Bonjour ! Dans cette vidéo, je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des suites. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre.
Plus précisément, on verra le comportement à l'infini d'une suite, c'est-à-dire la notion de limite, les propriétés sur les limites, comme les opérations sur les limites, les théorèmes de comparaison, etc. On verra également quelques rappels sur les suites géométriques et on finira par la notion de suite majorée et minorée. Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira pas. Il faudra t'entraîner sur de nombreux exercices et pour cela, je te conseille de cliquer sur le lien qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur le thème des suites. Voilà, on peut commencer.
Alors, petit avertissement, je ne traiterai pas dans cette séquence tout ce qui concerne le raisonnement par récurrence. Je l'ai traité par ailleurs dans d'autres vidéos, tu peux cliquer sur le lien si tu veux avoir des informations là-dessus. Je ne parlerai pas non plus d'algorithmiques en rapport avec les suites, il y a trois algorithmes au minimum qu'il faut connaître qui traitent de suite, je t'invite là encore à te rendre sur la même playlist, j'en parle également en plus avec des petits programmes sur différents modèles de calculatrices.
Nous ce qui nous intéresse en premier lieu c'est le comportement. en l'infini d'une suite. Que fait une suite lorsque n devient de plus en plus grand ? C'est ça la question.
Alors, on va déjà partir d'un exemple pour bien comprendre ce qui se passe. Si je considère la suite un égale à n². Cette suite, je peux sans problème calculer ses premiers termes. u0, c'est ça fait 0. u1, c'est ça fait 1. u2, c'est ça fait 4. U3, ça fait 9. U4, ça fait 16, etc.
Je m'arrête là. Donc là, pas de problème, on comprend bien ce qui arrive sur les premiers termes. Je pourrais continuer comme ça jusqu'à U10, voire jusqu'à U100.
Mais la question va au-delà. Moi, je voudrais savoir qu'est-ce qu'elle me fait, cette suite, lorsque n devient beaucoup plus grand, très très grand, infiniment grand. C'est-à-dire, pour n égale 1000, 1 milliard, 1 milliard, etc. Quel est son comportement à cette suite ?
Qu'est-ce qu'elle va faire ? Est-ce qu'elle va elle-même partir vers l'infini ? C'est-à-dire que pour des n de plus en plus grands, et bien un va me renvoyer des valeurs de plus en plus grandes. Ou est-ce qu'au bout d'un moment ça va plafonner ? C'est-à-dire que je vais prendre des valeurs de plus en plus grandes, mais on va remarquer que notre suite, elle ne peut pas dépasser par exemple 1000 ou 10000. Ou peut-être elle va faire n'importe quoi.
Ça va peut-être redescendre, puis remonter. Descendre, remonter, il va y avoir des périodes par exemple. Alors ça, c'est justement savoir quel est le comportement d'une suite en l'infini.
Ça se note de cette manière. Alors pour un, je voudrais connaître le comportement de un en l'infini. J'écris limite lorsque n tend vers plus l'infini.
Ceci, ça se lit limite lorsque n tend vers plus l'infini. de la suite un est égale à quoi ? Eh bien ici, dans ce cas précis, est égale à plus l'infini.
La suite un égale n² tend vers plus l'infini. Cela signifie donc que les termes de ma suite un deviennent de plus en plus grands. Plus précisément, on va le définir de cette façon, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang. Si je dis que...
que un tend vers plus l'infini, je suis persuadé qu'il y aura un terme qui sera plus grand que un milliard. Mais ça va même plus loin, parce qu'il n'y aura pas un terme qui sera plus grand que un milliard. Je peux dire même qu'à partir d'un certain rang, je suis sûr que tous les termes seront plus grands que un milliard. Et ça va même plus loin. Je peux dire qu'à partir d'un certain rang, tous les termes seront au-dessus de...
Un milliard de un milliard. Autrement dit, je peux choisir n'importe quelle valeur A. Je suis sûr qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de ma suite seront au-dessus de cette valeur A.
Et ceci, quelle que soit la valeur A que je choisis, même aussi... grande que l'on veut, on aura toujours tous les termes de la suite qui se trouveront au-dessus. On peut le schématiser par ce petit graphique.
On voit ici les premiers termes de la suite UN. J'ai choisi une valeur pour A. Je sais qu'à partir d'un certain rang, tous les termes se situeront dans la zone ici qui est colorée et se retrouveront tous dans la zone. Il n'y en aura plus qui redescendront.
Alors, si c'est le cas qu'à un moment ou l'autre, il y en a un qui redescend, C'est peut-être parce que je ne suis pas allé assez loin dans le rang de n. Mais je suis sûr qu'à partir d'un moment ou l'autre, pour une valeur de n qui existe, on n'aura plus ce retour et on aura tous les termes qui se situeront au-dessus de cette valeur a. C'est comme ça qu'on définit une limite infinie.
