हेलो डियर स्टूडेंट वेलकम तो थे गेटवे क्लासेस मी नाम इसे गुलशन कुमार और आज मैं आपको इंजीनियरिंग फिजिक्स में यूनिट नंबर वन के बच्चे हुए टॉपिक का रिवीजन कराऊंगा तो सबसे पहले देखते हैं की यूनिट वन में कौन-कौन से टॉपिक कम रिवीजन कर चुके हैं और कौन से टॉपिक का रिवीजन आज हम करेंगे तो यहां पर देखिए सबसे पहले टॉपिक आता है इन एजुकेशन ऑफ क्लासिकल मैकेनिक्स जिसका रिवीजन हम कर चुके हैं इसके बाद प्लांस थ्योरी को भी हम कंप्लीट कर चुके हैं कंप्लीट कर चुके हैं और दी ब्रोग्ली कॉन्सेप्ट ऑफ मटर वे ये टॉपिक हम पार्ट वन में कंप्लीट कर चुके हैं और आज हम रिवाइज करेंगे सबसे पहले डेविसन और जमर एक्सपेरिमेंट को उसके बाद फेस वेलोसिटी और ग्रुप वेलोसिटी को और उसके बाद एक बहुत ही इंपॉर्टेंट टॉपिक आएगा सोर्टिंग और वेरीफिकेशन जिनका डेरिवेशन हम आज करेंगे और ये डेरिवेशन बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है उसके बाद नेक्स्ट टॉपिक हमारा होगा फिजिकल इंटरप्रिटेशन ऑफ वाव फंक्शन और लास्ट में रिवाइज करेंगे पार्टिकल इन वन डाइमेंशनल बॉक्स जो की अगेन एक बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट टॉपिक है क्योंकि यहां से एग्जाम में डेरिवेशन भी आता है और न्यूमेरिकल भी पूछे जाते हैं तो चलिए हम स्टार्ट करते हैं सबसे पहले डिवीजन और जर्मन एक्सपेरिमेंट दूसरा आज के लेजा लेक्चर के जो नोट्स होंगे यह नोट्स आपको गेटवे क्लासेस अप पर अवेलेबल है जिसके लिए आपको क्या करना है गेटवे क्लासेस अप को ओपन करना है फिर उसके बाद यहां पर आप इन तीन लाइन पर क्लिक करेंगे तो स्टडी मटेरियल का ऑप्शन ए जाएगा और जब आप स्टडी मटेरियल पर क्लिक करेंगे तो यहां पर वन शॉट का एक फोल्डर आएगा जिसमें आपको आज के लेक्चर के नोट्स भी मिलेंगे और सभी सब्जेक्ट के जो वन शॉट वीडियो है उनके नोट्स भी इस फोल्डर के अंदर मिल जाएंगे और ये नोट्स सभी स्टूडेंट के लिए अवेलेबल है चलिए अब हम देखते हैं अपना पहले अक्षर यहां पर एक्सपेरिमेंट जो है हमारे पास डायरेक्शन जर्मन एक्सपेरिमेंट तो पहले तो हम यह समझते हैं की एक्सपेरिमेंट क्यों किया गया और किस चीज के लिए इस एक्सपेरिमेंट को किया गया तो इसके लिए मैं आपको सबसे पहले बताऊंगा की लास्ट लेक्चर में हमने एक टॉपिक पढ़ा था दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस पहले एक बार उसको मैं आपको बता डन की दीप अगली हाइपोथेसिस में हमने क्या पढ़ा था देखिए वहां पर हमने पढ़ा था की जो साइंटिस्ट थे डियर लवली इन्होंने क्या कहा था की जितने भी हमारे मूविंग पार्टिकल होते हैं मूविंग पार्टिकल के साथ में हमेशा वाव एसोसिएटेड होती है यानी की एवरी मूविंग पार्टिकल हेज एन एसोसिएटेड वाव विद आईटी यानी की जितने भी मूविंग पार्टिकल है उनके साथ में क्या है वे मैं एसोसिएटेड है और जो वो वेब एसोसिएटेड होगी उसे वाव का नाम होगा मटर वाव या फिर हम उसको कहते हैं दी ब्रोग्ली वाव तो मतलब इन्होंने हमें ये बताया की जितने भी मूविंग पार्टिकल है उनके साथ में वाव एसोसिएटेड होगी और जो वाव एसोसिएटेड होगी उसे वाव की जो वेवलेंथ होगी उसका फॉर्मूला भी इन्होंने हमें बताया की उसका फॉर्मूला होगा हा / पी और यहां पर क्या है लामबीडीए क्या है दी ब्रोग्ली वेवलेंथ किसकी वाव की मटर वाव की दी प्रोबेबली वेवलेंथ क्या प्लेन कांस्टेंट और पी क्या है यहां पर मोमेंटम है ये सब मैं आपको डिटेल में लास्ट लेक्चर में बता चुका हूं ठीक है ना इसको अगर हम पार्टिकल के लिए लिखे तो इस फार्मूले को हम ऐसे भी लिख सकते हैं हा / एम इसके अलावा जब हमने दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस पढ़ा था तो और भी हमने काफी सारे एक्सप्रेशन पढ़े थे वेवलेंथ के लिए जैसा पर एग्जांपल इलेक्ट्रॉन के लिए हमने एक एक्सप्रेशन ड्राइव किया था इसी फार्मूले से और वो एक्सप्रेशन था 12.28 / √ में वी है ना अगर इलेक्ट्रॉन की कैसे में हमारे पास ये फॉर्मूला आता है तो ये एक्सप्रेशन हमने ड्राइव किया था अब यहां पर बात समझिए ये जो दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस थी मतलब इन्होंने ये बताया की जितने भी मूविंग पार्टिकल है उनके साथ में वाव एसोसिएटेड होगी लेकिन ये जो कॉन्सेप्ट इन्होंने दिया ये थियोरेटिकल कॉन्सेप्ट था इन्होंने इसका कोई एक्सपेरिमेंट प्रूफ नहीं किया बात समझ में ए रही यानी की इन्होंने केवल इतना बताया की मूविंग पार्टिकल जो होंगे उनके साथ वाव एसोसिएटेड होगी और जो वाव होगी उसकी वेवलेंथ का फॉर्मूला भी इन्होंने बता दिया है ना लेकिन इसका कोई एक्सपेरिमेंट प्रूफ इन्होंने नहीं दिया ठीक है ना अब उसके बाद आप ये दो और साइंटिस्ट डिवीजन दिया था जो ये कॉन्सेप्ट दिया था ये 1924 में दिया था है ना की भाई जितने भी मूविंग पार्टिकल होंगे उनके साथ में भी वैसे एसोसिएटेड होगी उसके फिर उसके बाद में 1927 में दो साइंटिस्ट सबसे पहले दो साइंटिस्ट डिवीजन है जर्मन सबसे पहले इन्होंने एक्सपेरिमेंट डाली ये प्रूफ किया की जो मूविंग पार्टिकल होता है उसके साथ वाव एसोसिएटेड होती है और उन्होंने उसके लिए पार्टिकल कौन सा लिया इलेक्ट्रॉन यानी की इन्होंने ये प्रूफ किया की अगर एक इलेक्ट्रॉन है अगर एक फास्ट मूविंग इलेक्ट्रॉन है तो उसके साथ में वाव एसोसिएटेड होगी ये इन्होंने एक्सपेरिमेंट ली प्रूफ किया यानी की जो कॉन्सेप्ट दी ब्रोग्ली है 1994 में दिया था इस कॉन्सेप्ट को इन दोनों साइंटिस्ट ने 1927 में एक्सपेरिमेंट इंप्रूव कर दिया तो मेरे ख्याल से आपको समझ में लोगों की एक्सपेरिमेंट क्यों किया गया की इन्होंने इसको पहले बता दिया था मतलब इन्होंने केवल पुरी डिटेल कॉन्सेप्ट दिया था और वो थियोरेटिकल कॉन्सेप्ट इनका बिल्कुल सही था जिसको एक्सपेरिमेंट ही इन दोनों ने प्रूफ किया जिसके लिए दी ब्रोग्ली को भी और इन दोनों साइंटिस्ट को भी नोबेल प्राइस भी मिला इसी इन्वेंशन के लिए क्योंकि एक बहुत बड़ी इन्वेंशन थी ये ठीक है अब इसमें समझते हैं की एक्चुअल में नहीं एक्सपेरिमेंट है इस एक्सपेरिमेंट को इन दोनों लोगों ने किस तरह से किया और कैसे मैं कंक्लुजन निकाला इस एक्सपेरिमेंट का की जो इलेक्ट्रॉन है उसके साथ में वाव एसोसिएटेड है तो यहां पर मैं इस चीज को आपको शॉर्ट में समझा देता हूं दूसरी चीज एग्जामिनेशन पॉइंट ऑफ व्यू से भी ये क्वेश्चन इंपॉर्टेंट है और एक लॉन्ग क्वेश्चन है तो अगर आपको एग्जाम में डिवीजन जर्मन एक्सपेरिमेंट आता है तो आपको क्या करना होगा एक तो सबसे पहले ये जो डायग्राम आपके सामने बना है इस डायग्राम को बनाने की आप अच्छे से प्रैक्टिस करें क्योंकि देखिए एक लॉन्ग क्वेश्चन है इसमें बहुत कुछ आप लिख सकते हैं तो एक तो आप इस डायग्राम को प्रैक्टिस करें अच्छे से बनाने की बाकी जैसे थ्योरी के थ्योरी के पॉइंट लिखे हुए ये थ्योरी के पॉइंट मैं आपको एक बार समझा दूंगा अगर आपको ये एक्सपेरिमेंट समझ में ए जाता है तो इस डायग्राम को देख के आप सारे थियोरेटिकल थ्योरी के जितने भी पॉइंट है उन सब को आप लिख सकते हैं तो इसमें आपके पास बहुत कुछ है लिखने के लिए ठीक है ना इसके बाद देखिए इस एक्सपेरिमेंट में आपको ये कर डायग्राम बनाने और इनके ये रिजल्ट आपको लिखने हैं और रिजल्ट के बाद इसका थोड़ा मैथमेटिकल पार्ट भी है तो मतलब इस एक्सपेरिमेंट में आप बहुत कुछ लिख सकते हैं इसलिए एक बार इसको समझ लीजिए बहुत आसन है सिंपल सा एक्सपेरिमेंट है मैं आपको थोड़ा शॉर्ट में इसको समझा देता हूं ज्यादा समय नहीं लेंगे इसमें क्योंकि आपके एग्जाम भी आने वाले हैं तो अब इसको जरा ध्यान से समझिए शॉर्ट में एक्चुअल में इन्होंने क्या किया देखिए इन्होंने सबसे पहले क्या किया टंगस्टन का फिलामेंट लिया देखिए टंगस्टन का फिलामेंट है और इस टंगस्टन के फिलामेंट को इन्होंने कनेक्ट कर दिया एक लो टेंशन बैटरी से देखो यहां पर बैटरी कनेक्ट है क्यों करेक्ट किया क्योंकि देखिए इस फिलामेंट को जब बैटरी के साथ कनेक्ट करेंगे तो ये फिलामेंट हिट होगा पर जब ये फिलामेंट हिट होगा तो इसमें से इलेक्ट्रॉन अमित होंगे और जनरली क्या होता है ये जो टंगस्टन का फिलामेंट है इसके ऊपर बेरियम ऑक्साइड की लेयर भी होती है जिससे क्या होता है की इलेक्ट्रॉन ज्यादा अमित होते हैं तो मेरे ख्याल से ये पॉइंट आपको समझ में ए गया होगा की यहां पर एक टंगस्टन का फिलामेंट इसको इन्होंने लो टेंशन बैटरी से कनेक्ट कर दिया जिससे क्या होगा इसमें से इलेक्ट्रॉन क्या होगा एमी होंगे तो इतना पॉइंट आपको क्लियर हो गया है ना अब देखो ये जो टंगस्टन है और ये जो लो बैटरी लो टेंशन बैटरी है इस पूरे अप्रतिस को कहा जाता है टंगस्टन गण अब आगे समझिए इसमें से इलेक्ट्रॉन बाहर निकलेंगे इतना आपको समझ में ए गया अब देखो क्या होगा ये जो इलेक्ट्रॉन इससे अमित हो रहे हैं इन इलेक्ट्रोंस की जो वेलोसिटी है वो बहुत ज्यादा नहीं है या इनमें जो एक्सीलरेशन है वो ज्यादा नहीं है तो उसके लिए मैं क्या किया की ये जो इलेक्ट्रॉन जो बाहर निकाल रहे हैं है ना तो एक तो क्या की ये जितने भी इलेक्ट्रॉन हैं ये बम की फॉर्म में कन्वर्ट हो जाए दूसरा ये है की ये एक्सीलरेट हो जाए तो इसके लिए उन्होंने क्या किया एक हाय टेंशन बैटरी यहां पर कनेक्ट कर दी देखो यहां पर ये हाइट टेंशन बैटरी है ना जिसका इधर पॉजिटिव टर्मिनल है नेगेटिव टर्मिनल है तो इन्होंने इन इलेक्ट्रोंस को एक्सीलरेट करने के लिए एक हाइट टेंशन बैटरी को कनेक्ट कर दिया अब देखो ये किस तरीके से इलेक्ट्रोंस को एक्सीलरेट करेगी जरा ध्यान से समझिए देखो यहां से इलेक्ट्रॉन निकलेंगे अब यहां पर इस बैटरी का पॉजिटिव टर्मिनल है आप सब जानते हैं की इलेक्ट्रॉन के पास नेगेटिव चार्ज होता है और यहां पर बैटरी का पॉजिटिव टर्मिनल ए गया तो इधर पॉजिटिव चार्ज है तो यहां से जितने भी इलेक्ट्रॉन निकाल रहे थे वो इलेक्ट्रॉन एक्सीलरेट हो जाएंगे और एनोड की तरफ जाएंगे ऐसे लेट हो जाएंगे क्यों क्योंकि उधर पॉजिटिव चार्ज है अब ये जो देखें ध्यान दीजिए ये जो हाइट टेंशन बैटरी है ये सिलेंडर के साथ कनेक्ट है जिसमें एक फाइन होल है और ये इलेक्ट्रॉन क्या करेंगे इस होल से बाहर निकाल जाएंगे तो उसके बाद हमें क्या मिलेगा एक इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन भी मिलेगी तो यह एक इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन बी में उसके बाद इन्होंने इस बम को किसके ऊपर स्ट्राइक कराया निकाल क्रिस्टल अब यहां पर देखो ये निकाल का क्रिस्टल है तो यह इलेक्ट्रॉन भी हम इस निकाल के क्रिस्टल पर क्या कर रही है इस टाइप कर रही है अब इस निकाल क्रिस्टल के अंदर जो एटम्स होंगे इसके ये इलेक्ट्रॉन बम क्या ये इलेक्ट्रॉन क्या करेंगे ये निकाल क्रि स्थल की स्ट्राइक करेंगे और स्ट्राइक करने के बाद ये इधर डिफरेंट हो जाएंगे इस डायरेक्शन में तो ये क्या है डिफेक्टिव इलेक्ट्रॉन बी जो इलेक्ट्रॉन भी हम डिफरेंट होके ए रही है वो इधर ए रही है दूसरा उसके बाद यहां पर इन्होंने एक मूवेबल करेक्टर लगाया है स्केल के ऊपर मूवेबल करैक्टर इसका कम क्या है ये क्या करेगा इलेक्ट्रॉन को कनेक्ट करेगा ठीक इसके साथ में एक गैल्वेनोमीटर भी अटैक है अब इस गैल्वेनोमीटर का क्या कम है देखिए अगर ये इलेक्ट्रॉन को कनेक्ट करेगा आप जानते हैं इलेक्ट्रॉन मोशन में है यानी की इलेक्ट्रॉन क्या है एक्चुअल में इलेक्ट्रॉन मतलब करंट भाई जब इलेक्ट्रॉन फ्लो करते हैं तो क्या फ्लो करता है करंट फ्लो करता है तो इसका मतलब यहां पर क्या होगा करंट होगा जिसको डिटेक्टर करने के लिए यहां पर एक गैल्वेनोमीटर लगाया गया है अब जितने ज्यादा इलेक्ट्रॉन ये कनेक्ट करेगा उतना ज्यादा इस गैल्वेनोमीटर में क्या आएगा डिफ्लेशन आएगा अब यहां पर चलिए इतनी बात तो हो गई अब देखो यहां पर फाइनली यहां पर जो यह इलेक्ट्रॉन यहां से डिफ्रैक्ट होकर इधर ए रहा है अब जरा ध्यान से समझिए यहां पर एक डॉटेड लाइन मैंने ड्रॉ की हुई है इस डॉटेड लाइन का मतलब क्या है देखो लेयर में होंगे निकाल क्रिस्टल के अंदर जो एटम्स होते हैं वो लेयर में होते हैं अब जो एटम की लेयर है वो एटम की लेयर जरूरी नहीं की वो एटम की लेयर ऐसे हो एटम की लेयर किसी भी डायरेक्शन में हो शक्ति है तो हमने यहां पर इन्होंने यहां पर या इस एक्सपेरिमेंट किया गया की इलेक्ट्रॉन की एटम की जो डायरेक्शन है लेयर है एटॉमिक ले रहे हैं वो इस डायरेक्शन में अब जरा ध्यान से समझिए जो इलेक्ट्रॉन की इंसिडेंट बी में और जो एटॉमिक लेयर है उसके बीच में जो एंगल बन रहा है वो तीता है कितना एंगल है तीता है दूसरा ये इलेक्ट्रॉन बी में और ये रिफ्लेक्ट या का सकते हैं डिफेक्ट इलेक्ट्रॉन वे में इनके बीच में जो एंगल बना है वो फाइव है और इधर जो एंगल बच्चा ये भी तीता के इक्वल ही होगा क्योंकि जनरली देखिए क्या होगा जब ये इलेक्ट्रॉन या भीम ऐसे आएगी स्ट्राइक होके इधर जाएगी तो ये दोनों एंगल बराबर होते हैं ये दो एंगल क्या होते हैं इक्वल होते हैं तो यहां पर यह दोनों एंगल तीता इक्वल हो गया अब इस पूरे के पूरे अपेरटस को रखा कहां गया एक वेक्यूम चेंबर में वेक्यूम चेंबर में क्यों रखा गया क्योंकि देखिए आप अच्छे जानते हैं की अगर ये वेक्यूम चेंबर होगा तो यहां पर और नहीं होगी पर अगर और नहीं होगी तो किसी तरह का कोई डिस्ट्रक्शन इलेक्ट्रॉन के लिए आएगा नहीं क्योंकि अगर यहां पर और प्रेजेंट होगी तो और के मॉलेक्युलिस होंगे जिससे थोड़ा बहुत डिस्ट्रक्शन हो सकता है तो इसलिए इन्होंने एक वेक्यूम चेंबर के अंदर ये एक्सपेरिमेंट किया अब यहां पर समझते हैं की इस एक्सपेरिमेंट से इनको कैसे पता चला की जो इलेक्ट्रॉन है उसके साथ में वाव एसोसिएटेड है इस पॉइंट को जरा ध्यान से समझिए देखिए एक्चुअल में इनको कैसे पता चला देखो पहले चीज तो ये इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया की जब यहां से इलेक्ट्रॉन रिफ्लेक्टर हो गई यहां ए रहा है ठीक तो इन्होंने इसको मूवेबल कलेक्टर को इधर उधर मूव करके देखा तो इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया की जी पॉइंट पर इलेक्ट्रॉन स्ट्राइक नहीं कर रहा है उसे पॉइंट पर भी डिफ्लेशन ए रहा है उसे पॉइंट पर भी क्या ए रहा है डिफ्लेशन ए रहा है यानी की यहां पर इन्होंने क्या फाइनल ऑब्जर्व कर यहां पर इन्होंने ऑब्जर्व किया की यहां पर क्या हो रहा है एक्चुअल में यहां पर इंटरफ्रेंस हो रहा है यहां पर कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस भी हो रहा है और डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस भी हो रहा है और आप अच्छे से जानते हैं की जो कंस्ट्रक्टिव और डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस है वो किस कैसे में होता है वाव के कैसे में होता है तो यहां पर फिलहाल आप शॉर्ट में इतना ही समझिए की जो इलेक्ट्रॉन जब यहां पर आएगा तो इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया की जी पॉइंट पर इलेक्ट्रॉन स्ट्राइक नहीं कर रहा है उसे पॉइंट पर भी डिफ्लेशन हो रहा है तो ऐसा तो तभी पॉसिबल है ना जब इलेक्ट्रॉन के साथ में वाव एसोसिएटेड हो क्योंकि आपको सोचिए की जी पॉइंट पर इलेक्ट्रॉन नहीं ए रहा है उसे पॉइंट पे भी डिफ्लेशन ए रहा है है ना अब पर एग्जांपल मां लेते हैं इन्होंने क्या किया की इन्होंने मां लिया की मां लो एक इलेक्ट्रॉन स्थाई हो के इधर आया और मुझे इलेक्ट्रॉन स्थाई को कहा है उसने यहां पर इसको क्या किया स्टाइल किया लेकिन इन्होंने देखा की डिफ्रेक्शन जो डिफ्लेशन अकादमी में वो इस पोजीशन पर भी ए रहा है यानी की डिफ्लेशन यहां भी ए रहा है डिफ्लेशन वहां पर भी ए रहा है जबकि इलेक्ट्रॉन यहां इस टाइप कर रहा है तो इसका कंक्लुजन इन्होंने क्या निकाला इसका कंक्लुजन ये निकाला की इसका मतलब ये जो इलेक्ट्रॉन स्ट्राइक कर रहा है इसके साथ में वाव एसोसिएटेड है तो अभी ऐसा पॉसिबल है क्योंकि आप खुद ही सोचिए एक इलेक्ट्रॉन है वो केवल एक ही पॉइंट पर इस टाइप कर सकता है ना तो यहां और यहां उसका रिफ्लेक्शन क्यों मिल रहा है जबकि वो तो एक ही पॉइंट पे स्थाई करेगा और इलेक्ट्रॉन वैसे भी आप जानते हैं इलेक्ट्रॉन जो है स्मालेस्ट पार्टिकल है उसको हम फरदर डिवाइड नहीं कर सकते भाई ऐसा भी नहीं की इलेक्ट्रॉन दो या तीन पार्ट में टूट गया अलग-अलग