[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de voir tout le cours sur les vecteurs de l'espace l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on verra donc la notion de vecteur de l'espace de droite et de plans de l'espace et on finira par les bases et les repères de l'espace pour préparer un contrôle ou même un examen il faudra également t'entraîner sur de nombreux exercices je te conseille donc de cliquer sur le lien qui te mènera vers des vidéos proposant plein d'exercices sur le thème des vecteurs de l'espace en tout cas pour le cours c'est parti alors déjà qu'est-ce que c'est qu'un vecteur de l'espace bon j'ai envie de dire c'est un peu comme un vecteur dans le plan il est défini par une direction à sens et une longueur ou une norme dans l'espace c'est un peu pareil on va définir une direction alors sauf que c'est une direction à trois dimensions cette fois-ci puisque on est dans l'espace fonctionne comme dans le plan là aussi et pour les définir en fait c'est assez simple on se donne trois vecteurs UVW de l'espace et bien dès que je vais fabriquer un vecteur du type a eu + B + CW avec donc ABC qui sont des réels j'ai la une combinaison linéaire des 3 vecteurs UVW bon un exemple je reprends donc mes trois vecteurs UVW puis celui-là je multiplie par 2 celui là je multiplie par 3 celui-là je multiplie par 5 je mets ici plus je mets ici moins et bien le vecteur de plus 3 v - 5W est une combinaison linéaire je les ai combinés de façon linéaire pas ici de carré est une combinaison linéaire de mes vecteurs UVW un autre moi je prends tout simplement le vecteur u moins le vecteur W et bien ça c'est également une combinaison linéaire de UVW sauf que ici ben n'apparaît pas le vecteur V n'apparaît pas puisque là on dirait que B est égal à zéro voilà comment on fabrique des combinaisons linéaires de vecteurs un autre exemple plus visuel on considère donc le vecteur MF là en bleu et bien je peux tracer un petit chemin qui va du point M l'origine de mon vecteur MF jusqu'au point F son extrémité et pour cela et bien j'écris que MF = M a + AB + BF et bien qu'est-ce que j'ai fait là j'ai en fait ici une combinaison linéaire des vecteurs maab et bfmf et combinaison linéaire de ces trois vecteurs ma AB et BF alors ça peut paraître anecdotique ce que je suis en train de raconter là et pas forcément utile ça l'est énormément on le verra dans la fin de ce cours puisque lorsqu'on va parler de base et bien il sera important de pouvoir décomposer un vecteur dans sa et là on va faire une combinaison linéaire à partir des vecteurs de la base mais n'anticipons pas on va voir ça un peu plus tard alors parlons un peu des droites de l'espace donc voici une droite je vais donc lui imposer une direction à ma droite voilà c'est fixé qu'est-ce que c'est qu'un vecteur directeur de la droite D et bien une fois de plus c'est comme dans le plan un vecteur directeur de la droite D c'est un vecteur il est là mon vecteur qui a la même direction que la droite ça paraît évident c'est le vecteur directeur donc c'est le vecteur qui dirige la droite alors pour la suite on va prendre notre droite et on va la poser sur le tableau alors on reste dans l'idée quand même d'un travail à trois dimensions donc dans l'espace mais pour comprendre on va la poser sur le tableau allons-y voilà donc ma droite D elle passe par un point A et on rappelle donc elle est dirigée par le vecteur U on retrouve donc toutes les données de l'énoncé notre propriété on a une droite d'équipe passe par un point A et qui a pour vecteur directeur U et bien un point M appartient effectivement à la droite D si et seulement si les vecteurs am et U sont colinéaires bon ça paraît évident je crois que tout est dit en regardant ce schéma de toute façon une fois encore on retrouve la même propriété que dans le plan une dernière propriété pour finir sur les droites qui nous dit que deux droites de l'espace sont parallèles si et seulement si leur vecteur colinéaire leur vecteur directeur respectifs sont colinéaires là encore ça paraît évident puisque le vecteur directeur de cette droite à la même direction que la droite le vecteur directeur de cette droite à la même direction que la droite donc nécessairement pour que les deux droites soient parallèles et bien il faut que les deux vecteurs directeurs et la même direction c'est-à-dire soit colinéaire donc dans la pratique pour démontrer qu'on a deux droites parallèles qu'est-ce qu'on fait et bien on démontre qu'on a deux vecteurs directeurs de vecteurs directeurs de lune directeur de l'autre qui sont colinéaires parlons maintenant des plans de l'espace et bien voici un plan déjà la question qu'on peut se poser c'est comment avec quel objet géométrique on va définir la direction de notre plan alors pas encore le plan lui-même mais déjà ça