De façon plus précise et plus rigoureuse, on dit que la suite u n admet pour limite plus l'infini. Si tout intervalle ouvert A plus l'infini, n'importe lequel, je peux prendre n'importe quoi pour A, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Et je viens de le dire, je peux prendre un A aussi grand que je veux, à partir du moment où la limite c'est plus l'infini, je suis certain qu'au bout d'un moment, ils seront tous au-dessus de cette valeur A.
Parlons maintenant de limite finie, et voici un nouvel exemple. Je vais encore expliquer en détail. la notion de limite finie, car c'est très important pour ensuite arriver à résoudre des problèmes de calcul de limite.
Alors, on va partir avec la suite un égale 1 plus 1 sur n². Et on va, comme tout à l'heure, calculer les premiers termes. Alors attention, ici u0 n'existe pas parce qu'on ne peut pas diviser par 0. Donc on commence avec u1, qui est donc égal à 1 plus 1 sur Ça fait donc du 1 plus 1, 2. u2 égale à... 1 plus 1 sur 2 au carré, c'est-à-dire du 1 plus 1 quart, ça nous fait donc 1,25. U3 égale 1 plus 1 sur 3 au carré, donc 1 plus 1 neuvième, environ 1,11 ou 1,1.
Cette fois-ci, on ne peut pas obtenir de valeur décimale exacte. U4 encore, donc ça fait du 1 plus 1 sur 4 au carré, donc 1 plus 1 seizième, ça fait du 1,0625. Quand on observe ces premiers termes, 2, 1,25, 1,11, 1,0625, on a envie de penser comme ça que plus n augmente, plus on se rapproche de 1. Et c'est même exact. On ne va pas encore ici le prouver, mais on va l'admettre. Pour cette suite, pour la suite un, lorsque n devient de plus en plus grand, un se rapproche de plus en plus de la valeur 1. Contrairement à tout à l'heure avec la suite n² où un partait vers l'infini.
Alors là ici pas du tout, on le voit, on arrive bien à dominer notre suite parce qu'elle reste dans un périmètre qu'on connaît bien, la valeur 1, mais elle se rapproche de plus en plus de cette valeur 1. Qu'est-ce que cela veut dire géométriquement ou plus précisément, qu'est-ce que cela veut dire concrètement pour notre suite un ? Alors j'ai à nouveau fait un petit schéma ici qui montre à nouveau les premiers termes de la suite. Et on voit que ces termes se rapprochent de plus en plus de la valeur 1, comme prévu.
Eh bien, on remarque que tous les termes de la suite se resserrent autour de la valeur 1. Et à partir d'un certain rang, on a envie de pouvoir les emprisonner, ces termes, les emprisonner entre deux limites. Eh bien, là est la notion de limite finie. Si on prend un intervalle ouvert, n'importe lequel, mais qui...
contient la valeur 1, cet intervalle peut être aussi petit que l'on veut. Eh bien, on sait que tous les termes de la suite vont se trouver enfermés dans cet intervalle, c'est la zone ici qui est colorée, bien sûr, à partir d'un certain rang. C'est pas forcément vrai au début, on le voit au début, on a des termes qui sont en dehors de cet intervalle, mais au bout d'un moment, eh bien, tous les termes se trouveront enfermés dans cet intervalle. Ceci bien sûr à la condition que la limite quand n tend vers plus l'infini de la suite un soit égale à 1. Lorsque n devient de plus en plus grand, un se rapproche de plus en plus de 1. Cela veut dire que je peux prendre n'importe quel intervalle ouvert contenant 1. Et bien au bout d'un moment, je pourrais trouver un terme qui fait que, à partir de ce terme, tous les termes suivants vont se retrouver...
enfermée dans cet intervalle autour de la valeur 1. La définition rigoureuse nous dit que un a pour limite L, donc un vrai nombre, pas plus l'infini ni moins l'infini. Si tout intervalle ouvert qui contient ce grand L, eh bien contient tous les termes de la suite, mais ceci à partir d'un certain rang. Petit mot de vocabulaire, on dira qu'une telle suite est convergente. La suite UN que je viens de montrer, 1 plus 1 sur N au carré, est une suite convergente car sa limite est L.
L qui est un nombre, un vrai nombre. La suite précédente, N au carré, par contre n'est pas convergente, sa limite était plus l'infini, on dira qu'elle est divergente. Alors attention, une suite qui diverge n'est pas nécessairement une suite qui va vers plus l'infini.
Une suite qui diverge peut aller, peut avoir comme limite plus l'infini, peut avoir également comme limite moins l'infini, mais peut également ne pas avoir de limite du tout. Et oui, ça existe, des suites qui n'ont pas de limite. Je vais t'en donner une très simple, tu vas comprendre tout de suite. Je prends la suite un égale à moins 1 puissance n. Si je calcule u0, ça me donne moins 1 puissance 0. N'importe quoi puissance 0 fait toujours 1. Si je calcule u1, ça me fait moins 1 puissance 1, c'est-à-dire moins 1. Si je calcule u2, ça me fait moins 1 au carré.
