2 berarti kita ganti 2 dikali peluang pada saat X-nya 2 0,1 dan seterusnya sampai ke batas terakhir baru kita jumlahin hasilnya oke, sekarang ekspektasi 2X atau sebelumnya hmm, tadi ekspektasi X adalah jumlah antara X dikali peluang X-nya. Kita perhatiin ya.
Ekspektasi X. Di sini yang di dalam kurung adalah X-nya. Sehingga yang menjadi pengali adalah X. Ini adalah X.
Sehingga di sininya juga tetap X. Sekarang, kalau saya mau cari ekspektasi dari 2X. Berarti sigma dari...
Karena yang ditanya adalah ekspektasi 2x, berarti ini menjadi pengali. 2x dikali fungsi x-nya. Jadi sama ya.
Ini adalah di dalam kurungnya 2x, berarti ini harus sama dengan pengalinya. Jadi 2x. Sehingga sama seperti tadi.
Ekspektasi 2x adalah sigma, karena dia diskret. 2x dikali fungsi peluangnya. Masukkan.
tadi X-nya bergerak dari 1 sampai 4, ganti X-nya dengan 1, nanti ditambah, ganti X-nya dengan 2, ditambah, dan seterusnya sampai batas X yang terakhir. Atau kita bisa pakai fungsi sifat ekspektasi yang tadi, bahwa ekspektasi Ekspektasi AX, ketika A-nya adalah konstanta, berarti kita bisa kedepani. A dikali ekspektasi X. Jadinya seperti ini. Oke, yang C juga kurang lebih sama ya, nanti kalian bisa pelajari sendiri.
Lalu itu untuk yang diskret. Sekarang kita yang kontinu. kalau yang continue Salah satu ciri continue adalah nilai-nilai X-nya dalam bentuk range. Itu disimbolkan lewat apa?
Di sini kita lihat batasnya adalah X-nya antara 0 sampai 1. Berarti nilai X-nya itu berupa range. Itu adalah salah satu ciri bahwa variable acaknya continue. Ketika dia continue, untuk mencari ekspektasinya, berarti kita harus pakai integral.
Untuk mencari ekspektasi X, berarti integral X dikali fX. Tinggal kalian selesaikan secara integral ya, pakai dikalkulus kan. Lalu, nah ini juga sama kan tadi, ekspektasi X sama dengan integral X dikali F X. Karena di dalam kurungnya X, berarti yang jadi pengali di dalam integralnya adalah X. Kalau yang bawah, ekspektasi 2X sama dengan integral dari 2X dikali F X. Jadi, ini, Sama dengan pengalinya di sini. Atau boleh pakai si sifat ekspektasi.
Dan seterusnya sampai yang ke poin C. Jadi yang harus kalian ingat adalah kalau ekspektasi simbolnya adalah E. Ekspektasi itu adalah kalau diskret berarti dia sigma X dikali fungsi densitas. Kalau dia kontinu berarti integral X dikali fungsi.
dan si tas. Itu untuk bahasan yang pertama. Lalu, bahasan yang kedua. Ketika kita berbicara varians.
Di sini ada secara definisi, ada secara dalil. Secara definisi, untuk mencari varians adalah varian simbolnya V. V besar. Varian X, berarti varian dari pembaca X. Ini secara definisi. Lalu yang bawah itu secara dalil.
Sama saja, kita bisa pakai yang secara definisi, kita bisa pakai yang secara dalil. Tapi yang kebanyakan, yang paling sering dipakai adalah yang secara dalil. Ekspektasi atau varian X adalah ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X dikuadratkan. Beda ya, ini adalah X kuadrat, kalau ini X dikuadratkan.
Untuk mencari ini pakai fungsi atau... pakai cara yang ekspektasi yang tadi. Oke, sifatnya.
