[Musique] récemment j'ai publié un short qui te dit que ce n'est pas grave de trouver en mathématiques des choses du genre paix implique non paix bah oui parce qu'il suffit que P soit faux pour que P implique non P soit vrai donc il y a pas de problème mais en fait ceci c'est au cœur de ce que l'on appelle la logique intuitionniste et je vais t'en parler aujourd'hui [Musique] salut aujourd'hui je vais te parler de la logique intuitionniste je vais t'expliquer ce que c'est nous allons évidemment dans cette vidéo pas trop rentrer dans les détails compliqués mais nous allons quand même essayer d'étudier ce sujet dans sa globalité en fait en mathématiques il y a plusieurs types de logique il y a d'abord la logique classique celle que tu utilises en fait tous les jours en cours de maths quand tu dois démontrer quelque chose ou par exemple tu as le droit de faire une démonstration par l'absurde par exemple si tu veux montrer que racine carrée de 2 est irrationnel tout en effet d'ailleurs une vidéo sur la chaîne et bien tu peux supposer crassine carrée de 2 et rationnel et montrer que tu aboutis à une contradiction mais ça d'ailleurs qu'il existe d'ailleurs ce terme de il existe tu verras plus tard dans la vidéo que bah en fait il est pas terrible il existe de nombreux mathématiciens qui refusent les démonstrations par l'absurde et tu vas comprendre en fait que c'est ma thématicien refuse de nombreuses autres choses et c'est mathématicien ce sont ce qu'on appelle les intuitionnistes ou les constructivistes c'est la même chose et la logique intuitionniste ou la logique constructiviste c'est donc une autre branche de la logique mathématique qui va donc refuser les démos par l'absurde et refuser d'autres trucs nous allons en parler en fait la logique intuitionniste se base uniquement sur ça en fait si tu as une proposition P donc une proposition pour rappel c'est juste une phrase mathématique ça peut être n'importe quoi ça peut être en théorème un truc tout bête du genre zéro égale 0 ou même un truc faux ça peut être 0 égal 1 par exemple et bien en logique intuitionniste ceci est vrai c'est à dire qu'on a non entre parenthèses non non paix implique P alors là tu vas me dire mais Médéric qu'est-ce que c'est que ce truc en fait c'est très simple tu prends une proposition P non non P ça veut dire quoi non paix ça veut dire que P est fausse non non P bah ça veut dire qu'elle n'est pas fausse c'est la négation de la négation donc une proposition pas fausse ça implique une proposition si P donc P est vrai donc pas faux implique vrai et bien tout ça entre parenthèses il y a un nom donc tout ça c'est donc pas faux implique vrai ça c'est faux ça c'est au cœur de la logique intuitionniste quelque chose de pas faux n'est pas forcément vrai bon par contre attention je précise le contraire est vrai quelque chose de vrai n'est pas faux parce que en logique intuitionniste tu ne peux quand même pas être à la fois vrai et faux donc si tu es vrai tu es forcément pas faux et ça d'ailleurs ça peut directement se traduire en le principe du tiers exclu ce qu'il faut comprendre déjà c'est que cette flèche se implique c'est du sucre syntaxique qui désigne simplement autre chose puisqu'en fait implique Q ça peut simplement se traduire non paix ou cul donc en traduisant uniquement ce qu'il y a dans les parenthèses on obtient non P ou P et donc comme il y a une négation de vent cela signifie donc que bah non poupée bah ça c'est faux non poupée ça veut dire que quelque chose en maths bah soit c'est vrai soit c'est faux et bien en logique impressionniste il y a donc une troisième possibilité une proposition peut donc ni être vrai ni être fausse et ça d'ailleurs avec une des lois de de Morgan on obtient non non P et non p et c'est d'ailleurs avec ça qu'on se rend compte directement que non non paix bah ça peut pas être pareil que P parce que sinon mon P c'était pareil que P on aurait P et non P et non P et c'est pas possible que ce sont logiques classiques ou intuitionniste un truc ne peut pas être vrai il faut à la fois ça d'ailleurs je te l'ai déjà dit tout à l'heure donc voilà en logique intuitionniste on ne peut pas simplifier non non P on peut pas dire que c'est égal à P bon alors par contre attention ici j'ai quand même utiliser un argument c'est que non non paix c'est pareil que non P quelque chose qui n'est pas pas faux est faux là tu vois le délire quand même entre quelque chose qui n'est pas faux quelque chose qui est vrai quelque chose qui est faux quelque chose qui n'est pas vrai tous ces trucs là sont en fait des choses totalement différentes en logique intuitionniste et tout à l'heure je te parlais des démos par l'absurde les intuitionnistes refusent les démos par la purde pourquoi la boule on comprend on peut simplement utiliser ce qu'on a déjà et en fait une démo par l'absurde c'est quoi et bien on suppose quelque chose on suppose P on arrive à montrer une contradiction qu'il y a quelque chose d'absurde donc on arrive à montrer le contraire