Les moins s'en vont, ça me fait 1. u3. Ça me fait moins 1 au cube d'après la règle des signes, moins 1 fois moins 1 fois moins 1 me donne moins 1. Un petit dernier, u4, qui est donc égal à moins 1 puissance 4. Là de nouveau d'après la règle des signes, il n'y a plus de moins, il me reste 1, etc. Et on voit qu'alternativement, on trouve 1, moins 1, 1, moins 1, 1, le suivant serait moins 1, celui d'après 1, etc.
On a une suite qui ferait ceci. Elle n'est pas convergente, on est bien d'accord puisque... sa limite n'est pas un nombre L, puisque c'est soit 1, soit moins 1, donc c'est pas bon. Eh bien, cette suite-là, ne tend pas vers plus l'infini, ne tend pas vers moins l'infini, tend d'ailleurs vers rien du tout.
Cette suite-là, on dira que c'est une suite divergente. Dans ce cas-là, un diverge. Alors, on va tout doucement aller vers le calcul de limites, mais avant cela, il faut connaître quelques limites connues.
Des limites de suite usuelles, qui sont affichées ici. Il y en a 6, celles-ci il faut les connaître par cœur, c'est assez facile. En plus l'infini, on a n, n² et racine de n qui tendent vers plus l'infini. Ça paraît naturel, n² on l'a vu au début, que n tende vers plus l'infini quand n tend vers plus l'infini, ça c'est une vérité, et racine carrée de n tend également vers plus l'infini pour des valeurs de plus en plus grandes de n. Deuxième série, ce sont des limites finies.
C3 suite 1 sur n, 1 sur n². et 1 sur racine carré de n tend toutes les trois vers 0. Ce sont donc des suites convergentes. Il faut également les connaître par cœur. 1 sur n au carré tend vers 0. Cela nous permet d'expliquer un petit peu pourquoi tout à l'heure, 1 plus 1 sur n au carré tendait vers 1. Mais pour cela, il faut avoir la suite du cours, c'est-à-dire les opérations sur les limites.
Première série, limite d'une somme. Alors, les résultats de ce tableau. Il faut les connaître bien évidemment, mais en réalité, avec la pratique, on les connaît intuitivement.
Si on les a bien compris, c'est assez facile à retenir. Je vais en expliquer quelques-uns, je ne vais pas tous les expliquer. On va commencer par la première colonne, où on a limite de un qui est égale à l et limite de vn qui est égale à l'. L et l'sont donc des nombres, par exemple 2 et 3. Qu'arrive-t-il à la limite de un plus vn ? C'est-à-dire, j'ai une suite un.
J'ai une suite Vn et je voudrais savoir qu'est-ce qu'il en est de la suite Un plus Vn, qui est donc une nouvelle suite. Eh bien, imagine, en plus l'infini, n devient de plus en plus grand. Un se rapproche de 2. Vn, Vn se rapproche de 3. Bien, Un plus Vn, naturellement, se rapproche de 2 plus 3, c'est-à-dire de 5. Eh bien, c'est exactement ce qui est écrit dans ce tableau. On fait la somme des limites.
Alors ce cas est assez facile. Regardons un cas un peu plus abstrait où j'ai une limite infinie. On a donc la limite de un qui est un nombre. Je prends un autre exemple, je mets 7. On a la limite de vn qui est plus l'infini.
Qu'arrive-t-il à un plus vn ? C'est à dire que quand n devient très très grand, j'ai un qui se rapproche de plus en plus de la valeur 7. Quand n devient très très grand, j'ai Vn qui part vers plus l'infini. Et je fais la somme de ces deux suites pour obtenir une nouvelle suite. Qu'est-ce qu'il en est du tout ? Eh bien, on sent bien que Vn va l'emporter et va tout tirer vers plus l'infini.
Parce qu'après tout, Un peut faire ce qu'elle veut si elle tend vers une limite finie. 1, 2, 3 ou même moins 5. Vu que Vn part vers plus l'infini, qu'est-ce qui va se passer ? À l'infini, si l'on peut dire, je vais simplement ici rajouter 7. Ça ne va pas changer grand-chose devant l'infini.
L'infini l'emporte largement. Donc, le tout tend vers... plus l'infini.
C'est exactement ce qui est marqué dans le tableau. Si on a L pour UN et plus l'infini pour VN, la somme tend vers plus l'infini. Je voudrais parler de la dernière colonne. Puisque sur la dernière colonne, qui est donc colorée en rose, le résultat n'est pas indiqué. J'ai marqué FI et j'ai précisé en dessous que cela signifie forme indéterminée.
Pourquoi ça ? Eh bien... On a donc une limite plus l'infini pour Un.
On a une limite moins l'infini pour Vn. Qu'arrive-t-il à la somme des deux ? Tout à l'heure, c'était clair. Quand j'avais 7 et plus l'infini, le plus l'infini emmenait le 7 avec, c'était réglé.