चला गया हो वो तो मतलब जो इलेक्ट्रॉन होता है वो उसको क्या है ब्रेक नहीं कर सकते यानी की इलेक्ट्रॉन ब्रेक नहीं हो सकता तो खाने का मतलब ये है अलग-अलग पॉइंट पर डिफ्लेशन मिलने का जो कंक्लुजन था वो ये था की ये जो इलेक्ट्रॉन है इसके साथ वाव एसोसिएटेड है और इन्होंने यहां पर इंटरफ्रेंस का भी जो फिनो मिला था वो यहां पर क्या किया ऑब्जर्व किया यानी की जो फिनोफेना रे के वाव के कैसे में होता है वो वैसा ही पीनो मिला उनको यहां पर भी ऑब्जर्व हुआ जिसके बाद उन्होंने कहा की ये जो इलेक्ट्रॉन है इसके साथ में वाव एसोसिएटेड है अब इसी चीज को मैंने यहां पर पॉइंट वाइस लिखा है तो देखो यहां पर बहुत सिंपल पॉइंट है ऐसा नहीं की आप इनको बैठ कर रखना है आप डायग्राम की प्रैक्टिस करिए देखिए एग्जाम में अगर आप केवल पढ़ के चले जाएंगे तो आप इस डायग्राम को नहीं बना पाएंगे या बना भी पाएंगे तो कुछ ना कुछ गलती कर देंगे इसलिए जब आप इसको पढ़ें तो आप थ्योरी को तो पढ़ ले एक बार लेकिन इस डायग्राम को बनाने की प्रैक्टिस जरूर करें कोई भी डायग्राम मैं केवल इसकी बात नहीं कर रहा हूं किसी भी सब्जेक्ट में हो कहानी पर भी हो अगर वहां पर डायग्राम है तो उसे डायग्राम को आप बनाकर के जरूर देखें ऐसा नहीं है की आप पहले बार एग्जाम में जा के डायग्राम बना रहे अब चलिए इसको देखो जो मैंने आपको बताया वही सारे प्वाइंट्स यहां पर लिखे हैं तो इनको आपको रत्न की जरूर नहीं है केवल एक बार एक्सपेरिमेंट को समझ लीजिए जो मैंने आपको बताया और उसको समझना के बाद आप इन सभी प्वाइंट्स को क्या कर सकते हैं लिख सकते हैं तो इधर ध्यान दीजिए पहले पॉइंट क्या है इन 1927 डिवीजन फर्स्ट एक्सपेरिमेंट एविडेंस ऑफ मटर वे रिलेटेड बाय तो ये तो मैं आपको बता ही चुका हूं की सबसे पहले इन्होंने ही ऑब्जर्व किया था ऐसा नहीं है देखिए इनके बाद और बहुत लोगों ने ये एक्सपेरिमेंट किया है ना ये एक्सपेरिमेंट इन्होंने इलेक्ट्रॉन के ऊपर किया ये एक्सपेरिमेंट दे दिया थॉमसन ने भी किया इलेक्ट्रॉन के ऊपर है ना उन्होंने भी वाव एसोसिएट मतलब उन्होंने भी प्रूफ किया की वे एसोसिएटेड है इसके बाद और भी बहुत सारे साइंटिस्ट आए जिन्होंने अलग-अलग पार्टिकल पर ये एक्सपेरिमेंट किया किसी फोटोन पर किया किसी ने न्यूट्रॉन भी किया किसी ने अल्फा पार्टिकल पे तो बहुत सारे एक्सपेरिमेंट हुए पर सभी एक्सपेरिमेंट से यही बात प्रूफ हुई की पार्टिकल के साथ में वाव एसोसिएटेड है क्लियर है देखो नेक्स्ट पॉइंट क्या है दे नोट ओनली कंफर्म डी एक्सिस्टेंस ऑफ वे यह दे नोट ओनली कंफर्म डी एक्जिस्टेंस ऑफ वे एसोसिएटेड विद फास्ट मूविंग इलेक्ट्रॉन बट अलसो मेजर डी वेवलेंथ ऑफ मटर वेव्स बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है इस पॉइंट को समझिए क्या है इसका मतलब इन्होंने ये तो प्रूफ किया है किया की इलेक्ट्रॉन के साथ वाव एसोसिएटेड है इसके साथ-साथ इन्होंने एक्सपेरिमेंट ली इस वाव की वेवलेंथ को भी कैलकुलेट किया अब देखिए इन्होंने वेवलेंथ को भी कैलकुलेट किया कैसे वेवलेंथ को कैलकुलेट किया इसका पूरा एनालिसिस मैंने यहां पर लिखा हुआ है इसको मैं समझाऊंगा अभी थोड़ी डर बाद ये देखिए इन्होंने क्या किया एक्सपेरिमेंट ली वेवलेंथ को कैलकुलेट किया और कितनी वेवलेंथ आई 1.65 और उसके बाद ये इनकी वेवलेंथ अब क्योंकि इसे पहले जो दी ब्रोग्ली थे वो पहले ही वेवलेंथ को कैलकुलेट करने का फॉर्मूला दे चुके थे इलेक्ट्रॉन की क्या फॉर्मूला था उनका 12.28 अंदर रूट में भी और उसके बाद जब इसमें वैल्यू पट करिए तो यहां से भी आंसर वही आया जो इनका ए रहा था यानी की जो वेवलेंथ का फॉर्मूला दिया था वो फॉर्मूला यहां से क्या हो गया वेरीफाई हो गया तो यही उसे पॉइंट में लिखा हुआ है ना यही पॉइंट है यहां पर दे नोट ओनली कंफर्म थे डिस्टेंस का वाव एसोसिएटेड विद फास्ट मूविंग इलेक्ट्रॉन बट अलसो मेजर डी वेवलेंथ ऑफ मटर वाव इन्होंने मटर वाव की वेवलेंथ को भी मेजर किया और वेरीफाई किया की इनकी जो वेवलेंथ ए रही है और उससे पहले जो हमारे पास दी ब्रोग्ली वेवलेंथ का फॉर्मूला था वहां से जो वेवलेंथ ए रही है दोनों से हैं ठीक नेक्स्ट पॉइंट समझते हैं डी एक्सपेरिमेंट ऑफ कंसिस्ट ऑफ एन ये तो पूरा सेटअप के बड़े में है की भाई ये किस किस चीज से बना हुआ है तो ये तो मैं आपको बता ही चुका हूं ये इलेक्ट्रॉन गण है ये लो टेंशन बैटरी या हाय टेंशन बैटरी है सिलेंडर है इन सब का उसे मैं आपको बता चुका हूं ये निकाल का क्रिस्टल है अब बहुत सारे स्टूडेंट के दिमाग में चलेगा सर निकाल का क्रिस्टल क्यों लिया और कोई क्रिस्टल क्यों नहीं लिया तो देखिए इन्होंने जब एक्सपेरिमेंट किया होगा बहुत सारे मटेरियल इन्होंने लिए होंगे लेकिन इनको बेस्ट रिजल्ट किसके साथ मिला निकाल के साथ मिला ठीक है तो आगे चलते हैं तो यह सब मैं आपको कर सकते हैं इसका मतलब क्या है देखो यहां से जो इलेक्ट्रॉन निकाल रहा है इलेक्ट्रॉन कब निकलेगा यहां से जब हमने इस टंगस्टन फिलामेंट को लो टेंशन बैठने के साथ कनेक्ट किया तो लो टेंशन बैटरी के साथ कनेक्ट करने से हुआ क्या ये फिलामेंट हिट हुआ ये फिलामेंट क्या हुआ हिट हुआ इसको हिट मिले और जब इसको हिट देखिए किसी भी मटेरियल को अगर हम हिट दे रहे हैं तो उसमें से इलेक्ट्रॉन अमित होते हैं दिउ तू फर्मियों ने एमिशन इस प्रोसेस का नाम होता है थर्म्यून एमिशन तो यहां पर भी थर्मोडिक एमिशन हो रहा है तो दिउ तू थर्मोडिक एमिशन इलेक्ट्रोंस आर एमिटेड में फिलामेंट और डीज इलेक्ट्रोंस आर दें एक्सीलरेटेड अंदर डी सूटेबल पोटेंशियल डिफरेंस प्रोवाइड बाय हाइट टेंशन बैटरी तो ये मैं आपको बता चुका हूं हाइट टेंशन बैटरी का उसे किया गया था जिससे की इलेक्ट्रोंस क्या हो जाए एक्सीलरेट हो जाए उनकी स्पीड बाढ़ जाए स्पीड बदलने से क्या फायदा होगा क्योंकि देखिए यही बात तो नहीं प्रोबेबली हाइपोसिएशन भी बोली गई की अगर इलेक्ट्रॉन अगर मोशन में होगा जितनी ज्यादा पार्टिकल की स्पीड होगी उतनी ही ज्यादा चांसेस होंगे की उसके साथ क्या होगी वाव एसोसिएटेड होगी इलेक्ट्रॉन अब देखो यहां से क्या हो रहा है ये एक नैरो बी मैं इलेक्ट्रॉन की जो इस सिलेंडर से बाहर निकाल रही है और निकाल क्रिस्टल के ऊपर जाकर क्या कर रही है इस टाइप कर रही है तो वही चीज यहां पर देखिए डी नैरो बम ऑफ इलेक्ट्रॉन कम आउट फ्रॉम डी सिलेंडर इस अलाउड तू फल ऑन डी सरफेस ऑफ निकल और उसको जो निकाल क्रिस्टल था उसके सरफेस के ऊपर क्या कराया गया है इलेक्ट्रोंस जो इलेक्ट्रोंस हैं हमारे हैं ना देखो ये जो इलेक्ट्रोंस हैं ये निकाल क्रिस्टल से स्ट्राइक करेंगे और स्टैंडर्ड करेंगे मतलब यहां से स्कैटर्ड हो जाएंगे अलग-अलग डायरेक्शन में डिफरेंट डिफरेंट डायरेक्शन में क्या होंगे इस कैटर्ड होंगे डी इलेक्ट्रॉन स्टैंडर्ड इन डिफरेंट डायरेक्शन बाय डी एटम्स ऑफ नेचर देखिए ये जो इलेक्ट्रॉन है ये निकाल क्रिस्टल जो है उसके अंदर जो एटम है उन एटम से स्ट्राइक होके क्या हो रहा है स्कैटर्ड हो रहा है आर रिसीवड में एन मूवेबल डिटेक्टर और उसके बाद इनको कौन रिसीव कर रहा है डिटेक्टर इसको रिसीव कर रहा है क्लियर है चलिए नेक्स्ट देखिए दिस कैरेक्टर इसे कनेक्ट विद एन गैल्वेनोमीटर ये मैं सब आपको बता चुका हूं की ये जो हमारा कलेक्टर है ये गालों ने मी से कनेक्ट है जो की क्या शो करेगा हमें ये बताया ये इसमें जितना ज्यादा डिफ्लेशन होगा इसका मतलब उतनी ज्यादा इलेक्ट्रॉन की क्या है इंटेंसिटी है ठीक है तो देखिए इस एक्सपेरिमेंट को जब इन्होंने किया तो इससे यहां से इनको क्या रिजल्ट मिले वो रिजल्ट मैंने यहां पर प्लॉट किया गया देखो ये सारे रिजल्ट है इस एक्सपेरिमेंट क्या आप जरा ध्यान से समझिए रिजल्ट क्या है सबसे पहले देखो शो डी इंटेंसिटी ऑफ इलेक्ट्रॉन एस एन फंक्शन ऑफ स्कैटरिंग एंगल अब पहले स्कैटरिंग एंगल को समझते क्या है इसको हम स्कैटरिंग एंगल का रहा है आईटी इसे डी एंगल बिटवीन इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन तो यहां पर जो हमारे पास इलेक्ट्रोंस है देखिए इंटेंसिटी ऑफ इलेक्ट्रॉन का मतलब है की नंबर ऑफ इलेक्ट्रोंस कितने होंगे ऐसा फंक्शन ऑफ स्कैटरिंग एंगल तो अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए यहां पर हमारे पास देखो ये जो एक्सपेरिमेंट है ये जो एक्सपेरिमेंट यहां पर किया जा रहा है इस एक्सपेरिमेंट में जो बैटरी लगी हुई है इन्होंने इस एक्सपेरिमेंट को अलग-अलग वोल्टेज किया ध्यान से समझिए जब भी कोई एक्सपेरिमेंट किया जाता तो उसको काफी सारे रीडिंग ली जाति है तो यहां पर भी इन्होंने इस एक्सपेरिमेंट को रिपीट किया अलग-अलग वोल्टेज में है ना जैसे एक बार इन्होंने 40 वॉल्ट ले लिया फिर 44 ले लिया फिर 48 वॉल्ट दे लिया 54 वोट ले लिया उसके बाद 58 64 इस तरह से इन्होंने अलग-अलग वोल्टेज बेस एक्सपेरिमेंट को क्या करके देगा रिपीट करके देखा और ऐसा करने से इनको जो रिजल्ट मिला वो रिजल्ट हमने यहां पर ग्राफिकल शो किया है अब जरा इसे रिजल्ट को समझिए देखिए इसमें क्या है 44 वॉल्ट पे इन्होंने इसको किया लेकिन यहां पर 40 वॉल्ट का मैंने नहीं लिया डायग्राम इसके आगे 68 भी है उसको भी नहीं लिया आप इतने कर डायग्राम अगर आप कर ग्राम बना देंगे तो ये सफिशिएंट है आपके लिए देखिए 44 वॉल्ट तो 44 वॉल्ट में इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया जरा ध्यान दीजिए यहां पर ये देखो ये क्या हमारी ये जो ए एक्सिस है ये डायरेक्शन ऑफ इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन ये एक्चुअल में डायरेक्शन ऑफ इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन को क्या कर रही है रिप्रेजेंट कर रही है अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए ये डायरेक्शन पर एग्जांपल यहां पर मैं इस तरह से एक डायग्राम ठीक है क्या इलेक्ट्रॉन है वो हमें यहां पर मिलेंगे ठीक अगर आप इस डायग्राम में ध्यान से देखेंगे तो मैक्सिमम इलेक्ट्रॉन कहां पर मिल रहा है यहां पर मिल रहे हैं जब ये एंगल φ देखो जहां पर ये कर्व आएगा ना इसको हम बोलते हैं बैंड ठीक है ना तो इस पॉइंट पर क्या हो रहा है हमें मैक्सिमम इलेक्ट्रॉन इंटेंसिटी ऑफ इलेक्ट्रॉन इस जगह पर मैक्सिमम है जहां पर भी इस तरह का पंप ए जाएगा है ना ये तो वहां पर क्या होगी इलेक्ट्रॉन की इंटेंसिटी मैक्सिमम होगी तो इनको भी क्या किया इन्होंने जब इसको ग्राफिकल प्लॉट किया तो देखो यहां पर ये एंगल हमारा 5 है तो यहां पर इनको मैक्सिमम इंटेंसिटी मिली कब 44 वॉल्ट पे फिर इन्होंने इसको ट्राई किया 48 वॉल्ट पे तो 48 वॉल्ट में इंटेंसिटी और ज्यादा बाढ़ गई देखो जितना ज्यादा ये बम होगा उतनी ज्यादा इलेक्ट्रॉन की क्या होगी इंटेंसिटी होगी एक्चुअल में ये रिप्रेजेंट कर रहा है की इस पॉइंट पर डिफ्लेशन क्या है मैक्सिमम फिर इसके बाद इन्होंने इसको ट्राई किया कितने एंगल पे सॉरी कितने वोल्टेज पर 54 पे तो 54 वॉल्ट में जब ट्राई किया तो इनको मैक्सिमम बप मिला देखने को यानी की यहां पर डिफ्लेशन गैल्वेनोमीटर में सबसे ज्यादा ए गया ठीक और ये कितने एंगल पर आया एंगल जब इन्होंने चेक किया तो एंगल था 50° एंगल कितना था 50° इसका मतलब इनको जो मैक्सिमम का सकते हैं की मैक्सिमम जो इनको इंटेंसिटी मिली इलेक्ट्रॉन की वो 50° पे मिली कितने एंगल पर मिली 50° पे क्लियर है और वोल्टेज कितना था उसे समय 54 था उसके बाद इन्होंने वोल्टेज को बढ़ाया तो ये फिर से डिक्रीज होना स्टार्ट हो गया डिक्रीज होना क्या हो गया स्टार्ट हो गया अब ये तो एक्सपेरिमेंट रिजल्ट है देखो एक्सपेरिमेंट बहुत सिंपल है एक्सपेरिमेंट बहुत सिंपल है केवल आपको ग्राफ में थोड़ा सा लगेगा ग्राफ थोड़े से कॉम्प्लिकेटेड है बाकी अगर आप इसको देखोगे तो इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया की जब एंगल 50 डिग्री का किस-किस के बीच में इंसिडेंट इलेक्ट्रॉन के बीच में और डिफेक्ट इलेक्ट्रॉन के बीच में 50 डिग्री था उसे समय इनको मैक्सिमम इंटेंसिटी मिली या का सकते हैं जो गैल्वेनोमीटर है इसमें उसे समय इनको मैक्सिमम डिफ्लेशन मिला अब आगे बढ़ते हैं तो यह ग्राफ आपको प्लॉट करने हैं उसके बाद देखो यहां पर यह सारे रिजल्ट मैंने लिखे हुए हैं देखो पहले रिजल्ट क्या है इंटेंसिटी ऑफ स्कैटर्ड इलेक्ट्रॉन डिपेंड अपन डी एंगल ऑफ इस कैटरिंग यानी की जो इलेक्ट्रॉन की इंटेंसिटी है वो एंगल के ऊपर डिपेंड कर रही है फाइव एंगल के ऊपर क्या कर रही है डिपेंड कर रही है ठीक है ना ये बम बेगन तू अपर इन एन कर्व आते 44 वॉल्ट देखो 44 वॉल्ट से पहले क्या था 44 वॉल्ट से पहले मैं आपको बता देता हूं क्या हो रहा है एक्चुअल में जब वोल्टेज 44 से कम थे यानी की 40 था जब इन्होंने 40 भी चेक किया तो इन्होंने क्या ऑब्जर्व किया की सभी जगह पर इंटेंसिटी से मिल रही है सभी प्लेस पर क्या मिल रही है इंटेंसिटी से मिल रही है क्लियर है ना उसके बाद अभी इन्होंने 44 टाइप लाइक किया तो इंटेंसिटी एक पर्टिकुलर प्लेस पर ज्यादा मिल रही है और बाकी जगह पर कम मिल रही है अब देखो भाई इलेक्ट्रॉन बम तो अभी भी वैसे ही है है ना लेकिन वोल्टेज बढ़ाने से एक पर्टिकुलर पॉइंट पर इंटेंसिटी ज्यादा क्यों मिल रही है या एक पर्टिकुलर पॉइंट पर डिफ्लेशन ज्यादा क्यों ए रहा है इसका मतलब ये इसका कंक्लुजन ये है की यहां पर कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस हो रहा होगा कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस की वजह से यहां पर मैक्सिमम डिफ्लेशन एक पॉइंट पर मिल रहा होगा ठीक है ना देखिए अब इसमें समझना के लिए और भी बहुत कुछ है लेकिन क्योंकि अभी मैं सीधे आपके एग्जामिनेशन पॉइंट ऑफ व्यू से बात कर रहा हूं है ना तो जितना आपको बता रहा हूं उतना समझिए और बाकी जो ये ग्राफ है और जो डायग्राम है उसको बढ़िया से बनाने की प्रैक्टिस करिए तो यहां पर जो बम बेगन हुआ कम कितने वॉल्ट पे होगा 44 पे ठीक है नेक्स्ट देखो तो आप बम मुंह अपवर्ड आगे ऑफ वोल्टेज इंक्रीज है जैसे-जैसे वोल्टेज बढ़ता जा रहा है बम भी बढ़ता जा रहा है और विकम मोर सिग्निफिकेंट और ये मोर सिग्निफिकेंट या का सकते हैं मोर प्रॉमिनेंट कितने एंगल पर होता है 50° का एंगल पर होता है जिससे मैं वोल्टेज था हमारा 54 तो 4 54 वॉल्ट और फाइव इक्वल तू 50 डिग्री तो यहां पर सिग्निफिकेंट रिजल्ट इनको देखने को मिला ठीक डी साइज ऑफ बप स्टार्ट डिक्रीजिंग विद फरदर इंक्रीजिंग एक्सीलरेटिंग वोल्टेज तो जैसे-जैसे वोल्टेज बड़ा रहे हैं तो ये फिर से डिक्रीज होना क्या हो गया स्टार्ट हो गया यानी की खाने का मतलब ये है की यहां पर दो तरह के इंटरफ्रेंस हो रहे हैं एक कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस और एक डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस ठीक यहां पर कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस है जहां पर कंस्ट्रक्टिंग इंटरफ्रेंस है तो इसका मतलब वहां पर इंटेंसिटी मैक्सिमम होगी अब जरा एक बात को ध्यान से समझिए ये इंटरफ्रेंस कब होता है ये इंटरफ्रेंस होता है वाव के कैसे में इसका मतलब इलेक्ट्रॉन का नेचर कैसा है वाव नेचर है तो इसका मतलब ये हुआ की इलेक्ट्रॉन के साथ वाव एसोसिएटेड है उसके बाद इन्होंने एक्सपेरिमेंट ली एक्सपेरिमेंटल वेवलेंथ को कैलकुलेट किया मटर वाव की कैसे किया जरा ध्यान से समझिए अब देखिए इन्होंने उसे किया इसके बाद ब्रिक्स डॉ ब्रिक्स डॉ के एक्चुअल में ब्रेक्स लॉन्ग में एक्सपेरिमेंट ली एक्सपेरिमेंट जो क्रिस्टल होता है जैसे यहां पर निकाल क्रिस्टल है तो हम ब्रिक्स डॉ से निकाल क्रिस्टल में अगर कोई रेस ट्राई करती उसमें जो वाव होगी उसकी वेवलेंथ को कैलकुलेट कर सकते वेवलेंथ को कैलकुलेट किया एक्सपेरिमेंट क्या होता है तू दी साइन तीता इक्वल तू एन लामबीडीए यहां पर जो है तीता होता है तीता यहां पर आपको बना हुआ है एक्सपेरिमेंट में ये ये एंगल तीता है ठीक है ये एंगल क्या है हमारा तीता देखिए ब्रेक्स डॉ क्या होता है एक्चुअल में ब्लॉक्स डॉ को आपको समझ में ए जाता हूं तो बहुत अच्छे से क्लियर हो जाता है लेकिन क्या की अभी ब्रिक्स डॉ अगर मैं आपको बताऊंगा तो उसमें काफी समय खराब हो जाएगा इसलिए आप सीधे याद रखिए ये ब्रिक्स डॉ होता है हालांकि आप लोग