Dans la vie de tous les jours, tu peux avoir besoin de compter des objets, des animaux, des moutons. 1, 2, 3, 4, 5, c'est ce qu'il y a en fait de plus naturel. On appelle justement tous ces nombres les antipodes.
naturel. Mais parfois il n'y a rien à compter. Rien.
Eh bien rien, c'est zéro. Zéro qui est aussi un nombre entier naturel. C'est d'ailleurs même le tout premier. L'ensemble des entiers naturels se note tout naturellement n.
Si zéro est le premier, que se passe-t-il alors lorsqu'on a moins que rien ? De quoi allons-nous parler ? Eh bien de rien. De rien car rien c'est pas rien, la preuve.
On va se soustraire. Rien moins rien égale moins que rien. Alors si on peut trouver moins que rien, c'est que rien vaut déjà quelque chose.
Et bien pour tout ça, on doit introduire les nombres négatifs, tels que moins 5, moins 200, moins 14. On trouve devant un petit symbole moins. Nombre négatif entier et nombre positif entier forment l'ensemble des entiers, des nombres entiers relatifs et se notent... Z, cela vient de l'allemand zahl qui signifie nombre. Alors si l'entier est entier, la suite nous dira qu'il n'est pas voué à le rester. Prenons un entier, nous allons le partager, le découper, le fractionner, le décimer.
Après ce cruel supplice, nous obtenons des nombres d'une nouvelle famille, les nombres décimaux. 1,5 par exemple est un nombre décimal. Il est composé d'un entier et de la moitié d'un entier.
Et l'ensemble des nombres décimaux se note D et on comprend bien pourquoi. Mais parfois le partage se passe mal et le résultat devient plus difficile à représenter. Partageons par exemple un entier en 3. Divisons donc 1 par 3. Que se passe-t-il ? On trouve 0,3333333 etc. avec une suite infinie de 3. Il y a cependant quelque chose de rationnel dans ce partage car nous comprenons ce nombre. Nous connaissons...
toutes ces décimales qui sont des 3, mais nous n'arrivons pas à les écrire de façon décimale justement. Car pour les nombres décimaux, l'écriture doit s'arrêter. Eh bien, le nombre 1 divisé par 3, le résultat donc du quotient 1 sur 3, fait partie de l'ensemble des nombres rationnels.
Et ce note Q, cela vient justement de l'italien quotiente. Nous avons utilisé plus haut le terme de fractionné. En effet, tous les nombres de l'ensemble...
des rationnels peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction numérateur sur dénominateur. Le résultat de 1 divisé par 3, par exemple, s'écrit 1 sur 3. Et ainsi, de façon générale, tout nombre rationnel peut s'écrire sous la forme du quotient de a sur b, a et b étant chacun un nombre relatif. Allons plus loin encore dans le délire sur les ensembles de nombres et résolvons, par exemple, l'équation x² égale à 2. Ou quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver 2 ?
La solution est racine carrée de 2, qui s'écrit donc avec un espèce de r prolongé au-dessus du 2, et qui vaut environ 1,414, 2, 1, 3, 5, etc. Or, cette suite ne s'arrête jamais, cette suite de chiffres ne s'arrête jamais, et nous ne la comprenons pas dans le sens où les décimales de ce nombre se suivent sans suite logique. Contrairement à tout à l'heure avec les nombres...
rationnel où on avait une infinité de 3 je comprends bien. Il existe d'autres nombres rationnels où quand on effectue le calcul on se retrouve avec des décimales qui se répètent genre 2 4 8 2 4 8 2 4 8 et ça se répète comme ça à l'infini. Mais là pas, il n'y a plus rien de rationnel et bien racine carrée de 2 est justement un nombre irrationnel que les pythagoriciens au 6e siècle avant Jésus-Christ ont longtemps nié et ont même tenté de cacher.
Alors ce nombre fait partie de l'ensemble des nombres réels, et se note R comme son nom l'indique. Notons que parmi les nombres réels, il y a ce qu'on appelle les nombres algébriques, dont nous venons d'énoncer un exemple. Racine carrée de 2, c'est un nombre algébrique.
Ces nombres-là sont solution d'équations polynomials, à coefficient entier. x² égale à 2 est justement une équation polynomiale. Mais il y a pire.
Il y a ce qu'on appelle les nombres transcendants. Ce sont tous les nombres qui ne sont pas algébriques, et l'écriture est aussi mystérieuse que les précédents, mais de surcroît, il ne se laisse dompter par aucune équation à coefficient entier, aucune équation polynomiale à coefficient entier. Le nombre π et le nombre e sont des nombres transcendants.
Il n'existe aucune équation du type a... x puissance n plus b, x puissance n moins 1, etc., dont pi est solution. Par exemple, ces équations-là sont des équations polynomiales.
On voit, j'en ai mis de toutes sortes, à chaque fois avec du x puissance quelque chose. Eh bien, il n'existe aucune équation de ce type-là dont pi est solution. C'est pour cette raison qu'on dit que pi est un nombre transcendant.
Et on pourrait penser qu'il n'y a pas plus complexe que les nombres transcendants. Et pourtant si ! les nombres complexes, qui vont nous amener encore plus loin vers l'abstraction mathématique. Pour exemple, citons le plus illustre des nombres complexes, la solution de l'équation x² égale moins 1, ou quel nombre faut-il multiplier par lui-même pour trouver moins 1. Équation bien étrange, qui pour les élèves du collège n'a pas de solution, car elle ne vérifie pas la règle des signes.
Moins par moins fait plus, plus par plus fait plus. Comment peut-on obtenir moins 1 en multipliant un nombre par lui-même ? Eh bien, ceci est vrai, elle n'a pas de solution réelle. Mais par contre, elle possède une solution dite complexe. Et cette solution est le nombre i.
Alors, c'est un nombre bien bizarre, c'est vrai. Mais par ce nombre, on peut générer toute la famille des nombres complexes qui est notée C et dont tous les éléments sont de la forme a plus ib, notre i dont je viens de parler, A et B, par contre, sont des nombres réels. Alors remarquons pour finir que les nombres entiers font partie des nombres décimaux, qui font eux-mêmes partie des nombres rationnels, qui font partie des nombres réels, qui, enfin, eux-mêmes font partie des nombres complexes. Si je prends par exemple le nombre entier 1, eh bien c'est un entier, ok.
Mais c'est un décimal. 1,0 prouve que c'est un nombre décimal. Il est aussi rationnel.
Je peux l'écrire comme... 1 sur 1. Il est également un nombre réel. Et il est également un nombre complexe. Eh bien, si tu n'es qu'au collège, tu peux dire à ton prof de maths que tu connais un nombre complexe.
C'est 1. Nous n'irons pas plus loin dans les familles de nombres, mais il faut savoir que l'histoire est loin d'être finie et qu'elle se complique encore. Viendront ensuite les hypercomplexes, ou quaternions, notés H, les octavions, notés O, Les péadiques de ces culpés !