direction là on a une direction qui est fixée ça aurait pu être celle-ci soit pu être celle-ci donc j'ai choisi celle-ci comment la définir est-ce que un vecteur suffit parce que on sait que pour une droite on l'a vu juste à l'instant un vecteur suffit pour diriger la droite même dans l'espace mais est-ce que ceci est vrai pour un plan est-ce que un vecteur suffit donc je vais prendre un vecteur alors on parle pas de vecteurs directs on peut parler du vecteur qui dirige le plan voilà donc un vecteur qui se trouve dans la même direction que le plan mais on voit bien que j'aurais plusieurs solutions possibles pour mon plan il suffit de faire pivoter ici ce plan sans toucher au vecteur on voit que et bien la direction du plan n'est pas imposée par un seul vecteur et oui il en faut deux alors voici un deuxième je prends un deuxième vecteur alors c'est pas évident toujours voilà et là on voit que j'ai mes deux vecteurs le bleu et le rouge qui sont dans la direction du plan et je peux plus faire pivoter mon plan parce que ça coince ça coince vu que les deux directions imposées par les deux vecteurs bloque mon plan dans cette direction alors dans la pratique attention deux vecteurs ne suffisent pas il faut deux vecteurs qui sont non colinéaires parce que si jamais ils sont colinéaires qu'est-ce qui se passe et bien on se retrouve avec la première situation on a comme si on avait un vecteur sur l'autre et donc du coup mon plan peut nouveau pivoter donc il faut deux vecteurs non colinéaires et ce ceux c'est ce que dit cette propriété que directeur non nuls bon évidemment et non colinéaire détermine parfaitement la direction d'un plan à partir de ce site on a une deuxième propriété alors quand on regarde le schéma qui illustre cette propriété on a envie de penser que on travaille de nouveau dans le plan alors oui on travaille dans le plan mais dans le plan qui est lui-même dans l'espace donc là on est sur un plan de l'espace et ce que dit cette propriété enfin la conséquence de ce qu'elle nous dit c'est qu'en fin de compte quand on a un plan on peut effectivement définir on l'a vu tout à l'heure sa direction à l'aide de deux vecteurs mais ça ne suffit pas pour définir complètement le plan c’est-à-dire que une fois que la direction est imposée mon plan il peut être ici est peut être ici il peut être ici c'est que là je vois que j'ai de multiples plans qui ont toute la même direction donc la direction imposée par les deux vecteurs mais qui ne se trouve pas à la même position dans l'espace il y a différentes solutions ce qu'il faudrait rajouter et bien il faudrait rajouter encore un point c'est à dire que si je prends un plan qui est défini donc par deux vecteurs non colinéaires et un point donc un point qui appartient à ce plan ici un point A et bien là j'aurais totalement défini mon plan dans l'espace il peut plus bouger puisque avant il pouvait bouger comme ça mais une fois que on a un point là c'est fini les coincé il est complètement coincé et on dira que un plan est totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires de l'espace et à partir de cela et bien on le voit sur la propriété on peut décomposer le vecteur am à partir d'un point M qui se trouve sur le plan ça permet de de définir un point M appartenant au plan la décomposition donc des positions classiques qu'on trouve également dans le plan enfin dans la géométrie du plan qui nous dit que dans ce cas là am est une combinaison linéaire des deux vecteurs UV qui définissent la direction de notre plan c'est-à-dire Xu + Yv ou a eu plus BV comme on veut en tous les cas on peut définir on peut pardon pas définir on peut décomposer un M à l'aide c'est on a la quasiment la notion de coordonnées dans le plan dans notre plan P qui est lui-même dans l'espace et pour finir sur les plans parlons un peu de parallélisme donc cette propriétaire elle illustre ce que j'ai juste dit avant déjà on va la lire elle nous dit que deux plans qui sont déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles on parle là de parallélisme tout à l'heure j'avais dit que lorsqu'on a deux vecteurs qui dirigent notre plan ça suffit pas pourquoi avoir une position précise de notre plan dans l'espace et je promenais le plan comme ça comme un réseau de plan ici je n'avais pas dit le mot mais le mot c'est quoi c'est que tous ces plans là ici sont tous parallèles avec deux vecteurs directeurs pour un plan j'obtiens juste la direction et donc si j'obtiens la direction et bien je définis ici des plans parallèles et on verra dans la pratique en exercice alors pas dans cette vidéo mais mais dans d'autres que pour démontrer que deux plans sont parallèles qu'est-ce qu'on va faire et bien il suffit de démontrer que deux vecteurs non colinéaires de l'Un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l'autre