इसको क्लास 12th में पढ़ चुके हैं डिटेल में ये जो डायरेक्शन है जर्मन एक्सपेरिमेंट है ये आपके क्लास 12th में था जो आपने ज्यादा डिटेल में पढ़ा होगा क्योंकि वहां पर इसके ऊपर बेस न्यूमेरिकल भी आते हैं चलिए तो यह ब्रेक स्लो था इन्होंने ब्रिक्स डॉ से क्या किया इस यह जो निक अब देखो ध्यान से समझिए जो निकाल क्रिस्टल होता है निकाल क्रिस्टल में दो लेयर के बीच का जो डिस्टेंस होता है जिसको हम कहते हैं इंटर एटॉमिक सिपरेशन पर निकाल क्रिस्टल मतलब जैसे मां लीजिए ये निकाल का क्रिस्टल है ना तो इसके अंदर एक एटॉमिक लेयर मां लेते हैं ये है एक एटॉमिक लेयर मां लेते हैं ये इन एटॉमिक लेयर के बीच का जो डिस्टेंस होता है उसको हम कहते हैं स्मॉल दी ठीक है और ये जो निकाल क्रिस्टल के कैसे में दो एटॉमिक लेयर के बीच का जो डिस्टेंस होता है वो एक्सपेरिमेंट के लिए फाइंड किया गया की 0.914 अंगस्ट्रोम होता है ये सब एक्सपेरिमेंट डाटा है ठीक है ना उसके बाद देखिए यहां पर हमारे पास हम एंगल की बात कर लेते हैं देखो ये तीता ये फाइव है ये θ और इन तीनों एंगल का सम कितना है 180 डिग्री तो तीनों एंगल का सामान्य क्या कर दिया 180 और यहां से हमने तीता को निकाल लिया देखिए तीनों एंगल का सम 180 और अभी अभी हमने देखा की जो मैक्सिमम इंटेंसिटी है वो कितने एंगल पे मेरे लिए 5 इक्वल तू 50 डिग्री पे तो यहां पर फाइव की जगह 50 डिग्री पट कर दिया तो यहां से हमें तीता की वैल्यू मिल गई और देखिए जरा देता कितना ए रहा है 65° ए रहा है तो यानी की तीता पता चल गया उसके बाद फोर फर्स्ट ऑर्डर डिफ्रेक्शन यहां पर फर्स्ट ऑर्डर डिफ्रेक्शन के लिए क्या होगा एन की वैल्यू वन होगी देखिए फर्स्ट ऑर्डर डिफ्रेक्शन सेकंड ऑर्डर डिफ्रेक्शन क्या होता है इसके लिए हमें पहले ब्रिक्स डॉ को बहुत अच्छे से समझना पड़ेगा जिसको मैं अभी आपको नहीं बता रहा हूं सीधे आप ब्लॉक्स डॉ याद रखिए क्या है इसमें आपको एन की वैल्यू वन पट करनी है ठीक दी की वैल्यू 0.914 पट करनी है तो यहां से जब इसको कैलकुलेट किया जाएगा लामबीडीए को तो लामबीडीए की वैल्यू 1.65 अंगस्ट्रोम ए जाएगी ये इन्होंने वेवलेंथ निकाल एक्सपेरिमेंट डाटा से यहां पर ये सब थियरिटिकल नहीं है ये पूरा एक्सपेरिमेंट डाटा है ठीक उसके बाद इन्होंने चेक किया किसको दी ब्रोग्ली वेवलेंथ था उसमें दे ब्रोग्ली जो साइंटिस्ट है वो पहले ही इलेक्ट्रॉन की वाव जो होती है उनके जो वेवलेंथ होगी उसको कैलकुलेट करने का फॉर्मूला पहले ही दे चुके थे और इस फार्मूले का उसे हमने लास्ट लेक्चर में किया भी है ध्यान रखना लेकिन हम यहां पर क्या कर सकते हैं इलेक्ट्रॉन के लिए इसको ड्राइव कर सकते हैं तो इलेक्ट्रॉन के लिए ये आएगा तो यहां से वेवलेंथ को कैलकुलेट किया तो यहां से वेवलेंथ ए रही है 1.66 एंगल्स फ्रॉम और यहां से ए रही है 1.65 अंगस्ट्रोम मतलब अपरोक्ष दोनों क्या है से हैं मैं अपरोक्ष दोनों क्या है से है तो यानी की यहां से क्या कंक्लुजन निकाला डी एक्सपेरिमेंट फ्रॉम दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस और दिस शोस डेट डी एक्जिस्टेंस ऑफ डी ब्लॉक यानी के इन्होंने एक्सपेरिमेंट के लिए प्रूफ कर दिया की जो दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस में कहा गया था जो दी ब्रोग्ली जो साइंटिस्ट थे उन्होंने जो कहा था वो बिल्कुल ठीक कहा था की मूविंग पार्टिकल के साथ क्या है वाव एसोसिएटेड है और वाव के साथ-साथ इन्होंने ये भी प्रोवोग किया की उन्होंने जो फार्मूले दिए थे वेवलेंथ को कैलकुलेट करने के लिए वो फार्मूले भी करेक्ट है ठीक है जिसके बाद इन सभी को नोबेल प्राइस भी मिला यानी की एक बहुत बड़ी इन्वेंशन दी है ठीक है ना अब हम आगे चलते हैं अब नेक्स्ट टॉपिक है हमारा फेस वेलोसिटी और ग्रुप वेलोसिटी तो चलिए स्टार्ट करते हैं सबसे पहले समझते हैं की फैज वेलोसिटी क्या होती है फेस वेलोसिटी को हम वाव वेलोसिटी भी बोलते हैं तो समझते हैं सबसे पहले का मतलब है की जो वाव होगी वाव की कितनी वेलोसिटी है मीडियम के अंदर उसको हम कहते हैं फैज लॉस दी बहुत सिंपल सी डेफिनेशन है वेलोसिटी विद विच एन मोनोक्रोमेटिक वे मोनोक्रोमेटिक वे ट्रैवल थ्रू एन मीडियम इसे नॉन एस फेस वेलोसिटी यानी की जब कोई मोनोक्रोमेटिक वे किसी मीडियम से ट्रैवल करती है तो उसे वाव के वेलोसिटी कितनी होती है उसे वेलोसिटी को हम कहते हैं फैज विलोसिटी या फिर वाव वेलोसिटी अब ये फेस वेलोसिटी और वाव वेलोसिटी को हम अब कैलकुलेट करेंगे तो इसके लिए एक छोटा सा डेरिवेशन है और बहुत ही सिंपल सा डेरिवेशन है ध्यान दीजिए कैसे फेथ वेलोसिटी को कैलकुलेट किया जा सकता है इसके लिए सबसे पहले हम क्या करेंगे कंसीडर और वाव डिस्प्लेसमेंट कंसीडर वाव हज दिस प्लेसमेंट वही इस एक्सप्रेस देखिए आप लोग क्लास 11th में एक पूरा कंप्लीट चैप्टर पढ़ चुके हैं इस इक्वेशन के ऊपर बेस ये क्या होती है हमारी वाव की इक्वेशन होती है क्या एक क्वेश्चन ए = ए सन ओमेगा टी - क ये हमारी एक वाव की इक्वेशन है इस इक्वेशन के अंदर जो ए होता है वो हमारा एंप्लीट्यूड होता है है ना ओमेगा की अगर हम बात करें तो ये हमारे पास क्या है ओमेगा होता है ओमेगा का फॉर्मूला 2π नहीं होगा जो की एंगुलर फ्रीक्वेंसी है और यहां पर जो ये के इसकी वैल्यू होती है 2π अपन लामबीडीए तो एक तो आपको यहां पर ए ओमेगा और के की वैल्यू मालूम हनी चाहिए है ना अब इसके आगे बढ़ते हैं देखिए अब करना क्या आप जरा ध्यान दीजिए यहां पर ये साइन के आगे जो लिखे गए क्वांटिटी है इसको कहा जाता है फेस इसको क्या कहा जाता है फेस इसको हम कहेंगे है ना अब इसको आगे समझिए जरा फेस तो फोर में वाव ऑफ कांस्टेंट क्या है कांस्टेंट फेस कांस्टेंट होने का मतलब है की ओमेगा टी - क की वैल्यू क्या हो गई कांस्टेंट हो गई और अगर ओमेगा टी - क की वैल्यू कांस्टेंट हुई तो अगर मैं अब इसको डिफरेंशिएट करते हैं देखो ये वैल्यू कांस्टेंट है क्या है ये कांस्टेंट अब जरा ध्यान देना इसके ओवरऑल वैल्यू कांस्टेंट है लेकिन जो एक्स और टी है ये क्या है वेरिएबल है आप यहां से भी देख सकते हैं यहां पर अगर मैं बात करूं टी की एक्स की ये क्या है वेरिएबल है ए भी क्या है वेरिएबल है वो टी के रिस्पेक्ट में क्या ए जाएगा के और एक्स का हो जाएगा डीएस / डीटी और कांस्टेंट का डर ए जाएगा जीरो अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए डीएस / डीटी ये क्या है यही हमारे पास फैज वेलोसिटी है क्योंकि डीएस / डीटी मतलब यहां पर डीएस / डीटी आप अच्छे से जानते हैं की डीएस की पावर डीटी वेलोसिटी को रिप्रेजेंट करता है तो यहां पर ये डीएस / डीटी है ये वेलोसिटी है या का सकते हैं वाव वेलोसिटी है या इसको हम और क्या कहेंगे तो यहां से देखो फॉर्मूला मिल गया अगर आप डीएस / डीटी को निकलेंगे तो ओमेगा / पी ए जाएगा सॉरी ओमेगा / के ए जाएगा और डीएस / डीटी होता है हमारे पास फेस वेलोसिटी यानी की वीपी तो ये बहुत सिंपल सा डेरिवेशन था जो हमने आसानी से ड्राइव कर लिया ठीक है ना अब इसके बाद हम चलते हैं नेक्स्ट टॉपिक पे और नेक्स्ट टॉपिक है हमारा ग्रुप वेलोसिटी देखो नाम से ही समझ सर ग्रुप जहां पर एक से ज्यादा वाव होगी यानी की जहां पर वाव का ग्रुप होगा अब देखो एक्चुअल में वाव के ग्रुप की बात यहां पर हो क्यों रही है वो भी मैं आपको समझा देता हूं देखिए ये जो हमारे पास वाव वेलोसिटी ये तब है जब हमारे पास एक सिंगल वाव है वो जैसे दी ब्रोग्ली हाइपोथेसिस में दी ब्रोग्ली जो हमारा हाइपोथेसिस था उसमें उन्होंने क्या कहा था की अगर एक मूविंग पार्टिकल है तो उसके साथ एक मटर वाव एसोसिएटेड होगी क्लियर है और उसके बाद जब वाव वेलोसिटी का फॉर्मूला कैलकुलेट किया गया यह असम करके की एक पार्टिकल के साथ एक ही वाव एसोसिएटेड है तो वहां से फॉर्मूला हमारे पास आया c² / वी यहां पर वी क्या है पार्टिकल की वेलोसिटी है सी क्या है वेलोसिटी ऑफ लाइट है और ये वीपी क्या है फेस वेलोसिटी है लेकिन जब इसको स्टडी किया गया तो यहां पर एक प्रॉब्लम ए गई प्रॉब्लम देखिए क्या आई प्रॉब्लम ये आई आप यहां पर देख के समझ सकते हैं की जो सी है वेलोसिटी ऑफ लाइट ऊपर सी का स्क्वायर है नीचे पार्टिकल की वेलोसिटी है अब यहां पर जरा समझिए बात को अगर हम इसको सॉल्व करें अगर हम इसको सॉल्व करें ये पार्टिकल की वेलोसिटी है किसकी वेलोसिटी है पार्टिकल की आप सब जानते हैं की पार्टिकल के वेलोसिटी कभी भी वेलोसिटी ऑफ लाइट से ज्यादा नहीं हो शक्ति ज्यादा नहीं हो शक्ति तो इसका मतलब ये हुआ की ये वी जो है सी से छोटी वैल्यू है तो जब आप c² को वी से डिवाइड करेंगे तो ये ओवरऑल वैल्यू सी से बड़ी ए जाएगी इसका मतलब ये हुआ की पार्टिकल के वेलोसिटी सी से कम है और वाव की वेलोसिटी सी से ज्यादा ए रही है यानी की वेलोसिटी ऑफ लाइट पे भी ज्यादा ए रही है तो इससे क्या कन्फ्यूजन निकाला की हमारे पास जो वाव है वो वाव की वेलोसिटी ज्यादा है पर पार्टिकल की वेलोसिटी कम है तो ऐसा तो पॉसिबल हो ही नहीं सकता क्योंकि वाव तो पार्टिकल के साथ एसोसिएटेड है तो यहां से आप फिर एक नया कॉन्सेप्ट आया की एक्चुअल में ऐसा क्यों हो रहा है भाई जब यहां पर हम वेलोसिटी को कैलकुलेट कर रहे हैं तो वेलोसिटी ऑफ लाइट से ज्यादा वेलोसिटी ए रही है वाव की जबकि आर्टिकल के वेलोसिटी ऑफ लाइट से कम होगी तो पार्टिकल पीछे र गया और वाव आगे निकाल जाएगी अगर ऐसा होता है तो लेकिन बाद में जब इसको स्टडी किया गया तो पता चला की एक पार्टिकल के साथ में एक वाव नहीं होती एक पार्टिकल के साथ में नंबर ऑफ एल्स होते हैं एक पार्टिकल के साथ एक भी एसोसिएटेड नहीं होती है एक पार्टिकल के साथ बहुत साड़ी वाव एसोसिएटेड होती है जिसमें क्या होता है जब एक पार्टिकल के साथ एक से ज्यादा वाव एसोसिएटेड होगी तो वहां पर क्या होगा फिर ग्रुप ऑफ वेलोसिटी बनेगा मतलब वहां पर ग्रुप ऑफ वालेस बनेगी और ग्रुप और वाव जो बनी है जब हम उसकी वेलोसिटी को निकलेंगे तो उसको हम कहते हैं ग्रुप वेलोसिटी तो तब जाकर के ये कॉन्सेप्ट एक्सप्लेन हुआ तो समझते हैं की क्या है ग्रुप में तो बहुत सिंपल है ग्रुप वेलोसिटी का कॉन्सेप्ट देखिए जरा समझिए डी वेलोसिटी विद विच और वे पैकेट वाव पैकेट का मतलब है ग्रुप ऑफ है ना जब एक पार्टिकल के साथ में नंबर ऑफ वेस्ट ट्रैवल करेंगे तो उसको हम क्या कहेंगे ग्रुप ऑफ व्यूज कहेंगे या फिर उसको हम कहते हैं वाव पैकेट वाव पैकेट अब थोड़ा सा आगे समझिए ट्रैवल इन एन मीडियम इसे नॉन एस ग्रुप वेलोसिटी तो जब किसी मीडियम में वाव का ग्रुप ट्रैवल करता है तो हम उसको क्या कहते हैं ठीक है ना तो यहां पर पैकेट की या ग्रुप ऑफ वेब की जो वेलोसिटी थे उसको कहेंगे ग्रुप वेलोसिटी अब एक्सप्रेशन पर ग्रुप वेलोसिटी अब हमें क्या करना है ग्रुप वेलोसिटी के लिए एक्सप्रेशन ड्राइव करना है अब एक पार्टिकल के साथ में नंबर ऑफ वाव एसोसिएटेड है लेकिन हम अब यहां पर हम क्या करेंगे इसके डेरिवेशन वो करने के लिए हम केवल दो एक कंसीडर करेंगे क्योंकि अगर दो से ज्यादा कंसीडर्ड करेंगे तो कैलकुलेट करना बहुत डिफिकल्ट हो जाएगा तो अब जरा यहां पर ध्यान दीजिए नो लेट स कंसीडर तू वे हम यहां पर क्या कर रहे हैं इसके डेरिवेशन के लिए दो वाव को कंसीडर कर रहे हैं हेविंग से एंप्लीट्यूड जिनका एम्पियूड से है बट और डिफरेंट एंगुलर फ्रीक्वेंसी हम यहां पर ऐसे दो वेब कंसीडर कर रहे हैं जिनका एंप्लीट्यूड से है लेकिन एंगुलर फ्रीक्वेंसी उनके क्या है अलग-अलग है अब जरा ध्यान से समझिए कैसे हमने कंसर्ट किया जैसे एक वाव को हमने ये कंसीडर कर लिया ये हमारी वाव है और इस वाव की इक्वेशन है y1 = ए सन ओमेगा वांट माइंस के वन एक्स तो यहां पर ओमेगा और के ओमेगा वन है और यहां पर k1 है एक्स और ये टी और एक्स तो से है तो इस वाव की इक्वेशन है उसके बाद एक वाव और कंसीडर्ड कारी मां लीजिए ये इस तरह की वे एक और है इसकी इक्वेशन क्या हो जाएगी y2 इक्वल तू देखो एम्युलेटर से रहेगा सन फ्रीक्वेंसी बादल जाएगी यहां ओमेगा वन तो यहां ओमेगा तू पर के की वैल्यू भी चेंज हो जाएगी यहां k1 और यहां पर क्या ए गई k2 तो इन दो वाव को हमने क्या किया एक साथ ले लिया उसके बाद देखो क्या अप्लाई किया नो अप्लाई डी प्रिंसिपल ऑफ सुपर पोजीशन प्रिंसिपल ऑफ सुपर पोजीशन का मतलब है की हम इन दोनों वाव को एक साथ कंबाइन कर रहे हैं मतलब इन दोनों वाव का एक ग्रुप बना रहे हैं और जो ग्रुप बनेगा उसे ग्रुप की हम क्या करेंगे वेलोसिटी को फाइंड आउट करेंगे अब इस ग्रुप को जरा ध्यान से समझिए अगर आप इन दोनों वाव को एक साथ क्या कर देंगे कंबाइन कर देंगे तो देखिए ये दोनों वाव में क्या होगा आप यहां पर कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस और डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस होगा क्योंकि ये जो दोनों वेद है ये एक साथ दोनों क्या करेंगे ओवरलैप करेंगे तो अब यहां पर ध्यान दीजिए तो जब दो वेद एक साथ चलेंगे तो इन वाव में कहानी पर तो होगा कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस और कहानी पर होगा डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस तो जहां पर कन्स्ट्रक इंटरफ्रेंस होगा वहां पर तो एंप्लीट्यूड मैक्सिमम मिलेगा देखो इस पॉइंट पर एंप्लीट्यूड मैक्सिमम है इसका मतलब यहां पर कंस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस हो रहा है पर जहां पर ये देखो यहां एमप्लीफायर ही नहीं यहां पर क्या हो रहा है डिस्ट्रक्टिव इंटरफ्रेंस हो रहा है तो खाने का मतलब ये है जब दो या दो से ज्यादा वाव को आप एक साथ यानी की किसी पार्टिकल के साथ जब दो या दो से ज्यादा वाव क्या करती हैं ट्रैवल करती है तो वो वाव अब ग्रुप के फॉर्म में ट्रैवल करती है जिसको हम कहते हैं वाव पैकेट तो कई बार एग्जाम में ए जाता है की वे पैकेट क्या है तो उसमें पहले बात तो आपको ये डायग्राम बनाना पड़ेगा ये वाव पैकेट है वाव पैकेट मतलब ग्रुप ऑफ वे क्लियर हो गया ये क्या है ग्रुप में चलिए तो अप्लाई डी प्रिंसिपल ऑफ सुपरपोजिशन तो ये तो हो गया इसका कॉन्सेप्ट दो वे एक साथ यानी की एक पार्टिकल के साथ अगर दो वाव है तो उन दोनों वाव का जो ग्रुप होगा वो ग्रुप मिल के क्या बनाएगी वे पैकेट बनाएगी यानी के ग्रुप बनेगी अब हमें क्या करना है यहां से ग्रुप वेलोसिटी का फॉर्मूला ड्राइव करना है फॉर्मूला ड्राइव करने का तरीका क्या होगा जरा समझिए ध्यान से हम क्या करेंगे इन दोनों वाव को एड कर देंगे अप्लाई डी प्रिंसिपल ऑफ सुपरपोजिशन दोनों वाव को मर्ज कर देंगे कैसे मर्ज करेंगे अब देखो बहुत सिंपल सा एक्सप्रेशन है दोनों y1 + y2 लेफ्ट में भी और राइट में भी दोनों को एड कर दिया ठीक उसके बाद देखो ए यहां पर भी ए यहां पर भी है ए को आम ले लिया हमने आम बाहर ए गया अब जरा यहां पर ध्यान से देखिए ये क्या हो गया ये सन और सन यहां पर भी है एंगल दोनों जगह अलग-अलग हैं इसका मतलब अगर एंगल दोनों जगह अलग-अलग है तो क्या हमारा यहां सन सी + सन डी का फॉर्मूला नहीं बन गया और सन सी + सन डी का फॉर्मूला होता है 2 सन सी + डी / 2 कस सी - डी / 2 बस इसी फार्मूले को हम यहां पर अप्लाई करेंगे तो जब आप इस फार्मूले को यहां पर अप्लाई करेंगे तो ये सी का कम कर रहा है ये दी का कम कर रहा है दोनों को एड करके डिवाइडेड बाय तू पास दोनों को माइंस करके डिवाइडेड बाय तू क्लियर हो गया उसके बाद आगे बढ़ेंगे देखो अब आगे क्या करना है अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए देखो ये ओमेगा वन टी है ये ओमेगा टूटी है हमने दोनों एंगुलर फ्रीक्वेंसी को एक साथ एड कर दिया और यहां पर इन दोनों के साथ में टी टी आम ए गया और अपन में तू अलग-अलग भी कर दिया सिमिलरली केवल एक्स और k2 है तो इसमें से एक्स आम ए जाएगा माइंस भी आम ए जाएगा तो माइंस भी आम ए गया एक्स भी आम ए गया k1 + k2 / 2 तो मेरे ख्याल से ये स्टेप समझ में ए गया होगा सिमिलरली यहां पर ये स्टेप ए जाएगा आगे देखो अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए ये जो y1 + y2 है अब क्योंकि दोनों वाव एक साथ कंबाइन हो चुकी है ग्रुप ऑफ वेब बन चुका है तो जो y1 + y2 है ये हमारा क्या है टोटल डिस्प्लेसमेंट है जिसको हम क्या लिख सकते हैं हमने यहां पर मां लिया की y1 + y2 का सम क्या होगा ए होगा उसके बाद यहां पर ओमेगा वन प्लस ओमेगा तू अपन तू है अब यहां पर एक पॉइंट को ध्यान से समझिए यह जो दोनों वाव है इनके एंगुलर फ्रीक्वेंसी में डिफरेंस तो जरूर है लेकिन यह डिफरेंस बहुत ज्यादा नहीं है डिफरेंस क्या है बहुत ज्यादा नहीं है तो अब अगर हम ओमेगा वन प्लस ओमेगा तू अपन तू करेंगे तो ये अपरोक्ष हमारे पास किसके इक्वल ए जाएगा ओमेगा के इक्वल ए जाएगा हमने कर लिया ओमेगा वन प्लस ओमेगा तू ओमेगा तू अपन तू इक्वल तू कितना हो गया ओमेगा होगी क्लियर सिमिलरली यहां पर k1 + k2 ए रहा है तो k1 + k2 को हमने असम कर लिया की ये अपरोक्ष के के बराबर है अब थोड़ा सा आगे चलते हैं अब यहां पर हमारे पास देखो क्या ए रहा है ओमेगा वन माइंस ओमेगा तू अपन तू तो ओमेगा वन अपन ओमेगा तू अपन अब यहां पर एक पॉइंट यहां से समझिए आप ओमेगा वन अप माइंस ओमेगा तू अपन तू को हमने यहां पर क्या लिया दी ओमेगा / 2 लिया ओमेगा क्यों नहीं लिया क्योंकि देखो इनके एंगल ऑफ फ्रीक्वेंसी में बहुत कम डिफरेंस है यानी की स्मॉल क्वांटिटी और स्मॉल क्वांटिटी को हम किस फॉर्म में लेते हैं डी की फॉर्म में लेते तो ये ओमेगा वन माइंस क्योंकि यहां पर ओमेगा वन ओमेगा तू एड हो रहा है पर जब एड होंगे तो बड़े वैल्यू आपको मिलेगी स्मॉल वैल्यू नहीं मिलेगी यहां पर स्मॉल मिलेगी सिमिलरली k1 - k2 को जो सब्सट्रैक्ट करेंगे तो यहां से भी हमें क्या मिलेगी एक स्मॉल डिफरेंस मिलेगा जिसको हमने डी के मां लिया तो डीके / कितना हो गया तू हो गया अब यह सारे सब्सीट्यूशन उठा के इसमें कर देंगे और सब्सीट्यूशन करने के बाद आपको जो इक्वेशन मिलेगी वो ये मिलेगी देखो 2sinomegat - क कस बी ओमेगा / 2t डी के अपन तू एक्स ठीक इसमें से अब जरा ध्यान से समझिए ये वाला जो पार्ट है सीनोमेगत - क और एक पार्ट इसका ये तो अगर हम स्टैंडर्ड वाव की इक्वेशन से कंपेयर करें तो ये जो नई इक्वेशन वाव के ए रही है ग्रुप ऑफ वाव की जो नई इक्वेशन ए रही है अगर हम इसको स्टैंडर्ड इक्वेशन से कंपेयर करें तो ये वाला जो पार्ट है इसका जो ये लेफ्ट वाला पार्ट है ये पूरा का पूरा पार्ट यहां पर एंप्लीट्यूड का कम कर रहा है क्योंकि हमारी जो स्टैंडर्ड वाव इक्वेशन होती है उसमें क्या होता है एंप्लीट्यूड इन सन ओमेगा वन ओमेगा टी - क होता है तो इसका मतलब जो पहले वाला पार्ट है वो एक और रिप्रेजेंट कर रहा है इसका मतलब यह है की यह पूरा का पूरा पार्ट को हम यहां क्या का सकते हैं जो हमारी ग्रुप वाव है उसका यह क्या है एंप्लीट्यूड हैं यहां पर किसका कम कर रहा है एम्बुलेंटाइड का कम कर रहा है तो ये ए = ए सन ओमेगा टी-क हम लिख सकते हैं और यहां पर इसको हमने क्या मां लिया कैपिटल ए मां लिया अब हम बात करते हैं की जो हमारे वॉक डा वाव वेलोसिटी विद विच वे पैकेट ट्रैवल इसे जिवन बाय अब हमें कैसे पता चलेगा की ये जो वाव है ये कितने स्पीड से ट्रैवल कर रही है कितनी वेलोसिटी के साथ ये ट्रैवल कर रही है इसके लिए वापस हम पहले फेस वेलोसिटी के फार्मूले पर जाते हैं देखो फेस वेलोसिटी का फॉर्मूला आया था हमारा ओमेगा / के अब इसकी स्टैंडर्ड इक्वेशन को जरा देखो ध्यान से ओमेगा अपन के अगर आप ध्यान से देखेंगे तो यहां पर जो ओमेगा है वो टीका कॉएफिशिएंट है और जो के है वो एक्स का कॉएफिशिएंट है तो इतना तो आपको समझ में ए रहा है यहां से है ना की जो ओमेगा है वो टॉफी सेंड है जो के है वो इसका मतलब फेस वेलोसिटी का जो फॉर्मूला है उसमें न्यूमैरेटर जो है वो टी का कॉफिसेंट है और जो डिनॉमिनेटर है वो एक्स का ऑफिशल है अब हम चलते हैं यहां पर देखें तो यहां से हमें क्या पता चल रहा है देखो यहां टीका को पेशेंट दी ओमेगा और एक्स का कॉएफिशिएंट दी के अपन तू क्योंकि भाई ये तो पहले से ही था यही हमारा मॉडिफाई हो गया है ये वाला पार्ट तो यहां पर अगर मैं तक कॉएफिशिएंट को यानी की अगर हम यहां पर ग्रुप वेलोसिटी का फॉर्मूला लिखने जा रहे हैं तो हमें क्या करना पड़ेगा टी का कॉएफिशिएंट न्यूमैरेटर में आएगा और एक्स का कॉएफिशिएंट डिनॉमिनेटर में आएगा दोनों को डिवाइड कर देंगे तू से तू कैंसिल आउट हो जाएगा तो हमारे पास जो ग्रुप वेलोसिटी का फॉर्मूला आएगा वो आएगा दी ओमेगा / डी के यानी की फॉर्मूला वही है बस अंतर क्या है की ओमेगा / किया था वहां पर और यहां पर क्या आएगा चेंज इन ओमेगा / चेंज इनके ये क्या होगा हमारा ग्रुप वेलोसिटी का फॉर्मूला ए जाएगा तो ये सिंपल सा एक डेरिवेशन है अभी आप एग्जामिनेशन पॉइंट ऑफ व्यू से इस डेरिवेशन को समझिए क्योंकि बहुत सिंपल डेरिवेशन में कुछ नहीं करना देखो अब मैं आपको एक चीज और बताता हूं अगर आपको ग्रुप वेलोसिटी का डेरिवेशन एग्जाम में आता है तो आपको क्या करना है आप जरूरी नहीं है की ये डायग्राम तीनों आप बनाएं बनाना चाहते हैं आपके पास समय है तो बना दीजिए नहीं तो आप क्या कर सकते हैं आप सीधे लिखेंगे वे नो डेट y1 = दोनों ठीक है ना उसके बाद आप लिखेंगे अप्लाई का प्रिंसिपल ऑफ सुपर पोजीशन और उसके बाद सीधा ये पाठ कर देंगे मतलब आप डायग्राम नहीं बनाना चाहते तो इसमें डेरिवेशन में डायग्राम बनाना कंपलसरी नहीं है लेकिन कभी-कभी पूछ लेते हैं की वे पैकेट क्या है तो वहां पर आपको ये डायग्राम बनानी पड़ेगी अब आगे बढ़ते हैं ठीक है ना तो यहां तक आपको समझ में ए गया होगा फेस वेलोसिटी का डेरिवेशन समझ में ए गया होगा ग्रुप वेलोसिटी का डेरिवेशन आपको समझ में ए गया होगा अब हम चलते हैं नेक्स्ट टॉपिक के नेक्स्ट टॉपिक है हमारा रिलेशन बिटवीन फैज वेलोसिटी और ग्रुप वेलोसिटी यानी क्या फेस वेलोसिटी में और ग्रुप वेलोसिटी के अंदर क्या रिलेशन है इस रिलेशन को हम यहां पर ड्राइव करने वाले तो समझिए जरा जल्दी से कैसे इसको ड्राइव करेंगे मतलब अब हमें फेस वेलोसिटी और ग्रुप वेलोसिटी दोनों के बीच में रिलेशन को ड्राइव करना है क्यों करना है क्योंकि एक्चुअल में अगर आप देखें देखो ये जो वाव पैकेट है ये वाव है तो ये ये जो वाव ट्रैवल कर रही है इसको हम कहेंगे वाव वेलोसिटी और फैज वेलोसिटी और ये ग्रुप है ये पूरे ग्रुप की वेलोसिटी तो जो पैकेट है उसे पैकेट के वेलोसिटी कम है और वाव की वेलोसिटी ज्यादा है भाई आप वाव को देखिए वाव क्या हो रहा है इस तरह से ट्रैवल कर रही है तो फिर ज्यादा होगी जब की पैकेट इस तरह से ट्रैवल कर रहा है तो यहां पर हमें क्या करना है ग्रुप वेलोसिटी और फेस वेलोसिटी के बीच में रिलेशन ड्राइव करना है कैसे ड्राइव करेंगे बहुत सिंपल सा डेरिवेशन है और ये इंपॉर्टेंट है एग्जाम में बहुत बार पूछा जाता है की ड्राइव डी रिलेशन बिटवीन वाव वेलोसिटी और ग्रुप वेलोसिटी तो समझते हैं यहां पर देखो तो आप क्या करेंगे सबसे पहले वाव वेलोसिटी का फॉर्मूला लिखेंगे जो आपको मालूम है वीपी ओमेगा / के यहां से आप ओमेगा को कैलकुलेट कर लेंगे और इसको हमने मां लिया इक्वेशन नंबर वन आगे बढ़ेंगे अब आप ग्रुप वेलोसिटी का फॉर्मूला लिखेंगे क्योंकि आपको रिलेशन दोनों में ड्राइव करनी है तो ग्रुप रास्ते का फार्मूले को हमने मां लिया इक्वेशन नंबर तू अब जरा ध्यान दो ग्रुप वेलोसिटी के फार्मूले में डू में का अपुन दी के ए रहा है इसमें नहीं ए रहा है तो एक कम कर दे इसको डिफरेंशिएट करते थे विथ रिस्पेक्ट तू के तो जब आप इसको विद रिस्पेक्ट तू केयर डिफरेंटशिएट करेंगे तो यहां से आपको दी ओमेगा / डीके मिल जाएगा तो आपको यहां पर प्रोडक्ट रूल लगाना पड़ेगा प्रोडक्ट रूल आपको अप्लाई करना पड़ेगा तो कैसे अप्लाई करेंगे और के का डर किया तो के का डिफरेंशियेशन के का रिस्पेक्ट में वन आएगा इसलिए यहां पर वीपी बच्चा प्लस अब के को आगे आईटी इसे लिखा और वीपी का डर किया तो वीपी का डिफरेंशियेशन ए जाएगा डीपी/डी के विद रिस्पेक्ट तू के तो यहां तक मेरे ख्याल से आपको समझ में ए गया होगा अब इसके आगे क्या करना जरा ध्यान से समझते हैं देखो इसके आगे का पार्ट तो यहां तक हमने इस इक्वेशन को मां लिया इक्वेशन नंबर थ्री यानी की हमारे पास ये दी ओमेगा / डीके है ये क्या है यही हमारे पास ग्रुप वेलोसिटी है तो अगर आप एक तरीके से देखें तो आपके पास ग्रुप वेलोसिटी और फैज वेलोसिटी का रिलेशन ए चुका है है ना बस इस रिलेशन को थोड़ा सा हम सिंपलीफाई करेंगे बाकी तो रिलेशन तो हमारे पास यही पर ए गया लेकिन हमें क्या करना है इसको अभी थोड़ा सा आगे सिंपलीफाई भी करना है कैसे करेंगे आप जरा ध्यान से समझिए ये जो के है इसकी वैल्यू हम जानते हैं 2π अपन लामबीडीए तो जब हम के की वैल्यू जानते हैं तो हम डीके की वैल्यू भी निकाल सकते हैं हमारे पास हमें पता है की के क्या है तो वहां से हम डीके भी निकाल लेंगे तो एक कम करते हैं इसको इक्वेशन को थ्री मां लिया हमने और यहां पर अब हम क्या करते हैं के की वैल्यू लिखने हैं के की वैल्यू हमारे पास होती है 2π अपन लामबीडीए लामबीडीए उसके बाद इसमें क्या किया इस लामबीडीए को डिफरेंशिएट कर दिया विद रिस्पेक्ट तू के तो डी लामबीडीए अपन दी के ए गया और इधर कितना आएगा अब यहां पर देखो लेफ्ट राइट साइड 25 तो कांस्टेंट है यानी के ऊपर ये 1 / के और आप जानते हैं 1 / एक्स का डर क्या होता है माइंस का 1 / x² तो यहां पर 1 / के का डर माइंस का 1 / a² और 2π ऐसी र जाएगा तो ये दी λ/डी के की वैल्यू ए गई - 2π अपन के स्क्वायर आगे बढ़ते हैं अब हम क्या करते हैं ये वैल्यू के की वैल्यू और डी लामबीडीए / डीके की वैल्यू को पट करेंगे कहां पर इक्वेशन नंबर थ्री में लेकिन एक क्वेश्चन नंबर थ्री में के तो हमारे पास है लेकिन ये डी लामबीडीए / डीके तो नहीं है तो क्या करें तो एक कम करते हैं इस इक्वेशन में दी लामबीडीए से मल्टीप्लाई और डी लामबीडीए से डिवाइड कर देते हैं तो वेग = वीपी प्लस के देखो ये डीपी है इसको दी λ से डिवाइड कर दिया बट डिवाइड किया तो मल्टीप्लाई भी करेंगे तो यानी की डी लामबीडीए से हमने डिवाइड भी किया और मल्टीप्लाई भी किया और जो डी लामबीडीए मल्टीप्लाई वाला है उसके नीचे दी के लिख दिया तो यहां से हमें क्या मिल गया डी लामबीडीए / डीके और डी लामबीडीए / डीके की वैल्यू हम जानते हैं -2π/के स्क्वायर और के की वैल्यू को उठा के यहां पर पट कर दिया है सब्सीट्यूट हमने यहां पर कर दिया तो हमारे पास क्या ए गया ये लेफ्ट साइड में वेग है ग्रुप वेलोसिटी इक्वल तू वीपी-45 एक्सप्रेशन हमारे पास यहां पर ए गया अब इसको थोड़ा सिंपलीफाई करेंगे देखो ये जो के है एक कम करो यहां पर के की वैल्यू पट करो कितनी है 2π / λ तो वो 2π / λ का होल स्क्वायर हो जाएगा तो 2π / λ का होल स्क्वायर होगा 4 पी स्क्वायर अपन लामबीडीए स्क्वायर यहां पर 45 स्क्वायर से 45 स्क्वायर कट गया एक लामबीडीए से एक लामबीडीए कट गया लामबीडीए ऊपर चला जाएगा तो फाइनली ये फॉर्मूला हमारे पास ए जाएगा तो खाने का मतलब ये ग्रुप वेलोसिटी का एक्सप्रेशन तो आपके पास यही पर ए गया था रिलेशन लेकिन आपको इसको थोड़ा सिंपलीफाई करना था और सिंपलीफाई करने के बाद फाइनल रिजल्ट आपके पास ये आएगा यानी की जो ग्रुप वेलोसिटी है वो फेस वेलोसिटी से कम है और आप समझ भी सकते हैं की जो ग्रुप वेलोसिटी होगी वो फेस वेलोसिटी से कम होगी क्योंकि मैं आपको पहले बता चुका हूं की जो फेस लास्ट स्टेप है अगर आप कैलकुलेट करेंगे तो वो वेलोसिटी ऑफ लाइट से भी ज्यादा आएगी और जबकि ऐसा पॉसिबल नहीं है तो यहां पर आप देख सकते हैं ये जो है ये जो वेलोसिटी है ये फेस वेलोसिटी है वाव वेलोसिटी है और जब ये ग्रुप की वेलोसिटी है ये ग्रुप की वेलोसिटी है तो आप अगर इसमें ध्यान से देखो तो यहां से यहां तक ग्रुप में तो जो ग्रुप वेलोसिटी है उसने इतना डिस्टेंस कर किया है लेकिन जो फेस वेलोसिटी है अगर आप उसका डिस्टेंस देखेंगे तो बहुत ज्यादा है तो यह हमारे पास ए गया रिलेशन बिटवीन ग्रुप वेलोसिटी और फैज वेलोसिटी मीडियम इसका मतलब क्या है यानी की एक ऐसा मीडियम जहां पर वेक्यूम है ऐसे मीडियम में जो रिलेशन होगी वो रिलेशन क्या हो गया अब जरा ध्यान से अगर वेक्यूम वाला रीजन है तो वहां पर वीपी कांस्टेंट होता है फेस वेलोसिटी कांस्टेंट होती है क्या होती है कांस्टेंट और सीधी सी बात है जहां पर फेस वेलोसिटी कांस्टेंट होगी तो डीपी / डी लामबीडीए में कांस्टेंट को आप किसी भी रिस्पेक्ट किसी के भी रिस्पेक्ट में अगर आप डिफरेंशिएट करते तो आपको जीरो मिलेगा तो इसका मतलब यहां पर ये वैल्यू जीरो ए जाएगी और अगर ये वैल्यू जीरो आई है तो हमारे ग्रुप वेलोसिटी और फेस वेलोसिटी क्या हो जाति है से हो जाति है यह नॉन डिस्पर्सिव मीडियम के लिए ठीक है ना और यह जो रिलेशन है वह डिस्पर्सिव मीडियम के लिए तो मेरे ख्याल से आपको रिलेशन बिटवीन ग्रुप वेलोसिटी और फैज वेलोसिटी समझ में ए गया होगा डेरिवेशन तो यहां पर देखो दोनों के सिंपल डेफिनेशन है आपको क्या करना है फैज लास्ट एयर ग्रुप लास्टिक ये डेफिनेशन को अच्छे से एक बार पढ़ लेना है एक-एक लाइन के दोनों डेफिनेशन हैं उसके बाद गुरु लास्ट एयर फैज विलास्टी का फॉर्मूला आपको याद होना चाहिए अब एग्जाम में अगर आपसे पूछा जाता है दो नंबर में की व्हाट इसे एन ग्रुप राष्ट्रीय और फेस वेलोसिटी आप दोनों डेफिनेशन लिखेंगे और दोनों के फार्मूले लिख देंगे तो आपका 2 मार्क्स का क्वेश्चन यहां से हो जाएगा पर अगर ये लॉन्ग में आता है और डेरिवेशन आपको करने के लिए आता है तो आप डेरिवेशन भी कर सकते हैं फेस वेलोसिटी का भी डेरिवेशन आपको मैंने बता दिया ग्रुप का भी मैंने आपको बता दिया और अगर आपको रिलेशन ड्राइव करने के लिए आता है तो मैंने आपको रिलेशन भी बता दिया यानी की यहां पर मैंने आपको तीनों क्वेश्चन आपको बता दिए अब यहां पर एक छोटा सा टॉपिक और है ध्यान दीजिए क्या है फेस वेलोसिटी और वाव वेलोसिटी ऑफ दी ब्रोग्ली वाव में जो दी ब्रोग्ली हाइपोथेस हाउस में इन्होंने की एक पार्टिकल के साथ एक वेलोसिटी जो है वो सॉरी एक पार्टिकल के साथ एक वाव एसोसिएटेड होगी तो जो पार्टिकल के साथ अगर एक वाव एसोसिएटेड है तो उसे वेब की वेलोसिटी कितनी होगी उसको हम यहां पर कैलकुलेट करने जा रहे हैं तो देखो बहुत सिंपल है कैसे कैलकुलेट करना है ध्यान से समझ लीजिए ज्यादा इंपॉर्टेंट नहीं है लेकिन मैं आपको बता देता हूं कैसे कैलकुलेट होगा देखो सबसे पहले आप फेस वेलोसिटी का फॉर्मूला लिखिए जो हमने ड्राइव किया था ओमेगा अपन के अब आपको करना क्या है सिर्फ आपको इतना करना है की यहां पर के की वैल्यू पर ओमेगा की वैल्यू को सब्सीट्यूट करना है और जैसे ही आप सब्सीट्यूट करेंगे आपको आंसर मिल जाएगा अब यहां पर समझते हैं की ओमेगा क्या होगा और के क्या होगा के आप जानते हैं के की वैल्यू होती है 2π / λ ठीक है चलिए तो ये तो के की वैल्यू ए गई अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए क्यों की हम बात कर रहे हैं अगर हम बात करें तो दी प्रोबेबली वेवलेंथ का हमें फॉर्मूला लगाना पड़ेगा ये जो लामबीडीए है ये दी ब्लॉक हो गई तो यहां पर दी ब्लॉक का अगर मैं फॉर्मूला लगाऊं तो लामबीडीए का फॉर्मूला हा / बी होता है इसको उठा के यहां पर पट कर देंगे तो जब यहां पर हा / एम पट करेंगे तो हमारे पास क्या ए जाएगा के की वैल्यू तो ये के की वैल्यू ए चुकी है अब चलते हैं ओमेगा के पास अब देखो ओमेगा का फॉर्मूला क्या होता है ओमेगा होता है 2π नहीं वो और अकॉर्डिंग तू आई का फॉर्मूला क्या होता है ए का फॉर्मूला होता है हा नहीं देखो इधर लिखा है हा नहीं हो और अगर यहां से आप इस न्यू की वैल्यू को निकलोगे तो ए / हा ए जाएगा तो मैंने क्या किया यहां पर μ की जगह ए अपन हा रख दिया उसके बाद यह जो आई है इस ए का फॉर्मूला हमें मालूम है अकोर्डिंग तू आइंस्टीन मास एनर्जी रिलेशन तो अकॉर्डिंग तू आइंस्टीन मास एनर्जी रिलेशन ए की वैल्यू कितनी होगी mc² तो ए की जगह रख दिया mt² तो ये ए गया 2π एम्टी स्क्वायर अपन हा देखिए ऐसा हमने इसलिए किया क्योंकि एक्चुअल में हम जो वाव वेलोसिटी है दी ब्लॉक के लिए की जो वाव थी उसकी जो वेलोसिटी है उसको हम कैलकुलेट करना छह रहे हैं इन टर्म्स ऑफ वेलोसिटी ऑफ लाइट कंपेयर करना छह रहे हैं तो यहां पर इसलिए हम सी को लेकर के आए उसके बाद क्या करना ओमेगा को और उठाकर के के को यहां पर रख देंगे तो जब ओमेगा और के की वैल्यू यहां रखेंगे और सब कुछ कैंसिल आउट करेंगे तो ये दी ब्रोग्ली की जो वाव थे दी ब्रोग्ली वाव