Mais là, c'est un peu embêtant, parce que là, j'ai un combat de titans ici. J'ai plus l'infini qui tire très fort vers le haut, et j'ai moins l'infini qui tire très fort vers le bas. Et chacun vers son infini. Qui va l'emporter ?
Eh bien, on ne le sait pas a priori. Ça va dépendre de l'expression des suites un et vn. Parce qu'il se peut très bien que un soit beaucoup plus fort que vn et emmène le tout vers plus l'infini. Il se peut que ça soit l'inverse, que ça soit vn qui tire le tout vers moins l'infini. Et il se peut aussi, ça arrive de temps en temps, qu'il y ait un équilibre entre les deux et que le tout tende vers une limite finie, un vrai nombre.
Ça arrive. Il arrive même qu'il n'y ait pas de limite du tout. Donc, a priori, on ne peut pas savoir, et c'est pour ça que là, on écrit que c'est une forme indéterminée.
Tout le travail va consister à lever l'indétermination, c'est-à-dire à résoudre ce problème à l'aide de calculs, souvent des calculs algébriques, bien sûr. Et pour cela, alors ça, on ne va pas le traiter dans cette vidéo, là encore, je te renvoie vers les liens de la playlist. On passe à la deuxième série.
Alors... Je vais traiter deux cas. On va commencer par le cas de la colonne où L est un nombre négatif et la deuxième limite pour Vn c'est moins l'infini. Alors je vais prendre un nombre négatif, par exemple, moins 4. Et donc Vn tend vers moins l'infini. Et là on s'intéresse donc au cas du produit, c'est-à-dire j'ai une nouvelle suite qui est le produit des deux suites Un et Vn.
Est-ce qu'on peut dire que là... La limite de un fois vn est quelque chose de connu. La réponse est oui, bien sûr. Alors, regardons en détail.
On a une suite un ici qui tend vers moins 4. Moins 4 qui est un nombre. On a une suite vn qui tend vers moins l'infini. Qui descend vers moins l'infini.
Alors, pour l'instant, on va s'intéresser simplement aux valeurs numériques sans les signes. Donc, en gros, j'oublie les signes. On a un qui se rapproche... de plus en plus de la valeur 4. 4 donc en valeur absolue. On a Vn qui se rapproche de plus en plus de l'infini.
C'est-à-dire que ici, j'aurai des nombres qui sont de plus en plus grands. Un million, un milliard, un million de milliards, etc. Et qu'est-ce qui arrive ? Je multiplie ça par 4. Bien, le tout. Si je prends une valeur très très grande et que je la multiplie par 4, ça devient bien évidemment une valeur...
encore plus grande. Ce qui veut dire que en valeur absolue, sans tenir compte des signes, si je multiplie un par vn, j'obtiendrai une valeur très très très grande en valeur absolue. Mais bon, il y a des signes.
Ici j'ai un moins et là j'ai un moins. Ce qui veut dire quoi ? Ce qui veut dire que je vais multiplier finalement une valeur égale à moins 4, un nombre négatif, par une valeur très très grande mais négative du type...
Moins un milliard ou moins un million, enfin très très grande dans les négatives. Ce qui veut dire qu'en fin de compte, je vais faire 4 multipliés par un nombre très très grand, mais chacun de ces deux facteurs sont négatifs. Or, la règle des signes nous dit quoi ? Nous dit que quand on multiplie deux nombres négatifs, on obtient un nombre positif. Autrement dit, le résultat de ce produit va être quelque chose de très grand, mais positif.
C'est ça qui justifie le fait que dans le tableau, il est écrit que un L négatif multiplié par moins l'infini nous renvoie plus l'infini. Ceci s'explique par la règle des signes. Dernière colonne, on se retrouve avec une forme indéterminée, essayons de comprendre pourquoi. Donc un tend vers 0, vn tend vers plus l'infini.
J'ai choisi le k en plus l'infini, en moins l'infini, le raisonnement est le même. Et on ne peut pas conclure pour le produit de un fois vn. Et bien, un peu comme tout à l'heure, on se retrouve ici avec deux infinis qui s'opposent et chacun veut tirer le tout vers soi, car oui, 0 est un infini. Quand on le considère dans un produit, 0 c'est l'infiniment rien. Pour bien le comprendre, ceci, que 0 veut tirer l'infini vers lui et que l'infini veut tirer 0 vers lui également, voyons sur quelques calculs numériques.
Je vois donc que un tend vers 0. Alors je vais prendre un nombre proche de 0, par exemple 0,0001, que je vais multiplier par un très très grand nombre, puisque vn tend vers plus l'infini. Je vais multiplier par un million. Et quand je fais le produit des deux, je trouve 100. Ah, 100 qui est quand même un grand nombre.
On aurait envie de penser finalement que le tout tend vers plus l'infini. Mais j'ai choisi tout à l'heure 0,0001 de façon arbitraire. Il se peut très bien que un tende beaucoup plus vite que ça vers 0. Faisons un deuxième essai où on va faire tendre un. Très rapidement vers 0. Je vais carrément prendre 0,000 et encore 301. Que je vais à nouveau multiplier par 1 million. Et on regarde ce qui se passe.
