Catatan Kuliah: Nilai Harapan (Ekspektasi) dari Peubah Acak

Pendahuluan

• Topik: Nilai harapan atau ekspektasi dari peubah acak.
• Nilai harapan adalah karakteristik penting dari peubah acak.
• Disimbolkan dengan E(X) atau μ_x.

Definisi

• Nilai Harapan: Karakteristik dari peubah acak yang menyatakan nilai tengah.
• Terdapat dua bentuk peubah acak:
  • Diskrit: Hanya memiliki nilai tertentu (contoh: dadu).
  • Kontinu: Memiliki nilai dalam interval tertentu.

Perhitungan Nilai Harapan

Untuk Peubah Acak Diskrit

• Rumus:
  E(X) = Σ (x_i * P(X = x_i))
  di mana P(X = x_i) adalah fungsi peluang.
• Contoh: Hasil pelemparan dadu.
  • Nilai peubah acak: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • Peluang: 1/6 untuk setiap sisi.
  • Nilai harapan:
    E(X) = (1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 21/6 = 3.5.

Untuk Peubah Acak Kontinu

• Rumus:
  E(X) = ∫ (x * f(x) dx)
  dengan batas dari -∞ sampai ∞.
• Contoh: Fungsi kepekatan peluang f(x) = 4x³ untuk 0 < x < 1.
  • Perhitungan:
    E(X) = ∫ (x * 4x³ dx) dari 0 sampai 1.
    • Hasil: E(X) = 4/5.

Sifat-Sifat Nilai Harapan

1. E(c) = c (konstanta).
2. E(cX) = cE(X).
3. E(cX + dY) = cE(X) + dE(Y).
4. E(X + Y) = E(X) + E(Y) (untuk X dan Y independen).
5. Jika X ≤ Y, maka E(X) ≤ E(Y).

Contoh Ilustrasi

• Ilustrasi 1: Dadu setimbang.

  • Peluang muncul: 1/6.
  • Nilai harapan: 3.5.

• Ilustrasi 2: Pengambilan bola dari kotak.

  • Bola bernomor 2, 4, dan 8; peluang masing-masing ditentukan.
  • Hasil: E(X) = 4.

Kesimpulan

• Nilai harapan adalah alat penting dalam statistika untuk menentukan nilai tengah dari peubah acak diskrit dan kontinu.
• Pemahaman konsep dan perhitungan nilai harapan sangat penting dalam analisis data.