Untuk yang pertama, kalau misalkan C adalah sebuah konstanta, maka varian konstanta itu nilainya 0. Varian konstanta adalah 0. Kalau tadi ekspektasi dari konstanta, ya konstanta itu sendiri. Lalu, ketika C adalah suatu konstanta, maka varian X... plus C itu sama dengan varian X karena kalau kita uraikan varian X plus C sama dengan varian X, ini ya kalau saya uraikan varian X plus C sama dengan varian X ditambah varian C, ini adalah tetap varian X, varian C varian konstanta, tadi ada nilainya 0, berarti sama dengan varian X oke Lalu, jika C adalah sebuah konstanta dan X adalah sebuah pula baca, maka varian CX, CX, ketika C adalah konstanta, konstanta keluar dari varian, dia berubah jadi bentuk kuadratik.
Jadi, C kuadrat kali varian X. Kalau tadi, ekspektasi AX sama dengan A dikali ekspektasi X, A-nya tetap. Tapi kalau dia dalam bentuk varias, maka konstanta keluar dari varias, dia akan berubah bentuk menjadi bentuk kuat kreatif. Oke, masih pakai contoh yang tadi. Kalau saya mau mencari, ini masih sama ya, fungsinya discrete.
Lalu, fungsi polongnya juga masih sama dengan contoh yang pertama. Tadi di contoh pertama, kita punya ekspektasi X-nya adalah 2,3. Lalu, yang pertanyaan sekarang di contoh 3 adalah kita mau mencari. varian X. Tadi kita akan pakai yang paling mudah dulu, yaitu yang pakai dalil.
Varian X sama dengan ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X di kuadrat K. Ekspektasi X kuadrat sudah punya? Belum. Yang kita punya baru ekspektasi X-nya.
Berarti kita harus cari ekspektasi X kuadrat. Rumusnya? Oke, seperti yang tadi. Karena ini adalah diskret, berarti sigma. Di dalam kurungnya adalah x kuadrat, berarti yang menjadi pengali adalah x kuadrat dikali peluang x.
Ini ya, tinggal kalian uraikan, ganti X-nya dengan 1, ganti X-nya 2, ganti X-nya 3, dan seterusnya. Lalu, itu baru ekspektasi X kuadrat. Lalu, varian X-nya adalah ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X di kuadrat.
Lalu, yang B, ekspektasi 2X. Nah, varian 2X. Varian 2X berarti...
Ekspektasi 2x kuadrat dikurangi ekspektasi 2x di pangkat 2. Tinggal ganti saja. Berarti kalau varian 2x adalah ekspektasi dengan kurungnya 2x kuadrat dikurangi ekspektasi 2x di kuadrat. Kalian uraikan sama seperti di sini, sudah saya uraikan juga. Silahkan belajari lagi dapatnya dari mana.
Coto 4 itu pada saat bentuknya adalah kontinu. Caranya sama kalau tadi adalah sigma, kalau ini adalah integral. Jadi jangan dilupakan cara menghitung integral.
Karena kalau di stat mat... Mau nggak mau, suka nggak suka, kita pasti akan ketemu sama integral, sama diferensial, sama sifat-sifat len, eksponen, dan seterusnya yang kita pelajari di kalkulus. Jadi, selain tadi PTP, pengantar teori peluang, buka lagi materi mengenai kalkulusnya. Oke, itu adalah bahasan tentang varians.
Jadi kalau saya ulang, kalau misalkan ekspektasi adalah, kalau dia diskret, ekspektasi X sama dengan sigma X dikali peluangnya. Kalau dia kontinu, berarti integral X kali peluangnya. Lalu kalau varian situ adalah, kita bisa pakai definisi, kita bisa pakai dalil. Yang paling banyak dipakai adalah yang dalil, yaitu varian X adalah ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X dikuadratkan.
Cara menghitung ekspektasinya sama seperti ya tadi. Oke, buat contoh-contoh yang lain silahkan dipelajari mandiri. Saya nggak akan jelasin detail satu per satu. Saya akan lanjutkan ini ke beberapa bentuk distribusi yang kalian udah pelajari di PTP.