On trouve cette fois-ci 0,1. Là du coup, on a envie de penser que c'est finalement UN qui l'emporte. Et qui emmène le tout vers 0. Mais là de nouveau, ce choix est arbitraire. Je pourrais très bien prendre une valeur plus grande ici pour VN.
Et ça va de nouveau emmener le tout vers le haut. Et là on voit très bien. que finalement ces deux suites veulent chacune tirer l'autre vers soi, il n'y a pas moyen de conclure, tout va dépendre, qui sait qui l'emporte. Et celui-ci va dépendre du contexte, on va donc être obligé, là encore, de passer par une levée d'indétermination. C'est tout un travail à effectuer.
On passe au troisième et au dernier tableau, limite d'un quotient. Alors tu vois que ce tableau est très fourni, je t'invite à mettre la vidéo en pause si tu veux voir en détail tous les résultats. Bien évidemment, je ne pourrai pas expliquer tout en détail.
Je vais en expliquer deux. Le premier, c'est celui de la deuxième colonne, avec une limite finie pour L, pour UN, pardon, la limite est L, donc on va dire 3, L égale 3, et une limite infinie pour VN, je vais prendre plus l'infini. Qu'en est-il du quotient ?
Alors, on imagine donc qu'on a UN, qui se rapproche de plus en plus de 3, quand N grandit. Et on a VN, qui, elle, se rapproche de plus en plus de l'infini, devient de plus en plus grand. Autrement dit, on se retrouve avec un quotient du type 3 sur un très très grand nombre.
Qu'arrive-t-il quand je fais 3 divisé par un très grand nombre ? Tu peux essayer sur ta calculatrice, je ne vais pas le faire ici. Eh bien, ceci devient de plus en plus proche de 0. Fais 3 divisé par un million, fais 3 divisé par un milliard, tu verras que tu auras du 0, etc.
Eh bien oui, limite de un sur vn dans ce cas là est égale à 0. Alors des formes indéterminées, pour le quotient il y en a deux. Il y a la limite 0 sur 0 et la limite infini sur infini. Je vais parler de infini sur infini, je te laisserai faire les tests pour 0 sur 0. Donc on a ici une limite plus l'infini, également une limite plus l'infini. Qu'arrive-t-il au quotient ?
Oui, c'est une forme indéterminée. Pourquoi ? Parce qu'en haut, donc au numérateur, j'ai un nombre de plus en plus grand, qui va donc tout tirer vers l'infini.
En bas, j'ai un nombre de plus en plus grand, qui, on l'a vu juste avant dans l'exemple précédent, va tout tirer vers 0. Donc finalement, j'ai ici un qui tire l'ensemble vers plus l'infini, j'ai vn qui tire l'ensemble vers 0, et on a vu tout à l'heure dans le tableau des produits que... 0 et l'infini s'opposent et on ne peut pas conclure. Donc, on se retrouve de nouveau dans le cas avec de l'infini ici et de l'infini en bas qui vont faire qu'on va avoir de l'infini et du 0. Ça ne marche pas, on ne peut pas conclure.
On ne peut pas conclure que ça soit plus ou moins l'infini ici, plus ou moins l'infini ici également. Je te laisse faire des essais numériques pour la limite du type 0 sur 0. Tu prends du 0, machin chose en haut, 0, machin chose en bas. Tu fais varier le nombre de 0 en haut et en bas.
et tu verras, tu trouveras à chaque fois, soit quelque chose qui se rapproche de plus en plus de 0, soit quelque chose qui se rapproche de plus en plus de l'infini. De même, on ne peut pas conclure. Attention, je voudrais également préciser une nouvelle fois que dans le cadre d'une forme indéterminée, là comme j'ai montré ces exemples, on a l'impression qu'il y en a un qui peut l'emporter sur l'autre, mais très souvent, les deux s'équilibrent et on peut trouver une limite finie pour le tout. C'est-à-dire qu'il se peut très bien que j'ai l'infini ici.
J'ai l'infini ici, j'ai donc de l'infini sur l'infini, et pourtant le résultat c'est un nombre. Par exemple, le nombre 1, ça, ça arrive régulièrement. En tout cas, ce qu'il faut retenir, c'est que nous avons 4 formes indéterminées, qui sont notées ici.
Plus l'infini, moins l'infini. 0 multiplié par n'importe quel infini. N'importe quel infini sur n'importe quel infini. Et enfin 0 sur 0. Ces quatre formes indéterminées, il faut les repérer. Quand tu as un exercice à résoudre, si tu tombes sur une forme indéterminée, on ne peut pas conclure, ce n'est pas possible, il ne faut pas conclure.
On passe par une levée d'indétermination, exercice qui, je rappelle, est expliqué en détail dans le lien. On peut passer... à la suite.