de ce qu'on a supposé c'est-à-dire non P bah si on a ça de se dire que ce qu'on a supposé au départ était faux donc ça veut dire que si on a P et qu'on arrive à montrer non P alors forcément on a nommé et donc ça ça se traduit par P implique non P le tout ça implique non P et bien là évidemment on écrivant autrement du coup l'implication avec ici un ou on obtient non P ou non P bah ça implique non paix sauf que non P ou non B bah ça c'est pareil que non P et donc on simplifiant donc à chaque fois les implications et puis on renommant aussi une non P par Q d'accord c'est simplement pour faire apparaître quelque chose que l'on connaît on obtient effectivement non cul ou cul donc en fait une démo par l'absurde c'est équivalent en quelque sorte au principe du tiers exclu et en logique intuitionniste on l'a dit le principe du tirexclu on n'en veut pas c'est pourquoi les intuitionnistes refusent les démos par l'absurde c'est simplement parce qu'il refuse et bien le principe du t-rexclus et il refuse le principe du tir exclu tout simplement parce qu'il refuse le fait que quelque chose qui n'est pas faux et forcément vrai et pourquoi il refuse le fait que quelque chose de pas faux est forcément vrai et bien parce qu'ils complètement con non je plaisante les intuitionnistes ont quand même une bonne raison de refuser tout ça et ça je vais te l'expliquer en fait ce que déteste les intuitionnistes c'est ce symbole le quantificateur existe en ciel cette phrase on la lit il existe x tel que px et bien les intuitionnistes n'aiment pas ça tout simplement parce que cette phrase là finalement on s'en fiche un peu on nous dit qu'il existe un X qui vérifie la proposition px mais on ne sait pas comment construire un tel x on ne sait pas comment le trouver on sait simplement qu'il existe mais peut-être complètement imaginaire il est quelque part mais on sait pas trop où c'est pourquoi d'ailleurs moi je préfère même le terme de constructivisme parce que dans constructivisme on retrouve l'idée de construire construire un tel objet x c'est bien beau de dire qu'il existe mais c'est encore mieux de le construire de le trouver et donc en logique intuitionniste quand on écrit ce genre de phrase et bien ce symbole là il ne veut pas dire il existe ce symbole signifie on peut construire x tel que P de X et donc tu t'en doutes il y a beaucoup de choses en logique classique que l'on ne peut pas démontrer ou du moins qu'on va difficilement pouvoir démontrer en logique intuitionniste puisque beaucoup de preuves en logique classique utilisent le principe du tiers exclu les démos par l'absurde et utilisent le fait qu'on puisse dire qu'il existe en tel X mais sans vraiment essayer de le construire un exemple très courant de proposition qui est souvent refusée par les constructivistes c'est l'action du choix grosso modo pour faire très simple l'action du choix nous dit que lorsqu'on a une infinité d'ensemble on peut choisir un par un élément dans chacun des ensembles oh ça paraît peut-être logique et si tu es même au moins en terminale tu te dis ouais bah il y a peut-être une histoire de récurrence là-dedans et oui c'est vrai mais quand tu fais une démo par récurrence tu te rends bien compte que tu construis quelque chose tu construis en quelque sorte la formule qui va te permettre de déterminer les objets que tu choisis dans chacun de tes ensembles sauf évidemment pour généraliser tout ça à n'importe quel ensemble ça devient un peu compliqué voire complètement impossible et c'est pour ça que l'action du choix est souvent réfuté par les constructivise parce que c'est bien beau de dire qu'il existe une façon de choisir un élément dans chacun des ensembles mais en logique impressionniste bah c'est encore mieux de trouver cette façon de choisir un élément dans chacun des ensembles bon cette histoire d'actions je t'en parle dans ma série de mede recherche je te parle même de la théorie des ensembles de manière générale je t'invite vraiment à aller regarder cette série parce que franchement c'est c'est passionnant j'adore faire ça je te mets bien évidemment le premier épisode de cette série juste ici et en tout cas j'espère que tu as bien compris l'enjeu qui se cache derrière la logique intuitionniste l'idée derrière cette logique c'est de ne plus dire qu'il existe quelque chose mais sans vraiment pouvoir le palper en logique intuitionniste on doit tout construire on doit construire les preuves on doit construire les objets dont on suppose l'existence et franchement bah je trouve ça super intelligent en tout cas c'est la fin de cette vidéo je te remercie de l'avoir regardé jusqu'au bout si elle t'a plu partagez-la sur tes réseaux sociaux lâche un like un commentaire pour donner ton avis abonne-toi à la chaîne pour ne pas manquer les futurs vidéos mais surtout si tu veux me soutenir financièrement tu peux souscrire à la chaîne en cliquant sur le bouton rejoindre ou acheter l'un de mes t-shirts dans l'armée des 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