Kita ketemu lagi. Ini adalah pembuktian, mungkin kalau di PTP kita tahu fungsi densitasnya apa, hal-halo. Kita cari ekspektasi atau rata-ratanya apa dan variasnya apa. Tapi tidak tahu prosesnya gimana.
Nah, di Start Mark kita belajar prosesnya. Kenapa sih nilai ekspektasi dan nilai variasnya sekian? Oke, yang pertama, ketika kita berbicara distribusi bernoli. Distribusi bernoli ini adalah distribusi yang paling sederhana.
Simbolnya adalah ini. Distribusi Bernoulli, apa bedanya Bernoulli dengan Binomial? Bernoulli dan Binomial sama-sama untuk yang sifatnya ada peluang sukses dan peluang gagal.
Ada dua kemungkinan terjadi, ada sukses, ada gagal. Bedanya apa? Kalau dia Bernoulli, biasanya banyaknya percobaan itu hanya sebanyak satu kali.
Tapi kalau percobaannya diulang-ulang sebanyak N kali, maka nanti akan berubah dari Bernoulli ke Binomial. Oke, kalau dia bernoli, untuk yang pertama, X distribusinya bernoli 1, theta. Berarti yang menjadi parameternya adalah theta.
Fungsi peluangnya adalah seperti ini. Theta pangkat X dikali 1 min theta pangkat 1 min X. X-nya, bagiannya percobaannya 0 dan 1. Ini berupa bilangan bulat. Atau berarti... Ini masuknya ke pembaca diskret.
Nah, bagaimana kita tahu bahwa itu merupakan fungsi densitas atau fungsi peluang? Jadi, salah satu syarat ini kayaknya di PTP juga ada, bahwa untuk membuktikan bahwa beneran nggak sih fungsi ini adalah fungsi densitas atau fungsi peluang, ya kita harus buktiin. Buktiinnya gimana?
Buktiinnya adalah, kalau kita jumlahkan, kalau dia diskret, Atau kalau kita integralkan, kalau dia kontinu terhadap batas-batasnya, maka nilainya harus 1. Itu adalah ciri dari fungsi peluang atau fungsi densitas. Di sini sudah dikasih turunannya, kenapa kita yakin bahwa fungsi itu adalah fungsi densitas untuk distribusi bernoli. Kala ini sudah dibuktikan dan hasilnya ternyata 1, berarti benar, terbukti bahwa fungsi densitas teta pangkat X kali 1 min teta pangkat 1 min X adalah fungsi densitas untuk distribusi bernalui. Yang kita mau cari bukan itunya, tapi yang mau kita cari adalah nilai rata-rata dan variansnya.
Rata-rata itu sama dengan ekspektasi. Jadi kalau kalian boleh... Bilangnya adalah ekspektasi atau kalian boleh juga bilang rata-ratanya. Oke, untuk yang pertama kita mau cari rata-rata atau ekspektasi X-nya. Sama seperti tadi, ekspektasi X adalah sigma X dikali fungsi densitasnya.
X-nya batasnya dari berapa sampai berapa? Di sini tadi dituliskan X-nya adalah dari 0 dan 1. Berarti X-nya 0 dan 1. 0 dan 1. X dikali fx. Fx-nya yang tadi. Lalu tinggal kita uraikan. Tinggal kita ubah.
Masukkan. Ganti x-nya dengan 0. Ganti x-nya dengan 1. Berarti untuk yang pertama kita ganti x-nya dengan 0. 0 dikalikan sesuatu pasti nilainya 0. Ini berarti teta pangkat 1 adalah teta. Ini pangkatnya 1, min 1, 0. Sesuatu dipangkatkan 0, pasti nilainya 1. Ini pasti nilainya 1. Berarti teta kali 1, hasilnya teta.
Berarti rata-rata dari resibusi bernolih terbukti adalah sama dengan teta, atau sama dengan parameternya. Lalu, kita mencari varian X-nya. Tadi varian X rumusnya, kalau pakai dalil, ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi.
X dikuadratkan. Yang sudah kita punya adalah yang ini. Yang kita belum punya adalah yang ini.