उसकी वेलोसिटी ए गई c² / वी ये तब है जब अगर हम ये मां लेने की एक पार्टिकल के साथ एक ही वे एसोसिएटेड है तब हमारे पास ये फॉर्मूला आता है ठीक है लेकिन अब यहां पर देखो यह चीज मैं आपको पहले एक्सप्लेन कर चुका हूं की अगर हम एक पार्टिकल के साथ में एक ही बेवकूफ मैन तो फॉर्मूला c² / वी ए जाता है और यहां से अगर आप इसका कंक्लुजन निकालो तो इसका कंक्लुजन ये है की वीपी वेलोसिटी इसे ग्रेटर दें सी ए रहा है क्या ए रहा है ग्रेटर दें सी यहां पर ए जाएगा ठीक है और जो पार्टिकल के वेलोसिटी है वो सी की वेलोसिटी से कम होगी यानी की वाव की वेलोसिटी सी से ज्यादा हो गई पार्टिकल की वेलोसिटी इसी से कम अब ये पार्टिकल की वेलोसिटी सी से कम क्यों होगी क्योंकि देखिए आप अच्छे से जानते हैं की पार्टिकल के वेलोसिटी कभी भी वेलोसिटी ऑफ लाइट से ज्यादा नहीं हो शक्ति ठीक तो यहां से क्या हुआ की पार्टिकल तो पीछे र जाएगा अगर हम ये मां के चले तो इसके अकॉर्डिंग पार्टिकल पीछे र जाएगा वाव आगे निकाल जाएगी जो की इंपॉसिबल है ऐसा नहीं हो सकता क्योंकि वे पार्टिकल के साथ एसोसिएटेड होगी पार्टिकल से आगे नहीं जाएगी तो यहां से अब जरा ध्यान से समझिए अब यह जो पार्टिकल की वेलोसिटी है सीधी सी बात है अगर वाव पार्टिकल के साथ जा रही है तो अगर हम यहां पर अब मां लेने की जो ये पार्टिकल की वेलोसिटी है पर जो हमने यहां पर वाव कंसीडर्ड की है तो वाव की जो ग्रुप वेलोसिटी है वाव के क्या है ग्रुप वेलोसिटी तो अगर हम इस बी की जगह पर वेग को पट कर दें डेट इस ग्रुप वेलोसिटी तो हमारे पास फॉर्मूला ए जाता है वीपी * वी * जी = c² ये फाइनल हमारे पास यहां पर इसका डेरिवेशन ए जाए ठीक है ना चलिए तो फिलहाल आपको अगर एग्जाम में पूछा जाता है तो आपको यही तक करना है यानी की अगर आपको एग्जाम में आता है की दी ब्रोग्ली वाव की फेस वेलोसिटी कैलकुलेट करिए तो आपको ये यहां तक करना होगा जो की बहुत सिंपल सा डेरिवेशन है अब हम आगे बढ़ते हैं अब हमारे पास नेक्स्ट टॉपिक है क्योंकि यहां पर क्वांटम मैकेनिक्स के अंदर सोल्डरिंगर वाव इक्वेशन का वही कम है जो क्लासिकल मैकेनिक्स में न्यूटन लॉस ऑफ मोशन का है तो यहां पर बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट टॉपिक है सोल्डरिंगर वाव इक्वेशन और इन इक्वेशन की बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है पॉइंट दम मैकेनिक्स के अंदर तो यहां पर हम ड्राइव करते हैं दो तरह की इक्वेशन हमें ड्राइव करनी है एक तो सोल्डरिंगर टाइम इंडिपेंडेंस सोर्टिंग डी इक्वेशन और उसके बाद हम ड्राइव करेंगे टाइम डिपेंडेंट सॉर्ट इनरवियर इक्वेशन तो सबसे पहले हम ड्राइव करते हैं टाइम इंडिपेंडेंस सोल्डरिंगर वाव इक्वेशन किस तरह से ड्राइव करेंगे कैसे इसको स्टार्ट करेंगे इसको जरा ध्यान से समझिए देखिए जब कोई पार्टिकल मोशन में होता है तो उसे पार्टिकल के मोशन को हम डिफरेंस इक्वेशन से रिप्रेजेंट कर सकते हैं ठीक है दूसरी चीज जो हमारे पास पार्टिकल की पोजीशन होगी ये जो पार्टिकल मोशन में है जिसके साथ वाव एसोसिएटेड है तो अगर उसके साथ वे मैं एसोसिएटेड है तो वहां पर हम उसे करते हैं वाव फंक्शन का पर वाव फंक्शन को हम रिप्रेजेंट करते हैं सन के सिंबल से ये चाय का सिंबल है ठीक है ना इससे हम इसको प्रेजेंट करेंगे तो यहां पर जो हम डिफरेंशियल इक्वेशन लिखेंगे वह इसी के फॉर्म में लिखेंगे यह वे फंक्शन कितने वेरिएबल के ऊपर डिपेंड करेगा यह भी इंपॉर्टेंट है अब यहां पर अगर जो पार्टिकल अगर वो स्पेस में मूव कर रहा है तो वहां पर देखो कर वेरिएबल ए जाएंगे एक तो एक्स ए स एन टाइम तो ये कर वेरिएबल के ऊपर डिपेंड करेगा यानी की कर इंडिपेंडेंस वेरिएबल एक तरह से यहां पर हो जाएंगे दूसरे चीज अगर अगर मौसम वन डाइमेंशन है पार्टिकल का मोशन कैसा है वन डाइमेंशन है तो ये दो पैरामीटर के ऊपर डिपेंड करेगा दो वेरिएबल के ऊपर डिपेंड करेगा एक्स और टी के मां लो एक्स डाइमेंशन में इसका क्या है मोशन है तो हम इस डेरिवेशन को चाहे तो आप 3d में एक क्वेश्चन ले लीजिए या वन दी में दोनों से ये डेरिवेशन हो जाएगा तो जब ये दोनों से डेरिवेशन हो जाएगा तो हम 3d इक्वेशन लेते हैं और उसके बाद फाइनल आंसर हम 3d के फॉर्म में लिख देंगे तो यहां पर सबसे पहले हम क्या करेंगे एक डिफरेंशियल इक्वेशन को कंसीडर करेंगे वाव मोशन के लिए तो यहां पर सबसे पहले हम लिखेंगे इक्वेशन फोर दी मोशन ऑफ पर डी मोशन ऑफ फोर दी वाव मोशन ऑफ आर्टिकल पर डी वाव मोशन ऑफ पार्टिकल इन वन डाइमेंशन इन वन डाइमेंशन ऑफ पार्टिकल इन वन डाइमेंशन अब यहां पर देखो वन डाइमेंशन के लिए जो हमारा पार्टिकल को कैसे लिखेंगे आप ध्यान से समझिए तो डिफरेंस और इक्वेशन हमें लखनी है तो यहां पर हम लिखेंगे दिल तू डेलतू 1 / v² डेलूजन डेल्टा स्क्वायर इक्वेशन पढ़ चुके हैं ना आप डिफरेंशियल इक्वेशन पढ़ चुके हैं लेकिन अगर आप इस डिफरेंशियल इक्वेशन को देखेंगे तो आपने ऐसी डिफरेंस इक्वेशन अभी तक नहीं पढ़िए मैं डिफरेंशिया लिक्विडेशन आप मैथमेटिक्स में पढ़ चुके हैं पहले चैप्टर आपका डिफरेंशियल इक्वेशन था लेकिन वहां पर आपने ऐसे डिफरेंशियल इक्वेशन नहीं पड़ी क्यों क्योंकि इस डिफरेंशियल इक्वेशन के अंदर जो डेरिवेटिव है वो पार्शियल है और आपने जो डिफरेंशियल इक्वेशन पड़ी है वहां पर डेरिवेटिव कैसा था ऑर्डिनरी अब ऐसा क्यों है मैं आपको बता देता हूं क्योंकि यहां पर जो ये फंक्शन है वे फंक्शन ये दो वेरिएबल के ऊपर डिपेंड कर रहा है एक्स और टी और आप पार्शियल डेरिवेटिव पढ़ चुके हैं आप जानते हैं की अगर कोई डिपेंडेंट वेरिएबल दो इंडिपेंडेंस वेरिएबल के ऊपर डिपेंड करता है और अगर आप डिपेंडेंट वेरिएबल का डर करते हैं तो उसका डर पार्शियल डर होगा तो इसीलिए यहां पर डर हुआ है तो ये पार्सल डिफरेंस है जिसको आप मैथमेटिक्स फोर में जाकर के पढ़ेंगे अभी तक आप लोगों ने पार्सल डिफरेंस नहीं पड़ी है चलिए कोई दिक्कत नहीं है अब यहां पर आगे चलते हैं और इस पार्सल डिफरेंशियल इक्वेशन का सॉल्यूशन लिखने हैं जनरल सॉल्यूशन दी जनरल सॉल्यूशन ऑफ दी अबाव पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन इस पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशन का हम क्या लिखने जा रहे हैं जनरल सॉल्यूशन आप जरा ध्यान दीजिए इसका जनरल सॉल्यूशन क्या होगा अब ये जनरल सॉल्यूशन आपको क्या करना है डायरेक्टली आपको याद करना है की इसका जनरल सॉल्यूशन मैं यहां पर लिख रहा हूं देखिए क्या होगा यहां पर देखिए जनरल सॉल्यूशन कर रहा है तो इसका जनरल सॉल्यूशन होगा ए * ए की पावर माइंस माइंस में आई ओमेगा आई ओमेगा और ब्रैकेट में जनरल सॉल्यूशन ऑफ दी जिवन डिफरेंशियल इक्वेशन अब अगर आप लोगों के दिमाग में ये चल रहा है की सर ये सॉल्यूशन कैसे आया और हम कैसे इसको कैलकुलेट करेंगे तो यहां पर आपको डायरेक्ट लिखना है देखो एक तो ये क्या आपको ये कैलकुलेट करना अभी नहीं आता है दूसरी चीज ये अगर आपको ये कैलकुलेट करना आता भी तो भी हम इसका आंसर डायरेक्ट लिख दें क्योंकि ये अपने आप में एक डिफरेंशियल इक्वेशन का क्वेश्चन है जिसको सॉल्व करने के लिए हमें कफ निकालना पड़ेगा पर निकालना पड़ेगा तब जाकर के इसका सॉल्यूशन आएगा और भी हमारे पास मैथर्ड होते हैं डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने के तो खाने का मतलब ये देखिए फिजिक्स में जब भी आपके पास डिफरेंशियल इक्वेशन आई है तो आपको फिजिक्स के अंदर कुछ डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व नहीं करना है आपको उसे डिफरेंशियल इक्वेशन का डायरेक्ट आंसर लिख देना है क्लियर है तो यहां पर मैंने डायरेक्ट आंसर लिख दिया ये इस इक्वेशन का जनरल सॉल्यूशन है वेयर अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए यहां पर जो ओमेगा है वो क्या है अब इसको ध्यान से समझेंगे जरा वेयर अब देखो यहां पर क्या क्या ए रहा है इसमें एक तो इसमें ओमेगा ए रहा है तो ओमेगा को ध्यान दीजिए ओमेगा क्या है ओमेगा हमारे पास यहां पर है 25 न्यू यह फॉर्मूला आप जानते हैं एंगुलर फ्रीक्वेंसी का 2 पी न्यू न्यू क्या है फ्रीक्वेंसी है ओमेगा क्या है एंगुलर उसके बाद यहां पर ये जो वी है ये वेलोसिटी है वी क्या है वेलोसिटी है जिसका फॉर्मूला होता है न्यू इन लामबीडीए यानी की फ्रीक्वेंसी * वेवलेंथ तो अब हम क्या करेंगे इन दोनों को उठा के इस इक्वेशन के अंदर सॉल्यूशन के अंदर पट कर देंगे तो हमारे पास देखो सॉल्यूशन क्या ए जाएगा जरा ध्यान दीजिए ये सॉल्यूशन हमारे पास ए जाएगा इसका मतलब ये एक्स और टी पे क्या कर रहा है डिपेंड कर रहा है अब यहां पर इन वैल्यू को मैं पट करता हूं तो ए आई बेटा यहां पर है ठीक है अब क्या करेंगे जरा ध्यान से समझिए यहां पर अब हम क्या करते हैं एक्स टी को ऐसे लिखेंगे ये जो न्यू है इसको अंदर ले जाते हैं तो ये ए जाएगा ए की पावर माइंस 2π आईओटीए बचेगा बाहर और ब्रैकेट में हमारे पास ए जाएगा न्यू * टी - एक्स / लामबीडीए क्योंकि जब आप इस न्यू को यहां मल्टीप्लाई करेंगे तो μ से μ कैंसिल आउट हो जाएगा एक्स / लामबीडीए बचेगा तो ये इक्वेशन हमारे पास ए गई अब इसमें जरा ध्यान दीजिए इसमें हम फिर से कुछ सब्सीट्यूशन करते हैं यहां पर न्यू की वैल्यू और लामबीडीए की वैल्यू हम क्या करते हैं सब्सीट्यूट कर देते हैं तो अब जरा आगे देखें वेयर वेयर देखो यहां पर जो न्यू है फ्रीक्वेंसी इसका फॉर्मूला क्या होगा कितना होगा यहां पर जरा ध्यान से देखें अगर मैं यहां पर लामबीडीए को कैलकुलेट करूं तो लामबीडीए मेरे पास ए जाएगा हा / पी तो नीचे लिख देता हूं तो लामबीडीए कितना हो जाएगा हा / पी अब हम क्या करते हैं ये सारे सब्सीट्यूशन उठा के इस इक्वेशन में पट कर देते हैं तो यहां पर μ की वैल्यू पट करेंगे और लामबीडीए की वैल्यू पट करेंगे तो देखो हमें क्या मिलेगा जरा ध्यान दीजिए देखिए तो जैसे ही हम ये सब्सीट्यूशन करते हैं तो हमें जो नई इक्वेशन मिलेगी वो क्या होगी जरा ध्यान दीजिए तो साइन एक्स कोमा टी = ए ए की पावर में माइंस कितना ए रहा है ए के पावर में -2π आईओटीए तू पी ब्रैकेट में ब्रैकेट में देखें न्यू की जगह ए अपन हा रख देंगे तो न्यू की जगह जब अगर आप ए अपन हा रखेंगे ए / हा * टी - एक्स / हा और पी चला जाएगा [संगीत] और यहां पर बचेगा हमारे पास ए * टी - पीसी पी क्या यहां पर मोमेंटम है अब आगे बढ़ते हैं थोड़ा सा आगे देखते हैं देखो कैसे सन एक्स टी = ए ए की पावर में माइंस आईओटीए अपन में हा / 2π मैंने क्या किया इस 2π को हा के नीचे ले आया और ब्रैकेट में एट - पीसी अब यहां पर क्या करेंगे हम जरा ध्यान देना नो हा अपन तू पी हा / 2 पी के लिए हम एक नया सिंबल यहां पर इंट्रोड्यूस कर रहे हैं देखिए क्या होगा इसकी जगह हम पट करेंगे हा लिखने के बाद इसको थोड़ा सा क्रॉस कर देंगे हा लिखने के बाद इसको इस तरह से क्रॉस कर देंगे तो इसको हम हा कट भी बोलते हैं ठीक है ना तो यहां पर हम इस सिंबल का उसे करेंगे मतलब सिंबल चेंज कर दिया हा / पी की जगह क्या लिख दिया हा/2π की जगह इस सिंबल का उसे करेंगे अब देखो क्या ए जाएगा हमारे पास ना [संगीत] है और इसकी जगह पर हम यह रखेंगे तो यह ए जाएगा हा और यहां से क्रॉस कर देंगे ब्रैकेट में एट - पीसी तो मेरे ख्याल से यहां तक सबको समझ में ए गया होगा हमने क्या किया अब इसके बाद देखिए क्या करना है अब इसके बाद ये जो है इसको सिर्फ आपको दो बार डिफरेंटशिएट करना है और दो बार डिफरेंटशिएट करने के बाद आप सॉल्यूशन की तरफ बाढ़ जाएंगे तो इसको क्या करेंगे हम दो बार डिफरेंशीएट करेंगे एक्स के रिस्पेक्ट में नो डिफरेंशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स अब यहां पे जरा डर देखना ध्यान से डिफरेंशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स तो मैं यहां पर इसको एक्स के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करने जा रहा हूं देखो कितना आएगा तो अगर आप इसको डिफरेंशिएट करेंगे एक्स के रिस्पेक्ट में तो डांस बैलेंस इसे इक्वल तू अब जरा ध्यान दीजिए पूरा का पूरा एक्स है तो ए की पावर एक्स का डर ए की पावर एक्स से होता है तो यहां पर पहले तो मैं इसको ऐसे ही लिख दूंगा माइंस पी एक्स क्लियर अब यहां पर जरा ध्यान से समझना पावर का डर जब आप करेंगे तो पावर में क्या लिखा है अयोध्या अपन हा एट - पीसी और आप डर कर रहे हैं एक्स के रिस्पेक्ट में तो जब आप एक्स के रिस्पेक्ट में करेंगे तो अब जरा ध्यान दीजिए इसका हो जाएगा जीरो और इसका होगा -पी तो यानी की इस पूरे ब्रैकेट का जो डिफरेंशियेशन हुआ वो माइंस पी हुआ तो ये हमारे पास कितना ए जाएगा और बाहर कितना था हमारा - आईओटीए अपन हा तो बाहर था माइंस आई होता अपन हा और अंदर से डर हो के आया माइंस का पी पर ये माइंस माइंस बन गया प्लस तो कल मिला के आपके पास मल्टीप्लाई में क्या ए जाएगा प्लस में पी / हा * आईओटीए ये आपके पास ए जाएगा एक बार डर करने के बाद अब आगे बढ़ते हैं तो मेरे ख्याल से आपको समझ में ए गया होगा किस तरीके से यहां डर हुआ है अब इसके आगे देखिए नेक्स्ट स्टेप नो अगेन डिफरेंटशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स अगेन डिफरेंटशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स के रिस्पेक्ट में डिफरेंटशिएट कर देते तो देखिए एक बार और डिफरेंशिएट करेंगे कितना आएगा जरा ध्यान से सुना देखो यह तो कांस्टेंट क्वांटिटी है अगर आप इसको एक बार और डिफरेंशिएट कर देंगे तो क्या होगा फिर से एक बार ये जो क्वांटिटी है एक बार और मल्टीप्लाई में ए जाएगी बिल्कुल वैसी करना तो जरा पहले किया था तो ये तो कांस्टेंट है ये तो डर से बाहर रहेगा और जब आप इसका डर एक बार और करेंगे तो क्या ए जाएगा एक बार और ये मल्टीप्लाई में ए जाएगा तो जब आप इसको दो बार डिफरेंस चेंज कर देंगे तो आपको मिलेगा डेंट तू साइन अपन dx² इसे इक्वल तू ए ए की पावर में माइंस आईओटीए अपन हा ए टी - पीसी और मल्टीप्लाई बनेगा ए की पावर में माइंस आईओटीए अपन हा ट - फ यह हमें मिल जाएगा ठीक है अब इसके आगे देखिए इसमें थोड़ा सा सब्सीट्यूशन करते हैं क्या सबके एडिशन करेंगे अगर आप इस फंक्शन को ध्यान से देखें ये है की एक्चुअल में अब इधर वापस आते हैं देखिए हमारे पास अच्छा यहां पर ए ए मैंने छोड़ दिया शायद हां ये भी था ना ए बी लिखना है यहां पे क्या लिखना है ए भी है साथ में हां अब देखिए जरा तो ये जो पूरा का पूरा फंक्शन है ये अगर आप ध्यान से देखेंगे तो ये तो हमारे पास ओरिजिनल जो साइन की वैल्यू थी यहां पर कहां से स्टार्ट किया था डर स्क्वायर साइन स्क्वायर ये मैंने क्यों किया अभी आपको पता चल जाएगा इसको मैं मां लेट हूं इक्वेशन नंबर इससे पहले कोई इक्वेशन मनी थी क्या नहीं तो इसको मां लेते हैं एक क्वेश्चन नंबर वन अब जरा आगे बढ़ते हैं तो यहां तक p2 साइज इक्वल तू माइंस का h² / dx² हमारे पास ए गया अब जरा ध्यान से सुनिए ये जो पार्टिकल है जो की मोशन में है इस पार्टिकल की जो मैकेनिकल एनर्जी होगी वो हमेशा क्या रहेगी कंजर्व रहेगी और आप जानते हैं की मैकेनिकल एनर्जी क्या होती है है ना यानी की यहां पर कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी का प्रिंसिपल हम अप्लाई कर सकते हैं अब ये कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी का प्रिंसिपल क्या है जरा ध्यान से समझिए कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी का मतलब है की जो हमारे पास टोटल एनर्जी होती है जिसको हम मैकेनिकल एनर्जी कहते हैं वो होती है काइनेटिक एनर्जी प्लस पोटेंशियल एनर्जी का सम तो यहां पर अब हम क्या करेंगे नो अप्लाई प्रिंसिपल ऑफ कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी अप्लाई कंजर्वेशन ऑफ कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी तो यहां पर मैकेनिकल एनर्जी कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी का प्रिंसिपल आपने बहुत बार पढ़ा है और आप जानते हैं नाइंथ क्लास से आप इसको पर्दे में ए रहे हैं क्या होता है प्रिंसिपल डॉ कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी पहले बात तो आपको ये पता होना चाहिए की मैकेनिकल एनर्जी क्या है मैकेनिकल एनर्जी डी सम ऑफ काइनेटिक एनर्जी और पोटेंशियल एनर्जी तो इसका प्रिंसिपल