Notes sur le Chapitre des Suites

Introduction

• Revue du chapitre des suites pour rappeler les éléments importants.
• Notions clés : comportement à l'infini, limites, propriétés des limites, suites géométriques, suites majorées et minorées.
• Importance de s'entraîner avec des exercices pour les examens.

Comportement à l'Infini d'une Suite

Limite d'une Suite

• Exemple avec la suite :
  • ( u_n = n^2 )
  • Calcul des premiers termes : ( u_0 = 0, u_1 = 1, u_2 = 4, u_3 = 9, u_4 = 16 )
  • Comportement à l'infini : ( \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty )
  • Signification : à partir d'un certain rang, tous les termes deviennent plus grands qu'une valeur donnée A.

Limite Finie d'une Suite

• Exemple avec la suite :
  • ( u_n = 1 + \frac{1}{n^2} )
  • Premiers termes : ( u_1 = 2, u_2 = 1.25, u_3 \approx 1.11, u_4 = 1.0625 )
  • Comportement à l'infini : ( \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 )
  • Définition rigoureuse : tous les termes se retrouvent dans un intervalle autour de la valeur 1 à partir d'un certain rang.

Divergence d'une Suite

• Exemple avec la suite :
  • ( u_n = (-1)^n )
  • Terme alternants : 1, -1, 1, -1...
  • Pas de limite, donc ( u_n ) diverge.

Limites Connues des Suites Usuelles

• Connaître par cœur les limites suivantes :
  • ( n, n^2, \sqrt{n} ) tendent vers (+\infty)
  • ( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{\sqrt{n}} ) tendent vers 0.

Propriétés des Limites

Somme de Limites

• ( \lim (u_n + v_n) = L + L' )
• Cas d'indétermination : (+\infty + (-\infty)) nécessite des calculs supplémentaires.

Produit de Limites

• ( \lim (u_n v_n) = L \cdot L' )
• Cas d'indétermination : (0 \cdot +\infty ) nécessite des calculs supplémentaires.

Quotient de Limites

• ( \lim \frac{u_n}{v_n} )
• Cas d'indétermination : ( \frac{+\infty}{+\infty} ) nécessite des calculs supplémentaires.

Suites Géométriques

• Forme explicite : ( u_n = u_0 \cdot q^n )
• Limites :
  • Si ( q > 1 ), ( \lim = +\infty )
  • Si ( -1 < q < 1 ), ( \lim = 0 )
  • Si ( q = 1 ), ( \lim = 1 )
  • Si ( q \leq -1 ), pas de limite.

Théorèmes de Comparaison

Théorème de Comparaison (Limites Infinies)

• Si ( u_n < v_n ) et ( \lim u_n = +\infty ), alors ( \lim v_n = +\infty ).

Théorème d'Encadrement (Limites Finies)

• Si ( u_n < v_n < w_n ), et ( \lim u_n = L, \lim w_n = L' ), alors ( \lim v_n = L ).

Suites Majorées et Minorées

• Suite majorée : existe ( m ) tel que ( u_n < m ).
• Suite minorée : existe ( m ) tel que ( u_n > m ).
• Suite bornée : est à la fois majorée et minorée.

Théorème de Convergence Monotone

• Si une suite est croissante et majorée, elle converge.
• Si une suite est décroissante et minorée, elle converge.

Conclusion

• Importance de la pratique des exercices pour maîtriser le chapitre des suites.