Berarti kita harus cari tahu dulu. Sama seperti tadi. Caranya di sini. Sama seperti tadi, dimasukkan nilai-nilai X-nya ke dalam rumusannya, lalu nanti kita bisa dapatkan ternyata nilai ekspektasi X kuadratnya adalah teta. Masukkan ke rumus variansnya.
Ini ke sini, lalu ini ke sini ya. Dapatlah ada teta kali 1 min teta. Sehingga kesimpulannya, kalau X-nya dia bernoli 1, teta, ekspektasi X-nya adalah teta, varian X-nya adalah teta dikali 1 min teta.
Itu adalah kesimpulannya. Dan terbu. Oke, kalau di kelas itu biasanya sambil mencatat ya, saya tulis di papan tulis, lalu kalian tulis di kertas.
Nah, di sini juga baiknya kalian nggak cuma menonton, tapi siapin buku sambil dipelajarin, ditulis ulang apa yang sudah saya sampaikan dan Bu Ari sampaikan. Jadi nanti kalian bisa paham cara menghitungnya, kenapa sih ini bisa seperti ini, dan seterusnya. Jadi sambil menulis apa yang disampaikan.
Oke, lalu distribusi kedua adalah distribusi binomial. Tadi bedanya sama bernoli, kalau binomial banyaknya percobaan sebanyak n kali. Jadi menulisnya adalah x distribusi binomial sama-sama b, tapi yang bedanya adalah kalau tadi bernoli itu cuma 1, kalau di sini ada sebanyak n kali.
Fungsi densitasnya adalah kombinasi nx x θ pangkat x dikali 1 min θ pangkat n min x. Masih ingat cara mencari kombinasi? Kombinasi nx sama dengan n! dibagi n min x!
dikali x! Lalu sekarang, n! Rumusannya apa? n! Berarti saya harus mencari n dikali n-1, dikali n-2, dan seterusnya.
Contoh, kalau saya mau mencari 3! Berarti 3 dikali 2, dikali 1, sampai ke yang terkecil. Berarti itu juga sama. Oke, saya mau mencari ekspektasinya.
Berarti ekspektasinya adalah sigma X dikali fungsi densitasnya. Tadi batas-batas X-nya adalah dari 0 sampai dengan N. Ini berupa bilangan bulat, makanya dia variable-nya adalah diskret.
Oke, berarti ini... Ekspektasi X adalah sigma azan. Oke, kembali lagi bahwa kita akan mencari nilai ekspektasi dan varian dari distribusi binomial. Tadi ekspektasi X-nya adalah sigma dari X dikali fungsi densitasnya, di mana X-nya, batas-batasnya adalah dari 0 sampai N, berarti sigma-nya adalah dari 0 sampai N, X-nya dikali fungsi densitas X. Fungsi densitas X-nya yang tadi.
Kombinasi nx kali teta pangkat x dikali 1 min teta pangkat n min x. Di mana kombinasi nx itu adalah ini, n! dibagi n min x! dibagi x! Nah, ketika saya ganti di sini x-nya dengan 0, 0 dikali berapapun pasti nilainya 0. Sehingga di sini saya tuliskan 0. 0 ditambah...
Karena tadi 0-nya sudah kita masukkan, berarti batas bawahnya bukan dari 0 lagi, tapi sekarang sudah dari 1. 1 sampai n. x dikali, kita ganti fungsi densitasnya dengan yang tadi. Ini sudah fungsi densitas.
Oke. Lalu kombinasi nx-nya saya buka. Saya uraikan jadinya seperti ini. Oke.
Kalau tadi ini ya, kombinasi nx sama dengan n! dibagi n-x! dikali x! n! saya pecah, jadi n!
itu sama dengan n! dikali n-1! jadinya ini saya masukin ke sini Oke, lalu x!
saya juga pecah, x dikali x-1! Oke, saya masukkan ini ke sini. Teta pangkat x saya pecah, teta pangkat x ini saya pecah menjadi teta pangkat 1 dikali teta. teta pangkat x min 1. Boleh nggak?
