Vi skal i gang med et tema som heter følger og rekker. Målene for dette temaet er at vi skal kunne finne og gjenkjenne noen tallmønstre, vi skal kunne bruke kjente mønstre til å regne på egenskaper til noen bestemte typer tallmønstre, og vi skal kunne bruke tallmønstrene til å regne på noen anvendelser for virkeligheten, som er nedbetaling av lån, sparing, medisindosering og opproping av stoffer i kroppen og i naturen. Det første vi skal se på er tema rekursive sammenhenger. Her er målet at vi skal kunne finne og beskrive tallmønstret med og uten bruk av hjelpemidler.
Vi må begynne med definisjonen av hva tallfølger er for noe. En følge eller en tallfølge er en oppramsing av tall. Hvis oppramsingen inneholder en tall, der en er et naturlig tall, så er følgen endelig. Hvis ikke, er følgen uendelig.
Så hvis det finnes et bestemt mengetal, så kan det til en endelig følge. Følgen 2, 4, 6, 8, 10, det er en tallfølge som består av fem tall. Følgen 2, 4, 8, 16, 32, prikk, prikk, prikk, der markerer jeg prikk, prikk, prikk at denne følgen fortsetter uendelig lenge.
Det er også en notasjon her. Når vi skal beskrive det første tallet, så kaller vi det for A1. men en som er nedsenket som indeks.
Det andre tallet i følgen kaller vi for A2, og så videre. Så indeksen, det er det nedsenket tallet. Her ser vi for eksempel at, hvis vi ser på den nederste følgen der, 2, 4, 8, 16, 32, så kan vi si at det sjette tallet der, det kommer til å være 64. Så her kan vi si at A6, altså det sjette tallet i rekken, er 64. En eksplisitt formel er en ting vi kan finne når vi skal beskrive en tallfølge. Vi hadde jo to eksempler her, vi hadde følgene 2, 4, 6, 8, 10, og følgene 2, 4, 8, 16, 32, som egentlig var en uendelig følge.
For å finne et mønster, så kan vi uttrykke dette som en formel. Det er formelen vi bruker til å uttrykke matematiske mønstre. For en del tallfølger kan vi lage en formel som gir oss tall nummer n direkte. Det kalles en eksplisitt formel.
Da bruker vi notasjonen med indeks, så vi sier at a n, tall nummer n i følgen, kan skrives med en formel der n er den eneste vi har kjent det. For de to følgene her ser vi at den øverste følgen, 2, 4, 6, 8, 10, det er partallene, så vi kan skrive at tall nummer n, det er 2 ganger n. Så det første tallet. blir 2 ganger 1, det blir 2. Det andre tallet blir 2 ganger 2, det er 4. Det fjerde tallet blir 2 ganger 4, som er 8, og så videre.
Den andre følgen, 2, 4, 8, 16, 32, er litt vanskeligere, for der ser vi tallet dobles hele tiden. Der kan vi skrive tallet nummer 1 som to av potensen 2 opphøyd i 1. Så mens det første tallet er 2 opphøyd i 1, som er 2, det andre tallet er 2 opphøyd i 2, som er 4, Det tredje tallet er 2 oppi de 3, som er 8, og så videre. Så her kan vi finne tall nummer 1 uten å vite hva som kommer før og hva som kommer etter. For eksempel kan jeg regne ut et tiende tall i følgen uten å regne ut tall nummer 6, 7, 8 og 9. Så dette kalles en eksplisitt formel.
Dersom vi har hjelpemidler, så kan vi bruke regressjon. til å prøve å finne en eksplisitt formel. En annen type formel vi kan lage er en rekursiv formel. Så vi kan ta i konsult i et litt mer avansert eksempel på en tallfølge. Tallfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 45 og fortsatt de uendelige.
Der klarer vi ikke å finne en eksplisitt formel. Vi ser den ikke. Vi kan bruke regisjonen og prøve, men vi finner ikke en eksplisitt formel.
som gir oss tall nummer n i rekken. Det vi likevel kan se, bare for hånd, er at hvis vi tar 1 pluss 1, så får vi 2. Hvis det er 1 pluss 2, så får vi 3. Tar vi 2 pluss 3, får vi 5. Hvis vi hopper litt frem og ser 5 pluss 8, blir 13. Så ser vi at her klarer vi å lage en sammenheng, men den sammenhengen kan ikke gi oss tall nummer n direkte. Vi kan se at vi kan uttrykke alle talene. som summer de to forrige tallene.
