Cours sur les vecteurs de l'espace

Introduction

• Notions abordées : vecteurs de l'espace, droites et plans de l'espace, bases et repères de l'espace.
• Importance des exercices pour bien comprendre le sujet.

Vecteurs de l'espace

• Un vecteur dans l'espace est défini par une direction, un sens et une norme.
• En trois dimensions, exprimé par des combinaisons linéaires : aU + bV + cW où a, b, et c sont des réels.
• Exemples de combinaison linéaire : 2U + 3V - 5W, U - W (ici, b = 0).
• Visuellement : Décomposition d'un vecteur comme combinaison de plusieurs autres vecteurs.

Droites de l'espace

• Une droite est définie par une direction.
• Un vecteur directeur a la même direction que la droite.
• Propriétés clés :
  • Un point M appartient à une droite D si les vecteurs AM et le vecteur directeur U sont colinéaires.
  • Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Plans de l'espace

• La direction d'un plan nécessite deux vecteurs non colinéaires.
• Un plan est complètement défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
• Un vecteur d'un plan peut être décomposé comme combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires du plan.
• Propriété : Deux plans sont parallèles s'ils sont déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires.

Bases et repères de l'espace

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils peuvent être ramenés dans un même plan.
• Propriété : Trois vecteurs U, V, W sont coplanaires si U peut être exprimé comme combinaison linéaire de V et W.
• Base de l'espace : Trois vecteurs non coplanaires peuvent former une base.
• Repère de l'espace : Une base plus un point origine définit un repère de l'espace (O, I, J, K).
• Coordonnées dans un repère : Les coordonnées d'un point M (X, Y, Z) et les coordonnées d'un vecteur U (X, Y, Z).
• Propriétés et calculs dans l'espace :
  • Coordonnées d'un vecteur AB : (XB - XA, YB - YA, ZB - ZA)
  • Coordonnées du milieu d'un segment : Moyenne des coordonnées des extrémités.