Алгебра 11 клас

Вступ

• Вчитель: Роман Петрівський
• Тема уроку: Показникові нерівності
• Попередній урок: Завершено вивчення показникових рівнянь

Показникові нерівності

• Нерівність називається показниковою, якщо змінна тільки в показнику степеня.
• Приклади показникових нерівностей:
  • 2 в степені х < 9
  • 3 в степені х + 3 в степені х + 1 ≥ 6

Рівносильні перетворення

Основи більше 1

• Якщо a > 1, то:
  • a^x1 > a^x2 тоді й тільки тоді, коли x1 > x2
  • Знак нерівності зберігається.
• Приклад:
  • 2^x ≤ 256
  • 256 = 2^8
  • Отже, x ≤ 8, х ∈ (-∞, 8]

Основи в межах (0, 1)

• Якщо 0 < a < 1, то:
  • a^x1 > a^x2 тоді й тільки тоді, коли x1 < x2
  • Знак нерівності змінюється.
• Приклад:
  • (1/7)^x < 49
  • 49 = (1/7)^{-2}
  • Отже, x > -2, х ∈ (-2, ∞)

Теорема про показникові нерівності

• Якщо a > 1:
  • a^f(x) > a^g(x) є рівносильним f(x) > g(x)
• Якщо 0 < a < 1:
  • a^f(x) > a^g(x) є рівносильним f(x) < g(x)

Приклади розв'язання

Приклад 1

• Нерівність: 0.3^(1 - 4x) ≥ 0.3^(x + 2)
• Основи однакові та в межах (0, 1):
  • 1 - 4x ≤ x + 2
  • Переносимо x вправо, отримуємо:
  • -1 ≤ 5x
  • Відповідь: x ≥ -1/5, x ∈ [-0.2, ∞)

Приклад 2

• Нерівність: 35^(3x - 3) > 1
• 1 = 35^0:
  • 3x - 3 > 0
  • Переносимо -3 вправо:
  • 3x > 3
  • Відповідь: x ∈ [1, ∞)

Завершення уроку

• Сьогодні вивчено основи показникових нерівностей та їх розв'язання.
• Більше прикладів у онлайн-конспекті.
• Рекомендація перевірити знання тестом.
• Дякую за увагу!