Alors la suite, c'est les suites géométriques. En classe de première, on a vu les suites arithmétiques et les suites géométriques. En réalité, on travaille plus souvent avec les suites géométriques et c'est surtout les suites géométriques qu'on peut retrouver en classe d'examen. Je vais aller assez vite parce que c'est plutôt facile. Ce sont des choses que tu connais déjà en plus.
Alors, on a déjà à connaître la forme de récurrence pour une suite géométrique. L'expression de récurrence est la suivante, UN plus 1. égal à Q fois UN. Q est appelé la raison de la suite. C'est normal parce qu'une suite est géométrique si entre deux termes, je multiplie toujours par un même nombre.
Ce même nombre, c'est Q. Par exemple, si entre deux termes, je multiplie toujours par 2, si je pars au départ de 5, ça va faire 5 fois 2, 10, 10 fois 2, 20, 20 fois 2, 40, etc. Ce produit par 2, c'est ce qui s'appelle la raison.
A partir de là, il est possible d'exprimer en fonction de n une suite géométrique. Ça s'appelle la forme explicite d'une suite géométrique, qui est la suivante. un égale à u0 multiplié par q puissance n.
Là encore, c'est assez facile à comprendre. On part au départ de u0. Qu'est-ce qu'on fait ? Pour arriver à u1, on multiplie par q.
Ensuite, pour arriver à u2, on remultiplie par q. Puis on continue comme ça, et ainsi de suite. Qu'est-ce qu'on fait finalement ? Pour arriver au n-ième terme, j'aurais multiplié par Q n fois.
J'aurais fait Q fois Q fois Q avec n produit Q. Eh bien, cela me donne bien du Q puissance n. Finalement, je pars de U0 et je multiplie par Q puissance n pour obtenir n'importe quel terme de ma suite. À connaître également, c'est très pratique et on en a souvent besoin, en particulier dans les épreuves du bac, les limites... de notre suite Q puissance n, limite d'une suite géométrique de raison Q.
Alors, ce qu'il faut savoir, c'est que pour Q, je commence par la fin. Pour Q plus grand que 1, sa limite est plus l'infini. On le sent bien.
Si Q est plus grand que 1, par exemple 2 ou 3, ça voudrait dire que quand n augmente, je fais que multiplier de plus en plus ma raison par elle-même. Ça fait du 2 fois 2 fois 2 fois 2 ou du 3 fois 3 fois 3. On sent bien que tout ça... ça grandit et ça part vers plus l'infini. Sauf dans le cas où j'ai Q qui est compris entre moins 1 et 1, du type 0,5. On va faire la même chose, mais au lieu de faire 2 fois 2 fois 2 qui grandit, on va faire 0,5 fois 0,5 fois 0,5 fois 0,5, qui va lui arriver quoi ?
Qui va se rapprocher de plus en plus de 0. Donc dans le cas où Q est compris entre moins 1 et 1, la limite de Q puissance n est égale à 0. Après, il existe les cas particuliers. Le cas où q égale à 1, la limite c'est 1. Pas évidemment, tout simplement parce que si q égale à 1, q puissance n est égale à 1 puissance n, c'est-à-dire est égale à 1. Ce n'est même pas un calcul de limite, c'est tout simplement le résultat. Et enfin, si q est inférieur ou égal à moins 1, il n'y a pas de limite. Je ne reviens pas dessus, j'en ai parlé tout à l'heure. Par exemple, le cas où on a la suite moins 1, puissance n, tu te souviens, ça donnait une fois moins 1, une fois 1. On n'avait effectivement pas de limite, la suite est divergente.
Et pour finir sur ce petit rappel sur les suites géométriques, la fameuse formule de la somme des termes d'une suite géométrique, qu'il faut connaître par cœur, qui, je pense, ne te pose pas de difficultés, elle est assez facile à appliquer, il faut savoir que 1 plus q plus q², etc. jusqu'à q puissance n est égal à 1 moins q puissance n plus 1, je gagne un rang, sur 1 moins q. Alors arrivent des outils maintenant qui vont nous permettre de conclure sur des calculs de limite, justement quand on se trouve dans le cas d'une forme indéterminée. J'avais dit tout à l'heure que pour lever une indétermination, très souvent, on fait du calcul algébrique. Mais il existe d'autres outils qui nous permettent de conclure sans faire du calcul algébrique.
c'est de passer par une autre suite. Une autre suite dont on connaît le comportement en l'infini et qu'on peut arriver... à comparer avec la suite dont on cherche la limite.
Premier théorème, on a donc deux suites Un et Vn. On nous dit que si à partir d'un certain rang, Un est plus petit que Vn, et si la limite de Un est plus l'infini, et bien la limite de Vn sera également de plus l'infini. C'est-à-dire qu'en gros, on a à partir d'un certain rang, on s'en fiche de ce qui se passe au départ, mais à partir d'un certain rang, j'aurai tous les termes de un qui seront en dessous des termes de vn à n'importe quel niveau et je sais que un donc cette main là tend vers plus l'infini autrement dit vn qui est au dessus qu'est ce qui va lui arriver elle va être à chaque fois poussé elle même vers plus l'infini elle n'aura pas d'autre choix vu que vn est toujours supérieur à un à partir d'un certain rang si un temps vers plus l'infini vn va être également propulsé vers plus l'infini Et bien quand est-ce qu'on aurait à utiliser ce théorème là ?
