Les Nombres et Leurs Ensembles

Introduction aux Nombres

• Besoin quotidien de compter : objets, animaux.
• Nombres naturels : 1, 2, 3, 4, 5... appelés aussi "antipodes".
• Zéro : rien à compter, mais il est un nombre entier naturel, le tout premier.

Nombres Relatifs

• Quand on soustrait et obtient moins que rien : introduction des nombres négatifs.
  • Exemples : -5, -200, -14.
• Ensemble des nombres entiers relatifs : noté Z (de l'allemand "zahl").

Nombres Décimaux

• Partager un entier mène à des nombres décimaux.
  • Exemples : 1,5 (un entier et la moitié d'un entier).
• Ensemble des nombres décimaux : noté D.

Nombres Rationnels

• Division complexe comme 1 divisé par 3 : 0,333...
  • Infinité de décimales connues mais non finies.
  • Sont des nombres rationnels : noté Q (de l'italien "quotiente").
  • Ecriture en fraction : numérateur/dénominateur, comme 1/3.

Nombres Irrationnels

• Exemples d'équations comme x² = 2 : solution ≈ 1,414...
• Nombres irrationnels : suite infinie sans logique répétée.
  • Racine carrée de 2 en fait partie.
• Fait partie des nombres réels : noté R.

Nombres Algébriques et Transcendants

• Nombres algébriques : solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers.
  • Ex : x² = 2 est une équation polynomiale.
• Nombres transcendants : non-solution d'équations polynomiales à coefficients entiers.
  • Exemples : π et e.

Nombres Complexes

• Résolution de x² = -1 : nombres complexes.
  • Solution : le nombre i.
  • Forme générale : a + ib, avec a et b réels.
• Ensemble des nombres complexes : noté C.

Hiérarchie des Nombres

• Les nombres entiers ⊆ nombres décimaux ⊆ nombres rationnels ⊆ nombres réels ⊆ nombres complexes.
• Exemple : 1 est entier, décimal, rationnel, réel, et complexe.

Conclusion

• Mention des hypercomplexes, quaternions (notés H), octavions (notés O), et nombres p-adiques.