Overview
Le cours présente le concept de l'inverse d’une matrice, en expliquant son analogie avec l’inverse des nombres puis ses spécificités pour les matrices carrées.
Inverse d’un nombre
- L’inverse d’un nombre x est le nombre qui, multiplié par x, donne 1.
- Pour 2, l’inverse est 1/2, car 2 × 1/2 = 1.
- L’élément neutre pour la multiplication est 1 : x × 1 = 1 × x = x.
- Pour l’addition, l’élément neutre est 0 : x + 0 = 0 + x = x.
L’inverse d'une matrice
- Comme pour les nombres, on cherche une « division » ou un inverse pour les matrices.
- Les matrices admettent aussi un élément neutre pour la multiplication : la matrice unité (ou identité) In.
- Pour une matrice carrée A d’ordre n, A × In = In × A = A.
- On ne s'intéresse qu’aux matrices carrées pour l’inversion, car la multiplication n’est pas toujours définie autrement.
Définition et conditions de l’inverse
- Chercher une matrice B telle que A × B = In et B × A = In.
- Il faut vérifier l’ordre car la multiplication des matrices n’est pas commutative (A × B ≠ B × A en général).
- Si une telle matrice B existe, on l’appelle l’inverse de A, notée A⁻¹.
- L’inversion permet de résoudre le problème de retrouver une matrice identité lors de la multiplication.
Application et contexte
- L’inversion des matrices répond aux mêmes besoins que pour les nombres : « annuler » une opération de multiplication.
- On procédera à des exemples pour mieux comprendre comment trouver l’inverse.
Key Terms & Definitions
- Élément neutre — élément qui ne modifie pas la valeur lors d’une opération (1 pour multiplication, 0 pour addition).
- Matrice unité (identité) In — matrice carrée avec des 1 sur la diagonale, 0 ailleurs ; neutre pour la multiplication.
- Matrice carrée — matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes.
- Inverse d’une matrice A (A⁻¹) — matrice B telle que A × B = B × A = In.
Action Items / Next Steps
- Essayer de vérifier sur un exemple que A × In = In × A = A.
- Préparer pour voir des exemples précis de recherche de l’inverse d’une matrice.