Folgenkonvergenz nach dem Epsilon-Kriterium

Definition der Konvergenz

• Konvergenz einer Folge: Eine Folge a_n mit n aus den natürlichen Zahlen konvergiert gegen a in den reellen Zahlen, wenn:
  • Zu jedem ε > 0 existiert ein N aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle n >= N gilt: der Betrag von a_n - a ist kleiner als ε.
  • Formel: |a_n - a| < ε
• Intuition: Folge nähert sich immer weiter einem Grenzwert a, je kleiner ε wird.

Beispiel: Folge a_n = 1/n

• Betrachte die Elemente der natürlichen Zahlen n und bilde 1/n:
  • a_1 = 1/1 = 1
  • a_2 = 1/2 = 0,5
  • a_3 = 1/3 ≈ 0,33
  • a_4 = 1/4 = 0,25
  • usw.
• Beobachtung: a_n nähert sich 0, wenn n gegen unendlich wächst.
• Graphisch: Funktion nähert sich der x-Achse (0) an.
• Grenzwert der Folge ist 0: lim (n -> ∞) 1/n = 0

Anwendung des Epsilon-Kriteriums

• Beispiel: ε = 0,5
  • Wir suchen ein Folgenglied N, ab dem alle weiteren Folgenglieder a_n einen Abstand kleiner 0,5 zu 0 haben.
  • Hier: Ab n = 3 ist |a_n - 0| < 0,5
• Beispiel: ε = 0,3
  • Suche nach N, ab dem |a_n - 0| < 0,3 gilt.
  • Hier: Ab n = 4 ist |a_n - 0| < 0,3

Allgemeine Herleitung

• Ziel: Zeigen, dass für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N existiert, sodass:
  • |1/n - 0| < ε für alle n >= N
• Vorgehensweise:
  1. Nehme an, es sei 1/N < ε
  2. Dann gilt |1/n| < 1/N < ε für alle n >= N
• Beispiel-Rechnung:
  • Setze N = 1/ε
  • Für ε > 0 folgt: N = 1/ε ist positiv und damit n >= N ergibt |1/n| < ε
• Fazit: Die Wahl N = 1/ε stellt sicher, dass |1/n| < ε für alle n >= N

Fazit

• Das Epsilon-Kriterium ermöglicht es uns, die Konvergenz einer Folge präzise zu beschreiben.
• Intuitiv: Egal wie klein ε gewählt wird, die Folgeglieder liegen ab einem bestimmten Index N immer dichter am Grenzwert dran.
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