Quand on aurait à étudier la limite de Vn, mais qu'on n'arrive pas. Mais par contre, on arrive à dire que la limite de Un c'est plus l'infini, et on arrive également à savoir que Un est en dessous de Vn à partir d'un certain rang. Et bien on fera comme ça, on le prouvera, Un est plus petit que Vn, mais limite de Un tend vers plus l'infini, donc limite de Vn tend également vers plus l'infini.
On le comprend très bien sur ce schéma. On voit au départ qu'on a des petits zigzags, comme ça elles se croisent et elles se recroisent. Mais on s'en fiche.
Ce qui est important, c'est qu'à partir d'un certain rang, l'ordre soit posé, la suite dont les points sont marqués en rouge tend vers plus l'infini, et propulse la suite dont les points sont marqués en bleu vers plus l'infini. Alors, il existe exactement le même théorème en moins l'infini. Je n'insiste pas dessus, je le cite juste. Cette fois-ci, on a une suite Un qui est au-dessus. d'une suite Vn.
Je sais que la suite Un tend vers moins l'infini. Qu'arrive-t-il à la suite Vn ? Elle va être également propulsée vers moins l'infini.
De cette manière, on pourrait conclure sur le comportement à l'infini de la suite Vn. Les deux théorèmes que je viens de citer permettent de prouver qu'on a une limite infinie, plus l'infini ou moins l'infini. Mais si on veut prouver qu'on a une limite finie, il faut utiliser un autre théorème.
qui est également un théorème de comparaison, mais qui porte un autre nom, c'est le théorème d'encadrement. Il porte d'ailleurs même trois noms. Il s'appelle le théorème d'encadrement, il s'appelle également le théorème des gendarmes, ou le théorème du sandwich, tu vas tout de suite comprendre pourquoi.
On voudrait cette fois-ci prouver qu'on a une suite VN qui tend vers une limite L, donc fini. Au bout d'un moment, elle fait la folle comme ça, et au bout d'un moment, elle se trouve de plus en plus coincée autour... d'une limite finie. Et bien, qu'est-ce qu'il faudrait si on a une forme indéterminée pour cette suite ? Ce qu'il faudrait, c'est avoir une suite au-dessus, une suite en dessous, qui la prenne en sandwich, et ces deux suites-là, qui l'emmènent vers cette même limite L.
C'est ce qui est schématisé ici, pour bien comprendre. Tu vois, tu as une suite bleue qui tend vers 4. On le voit bien ici, quand N devient de plus en plus grand, les points bleus se rapprochent de plus en plus de 4. par le dessous. On a une suite rouge, marquée en rouge, les termes sont marqués en rouge, qui tend également vers 4. On le voit ici, tous les termes se rapprochent de plus en plus de 4, mais par le dessus.
Et entre les deux, on a une suite marquée en vert, qui se trouve prise en sandwich, entourée par deux gendarmes, et qui va faire quoi ? Qui va se retrouver emprisonné, théorème des gendarmes, emprisonné entre... La suite marquée en bleu et la suite marquée en rouge, elle n'a pas d'autre choix que elle-même tendre également vers la même limite 4. C'est ce que dit le théorème des gendarmes.
Il nous dit quoi ? Il nous dit si à partir d'un certain rang, j'ai Vn qui est plus grand que Un et plus petit que Wn, et que limite de Un et limite de Wn tendent vers L, dans ce cas-là, il en est de même pour Vn, elle tend également vers L. Voilà un théorème qui est très utile pour prouver une limite finie.
Alors, dernière partie de ce cours, la notion de suite majorée, suite minorée. Déjà, qu'est-ce que c'est qu'une suite majorée ? Une suite est majorée, cela veut dire qu'il existe un réel, un nombre, m, tel que, pour tous les termes de la suite, u de n est plus petit que m.
Cela veut dire que si on avait graphiquement cette situation, j'aurais ici ma valeur m, Et j'aurai tous mes termes qui ferait ce qu'ils veulent. mais il se situerait toujours en dessous de grand M. Alors attention, il faut bien distinguer la notion de limite avec la notion de majoration ou minoration d'une suite.
Ici, cette suite-là, elle est majorée par grand M. Mais je n'ai pas dit que ça limite ces grands M. Elle peut très bien ici, à partir d'un certain an par exemple, redescendre et partir vers moins l'infini. À condition...
qu'aucun de ces termes dépasse la valeur M, elle serait majorée par M, et pourtant sa limite n'est pas du tout M. La notion de suite minorée est également la même, mais dans l'autre sens. Au lieu d'avoir un M au-dessus, on en a en dessous. C'est-à-dire qu'on se trouve avec un seuil vers le bas, où on aurait tous les termes de la suite qui peuvent se promener n'importe où, mais jamais en dessous de cette valeur de minoration.