et donc forcément et bien on aura deux plans qui seront dans la même direction ou alors dans d'autres situations on peut parfois directement appliquer la propriété en tant que tel et voir que j'ai deux plans qui ont les mêmes vecteurs directeurs donc s'ils ont les mêmes vecteurs directeurs alors je précise on dit pas vecteur directeur pour des plans on dit plutôt vecteur qui dirige le plan mais bon on se comprend donc en tout cas si j'ai les mêmes vecteurs qui dirigent le plan bah forcément les deux plans sont parallèles alors on s'attaque aux bases de l'espace et avant on va avoir besoin de parler d'une notion d'un terme de vocabulaire qu'il faut connaître en géométrie des l'espace c'est l'adjectif coplanaire qu'est-ce que cela signifie coplanaire on comprend bien ça la traduction c'est sur un même plan et quand on parle de trois vecteurs coplanaires on aurait envie de dire trois vecteurs qui sont sur un même plan mais bon on sait que un vecteur n'a pas une position dans l'espace puisque un vecteur signe durection un sens et une longueur mais on comprend bien ce que cela signifie cela signifierait que pour que mes trois vecteurs ici soit coplanaires il faudrait que je puisse les ramener alors c'est dans le langage courant quand ça on va avoir comment le dire proprement il faudrait pouvoir les ramener tous ces trois vecteurs sur un même plan là ils sont coplanaires mes trois vecteurs puisque j'ai pu les ramener ici sur un même plan par contre si je prends ces trois là alors ces trois là je n'arrive pas quand je ramène le vecteur bleu ici je vois que je ne peux pas ici ou alors faut forcer les choses mais du coup je vais changer la direction du vecteur bleu donc là on triche mais ces trois vecteurs là ne sont pas coplanaires mathématiquement et de façon plus rigoureuse on dit que trois vecteurs sont coplanaires s'il possède des représentants donc le fait de les ramener s'il possède des représentants comme le montre le schéma qui eux sont sur un même plan là on a trois vecteurs coplanaires et à partir de là on a une petite propriété qui va nous permettre assez souvent de démontrer qu'on a des vecteurs coplanaires et donc cette propriété nous dit que si on part de trois vecteurs UVW et bien pour que ces vecteurs soient coplanaires il faudrait pouvoir prouver qu'il existe deux réels X et Y tels que u = x V plus YW autrement dit je peux décomposer le vecteur u dans la base du plan formé par les vecteurs V et W je peux faire un petit chemin avec des vecteurs V et W qui me ramène qui correspond au vecteur u donc forcément si je fais ce petit chemin et que cela correspond au vecteur u j'ai mes trois vecteurs qui se trouvent sur un même plan c'est ce que signifie cette propriété très importante et très utile alors là on est presque à la notion de base il nous reste juste cette petite propriété à comprendre qui est également très importante et qui est simple à comprendre tu prends trois vecteurs IJK non coplanaire donc non coplanaire on peut pas les ramener sur un même plan et tu prends un autre vecteur n'importe lequel de l'espace on va l'appeler U et bien la propriété nous dit qu'il existe un triplet XYZ tel que u = x + y j plus ZK ça signifie quoi ça signifie donc que il existe en fait un triplé qui va me permettre de fabriquer une combinaison linéaire des vecteurs ij et K qui est égal au vecteur U cela signifie quoi cela signifie que je peux fabriquer un petit chemin formé de vecteurs ij et k alors plusieurs des fois dans le sens opposé mais que je peux faire un petit schéma avec un petit chemin pardon avec les vecteurs IJK qui fait que je vais pouvoir aller de l'origine de mon vecteur U à son extrémité on fait tac tac tac peut-être et on y arrive et ceci marcherait pour n'importe quel vecteur u je peux prendre n'importe quel vecteur u de l'espace si ij et k son nom coplanaires je pourrais toujours avoir une combinaison linéaire de ces trois vecteurs pour obtenir le vecteur u regardons sur un exemple ça sera plus lisible j'ai un cube ici et je considère les trois vecteurs abae je te laisse regarder tranquillement éventuellement mettre en pause pour bien constater bon c'est une observation enfin ça serait assez évident à démontrer que ces vecteurs Abad et AE sont non coplanaires et je considère par exemple le vecteur AG je voudrais voir si il est possible donc de décomposer le vecteur AG comme combinaison linéaire de abae c'est-à-dire avoir un petit chemin qui part de a qui va jusqu'à g former des vecteurs Abad et AE alors ici on a représenté un petit chemin qui n'est pas formé des vecteurs Abad et AE mais on va voir presque mais en tout cas qui a le mérite d'aller de A à G c'est quoi ces vecteur AG égal à B + BC plus CG alors on n'a pas ABA DAE mais on a déjà AB or si on regarde bien baisser le vecteur BC c'est quoi