Boleh ya. Karena kalau ini, teta pangkat 1 dikali teta pangkat x min 1, kalau saya jumlahin pangkatnya, sama dengan teta pangkat x. Jadi sama aja. Jadi teta pangkat x saya pecah menjadi teta pangkat 1, teta pangkat 1 dikali teta pangkat x min 1. Jadi seperti ini.
Oke, lalu kita perhatikan kira-kira mana yang berbentuk konstanta. Artinya adalah, karena tadi yang bergerak adalah X-nya, mana yang tidak mengandung X, yang tidak bergerak, yang dia berupa konstanta. Kita punya ada N dan ada teta.
N dan teta karena dia berupa konstanta, tidak mengandung X, boleh saya kedepani. Oke. N kali teta kali sigma, blablabla, tinggal ditulis ulang.
Oke, nah sekarang kita perhatikan bentuk si kombinasinya. Kombinasinya berarti tinggal sisa, oke, tadi di sini ada X, lalu di bawah ada X, saya bisa coret. Ya, berarti tinggal sisa.
N-1! dibagi X-1! dikali N-X!
Ini kalau saya uraikan, ini sama dengan kombinasi N-1! dikali X-1! Sehingga yang tadi bentuknya panjang, saya bisa persingkat lagi menjadi Hmm...
Bentar... N-T2 Oke, ini ada yang kurang ya. Ini harusnya n theta ya.
Ini n theta, ini n theta. Kalian tambahin di catatannya sendiri ya, itu harusnya n theta. Oke, n theta dikali jumlah dari kombinasi n-1, x-1, theta pangkat x-1, dikali 1, n-x. Sekarang kita perhatikan, bentuk ini.
Bentuk ini sama enggak dengan bentuk Ini fungsi densitas. Bentuk yang tadi sama dengan fungsi densitasnya nggak? Sama ya.
Pada saat n-1 itu adalah, lihat bentuknya. Oke, saya pindahin dulu. Perkecil deh.
Nah, kita perhatiin. Si pangkat ini, teta pangkat x itu sama dengan yang menjadi di bawah sini ya jadi sama x lalu ini adalah n disini juga n sekarang kita lihat polanya dengan yang disini ini x-1 sama dengan yang di bawah lalu Oke, n-x itu diperoleh dari n-1 dikurangi x-1. Oke, ini n-x itu diperoleh dari n-1 dikurangi x-1. Sama, n-x ya.
Jadi polanya sama antara bentuk ini dengan bentuk fungsi densitas yang tadi, hanya nilainya aja yang berubah. Sehingga kalau saya jumlahkan terhadap semua batas-batasnya, karena dia berupa fungsi densitas, pasti nilainya 1. Sehingga ekspektasi X-nya adalah 1. Berarti ekspektasi X-nya adalah n dikali teta. Sekarang, varian X adalah ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X dikuadratkan. Atau, saya bisa modifikasi ekspektasi X kuadrat bentuknya menjadi ini. Menjadi ekspektasi X dikali X-1 plus X.
Kalau saya uraikan, kalau saya jabarkan, itu sama dengan ekspektasi X kuadrat. Sehingga, saya harus mencari ekspektasi X dikali X-1 terlebih dahulu. Kalau ini saya uraikan, tadi kan bisa saya percaya ekspektasi X dikali X-1 plus ekspektasi X.
Ekspektasi X-nya saya sudah dapat, tinggal saya mencari nilai ekspektasi X kali X-1. Caranya sama seperti tadi, kalian harus uraikan, mana yang harus diurai. terus ada yang berupa konstanta, kita kedepanin lagi konstantanya, lalu nanti kita samain bentukannya, sama dengan fungsi densitas atau tidak. Kalau dia sama dengan fungsi densitas, berarti jumlah dari fungsi densitas itu selalu 1, dapatlah hasil seperti ini.