Par exemple, Si une suite est minorée par 0, cela veut dire que tous les termes de la suite sont nécessairement positifs. Il n'y a aucun terme négatif. Et enfin, on dira qu'une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Cela voudrait dire qu'elle se promène entre deux valeurs sans jamais dépasser d'un côté ou de l'autre. Bien, on en a vu une tout à l'heure, toujours la même. La fameuse suite un égale moins 1 puissance n.
Cette suite-là est bien bornée, puisqu'on avait alternativement moins 1, 1, moins 1, 1, moins 1, 1. On voit bien qu'on pourrait placer une barre au-dessus et une barre en dessous, qu'elle ne passera jamais. Il y a encore d'autres suites qui sont bornées. Ce sont très souvent toutes les suites qui sont écrites avec des fonctions trigonométriques, cos n, sinus n.
Arrive enfin le très fameux théorème de convergence monotone. Théorème très important qui est souvent... utilisés au bac qu'il faut bien connaître, surtout bien comprendre. Il est facile, tu vas voir. On a deux versions de ce théorème.
On nous dit, si on a une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si on a une suite décroissante et minorée, alors elle converge. Je vais expliquer le deuxième cas.
Et pour cela, voici un petit schéma. J'ai donc représenté en rouge les termes d'une suite décroissante. On le voit, donc, nos termes descendent, notre suite est bien décroissante. Et j'ai mis le seuil en bas, puisqu'elle est minorée.
Donc ça voudra dire que ces termes n'ont pas le droit de franchir la barrière verte, la barrière de la droite d'équation y égale m. On est assuré que si on a cette suite qui est décroissante et minorée par m, nécessairement la suite est convergente. C'est-à-dire que la limite de cette suite, c'est un nombre, forcément.
Pourquoi cela ? Tout simplement parce que j'ai ma suite qui descend. Mais elle n'a pas le droit de dépasser la barrière, petit M.
Elle ne peut pas passer en dessous. Parce que si elle avait le droit de passer en dessous, elle pourrait diverger vers moins l'infini. Non, non, elle ne peut pas.
Elle est obligée de rester au-dessus. À partir de là, pourquoi on est assuré qu'il y a une limite ? Parce qu'elle n'a pas le droit non plus de faire des zigzags ici.
C'est-à-dire qu'au bout d'un moment, elle doit forcément être constamment décroissante. Elle va se retrouver donc, à un moment ou l'autre, bloquée par ma barrière, petit M. Mais attention, rien ne dit que la limite, c'est petit m.
Parce qu'on le voit ici, sur ce schéma, finalement, elle n'a pas le droit de franchir la barrière. Mais elle peut très bien ne pas franchir une autre barrière. Il se peut très bien que cette suite un, marquée en rouge, soit également minorée par 4. Du coup, on le voit bien, là, finalement, tous nos termes, ils sont au-dessus de la barrière y égale 4. Il se pourrait très bien que la limite soit 4, mais en tous les cas, si on a un minorant, même beaucoup plus bas, ça nous assure la convergence.
Ça ne nous assure pas la limite, on ne connaîtra pas cette limite, mais on est sûr qu'elle existe. Il est tout à fait possible que la suite ne franchisse pas une barrière qui se trouve un peu plus haut, mais en tout cas, le fait d'avoir une barrière tout court nous assure qu'elle est convergente. C'est ce que dit le théorème de convergence monotone.
Et il dit exactement, lorsqu'on a une barrière supérieure... lorsqu'on a un majorand, et bien si la suite est croissante, on est certain que la suite va converger parce qu'elle n'a pas le droit de partir vers plus l'infini et de franchir la barrière du dessus. Alors il existe d'autres versions qui sont donc des corollaires du théorème de convergence monotone. Je passe un peu plus vite dessus car ils servent moins souvent, mais il faut quand même les comprendre, ils sont également assez simples à comprendre.
Eh bien, on nous dit que si on a une suite croissante, mais cette fois-ci qui est non majorée, on n'a pas cette barrière. Eh bien, qu'arrive-t-il à cette suite ? Cette fois-ci, il n'y a pas de barrière. Vu qu'elle est croissante, elle s'en va. Il n'y aura jamais de barrière, aussi haut qu'on veut, puisqu'elle est non majorée.
Eh bien, elle s'en va. Elle s'en va vers plus l'infini. Dans ce cas-là, sa limite est plus l'infini. Et on a également la même chose vers le bas.
Avec une suite qui est décroissante, mais qui n'est pas minorée, eh bien, forcément, cette suite UN va partir vers... Moins l'infini. Voilà, on en a fini avec ce cours. Une fois encore, j'espère que tu l'as bien compris. Je te conseille très vivement de faire des exercices.
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