का मतलब ये है की काइनेटिक एनर्जी और पोटेंशियल एनर्जी का सम रहेगा वो कंजर्व होगा अब यहां पर देखिए मैकेनिकल एनर्जी को मैं रिप्रेजेंट कर रहा हूं यहां पर कैपिटल ए से इस इक्वल तू काइनेटिक एनर्जी प्लस पोटेंशियल एनर्जी अब यहां पर हम इनकी वैल्यू को सब्सीट्यूट करते हैं देखो जरा ये तो हमारे पास टोटल मैकेनिकल एनर्जी काइनेटिक एनर्जी का फॉर्मूला हम पट करेंगे यहां पर इन टर्म्स ऑफ मोमेंटम क्योंकि हमारे पास यहां मोमेंटम का स्क्वायर ए रहा है और आपको अच्छे से मालूम है की व्हाट इसे डी रिलेशन बिटवीन काइनेटिक एनर्जी और मोमेंटम ये रिलेशन होती है लास्ट लेक्चर में भी मैं इस रिलेशन को यह रिलेशन कैसे आई है मैं आपको बता चुका था क्योंकि काइनेटिक एनर्जी का फॉर्मूला होता है 1 / 2 mv² mv² और अगर आप इसमें 2m से मल्टीप्लाई और एम से अगर आप इसमें डिवाइड कर देते हैं तो ये m² बन जाएगा और ये बन जाएगा p² क्योंकि बी क्या होता है पी तो वहां पी का स्क्वायर बनेगा तो मैं काइनेटिक एनर्जी के प्लेस पे लिख सकता हूं p² / 2m नो प्लस अच्छा पोटेंशियल एनर्जी को हम यहां पर रिप्रेजेंट कर रहे हैं कैपिटल वे से अब थोड़ा सा ध्यान रखना क्योंकि यहां पर वी से हम वेलोसिटी को फिर प्रेजेंट कर रहे हैं और वी से हम यहां पर पोटेंशियल एनर्जी को भी रिप्रेजेंट कर रहे हैं तो कन्फ्यूजन नहीं होना दोनों में होना चाहिए ठीक है ना चलिए अब आगे बढ़ते हैं तो हमारे पास p² / 2m ये पोटेंशियल एनर्जी होगी ये हमारे पास मैकेनिकल एनर्जी टोटल एनर्जी ऑफ डी पार्टिकल अब थोड़ा सा पीछे आते हैं और यहां पर हमारे पास क्या है कैसे बनाऊंगा दोनों तरफ तो देखो कितना ए जाएगा जरा ध्यान दीजिए अगर मैं इसको दोनों तरफ साइज से मल्टीप्लाई कर डन तो दोनों तरफ मल्टीप्लाई करेंगे तो ये बन जाएगा मेरे पास अपन में 2m प्लस यह वेलोसिटी नहीं है यह क्या है पोटेंशियल एनर्जी तो यहां पर भी मैंने मल्टीप्लाई कर दिया अब आपको क्या करना है आप जरा ध्यान दीजिए अब तो बहुत आसन हो गया आपको इक्वेशन नंबर वन को उठा करके यहां पट कर देना है फ्रॉम इक्वेशन वन तो यहां पर आप लिखेंगे फ्रॉम इक्वेशन वन तो इक्वेशन वन से वैल्यू को उठा के यहां रख देंगे तो फ्रॉम इक्वेशन वन तो देखिए इक्वेशन वन का अगर आप उसे करते हैं तो आपको क्या मिलेगा जरा ध्यान से समझिए तो यूजिंग इक्वेशन नंबर वन देखो अब हमारे पास ए जाएगा और प्लस में पोटेंशियल एनर्जी हमारा फाइनल आंसर है इसको थोड़ा सा सिंपलीफाई करके लिख देते हैं इस साइड इस पोटेंशियल एनर्जी को लेफ्ट साइड में ले आई तो इसको लेफ्ट में लेंगे देखिए कितना ए जाएगा और उसको उठा के भी लेफ्ट में ले आते हैं तो उसको इधर लेंगे तो पॉजिटिव आएगा तो ये हमारे पास बनेगा फाइनल आंसर तो मेरे ख्याल से सभी को समझ में ए गया होगा यह क्या हमारे पास सोल्डरिंगर इक्वेशन इन वन डाइमेंशन अब यहां पर बात आई है की अगर इक्वेशन थ्री डाइमेंशन में अगर मैं प्रूफ करना हो तो थ्री डाइमेंशन में इसका तो अब इसके बाद देखिए हम इसको 3d में कैसे लिखेंगे अच्छा इसी को आप एक तरह से और भी लिख सकते हैं देखो यहां पर जो h² / 2 है हमारा अगर यहां पर अगर आप यहां पर इसका एलसीएम ले लेंगे तो 2m यहां देखिए इसको एक फॉर्मेट मां लिख सकते हैं इस तरीके से स्क्वायर प्लस देखो ये 2m ऊपर चला जाएगा ए - वी साइन = 0 इसको ऐसे भी लिख सकते हैं सही रिप्रेजेंटेशन स्क्वायर माइंस बी इक्वल तू जीरो देखो ये कैसे आया यहां देखो डिनॉमिनेटर में तू है तू एम है तो अगर मैं इस 2m इसका पुरी इक्वेशन का एलसीएम ले लो तो ये 2m यहां पर ऊपर मल्टीप्लाई हो जाएगा और 2m उधर मल्टीप्लाय कर देंगे तो जीरो हो जाएगा यानी की नीचे से डिनॉमिनेटर से 2 एम खत्म हो जाएगा सिमिलरली अगर मैं तुम्हें h² को आम ले ल तो यहां पर तो वन बचेगा और यहां पर 1 / h² ए जाएगा तो देखो ये नीचे ए जाए और उसके बाद जो आम है उधर जाके जीरो हो जाएगा तो ये हमारे पास क्या ए गई फाइनल इक्वेशन ए गई तो नीचे वाला रिजल्ट ज्यादा इंपॉर्टेंट है ठीक है नीचे वाला रिजल्ट ज्यादा इंपॉर्टेंट ठीक तो इस फॉर्म में हमारे पास क्या ए गया सोर्टिंग और वेरीफिकेशन इन वन डाइमेंशन अब याद रखना ये किसमे है वन डाइमेंशन में है ये इक्वेशन को थ्री डाइमेंशन में लिखना है तो कैसे लिखेंगे अगर हमें इसको लिखना है किस में फ्री डाइमेंशन में तब कैसे लिखेंगे तो बहुत आसन है थ्री डाइमेंशन में लिखना मैं बस एक बार बता देता हूं देखो क्या कर रहा है ये वन डाइमेंशन में है तो यहां पर डेड तू साइन अपन डायल x² ए रहा है अगर ये थ्री डाइमेंशन में होगा तो बाकी सब कुछ तो से रहेगा केवल यहां पर तीन पार्शियल डेरिवेटिव ए जाएंगे एक एक्स के रिस्पेक्ट में एक ए के रिस्पेक्ट में और एक स के रिस्पेक्ट में तो अब मैं यहां पर लिखूंगा इन थ्री डाइमेंशन तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए एन थ्री डाइमेंशन थ्री डाइमेंशन में कैसे लिखेंगे इसको देखो एन थ्री डाइमेंशन इन थ्री डाइमेंशन कैसे लिखा जाएगा जरा ध्यान दें बहुत सिंपल है दिल तू दिल स्क्वायर प्लस स्क्वायर माइंस बी तू अपन एक्स स्क्वायर में अगर इसको लिखे हैं तो कैसे लिखेंगे अब इधर ध्यान दीजिए इन तीनों में से क्या आम ए जाएगा तो हम इसको ऐसे लिख सकते हैं दें स्क्वायर / दिल x² + del² / दिल y² + del² / दिल स स्क्वायर [संगीत] ठीक तो यहां तक मेरे क्या आपको सब कुछ समझ में ए गया होगा तो यह हमारे पास पूरा कंप्लीट इसका डेरिवेशन हो गया है ना अब इसमें एक चीज और आई है की कभी-कभी तो देखो फ्री पार्टिकल के लिए क्या होगा फोर फ्री पार्टिकल देखो जो फ्री पार्टिकल होगा मतलब जिसके ऊपर कोई फोर्स नहीं ग रहा है तो वहां पर पार्टिकल की पोटेंशियल एनर्जी जीरो हो जाएगी तो फिर पार्टिकल के लिए पोटेंशियल एनर्जी क्या होती है जीरो होती है और अगर पोटेंशियल एनर्जी जीरो हो गई तो हमारे पास और इनरवियर इक्वेशन का जो फॉर्मूला होगा चाहे आप वन डाइमेंशन में लिखना चाहे वन में लिख सकते हैं तू थ्री में लिखना चाहें तो आप थ्री में लिख सकते हैं तो हमारे पास फॉर्मूला देखिए क्या ए जाएगा मैं थ्री डाइमेंशन वाला लिख रहा हूं दें स्क्वायर साइन प्लस तू एम अपन x² और यहां पर ये ए जाएगा वी की वैल्यू जीरो पट कर देनी है और हमें क्या होगा फाइनल आंसर मिल जाए तो यह फ्री पार्टिकल के लिए भी इक्वेशन का हमने डेरिवेशन किया तो सिंपल सा डेरिवेशन है बस आपको क्या करना है सबसे पहले डिफरेंशियल इक्वेशन लखनी है फिर उसका जनरल सॉल्यूशन लिखेंगे और जनरल सॉल्यूशन लिखने के बाद यहां पर कुछ सब्सीट्यूशन करने होंगे ओमेगा को हटा के 2 पी न्यू लिखना है वी को हटा के न्यू लामबीडीए लिखना है और ये सब्सीट्यूशन करने के बाद आपको क्या करना है उसके बाद फिर से आपको सब कंडीशन करना है न्यू को हटाना है ये अपन हा से लामबीडीए को हटाना हा / पी से और ये सारे सब्सीट्यूशन करने के बाद आपके पास ये इक्वेशन ए जाएगी इस इक्वेशन में भी हा / 2 पी की जगह आप हा का दूसरा सिंबल उसे करेंगे जिसको इस तरह से क्रॉस कर देते हैं जिसको हम हा कट भी बोलते हैं तो अब हमारे पास हा का दूसरा सिंबल ए गया इसकी वैल्यू याद रखना हा / 2 पी है और उसके बाद इसको दो बार आपको क्या करना है डिफरेंशिएट करना है है ना दो बार डिफरेंटशिएट करने के बाद आपको अप्लाई करना है प्रिंसिपल ऑफ कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी यहां पर इक्वल तू काइनेटिक एनर्जी प्लस पोटेंशियल एनर्जी होगा काइनेटिक एनर्जी होता है पोटेंशियल एनर्जी को कैपिटल वी से रिप्रेजेंट करते हैं और ये हमारे पास टोटल एनर्जी हो गई इसको पहले साइज से मल्टीप्लाई कर दो और मल्टीप्लाई करने के बाद इस p2 साइज की वैल्यू उठाके यहां से पट कर दीजिए तो आप जब सब्सीट्यूशन करेंगे तो आपके पास ये ए जाएगा यहां से फ्रॉम इक्वेशन वन ये सब्सीट्यूशन आपने किया इसको लेफ्ट में ले आई फिर इसको और सिंपलीफाई करिए आपको फाइनल आंसर मिल जाएगा क्लियर है तो अगर आपको सोल्डरिंगर इक्वेशन ड्राइव करने के लिए आई है तो आप उसको यहां तक ड्राइव करेंगे आप उसको बताएंगे की वनडे में आपने 1d के लिए ड्राइव किया है आप उसको 3d में भी बताएंगे ठीक है ना चलिए अब हम आगे बढ़ते हैं और अपना नेक्स्ट डेरिवेशन करते हैं और नेक्स्ट डेरिवेशन हमारे पास है टाइम डिपेंडेंट सोल्डरिंग और ये भी इक्वेशंस देखो इसमें और अभी जो हमने किया थोड़ा सा डिफरेंस है मैक्सिमम स्टेप दोनों ही डेरिवेशन में से है यानी की ये जो डेरिवेशन है एक्जेक्टली से रहेगा आपका कहां तक मैं आपको बता देता हूं कहां तक से रहेगा यहां तक आपका ये डेरिवेशन से चलेगा इक्वेशन नंबर वन तक हमारा जो डेरिवेशन है वो एक्जेक्टली से चलेगा देखिए तो यहां पर सबसे पहले हम वही से कम हमें करना है डी डिफेंस वाव मोशन ऑफ एन पार्टिकल इन वन टाइम्स ऑफ इक्वेशन तो सबसे पहले यहां पर डिफरेंशियल इक्वेशन लिखेंगे सिमिलर तरीके से तो क्या होगा डेल्टा दिल एक्स स्क्वायर जनरल सॉल्यूशन लिखना आता है जनरल सॉल्यूशन ऑफ इक्वेशन का जनरल सॉल्यूशन अब आपको याद हो गया होगा क्या लिखना है टी - एक्स / वी क्लियर है अब यहां पर हम क्या करेंगे सब्सीट्यूशन करेंगे नो वेयर अब यहां पर ओमेगा की जगह क्या पट करना है आपको ओमेगा की जगह पट करना है 25 न्यू और वी की जगह पट करना है न्यू इन λ ये दोनों सब्सीट्यूशन हम यहां पर करेंगे तो देखिए हमें क्या मिलेगा जरा ध्यान दीजिए देखो ये दोनों सब्सीट्यूशन एक्स टी = ए ए की पावर में माइंस और ओमेगा की जगह रख देंगे तू पी न्यू ब्रैकेट में टी - एक्स / वी की जगह ए जाएगा न्यू इन लामबीडीए ये सब ए की पावर में है कितना आएगा मल्टीप्लाई कर देता हूं तो बाहर बचेगा 2π आई और अंदर ए जाएगा न्यू * टी पर माइंस एक्स अपन लामबीडीए क्योंकि न्यू से न्यू क्या हो जाएगा कैंसिल आउट हो जाएगा इसके आगे बढ़ते हैं अब यहां पर फिर से हम कुछ सब्सीट्यूशन करते हैं ना वेयर यह तो यहां पर न्यू है इसको हटा देना है न्यू का फॉर्मूला देखिए क्या होगा आप न्यू का फॉर्मूला जानते हैं ए / हा होगा तो ये हो जाएगा ए / हा और लैंड का फॉर्मूला अकॉर्डिंग तू दी ब्रोग्ली वेवलेंथ लामबीडीए इक्वल तू हा / पी तो यहां पर ये दोनों सब्सीट्यूशन करते हैं तो देखिए हमें क्या मिलेगा इन दोनों सब्सीट्यूशन को करने के बाद हमारे पास ए जाएगा एक्स टी = ए ए की पावर में -2 π आईओटीए और [संगीत] यहां पर हमारे पास आएगा तो पी ऊपर चला जाएगा यहां से सन एक्स टी = ए की पावर -2π आयोड़ा और हा को बाहर आम लिया तो बाहर हा ए जाएगा और ब्रैकेट में बचेगा ए टी - पी यही बच्चा है ना अब यहां पर एक और सब्सीट्यूशन क्या है मैं आपको ऑलरेडी बता चुका हूं की आपको यहां पर हा के लिए दूसरा सिंबल उसे करना है हा कट और ये होता है हा/2π तो यहां पर जरा ध्यान दो इस 2π को अगर आप नीचे लगे तो हा / 2π बन जाएगा यानी की हमारे पास यहां पर जो फॉर्मूला बनेगा या फाइनल इक्वेशन जो हमारे पास बन गया ए रही है वो ए रही है एक्स कोमा टी इसे इक्वल तू ए ए की पावर में माइंस आईओटीए अपन हा अब ये देखो यहां पर कस लगाया मैंने इसको हा कट बोलते हैं तो इसको ध्यान रखना डिफरेंटशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स देखिए पहले इक्वेशन में टाइम इंडिपेंडेंस की जो इक्वेशन थी और टाइम डिपेंडेंट की जो इक्वेशन है इनमें थोड़ा सा ही डिफरेंस है बाकी दोनों डेरिवेशन एक ही जैसे हैं तो इसके बाद क्या करना जरा ध्यान से समझे यहां पर तो यहां पर हमारे पास क्या ए जाएगा इसको डिफरेंशिएट करेंगे तो एल्स आई / दिल एक्स इसे इक्वल तू डर करेंगे ए ए की पावर में माइंस आईओटीए अपन हा ए टी - पिक्स है ना भाई ए की पावर एक्स का डिफरेंशियेशन ए की पावर एक्स होता है तो यहां पर डर हो गया अब पावर का डर करेंगे तो पावर का जो डर होगा वो मल्टीप्लाई में आएगा तो यहां पर एट का जीरो हो जाएगा पीसी का माइंस पी हो जाएगा और माइंस भी इन दोनों के साथ मल्टीप्लाई होगा तो ये हमारे पास बचेगा पी / हा पी / हा * आईओटीए ये हमारे पास डर करने के बाद आएगा और इसको एक बार और डिफरेंशिएट करेंगे तो अगेन डिफरेंटशिएट विद रिस्पेक्ट तू एक्स विद रिस्पेक्ट तू एक्स तो एक बार और डर कर दो डर करना आपको आता ही है तो यहां पर हमारे पास क्या ए जाएगा और एट-स देखो अगर आप ध्यान दें ये तो कांस्टेंट है अब कांस्टेंट है यानी की फिर से आपको इसी का डर करना है और ए की पावर एक्स का तो ए की पावर एक्स आएगा और जब पावर का करेंगे तो एक बार और मल्टीप्लाई में यही टर्म ए जाएगी पी / हा * आईओटीए तो दो बार हो जाएगा तो ये बन जाएगा होल स्क्वायर अब हम चलते हैं अब देखिए नेक्स्ट स्टेप अब हमें क्या करना है यहां पर जरा ध्यान से समझिए इसको जब स्क्वायर करेंगे तो p² / x² होगा आईओटीए का स्क्वायर आएगा आईओटीए का स्क्वायर माइंस वन होता है तो यहां पर हमारे पास ये पुरी इक्वेशन माइंस में ए जाएगी तो ये इक्वेशन हमारे पास आएगी दिल स्क्वायर साइन अपन दिल x² = - में p² / h² ये मैंने पहले लिख दिया ए की पावर में माइंस का पीसी ये मेरे पास आएगा अब इसको जरा ध्यान से समझिए फिर से की ये वाला जो पार्ट है ये तो हमारा ओरिजिनल फंक्शन कर देते हैं तो यहां पर हमारे पास क्या ए जाएगा अब यहां से एक कम करते हैं यहां से p² की वैल्यू को कैलकुलेट कर लेते हैं तो यहां से अगर आप p² कैलकुलेट करते हैं देखिए कितना आएगा p² = सन ऊपर जाएगा ये नीचे आएगा स्क्वायर ये मेरे पास पी की वैल्यू ए गई इसको मैं बोल देता हूं इक्वेशन नंबर वन ठीक है ना एक्शन नंबर वन अब यहां पर अभी हम प्रिंसिपल ऑफ कंजर्वेशन ऑफ एनर्जी अप्लाई नहीं करेंगे क्योंकि पिछली बार क्या था हमने इस टाइप के बाद कंजर्वेशन ऑफ एनर्जी को अप्लाई किया था पर वहां से हमारे पास फाइनल आंसर ए गया था लेकिन उसमें टाइम नहीं था लेकिन अभी हमें टाइम को भी लेकर के आना है तो हम अब क्या करेंगे जरा ध्यान दीजिएगा और इस बार जो हम डिफरेंशिएट करेंगे वो एक्स के रिस्पेक्ट में नहीं करेंगे डिफरेंशिएट विद रिस्पेक्ट तू टी आप इस इक्वेशन को एक बार टी के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करिए यहां से जब आप इसको टी के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करेंगे तो ध्यान देना ठीक है रेस्टोरेंट में डिफरेंशिएट करने से आपको ए मल्टीप्लाई में ए जाएगा और वहां से हम निकलेंगे ए क्या है टोटल एनर्जी ऑफ दी सिस्टम या ऑफ दी पार्टिकल तो यहां से इसको टी के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करने पर देखो क्या आएगा तो ये ए जाएगा डेलसैफ अपन डेल्टा = और एट-पीस पावर का डर अगर आप इस पावर का डर करेंगे टी के रिस्पेक्ट में आप कर रहे हैं पार्शियल डेरिवेटिव है तो स का तो जीरो हो जाएगा एट का क्या हो जाएगा ए हो जाएगा और ए के साथ में मल्टीप्लाई में आएगा ये माइंस आईओटीए अपन हा तो यानी की मल्टीप्लाई में आएगा माइंस का इन में ए ये क्वांटिटी मल्टीप्लाई में आएगी और यहां से हमें क्या करना है ए को फाइंड आउट करना है ए को फाइंड आउट करना है एक फाइंड आउट करने से पहले आप इसको रिप्लेस कर देंगे इस क्वांटिटी अगर आप इस क्वांटिटी को ध्यान से देखें तो अगेन ये जो क्वांटिटी है ये हमारे पास क्या है सन है तो इसकी जगह साइन पट करेंगे पहले तो हमारे पास देखो कितना ए जाएगा तो यहां से हमें मिलेगा साइन लिखेंगे तो कितना आएगा देखो माइंस आईओटीए अपन हा और इन में यहां से मुझे आई निकालना है देखो ए निकलेंगे कितना आएगा जरा ध्यान देना तो माइंस ऊपर जाएगा एक कम करते हैं यहां माइंस भी ए रहा है तो हम इस माइंस को भी हटाना है तो एक कम करते हैं नीचे आईओटीए से मल्टीप्लाई कर देते हैं एक बार तो अगर ऊपर भी और नीचे भी आप माइंस सॉरी अगर आप मल्टीप्लाई करेंगे तो आपके पास ये ए जाएगा नीचे ए जाएगा प्रिंसिपल ऑफ कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी कंजर्वेशन ऑफ मैकेनिकल एनर्जी और पोटेंशियल एनर्जी का सम को हम क्या कहते हैं मैकेनिकल एनर्जी इक्वल तू काइनेटिक एनर्जी प्लस पोटेंशियल एनर्जी और यहां पर मैकेनिकल एनर्जी जिसको हम टोटल एनर्जी भी का सकते हैं तो ये टोटल एनर्जी ए काइनेटिक एनर्जी की जगह लिखेंगे p² / 2m और पोटेंशियल एनर्जी की जगह लिखेंगे कैपिटल वी अब हमारे पास अब है और p² भी है दोनों को आगे पट कर दीजिए ए