Jadi, kalian uraikan sendiri, coba pahami lagi kira-kira itu dari mana. Tadi kurang lebih sudah saya jelaskan di awal ya. Sehingga kalau saya uraikan menjadi varian X-nya adalah Ini, nθ kali 1 minθ. Jadi, kalau dia berupa X, distribusinya binomial nθ, ekspektasi X-nya adalah nθ, varian X-nya adalah nθ dikali 1 minθ. Itu untuk binomial.
Lalu, satu lagi adalah poasong. Poisson fungsi densitasnya adalah seperti ini, f pangkat min teta kali teta pangkat x per x faktorial, di mana ini adalah batas-batas yang masih berpabilangan bulat, berarti masuk ke variable atau pembaca diskret, sehingga ketika saya mau mencari rata-ratanya adalah seperti ini, berarti jumlah dari x kali f. kita masukin x nya 0 kalau x nya 0 berarti 0 semua, 0 dikalikan apapun pasti hasilnya 0 berarti plus kita ubah batas bawahnya menjadi dari 1 sampai hingga lalu kita uraikan sama seperti tadi cuma disini ada ada salah satu sifat eksponen Sifat eksponen adalah ini.
Sifat eksponen adalah ini. Jadi kalian harus tahu sifat eksponen. Kalau saya punya... E pangkat A itu sama dengan sigma, batas-batas dari X-nya berapa, lalu teta pangkat A dibagi A faktorial, ini misalkan dari 1 sampai tahing.
E pangkat A sama dengan, ini adalah sifat eksponen. E pangkat A sama dengan sigma dari X dari 1 sampai, sehingga teta pangkat A dibagi A faktorial. Sekarang ini juga sama kan, antara pangkat dengan yang menjadi faktorial di bawah itu sama, X minus 1. Sehingga itu menjadi E pangkat teta. Sari ini E pangkat teta ya. Ini E pangkat teta.
Kita ubah ke sini. Berarti ini adalah E pangkat teta. Ini ada E pangkat min teta depannya.
Dikali e pangkat teta berarti min teta tambah teta itu 0, e pangkat 0 adalah 1, 1 kali teta adalah teta. Lalu, variasnya caranya sama seperti pada saat kita bahas yang binomial yang tadi. Jadi, kita modifikasi ekspektasi x kuadratnya, kita jabarkan menjadi ekspektasi x dikali x min 1 ditambah x.
Lalu, cari dulu. Cari lagi ekspektasi X kali X-1, lalu kita jabarkan sama seperti tadi, ubah bentuk eksponennya menjadi fungsi eksponen, sehingga yang ini akan berubah menjadi E pangkat teta, lalu kita uraikan menjadi teta kuadrat. Sehingga varian X-nya adalah ekspektasi X kuadrat dikurangi ekspektasi X dikuadratkan berarti teta.
Jadi kesimpulannya, kalau X, disibusinya adalah poasong, parameternya teta, ekspektasi X-nya adalah teta, varian X-nya adalah teta. Disibusi poasong adalah salah satu disibusi yang istimewa. Kenapa?
Karena rata-rata dan variasinya adalah nilainya sama, yaitu nilainya sama dengan parameternya, teta. Itu salah satu keistimewaan dari disibusi poasong. Oke, jadi saya nggak jelasin detail penurunannya seperti apa, dan sebenarnya udah dituliskan dengan jelas, jadi kalian harus pelajari dulu, kayak tadi ada fungsi eksponen untuk bisa mengubah yang disibusi plasong, lalu tadi harus saya jabarkan kalau di binomial bentukannya, ada yang harus saya pisahkan, konstanta harus dikedepanin, dan seterusnya. Silahkan dipelajari lagi secara mandiri. Kalau ada kesulitan, silahkan bertanya.
Bisa di forum atau di grup lainnya masing-masing. Oke, sekian pembelajaran hari ini di pertemuan pertama. Kita ketemu lagi di minggu depan, pertemuan kedua, dengan bahasan tentang ekspektasi dan varian dari distribusi yang kontinu. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Sampai ketemu lagi.