Det kan vi skrive som tall nummer 1. er tall nummer n minus 2 pluss tall nummer n minus 1. Dette ser litt snodig ut, men hvis dere henger med, så er tall nummer 3 tall nummer 1 pluss tall nummer 2. Tall nummer 5 er tall nummer 3 pluss tall nummer 4, og så videre. En sånn her formel, det kalles en rekursiv formel, for der er formelen sånn at den peker tilbake på leddene som var før. Det betyr at for at vi skal kunne regne, ut neste ledd, så må vi alltid regne de to foregående leddene. Så hvis vi skal bruke en sånn her formel, så kan vi ikke regne ut tallnummer 10 direkte.
Da må vi regne ut alle tallene opp til tallnummer 10. Det er litt mer arbeidskrevende å benytte, men hvis vi har p-seller og den type ting, så har det ikke noe å si. Av og til kan vi regne en sånn rekursiv formel om til eksplosivte formler. Det kan vi ikke gjøre i eksempelet her.
Det siste vi skal se på her er bruk av regresjon når det kommer til å finne tallmønstre. Vi kan finne eksplisite formler med regresjon, vi kan ikke finne rekursive formler. Uttrykket må bli eksakt, så hvis vi finner en god tilnærming, så hjelper ikke det på tallmønstre.
Her er det enten eller, enten treffer vi precist, eller treffer vi ikke. Så stort sett hvis dere får lange decimaluttrykk og sånn, så er det sannsynligvis et blindspor. Omsaklig kan vi finne polynomer av ulik grad eller eksponensiale funksjoner. Det er de to typene tallmønsteret som vi lettest klarer å gjenkjenne med hjelp av regresjon.
Fortjennsfunksjoner funker også. Det er rett og slett fordi at når vi bruker GeoGebra, så er det disse funksjonene som den klarer å modellere på en god måte. Framgangsmåten er som vi har gjort tidligere.
Vi skriver inn en tabell med leddene som vi kjenner. Deretter bruker vi regelsjonsverktøyet og prøver noen ulike funksjoner, se hva som passer best. For eksempel har vi følgen 1, 6, 12, 19. Så her kan vi se litt hardt på det og prøve å gjenkjenne.
Ok, først legger vi til 5, og så legger vi til 6, og så legger vi til 7. Men det blir en litt vanskelig formel å lage for seg selv. Så vi lager en tabell der vi skriver ned tallenummer 1, 2, 3, 4 som n, som første kolonne. Og så finner vi ut hvor stor tallet er. 1, 6, 12, 19 som andre kolonne. Så tallenummerne 1, 2, 3, 4. og tallverdien, 1, 6, 12, 19. Da lager vi noen punkter, Google bare lager punkter i koordinatsystemet, og vi skal prøve å finne tall nummer n, som da er x-verdien vår.
Så her kan vi for eksempel plotte, hvis vi prøver en eksponensiell modell, så ser vi at den bommer ganske mye, og husk at hvis den skal være eksakt, så kan ingen av disse bomme i det hele tatt. Til linjære bommer også litt. Så her kan vi se at r i andre er like 1, eller vi kan bare se at den treffer.
Så vil polynom av grad 2 være en god modell for denne. Så nå skal vi se på det endelige svaret her i fall. Så tidligere har vi sett på y er like uttrykket der, og skrevet at f av x er like.
Nå husker vi at det vi skulle prøve å finne her var egentlig tall nummer 1. Så vi skriver litt annerledes. Vi skriver at a n med indeksen n. Den er like en halvdelen i andre pluss 7 to delt av n minus 3. Så her skriver jeg disse maltallene som brøk i stedet for, bare for å vise at disse her er ikke avrundinger eller forkortinger.
Disse er ferdige. Så vi skriver på en måte verdien a n eller formelen for a n på en måte her, i stedet for som vi har gjort det tidligere med funksjon av x. Så det er bare en tilpassning for å passe notasjonen.
til det temaet vi skriver om. Oppgavene som passer til denne videoen her, det kan dere finne i læreboken fra Askehaug, som så følger her. Hvis dere bruker et annet læreverk, Så se borti for denne lille viten her.