तो यही लिखा है तो ए की वैल्यू कितनी है माइंस का स्क्वायर अपन साइन और क्या है और प्लस में पोटेंशियल एनर्जी क्लियर है प्लस में पोटेंशियल एनर्जी अब एक कम करते हैं इसको उसे साइड लिख देते हैं और उसको इस साइड लिख देते हैं तो हमारे पास देखिए कितना आएगा यह ए जाएगा माइंस का हा क्रॉस स्क्वायर अपन तू मेरे पास आएगा तो देखिए आपका आंसर कितना आएगा तो एलसीएम लेने के बाद हम इसको लिख देते हैं इसका एलसीएम लेकर अब मैं इसको क्या करता हूं नेक्स्ट लाइट पर लिख लेट हूं देखिए तो एक्स स्क्वायर अपन अब यहां पर मल्टीप्लाई हो जाएगा तो h² / 2m बचेगा लेफ्ट में एनर्जी / सन ह और डेल्टा टाइम डिपेंडेंट सोल्डरिंगर वेरीफिकेशन टाइम डिपेंडेंट क्यों है क्योंकि आप इसमें देख सकते हैं यहां पर टाइम ए रहा है अब इसी को अगर हमें लिखना हो इंफिनिटी इन थ्री डाइमेंशन लखनी हो थ्री डाइमेंशन में तो कैसे लिखेंगे जरा ध्यान दीजिए आपको कुछ नहीं करना है केवल आपको यहां पर एक्स ए स तीनों को क्या कर देना है इंक्लूड कर देना बाकी कुछ नया नहीं करना है तो यहां पर देखिए मैं कैसे लिखूंगा इसको ध्यान दीजिए सबसे पहले तो माइंस का x² / 2m और यहां पर ब्रैकेट में ए जाएगा डेल तू अपन गैलेक्सी दिल्ली स्क्वायर साइन इक्वल प्लस [संगीत] करने के लिए आई है तो आप उसको यहां तक ड्राइव कर सकते हैं या ये फाइनल आंसर 3d में भी आप लिख सकते हो एक मिनट ये थोड़ा सा देखो हमने क्या किया था यहां से साईं को एलसीएम लिया था तो ये सही यहां मल्टीप्लाई हो गया अब सही से साइन कैंसिल हो गया तो इधर की साइड में साइन नहीं आएगा है ना इसको यहां से हटा देंगे ये यहां नहीं ठीक है जब हम थ्री डाइमेंशन में भी लिखेंगे तो यहां पर नहीं आए तो यह कैंसिल आउट हो चुका था ना ठीक चलो अब हमारा नेक्स्ट टॉपिक है इसमें पार्टिकल इन वन डाइमेंशनल बॉक्स अब हमारे पास यहां पर यह बहुत इंपॉर्टेंट टॉपिक है की यहां पर हमें क्या करना है पार्टिकल को वन डाइमेंशनल बॉक्स में रखना वन डाइमेंशनल बॉक्स का मतलब आप समझिए क्या है यहां पर जो पार्टिकल है वो केवल एक-एक्सिस के अलोंग ये क्या कर सकता है मूव कर सकता है और बॉक्स का मतलब यहां पर समझिए क्या है यहां पे जो बॉक्स की हम बात कर रहे हैं यहां पर देखिए ये दो वॉल हैं और ये जो वॉल है इनकी जो हाइट है वो इंफाइनाइट है पार्टिकल इन दो वाल्स के बीच में है जिसको हम क्या का रहे हैं वन डाइमेंशनल बॉक्स या इसको इंफाइनाइटली दीप वेल भी बोला जाता है तो हमारा जो पार्टिकल है इन दोनों वाल्स के बीच में अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए क्या है लेट स कंसीडर्ड है पार्टिकल ऑफ मास एम हमने मां लिया की हमारे पास एक पार्टिकल है जिसका मास एम है मूविंग अलोंग एक्स एक्सिस जो की एक्स एक्सिस के अलोंग क्या कर रहा है मूव कर रहा है ठीक बिटवीन है यहां पर ए और बी ये जो वॉल है हमारी ये इंफिनिटी तक जा रही है पहले तो आप ये ध्यान रखें और ये दोनों डिजिटल बाल है एक को हमने नाम दे दिया ए और दूसरी का नाम दे दिया बी आते एक्स इक्वल तू जीरो एक बाल एक्स = 0 पर है और एक वाल एक्स = ए पर है जो पार्टिकल है ये फ्री है इन वॉल के बीच में मूव करने के लिए अब पार्टिकल फ्री है इसका मतलब समझिए क्या है फ्री पार्टिकल का मतलब है की इस पार्टिकल के ऊपर कोई भी फोर्स अप्लाई नहीं हो रहा है पर फोर्स नहीं अप्लाई हो रहा है इसका मतलब इस पार्टिकल की पोटेंशियल एनर्जी क्या होगी जीरो होगी तो यहां पर सबसे इंपॉर्टेंट पॉइंट यही है की जो पार्टिकल है जो इस बॉक्स के अंदर है उसे पार्टिकल के ऊपर कोई फोर्स अप्लाई नहीं हो रहा जिसकी वजह से उसकी पोटेंशियल एनर्जी क्या हो गई है जीरो हो गई है तो एक तो जो पार्टिकल है उसकी पोटेंशियल एनर्जी जीरो है इस चीज का आप ध्यान रखेंगे और ये जो हमारे पास ऐसी फोटो जीरो से लेकर के एक्स इक्वल तू एक्स ए तक का जो डिस्टेंस कर लिया ल इसके बीच की लेंथ क्या है ल है या फिर इसको एक्स = 0 से एक्स = ए तक तो ये डिस्टेंस हमारा ए हो गया तो एक ही जगह पर ल का उसे भी कर सकते हैं ठीक है तो इस चीज का आप ध्यान रखेंगे अब आगे चलते हैं और देखते हैं की हमें यहां पर करना क्या है तो सबसे पहले बात करेंगे पोटेंशियल एनर्जी की देखो ये वीसी का मतलब है पोटेंशियल एनर्जी पोटेंशियल एनर्जी पोटेंशियल एनर्जी अब इस पार्टिकल की अगर मैं बात करूं ये पार्टिकल अगर इस बॉक्स के अंदर है इन दोनों वॉल के बीच में है तो इस पार्टिकल की पोटेंशियल एनर्जी जीरो हो गई क्यों क्योंकि इसके अंदर इसके पार्टिकल के ऊपर कोई फोर्स ग ही नहीं रहा है और अगर इस बॉक्स के हम बाहर ए जाए चाहे आप बॉक्स के राइट साइड में चले जो लेफ्ट में यानी की ए और बी वाल की अगर हम लेफ्ट में ए गए या राइट में अगर आप राइट में जाते हैं तो यहां पर पोटेंशियल एनर्जी इंफिनिटी होगी यानी की पार्टिकल की पोटेंशियल एनर्जी इंफिनिटी होगी इसका मतलब क्या है देखिए ये जो पार्टिकल है ये इस वॉल से बाहर निकाल नहीं सकता जब इधर पार्टिकल है ही नहीं तो उसकी जो पोटेंशियल एनर्जी है उसको हम क्या मानेंगे की इंफिनिटी पोटेंशियल एनर्जी सिमिलरली ये पार्टिकल इधर भी नहीं ए सकता तो इसका मतलब यहां पर भी क्या है इसकी पोटेंशियल एनर्जी इंफिनिटी है तो इस चीज का आप ध्यान रखेंगे पोटेंशियल एनर्जी जिसको हम प्रेजेंट कर रहे हैं तो वो बॉक्स के अंदर जीरो है और बाकी बाहर क्या लेंगे उसको इंफाइनाइट अब आगे बढ़ते हैं देखो यह एक्स = 0 है इसके लेफ्ट वाला जो डिस्टेंस है वो एक्स ली दें जीरो है और इसके राइट वाला जो एरिया है उसको हम क्या कहेंगे एक्स ग्रेटर दें ए क्योंकि यहां पर इस जगह पर एक्स की वैल्यू ग्रेटर दें वन है और इस जगह पर एक्स की वैल्यू < 0 है अब बात करते हैं वे फंक्शन की वाव फंक्शन क्या है हमारा साइड ये हमारा क्या है वे फंक्शन बॉक्स के अंदर इस वाव फंक्शन की वैल्यू जीरो नहीं होगी क्यों क्योंकि पार्टिकल इस बॉक्स के अंदर मोशन में है और मोशन में है तो उसके साथ में वाव एसोसिएटेड होगी और वाव वगैरा एसोसिएटेड होगी तो वाव फंक्शन जीरो नहीं हो सकता बाहर पार्टिकल ही नहीं है तो पार्टिकल है ही नहीं तो इसका मतलब उसके साथ कोई वाव एसोसिएटेड नहीं होगी तो वे फंक्शन भी जीरो होगा तो ये तो था हमारा पार्टिकल इन बॉक्स का कुछ बेसिक बातें जो मैंने आपको बताई अब थोड़ा सा आगे चलते हैं और सबसे पहले यहां पर लिखने हैं पोटेंशियल फंक्शन मतलब पोटेंशियल एनर्जी तो ये जो पोटेंशियल एनर्जी यहां पर लिखी हुई है इसको अगर हम एक फंक्शन की फॉर्म में लिखे तो ये कुछ इस तरह से लिखा जाएगा पोटेंशियल एनर्जी इसके इक्वल है देखिए पोटेंशियल एनर्जी जीरो होगी तब होगी जीरो जब एक्स की वैल्यू जीरो से लेकर के ए तक वेरी करेगी यानी की बॉक्स के अंदर पोटेंशियल एनर्जी जीरो होगी और ये पोटेंशियल एनर्जी इंफिनिटी हो जाएगी अगर हमारी जो हम अगर बॉक्स के बाहर ए जाए मतलब अगर हम एक्स <= 0 या फिर एक्स ग्रेटर दें इक्वल तू ए अब यहां पर एक इंपॉर्टेंट पॉइंट ये है की ली दें इक्वल तू का साइन ए रहा है इसका मतलब जो हमारी पोटेंशियल एनर्जी है ना पोटेंशियल एनर्जी अगर हम एक्स = ए पर देखेंगे तो एक्स = ए पर भी इंफाइनाइट है एक्स = 0 पर भी इंफाइनाइट है तो इस पॉइंट का हम यहां पर ध्यान रखेंगे अब हम बढ़ते आगे अब देखो अब इसके बाद हमें करना क्या आप जरा ध्यान दीजिए ये जो पार्टिकल इन वन डाइमेंशनल बॉक्स है एक्चुअल में ये सोल्डरिंगर वेरीफिकेशन की एप्लीकेशन की एप्लीकेशन है और यहां पर जो ये पार्टिकल जो मोशन में है इस बॉक्स के अंदर इस इसका जो मोशन है वो टाइम के ऊपर डिपेंड नहीं कर रहा है तो हम यहां पर सोर्टिंग वेरिकेशन का उसे करेंगे इसके डेरिवेशन के लिए इक्वेशन के दो इक्वेशन होती है एक टाइम डिपेंडेंट और एक टाइम इंडिपेंडेंस अब जैसा मैंने बोला की इस बॉक्स के अंदर जो पार्टिकल का मोशन है वो टाइम के ऊपर डिपेंड नहीं कर रहा है तो इसका मतलब हम यहां पर जो इक्वेशन का उसे करेंगे वो करेंगे तो अब यहां पर हम क्या करेंगे बाय या यूजिंग लेना है टाइम इंडिपेंडेंस वाली इक्वेशन को लेंगे तो देखिए टाइम इंडिपेंडेंस सोल्डरिंगर इक्वेशन क्या है हमारी यहां पर मैं लिख देता हूं ये इक्वेशन 2m अपन एक्स स्क्वायर दीजिए ये जो पार्टिकल है फ्री है मतलब इसके पोटेंशियल एनर्जी क्या है पोटेंशियल एनर्जी जीरो है तो हम यहां पर वी की जगह क्या पट कर देंगे जीरो पट कर देंगे क्योंकि यहां पर पार्टिकल फ्री है तो आगे हम लिखेंगे फोर फ्री पार्टिकल के लिए देखिए क्या होगा जीरो है इसको और थोड़ा सा ठीक करके लिखने हैं और यहां पर यह वाला जो पार्ट है यह वाला पार्ट इसको हम कुछ असम कर लेते हैं अब देखिए जरा क्या एजूम करेंगे ध्यान दीजिए हम यहां पर मां लेते हैं की ये वाला जो पार्ट है हमारा लेट ये पट के स्क्वायर इक्वल तू एम आई / h² हमने इसकी जगह पर के स्क्वायर हम पट करने जा रहे हैं तो अगर इसके प्लेस पर के स्क्वायर पट करेंगे तो देखो यहां पर के की वैल्यू क्या हो जाएगी के की वैल्यू ए जाएगी अंदर रूट में 2 में / h² और इसके में आगे की जरूर पड़ेगी इसलिए मैं इसको मां लेट हूं इक्वेशन नंबर वन अब देखो आगे ना यहां तक हम पहुंच गए अब देखो हम क्या करेंगे इसके प्लेस पर यहां पर हम पट कर देंगे के की वैल्यू यानी की हमें क्या करना है इसके प्लेस पर के स्क्वायर फुट करना है तो हमारे पास जो नई डिफरेंस स्क्वायर प्लस के स्क्वायर साइन इक्वल तू में जीरो अब यहां पर एक और इंपॉर्टेंट बात ध्यान दीजिए वह क्या है बता देता हूं आपको यह जो हमारे पास डिफरेंशियल इक्वेशन है क्या यह ऑर्डिनरी है या पार्शियल है क्योंकि हम उसे तो पार्शियल डेरिवेटिव कर रहे हैं है ना देखो ये सोर्टिंग और बेबी इक्वेशन है इसमें टाइम नहीं ए रहा है ये टाइम इंडिपेंडेंस वाली है हमने जब इस इक्वेशन का डेरिवेशन स्टार्ट किया था तो उसे समय हम एक्स और टी दोनों लेकर के चल रहे थे वन डाइमेंशन में तो वहां पर इसमें दो वैरियेबल्स दें इसलिए पार्शियल डेरिवेटिव थे क्योंकि अब इसके अंदर टाइम नहीं ए रहा है तो अगर इसके अंदर टाइम नहीं ए रहा है तो आप डेल्टा की जगह केवल इस इक्वेशन में जहां जहां डेल्टा ए रहा है वहां पर डेल्टा की जगह क्या उसे कर सकते हैं दी का उसे कर सकते हैं मतलब मैं यहां पर ये चेंज कर सकता हूं और ध्यान देना क्यों कर सकते हैं इसलिए कर सकते हैं क्योंकि यहां पर अब एक ही वेरिएबल है यहां पर अब एक ही वेरिएबल है मैं इधर चेंज कर देता हूं यहां से कर देते हैं देखो एक ही वेरिएबल है इसका मतलब हम डेल्टा की जगह क्या लिख सकते हैं जहां पर भी डेल्टा है वहां पर हम दी लिख सकते क्योंकि जो वेरिएबल एक होता है अगर वेरिएबल हमारे पास कितने हैं एक है तो फिर ऑर्डिनरी डेरिवेटिव आता है तो यहां पर आप लिख सकते हैं यहां पर dx² भी आप लिख सकते हैं अगर आप पार्शियल डेरिवेटिव भी लिखना है तो भी कोई फर्क नहीं पड़ेगा मैंने सिर्फ आपको बता दिया क्योंकि वेरिएबल अब एक ही बच्चा है इसलिए आप यहां पर डेल्टा की जगह दी का उसे कर सकते हैं अब आगे बढ़ते हैं देखिए अब ये जो इक्वेशन आपके सामने लिखी है इसका सॉल्यूशन क्या होगा इसका सॉल्यूशन तो आपको याद होगा डी जनरल सॉल्यूशन डी जनरल सॉल्यूशन ऑफ इक्वेशन अबाउट डिफरेंशियल इक्वेशन अब देखो इसका जनरल सॉल्यूशन इसका जनरल सवाल इसका सॉल्यूशन तो आपने मैथमेटिक्स में बहुत बार कैलकुलेट किया है बहुत सारे क्वेश्चन में हमारे पास इस तरह के क्वेश्चन आते थे आपको याद होगा d2y /डीएस स्क्वायर की डिफरेंस में कंप्लीमेंट्री फंक्शन आपको लिखना आता है तो यहां पर हमारे पास जो आंसर आएगा इसका जनरल सॉल्यूशन का देखिए कितना होगा नो जनरल सॉल्यूशन तो यहां पर मेरे पास जनरल सॉल्यूशन सन की वैल्यू यहां से कितनी आएगी ध्यान दीजिए सन = ए कांस्टेंट है ये इसका जनरल सॉल्यूशन होगा एक्स के एक्स ये हमारा क्या ए गया इस इक्वल इस डिफरेंशियल इक्वेशन का जनरल सॉल्यूशन ए गया अब यहां पर जरा ध्यान देंगे अब यहां पर हमें क्या करना है इस ए और बी की वैल्यू को फाइंड आउट करना है इस ए और बी की वैल्यू को क्या करना है कैलकुलेट करना है कैसे कैलकुलेट होगी अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए यहां पर हम उसे करेंगे बाउंड्री कंडीशन नो अप्लाई बाउंड्री कंडीशन अप्लाई बाउंड्री कंडीशंस यहां पर अब मैं बाउंड्री कंडीशंस को अप्लाई करने जा रहा हूं तो ध्यान से देखेंगे देखिए बाउंड्री कंडीशन हमारे पास यहां पर दो हैं क्या क्या है एक तो एक्स = 0 पर एक्स = 0 पर हमारे पास जो है जरा ध्यान से देखो एक्स = 0 पर सन जीरो होगा क्योंकि ध्यान रखना वॉल के ऊपर भी वैल्यू क्या ए रही है साड़ी की जीरो अंदर क्या है नोट इक्वल तू जीरो कंडीशन को अप्लाई करते हैं तो यहां पर क्या लगाएंगे एक्स इक्वल तू जीरो साइन इक्वल तू जीरो इस कंडीशन को यहां पर लगा देते हैं देखिए क्या ए जाएगा अगर एक्स की वैल्यू आएगा इक्वल तू अगर मैं यहां पर एक्स को जीरो रखूंगा तो ये वैल्यू जीरो आएगी और अगर मैं यहां पर जीरो रखूंगा तो ये बी आएगा तो यहां से मुझे मिल जाएगा बी इक्वल तू जीरो तो बी की वैल्यू ए गई मेरे पास यहां पर जीरो आगे बढ़ते हैं देखिए उसके बाद अब हम दूसरी बाउंड्री कंडीशन लगाएंगे दूसरी बाउंड्री कंडीशन क्या है हमारे पास एक्टिव ए पर तो अब ध्यान दीजिए एक्स = ए पर कितना आएगा देखिए अगर ये बाउंड्री कंडीशन में एक्स = ए पर लगाऊं तो कितना ए जाएगा एक्स = ए पर तो यहां से एक्स = 1 पर भी सन की वैल्यू जीरो ही होगी तो जीरो इक्वल तू अब एक्स की जगह पट करेंगे लेकिन बी की जगह आप जीरो पट करोगे तो ये पार्ट 0 ए जाएगा तो यहां से मुझे क्या मिलेगा जरा ध्यान देना ये हमारे पास ए गया ए साइन के ए इक्वल तू में जीरो क्योंकि a0 के नीचे जाके जीरो हो जाएगा यानी की के ए की वैल्यू मेरे पास कितनी ए गई जीरो अब यहां पर साइन देखो ये तीता का कम कर रहा है यानी की सन तीता मेरा जीरो ए रहा है पर साइन तीता 0 कब होता है जब तीता की वैल्यू एमपी हो तो इसका मतलब यहां से ये हुआ की के ए की जो वैल्यू है वो हमारे पास क्या है प्लस माइंस अब यहां से मैं के की वैल्यू को कैलकुलेट कर सकता हूं तो देखो के की वैल्यू कितनी आएगी तो यहां से के = ए जाएगा nπ / ए + - nπ / ए ये मेरी वैल्यू आएगी के की एन पी अपन कितना ए जाएगा ए प्लस माइंस में अब थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं के की वैल्यू हमारे पास ए चुकी है है ना अब हमें देखो क्या करना है के की वैल्यू हमारे पास ए चुकी है हमें उसे करना है इस इक्वेशन का इक्वेशन नंबर वन की जगह इसको इक्वेशन नंबर वन दाल देता हूं यहां पर पट कर देंगे तो आपको क्या करना है इस के की वैल्यू को इक्वेशन नंबर वन में पट कर देना तो नो पट के एन इक्वेशन नंबर वन पट के इन इक्वेशन नंबर वन तो के को जब आप इक्वेशन वन में पट करेंगे तो देखिए कितना ए जाएगा अब यहां पर ध्यान देंगे के को अगर आप इक्वेशन वन में पट कर रहे हैं तो यहां पर के की जगह पट करेंगे आप nπ/ए तो ये प्लस माइंस था लेकिन जब होल स्क्वायर हो जाएगा तो प्लस ही आएगा इसका होल स्क्वायर इक्वल तू में इक्वल तू में कितना 2 एम ए अपन h² 2mg अपन में h² अब यहां पर देखो क्या करना है इसको सिंपलीफाई करना है कितना आएगा एन स्क्वायर अपन a² = 2m ए अब ये जो हा कट है यहां पर देखिए इसकी वैल्यू कितनी होती है इसकी वैल्यू होती है आपके पास हा / 2 पी तो इसके प्लेस पर हा / 2 पी रखेंगे तो ये x² और 2π का होल स्क्वायर ए जाएगा ऊपर यानी की ये बनेगा फोर बाय स्क्वायर अब यहां से जो कैंसिल हो रहा है उसको हम कैंसिल आउट करेंगे तो देखिए कितना कैंसिल हो जाएगा और क्या बचेगा यहां पर मैंने हा की वैल्यू पट कर दी ध्यान रखना अब यहां पर हम कैंसिल आउट करते हैं कैंसिल हो गया और कुछ कैंसिल हो रहा है चलिए अब यहां से मैं आई की वैल्यू को कैलकुलेट करूंगा देखा हूं आई की वैल्यू कितनी ए रही है तो इक्वल तू देखिए इधर ध्यान दीजिए ये h² ऊपर जाएगा बाकी सब नीचे जाएगा तो ये देखो 248 और ये एम और ये ए स्क्वायर यह हमारे पास ए जाएगा और यही हमारे पास क्या है एनर्जी का एक्सप्रेशन है एनर्जी ऑफ डी पार्टिकल तो यहां से देखो हमने क्या-क्या सोलिंगर वाव इक्वेशन का उसे करके सोल्डरिंगर इक्वेशन का उसे करके ये जो पार्टिकल