c'est un cube donc les côtés opposés ont même longueur même même direction sont parallèles donc à la place de baisser je pourrais écrire ad ici donc finalement AG = a AB plus AD et CGC quoi c'est g c'est le vecteur AE donc plus un E et voilà et bien j'ai AG qui est égal à AB plus ad plus AE ici les XYZ de la propriété valent 1 en tous les cas j'ai bien ici décomposé âgé en ces trois vecteurs on peut le faire avec n'importe quel vecteur tiré de ce culte tu peux essayer si tu veux tu prends FH tu prends eg tu pourras toujours faire un petit chemin qui est formé des vecteurs ici qui sont les vecteurs Abad et à eux que tu auras choisi à condition attention qu'il soit non coplanaires si jamais sont coplanaires là ça marche plus bon bah on est à peu près tout dit il nous reste plus maintenant qu'à définir une base et bien c'est quoi une base et bien en fait on en avait une juste avant une base c'est trois vecteurs non coplanaires à partir du moment que tu as trois vecteurs non coplanaires et bien tu as une base de l'espace pourquoi et bien puisque à partir de ces trois vecteurs vu qu'ils sont non coplanaires je vais pouvoir écrire n'importe quel vecteur en combinaison linéaire de ces trois vecteurs donc c'est une base au sens que c'est la base c'est la base de tous c'est avec ça que je vais pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace alors tu as sans doute remarqué juste à l'instant quand je parlais de base je tenais mes vecteurs mes trois vecteurs non coplanaires comme ceci bon pourquoi c'est pas nécessaire puisque ils peuvent très bien être plus éloignés dans dans leur représentation mais en fait c'est parce que là on est très très près de l'idée de repères qu'est-ce qui nous manque pour avoir un repère de l'espace alors un repère c'est quoi c'est quelque chose qui nous permet de nous repérer c'est-à-dire bien d'obtenir des coordonnées coordonnées d'un point coordonnées d'un vecteur puis après équation de droite et tout ce qu'on peut imaginer et bien qu'est-ce qu'il nous manquait en fait à partir de de cette base il nous manquait juste un petit point qui est ici et qui s'appelle l'origine si à une base je rajoute un point que je nomme comme que je nomme l'origine j'obtiens un repère de l'espace c'est-à-dire qu'à partir de là j'ai un vrai système de coordonnées et on dira et bien que si on a trois vecteurs donc aux planaires IJK et un point haut de l'espace et bien oijk s'appelle un repère de l'espace et donc un quadruplé à quatre éléments là dans le plan on en a que trois on a l'origine I et J et là on a le vecteur K qui se rajoute et à partir de là et bien je vais pouvoir écrire des objets de l'espace à l'aide de leur coordonnées donc on l'a dit au s'appelle l'origine du repère maintenant on a vu que on peut décomposer n'importe quel vecteur de l'espace dans la base IJK comme combinaison linéaire de IJK et donc si par exemple on obtient que om le vecteur om = x + y j plus ZK et bien on en tire directement les coordonnées x y et z du point M on dira que X est l'abscisse de r rien neuf on dira que Y et l'ordonnée de M rien neuf mais on dira que Z est la côte de M certains disent la hauteur au collège on parle plus de hauteur là on dira côte bon enfin de toute façon c'est une expression qui est extrêmement rarement utilisée la plupart du temps on utilise les coordonnées dans leur ensemble et il en est de même lorsqu'on décompose un vecteur un vecteur u quelconque et bien si u peut s'écrire XI plus y J + Z k enfin s'il peut s'écrire forcément il peut s'écrire puisqu'on a dit tout à l'heure que c'est n'importe quel vecteur U qui peut se décomposer à l'aide de trois vecteurs donc aux planaires donc là forcément ça va marcher et bien pareil XYZ ça nous donne les coordonnées du vecteur U et du coup et bien on va récupérer plein de propriétés dans l'espace qu'on connaissait déjà dans le plan va juste se rajouter une coordonnée voilà alors j'en présente ici déjà deux il y en aura d'autres qui viendront dans d'autres chapitres donc ici on se donne deux points A et B de l'espace avec leur coordonnées donc Xa ya za et bxbyzb et bien les coordonnées du vecteur AB c'est exactement comme dans le plan tu fais la différence XB -5 YB - Yza et on a également donc les coordonnées du milieu bon voilà je te laisse les lire c'est exactement la même formule et là on est tout doucement en train d'arriver en géométrie analytique en géométrie cartésienne donc avec des coordonnées on va pouvoir faire des calculs car on va pouvoir tout doucement gérer on le voit donc ici les points les vecteurs mais également bien évidemment aussi les droites à qui on pourra leur attribuer des équations les plans à qui on pourra aussi attribuer des équations etc tu imagines tout ça mais ça ça fait partie d'autres séquences pour celle-ci elle est terminée