Алгебра 11 клас Добрий день! Мене звуть Роман Петрівський. Я вчитель алгебри, і це урок для 11 класу. Минулого уроку ми закінчили працювати із показниковими рівняннями. Сьогодні ми розпочинаємо блок уроків на тему показниковій нерівності.
Тут важливим буде рівень засвоєння пройденого матеріалу по підходи до розв'язку показникових нерівностей, дещо схожі на ті, які ми розбирали на попередніх уроках. Як і рівняння, нерівність називають показниковою, якщо вона містить змінну лише в показнику степеня. Наприклад, 2 в степені х менше 9, 3 в степені х плюс 3 в степені х плюс 1 більше рівне 6. А тепер розберімо рівносильні перетворення для найпростіших показникових нерівностей.
Якщо основа степеня а більше 1, то а в степені х1 більше за а в степені х2 тоді і тільки тоді, коли х1 більше за х2, тобто знак нерівності зберігається. Наприклад, 2 в степені х менше рівне 256. Запишімо 256 як 2 в степені 8. Поза як основи рівні та більше за 1, то здійснюємо рівносильне перетворення зі збереженням знака. Маємо х менше рівни 8, що і є відповіддю. Також її можна подати, як проміжок х належить проміжку від мінус нескінченності до 8 включно, бо нерівність є нестрогою. А якщо основа степеня у межах між нулем та одиницею, то а в степені х1 більше за а в степені х2 тоді і тільки тоді, коли х1 менше за х2.
Звернімо увагу, що знак нерівності при такій основі змінюватиметься на протилежний. Наприклад, одна сьома в степені х менше сорока дев'яти. Подаємо сорок дев'ять як одну сьому в степені мінус два.
А далі здійснюємо рівносильне перетворення зі зміною знака за вище згаданим правилом. Маємо х більше за мінус два або х належить проміжку від мінус двох до нескінченності. Справедливість цих перетворень випливає з того, що коли а більше 1, показникова функція у дорівнює а в степені х зростає, а коли а більше 0 та менше 1 спадає. Аналогічно і щодо показникових рівнянь існує така теорема про показникові нерівності.
Якщо а більше 1, то нерівність а в степені f від х більше а в степені g від х, рівносильна нерівності f від ікс більше g від ікс. Також, якщо а більше нуля та менше одиниці, то нерівність а у степені f від ікс більше а у степені g від ікс рівносильна нерівності f від ікс менше g від ікс. Закріпімо це такими прикладами. Приклад 1. 0,3 в степені 1 мінус 4х більше рівне 0,3 в степені х. х плюс 2. Поза як основи рівні й перебувають у межах від 0 до 1, то запишімо рівносильну нерівність для показників зі зміною знака нерівності на протилежний.
Маємо 1 мінус 4х менше рівне х плюс 2. Далі перенесімо ікси вправо, а решту вліво. Отримаємо 1 відняти 2 менше рівне х плюс 4х. Маємо мінус 1 менше рівне 5х. Далі поділімо обидві частини нерівності на 5 і отримаємо відповідь.
Маємо х більше рівне мінус однієї п'ятої, отже х належить проміжку від мінус 0,2 включно і до плюс нескінченності. Приклад 2. 35 у степені 3х мінус 3 більше 1. Подаємо 1 як 35 у степені 0. За умови, що основи рівні та більші за одиницю, маємо рівносильну нерівність 3х мінус 3 більше 0. Перенесімо мінус 3 вправо зі змінною знаку та поділімо обидві частини на 3. Маємо 3х більше 3х більше 1. Отже, х належить проміжку від 1 до плюс нескінченності. Сьогодні ми розпочали вивчення показникових нерівностей та засвоїли базовий підхід до їх розв'язання.
Ще більше прикладів розв'язку та розбору завдань ви знайдете в онлайн-конспекті до уроку. Також рекомендую перевірити знання за допомогою тесту. Дякую за увагу та до зустрічі на наступних уроках!