का बॉक्स के अंदर इस पार्टिकल की हमने क्या कैलकुलेट कर ली एनर्जी कैलकुलेट कर ली लेकिन ये जो एनर्जी ए रही है अगर इसके फार्मूले को आप ध्यान से देखें तो n² h² / 8 एम a² है यानी की यहां पर जो वैल्यू है पार्टिकल की वो डिपेंड कर रही है किसके ऊपर एन के ऊपर और एन क्या है एक इंतजार है और अगर एन इंटीरियर होगा तो इसका मतलब पार्टिकल की जो एनर्जी है वो कंटीन्यूअस नहीं है डिस्क्रीट फॉर्म में है क्योंकि यहां पर एन की वैल्यू आप वन पट करेंगे तू पट करेंगे थ्री पट करेंगे यानी की इंतजार की फॉर्म में मल्टीप्लाई हो रही है तो यहां पर आप क्या लिखेंगे एनर्जी ऑफ पार्टिकल एनर्जी ऑफ पार्टिकल एनर्जी ऑफ पार्टिकल बन जाएगा तो अब यहां पर जब आगे ध्यान देंगे एनर्जी ऑफ पार्टिकल इसे इन डिस्क्रीट फॉर्म तो यह जो एनर्जी है पार्टिकल की है डिस्प्यूट फॉर्म में है अब यहां पर एक चीज और ध्यान देंगे ये जो एनर्जी की वैल्यू हमारे पास यहां पर आई है अगर मैं यहां पर वेयर ये जो एन है ये 123 दास दास ये हमारे पास एन की वैल्यू है अब यहां पर जरा ध्यान से समझिए अब यहां पर अगर मैं एन को वन रखूंगा तो मुझे e1 मिलेगा मैं इस एक्सप्रेशन को अब क्या कर देता हूं ऐसे लिख देते हैं है अब यहां पर जरा ध्यान रखना वन रखूंगा तो मुझे e1 मिलेगा एन की जगह तू रखूंगा तो ए तू मिलेगा एन की जगह थ्री रखूंगा तो इधर ही मिलेगा तो ये क्या है ये एनर्जी ऑफ पार्टिकल और इनको क्या कहा जाता है e1 e2 e3 आर कॉल्ड आर कॉल्ड आईकॉन वैल्यू ऑफ पार्टिकल एनर्जी तू रखेंगे a2 मिलेगी 3 रखेंगे तो ये सब जो वैल्यू आएगी इनको क्या कहते हैं हम आयरन वैल्यू कहते हैं यानी की यहां पर ये जो एनर्जी की वैल्यू ए रही है ये आईकॉन वैल्यू है हमारे पास अब देखिए जब एग्जाम में क्वेश्चन आता है तो वहां पर क्वेश्चन में बहुत बार मेंशन होता है की यूजिंग सोल्डरिंगर इक्वेशन कैलकुलेट डी आयरन फंक्शन ऑफ दी जिवन वे फंक्शन यानी की जिवन पार्टिकल तो वहां पर पार्टिकल की आईकॉन वैल्यू कैलकुलेट करने के लिए आई है तो याद रखना उसमें आपको में निकालना पड़ेगा लेकिन अभी आईकॉन फंक्शन हमारा नहीं आया है तो अब यहां पर जरा ध्यान देंगे व्हाट इसे आईकॉन फंक्शन नो आई कैन फंक्शन ऑफ डी जिवन फंक्शन अब हम बात करते हैं तो यहां पर दिया ध्यान दिए आईकॉन फंक्शन ऑफ पार्टिकल फंक्शन देखो क्या होगा अगर मैं आई कैन फंक्शन की बात करूं तो अब पीछे आते हैं वापस और हमारे पास जो ये इतना इतना पार्ट है इसको हम कहते फंक्शन अब मैं इसकी वैल्यू लिखने जा रहा हूं देखो कितना होगा तो आईकॉन फंक्शन क्या हो जाएगा हमारे पास आईकॉन फंक्शन होगा फंक्शन अब इसमें प्रॉब्लम क्या है की इस आईकॉन फंक्शन में अभी तक हमने ए को कैलकुलेट नहीं किया है एक कैलकुलेट नहीं हुआ अभी तक अगर आप ध्यान देंगे हमने बी को कैलकुलेट किया था जीरो आया था लेकिन अभी तक हमारा एक कैलकुलेट नहीं हुआ है एक कैलकुलेट नहीं हो तो ये हमारा आई गण फंक्शन है लेकिन इस आईकॉन फंक्शन में हमें ए को कैलकुलेट करना है और ए को कैलकुलेट करने के लिए हमें उसे करना पड़ेगा नॉर्मलाइजेशन कंडीशन अब ये नॉर्मलाइज कंडीशन क्या होती है वो मैं आपको बताता हूं तो इसके बाद हम क्या करेंगे तू फाइंड ए अप्लाई नॉर्मलाइजेशन कंडीशन तो अप्लाई नॉर्मलाइजेशन अप्लाई नॉर्मलाइजेशन तू फाइंड ए को फाइंड करने के लिए नॉर्मलाइजेशन कंडीशन का उसे करेंगे नॉर्मलाइजेशन का उसे करेंगे अब समझते हैं नॉर्मलाइजेशन एक्चुअल में होता क्या है देखिए जरा तो हम यहां पर नॉर्मलाइज कंडीशन का उसे करने जा रहे हैं देखो नॉर्मलाइजेशन कंडीशन का मतलब है की हमारा जो यह फंक्शन है यह जो हमें ए की वैल्यू को कैलकुलेट करना देखो ए की वैल्यू को हम किस कॉन्सेप्ट से कैलकुलेट करेंगे वह कॉन्सेप्ट मैं आपको बताने जा रहा हूं यहां पर सबसे पहले हम बात करेंगे जो हमारा फंक्शन है साइट पहले इसको समझिए जो ये साड़ी फंक्शन है ये वाव फंक्शन है क्या ये वे फंक्शन है अब अगर हम इस साइड फंक्शन की फिजिकल इंटरप्रिटेशन की बात करें है ना फिजिकल इंटरप्रिटेशन फिजिकल इंटरप्रिटेशन जिवन बाय बंद ये इंपॉर्टेंट क्वेश्चन भी है तो जो इस साइड फंक्शन की फिजिकल इंटरप्रिटेशन होती है वो ये है की अगर हम इसका मोड लेंगे इसका स्क्वायर कर दें तो ये जो नया एक टर्म हमें मिलती है इसको हम बोलते हैं प्रोबेबिलिटी प्रोबेबिलिटी डेंसिटी यानी की कोई भी पार्टिकल किस पॉइंट पर होगा उसकी क्या प्रोबेबिलिटी है उसे प्रोबेबिलिटी को हम साइन स्क्वायर से कैलकुलेट करते हैं जैसे पर एग्जांपल मां लेते हैं की देखो मां लेते हैं की स्पेस में पार्टिकल है इसकी प्रोबेबिलिटी क्या होगी अगर मां लेते हैं स्पेस में एक पार्टिकल है तो उसके पार्टिकल की स्पेस में होने की प्रोबेबिलिटी क्या हो गए सिंपल सी बात है स्पेस तो पूरा यूनिवर्सिटी हो गया है ना तो पार्टिकल स्पेस में है इस बात की प्रोबेबिलिटी क्या है वन होगी क्योंकि 100% पार्टिकल कहानी ना कहानी तो होगा ठीक अब यहां पर ध्यान से समझिए जरा अगर पार्टिकल की प्रोबेबिलिटी में फाइंड कर रहा हूं तो वो कैसे फाइंड होगी तो क्योंकि स्पेस की बात हो रही है तो ट्रिपल इंटीग्रेशन लेंगे और ये जो सैफ फंक्शन है ये जो हमारा साइज फंक्शन है इसका स्क्वायर करेंगे और इसको क्या कर देंगे इंटीग्रेटेड कर देंगे क्योंकि हमें स्पेस में इसके प्रोबेबिलिटी को फाइंड करना है पर ये क्या ए जाए इसको ये होगा हमारे पास प्रोबेबिलिटी डेंसिटी और इसकी वैल्यू आएगी वन देखो सिंपल सा कॉन्सेप्ट समझिए ये जो फिजिकल इंटरप्रिटेशन है वे फंक्शन की इस से ये फॉर्मूला आया है और इस फार्मूले के अकॉर्डिंग क्या है ये एक्चुअल में प्रोबेबिलिटी का फॉर्मूला है की हमारा जो पार्टिकल है वो स्पेस में कहानी ना कहानी होगा इस बात की क्या प्रोबेबिलिटी है तो इस बात की प्रोबेबिलिटी 100% है यानी की प्रोबेबिलिटी वन होगी और प्रोबेबिलिटी को लिखने का जो फॉर्मूला कैलकुलेट करने का फॉर्मूला वो ये है और इसी को हम कहते हैं नॉर्मलाइजेशन कंडीशन अब यहां पर एक बात इंपॉर्टेंट समझिए की जो हमारा पार्टिकल है वह 100% इस बॉक्स के अंदर ही है इसके अंदर है बॉक्स के अंदर और बॉक्स कैसा है बॉक्स वन डाइमेंशन का है बॉक्स थ्री डाइमेंशन का नहीं है तो अगर बॉक्स वन डाइमेंशन का है पर पार्टिकल इस बॉक्स के अंदर ही है तो इस बॉक्स के लिए वन डाइमेंशनल बॉक्स के लिए नॉर्मलाइजेशन कंडीशन क्या होगी जरा ध्यान दीजिए तो वन बॉक्स वन डाइमेंशनल बॉक्स के लिए नॉर्मलाइजेशन कंडीशन में क्या होगा हमें इंटीग्रेशन केवल एक ही बार करना होगा यानी की पार्टिकल बॉक्स के अंदर है इस बात के प्रोबेबिलिटी क्या है 100% है यानी की प्रोबेबिलिटी वन है तो नॉर्मलाइजेशन कंडीशन क्या हो गई साइन के मोड का स्क्वायर डीएस = 1 इस फार्मूले का हमें उसे करना पड़ेगा और इसी को हम कहते हैं नॉर्मलाइजेशन तो चलिए इस फार्मूले का उसे करते हैं और देखते हैं क्या आंसर आएगा तो बाय नॉर्मलाइजेशन कंडीशन तो नॉर्मलाइजेशन कंडीशन में हम इंटीग्रेशन का उसे करेंगे डीएस = साइन की वैल्यू हमारे पास ए गई थी 1 मिनट कहां गई ये देखिए ये वैल्यू हमारे पास ए रही है साइन कितना ए रहा है i1 फंक्शन ए साइन के एक्स यह वैल्यू को हमें क्या करना है पट करना तो देखो यहां पर साइन के मोड का स्क्वायर है तो इसका भी स्क्वायर हो जाएगा जब इसका स्क्वायर होगा तो ए साइन के एक्स वैल्यू हम यहां पर पट करेंगे तो चलिए यहां पर वैल्यू पट करते हैं तो जीरो से ए साइन क का होल स्क्वायर डीएस = 1 बस इसको इंटीग्रेशन करना है तो इंटीग्रेशन करना तो आपको आता ही है a² बाहर हो जाएगा कांस्टेंट है जीरो से ए साइन के एक्स और डीएस = 1 ये सन स्क्वायर अब यहां पर के की वैल्यू पहले पट कर देते हैं के की वैल्यू हमने कैलकुलेट कीजिए के की वैल्यू हमारे पास ये रहे तो पहले यहां पर के की वैल्यू पट कर देंगे ए की वैल्यू हमारी यहां से ए जाएगी चलिए इंटीग्रेशन करते हैं तो देखिए कितना कैसे होगा इंटीग्रेशन तो ये इंटीग्रेशन आपको अच्छे से आता है जीरो से ए यहां पर साइन स्क्वायर तीता का पहले फॉर्मूला लगाएंगे साइन स्क्वायर तीता क्या होता है 1 - cos2θ/2 इस फार्मूले का उसे करेंगे तभी तो इंटीग्रेशन होगा तो यहां पर हमें फॉर्मूला लगा देता हूं 1 - कस 2nπx 2np देखो एन पी एक्स तो पहले ही था तो तू nπ एक्स और डिवाइडेड बाय ए ठीक है ना और ये हमें इसका क्या करना है इंटीग्रेशन करना है डीएस बाहर ए गया इक्वल तू में वन अब देखो इसका इंटीग्रेशन कितना है अगर आप इसको इंटीग्रेटेड करते हैं तो a² लिमिट हमारी 0 से ए हो जाएगी वन का इंटीग्रेशन एक्स - अब इसका इंटीग्रेशन करेंगे कस का इंटीग्रेशन सन होता है तो sin2m पी एक्स / ए / एक्स के कॉएफिशिएंट से डिवाइड करेंगे तो 2nπ/ए आएगा लिमिट हमारी 0 से ए जाएगी इक्वल तू वन नो अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट तो यहां पर एक्स की जगह पट करना है आपको तो देखिए ए ब्रैकेट में यह ब्रैकेट में कितना आएगा ए स्क्वायर और यहां पर ए से ए कट जाएगा 2n/0 होता है तो ए माइंस जीरो ए जाएगा देखो आपने यहां पर लिमिट ठीक है इक्वल तू में वन है देखो यहां पर लिमिट जब आप अप्लाई करेंगे तो ये ए आएगा और यहां पर ये जीरो ए जाएगा फिर माइंस लोअर लिमिट आप लगा लीजिए लोअर में ये भी जीरो आएगा ये भी जीरो आएगा तो पूरा सब कुछ जीरो ही चल रहा है इक्वल तू में वन तो यहां से हमारे पास ए गया a² * ए = 1 हमें क्या कैलकुलेट करना है ए यहां से हमें कैलकुलेट करना है ए 1 मिनट यहां पर मैंने आठ तू नहीं लिखा है यहां पर तू छोड़ दिया हमने 2 आएगा क्योंकि जब हम ये फॉर्मूला लगाएंगे वन माइंस cos2θ/2 तो तू भी तो आएगा तो यहां पर तू और है चलिए तो ये हमारे पास ए गया यहां से अगर मैं a² को कैलकुलेट करूं तो ये 2 / ए आएगा यानी की यहां से मुझे ए की वैल्यू मिल जाएगी और ए मेरे पास यहां पर होगा इसे इक्वल तू अंदर रूट में तू अपन ए ये वैल्यू ये आपके पास ए गया अब यहां पर जरा ध्यान देना ये जब आपके पास ए गया ए को आपको कैलकुलेट करना था तो हमारे पास आईकॉन फंक्शन है क्या ए साइन के एक्स और यहां पर ए की वैल्यू पट कर दो तो हमारे पास देखिए जो आईकॉन फंक्शन है वो क्या आएगा नो फंक्शन आपके पास ए जाएगा क है के एक्स के की वैल्यू यहां पर पट कर दीजिए तो ये ए जाएगा सन = √2 / ए सन nπ स/ए और दिस इस डी फाइनल आईकॉन फंक्शन यह हमारे पास आईकॉन फंक्शन की क्या ए गई वैल्यू तो देखिए आपको एग्जाम में जर्नलिज्म क्वेश्चन पूछा जाता है वो यही पूछा जाता है की कैलकुलेट डी आयरन फंक्शन इन वन डाइमेंशनल बॉक्स तो वन डाइमेंशनल बॉक्स के लिए आपको आयरन फंक्शन की वैल्यू को कैलकुलेट करना है तो आप आईकॉन फंक्शन की वैल्यू यहां तक कैलकुलेट करेंगे और इससे पहले आईकॉन वैल्यू हमारे पास यहां पर ए जाएगा तो ये आईकॉन वैल्यू है और ये आएगा फंक्शन ठीक है तो मेरे ख्याल से यहां तक आपको समझ में ए गया होगा अब इसके आगे इसको और आगे कंप्लीट कर लेते हैं देखिए अब इसके बाद यहां पर देखिए दो तीन चीज समझ लीजिए जल्दी से क्या है ग्राफ ऑफ एनर्जी लेवल वे फंक्शन और प्रोब डेंसिटी प्रोबेबिलिटी डेंसिटी मतलब यह जो फंक्शन के जो मोड का स्क्वायर होता है इसको हम प्रोबेबिलिटी डेंसिटी कहते हैं मैं आपको पहले ही बता चुका हूं की कोई भी पार्टिकल कहां पर है क्वांटम मैकेनिक्स के अंदर पार्टिकल के एग्जैक्ट पोजीशन को एग्जैक्ट पोजीशन को डिफाइन नहीं किया जा सकता केवल उसके प्रोबेबिलिटी फाइंड आउट की जा शक्ति है की पार्टिकल के प्रेजेंट होने की प्रोबेबिलिटी क्या है किसी पर्टिकुलर पोजीशन पे तो हमें क्या करना है एनर्जी लेवल का ग्राफ बनाना है वे फंक्शन का ग्राफ बनाना है और प्रोबेबिलिटी डेंसिटी का ग्राफ बनाना आप ध्यान से समझिए बहुत सिंपल है क्या करना है इसमें तो और ये इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है ये भी एग्जाम में पूछा जाता है तो सबसे पहले हम क्या करेंगे वे नो डेट एनर्जी ऑफ पार्टिकल ट्रैवलिंग इन वन डाइमेंशनल वर्ब जो पार्टिकल वन डिमन वन डाइमेंशनल बॉक्स में ट्रैवल कर रहा है उसे पार्टिकल की जो एनर्जी है उसका फॉर्मूला ये लिखा है एन = n² x² / 8 ए एम ए स्क्वायर यहां पर क्या करना है एन की वैल्यू को 123 पट कर देना इससे क्या होगा हमें एनर्जी मिलेगी अलग-अलग एनर्जी आईकॉन वालुज हमें मिल जाएंगे तो यहां से देखो हम जब एन को वन पट करेंगे तो हमें a1 मिलेगा ठीक है ना यह फर्स्ट लेवल की एनर्जी है उसके बाद जब तू पट करेंगे तो e2 मिलेगा आप जरा ध्यान देना e2 में क्या हो जाएगा यहां फोर ए जाएगा एन की जगह तू आएगा तू का स्क्वायर 4 ए जाएगा और अगर आप इसमें ध्यान दें तो x² / 8 एम a² की वैल्यू है वो e1 की है तो यहां पर अगर मैं इसके प्लेस पर एवं रख डन तो फोर टाइम्स ऑफ e1 ए जाएगा सिमिलरली आप e3 निकलेंगे तो नाइन टाइम्स आप ये बन जाएगा e4 निकलेंगे 16 टाइम्स अभी वन ए जाएगा e5 निकलेंगे 25 टाइम्स ऑफ e1 ए जाएगा और अगर आप दो एनर्जी लेवल के बीच का डिफरेंस अगर आपके कैलकुलेट करते हैं तो e2 - e13 e1 e3 - a2 51 e4 - e3 = 7 तो इस तरीके से हमारे पास क्या ए जाएगा एनर्जी लेवल का डिफरेंस ए जाएगा और अब अगर हमें इसको ग्राफिकल रिप्रेजेंट करना हो तो कैसे करेंगे देखिए अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए यह ग्राफिकल रिप्रेजेंटेशन है यह एनर्जी लेवल का यह वाव फंक्शन का और यह प्रोबेबिलिटी डेंसिटी देगा तो सबसे पहले फ्रॉम थे अबोव इक्वेशन स्टेट है उनके बीच में जो एनर्जी का डिफरेंस है वो कांस्टेंट नहीं है डर पर आईटी इसे कनक्लूइडेड डेट डी एनर्जी लेवल आर नोट इक्वली स्पेस तो यहां पर जो एनर्जी लेवल है वो इक्वली स्पेस नहीं है उसको जरा ध्यान से समझिए एन = 1 के लिए ये एनर्जी लेवल है तू के लिए यहां पर पहुंच गया एनर्जी लेवल थ्री के लिए और ऊपर पहुंच पर अगर आप देखें इन दोनों के बीच का जो गैप है वो कांस्टेंट नहीं है वेरी कर रहा है इंक्रीज होता जा रहा है तो ये हमारा क्या हो गया एनर्जी लेवल का ग्राफ हो गया उसके बाद वे फंक्शन की बात करते हैं वे फंक्शन अब यहां पर जरा वे फंक्शन की अगर हम बात करें जो साइन है ये साइन की फॉर्म में आता है अभी हमने कैलकुलेट किया ना ये फंक्शन ये फंक्शन क्या है अगर मैं ये फंक्शन को यहां पर लिखूं तो वे फंक्शन होता है सन = अंदर रूट में तू अपन साइन एक्स अपन ए ये वाव फंक्शन का फॉर्मूला है यानी की कल मिलने जो वाव फंक्शन का ग्राफ बनेगा वो साइन कर्व बनेगा क्या बनेगा सन का कर्व बनेगा तो आप यहां पर देख सकते हैं ये सभी साइन के करण है हां अंतर है इसमें थोड़ा थोड़ा सा ये वाला जो साइन का कार्य है देखिए यहां पर जब एन की वैल्यू आप 1 पट करेंगे अगर आप एन की वैल्यू वन पट करेंगे तो ये सन एक्स / ए आएगा और एन की वैल्यू तू पट करेंगे तो 2 पी एक्स / ए आएगा मतलब खाने का ये है हमने पढ़ा था पीरियड ऑफ डी साइन फंक्शन जैसे सन एक्स का जो पीरियड होता है वो 2π होता है लेकिन जब एक्स के साथ में कोई नंबर मल्टीप्लाई होता है चला जाता है तो उसका पीरियड बदलते चला जाता है तो इसलिए पीरियड के चेंज होने की वजह से ये सन का थोड़ा थोड़ा चेंज हो रहा है एक्चुअल में ये तीनों के तीनों सिंगर नहीं है उसके बाद नव प्रोबेबिलिटी डेंसिटी मतलब इसका स्क्वायर हो गया सिंगर है वो प्लस में भी आता है माइंस में भी आता है लेकिन जब आप उसका स्क्वायर कर देंगे तो सन कर जो है वो केवल प्लस में आएगा माइंस में नहीं आएगा क्योंकि स्क्वायर होने के बाद उसकी वैल्यू माइंस में नहीं रहेगी तो ये भी एक्चुअल में साइन स्क्वायर एक्स का ग्राफ है तो यहां पर यह प्रोबेबिलिटी डेंसिटी का ग्राफ हो गया ये वाव फंक्शन का ग्राफ हो गया और ये हमारा एनर्जी लेवल का ग्राफ हो गया तो यहां पर हमारा जो पार्टिकल इन वन डाइमेंशनल बॉक्स था उसमें यही साड़ी चीज आपसे पूछी जाति है जो मैंने आपको अभी बताई अब यहां पर एक दो न्यूमेरिकल देख लेते हैं न्यूमेरिकल इसके बहुत सिंपल होते हैं जैसे यहां पर सबसे पहले न्यूमेरिकल है और इलेक्ट्रॉन इस बाउंड इन वन डाइमेंशनल पोटेंशियल बॉक्स देखो यहां पर क्या हो रहा है जो इलेक्ट्रॉन है वो वन डाइमेंशनल बॉक्स में क्या हो रहा है बाउंस हो रहा है अभी आगे देखो जरा इलेक्ट्रॉनिक बाउंड इन वन डाइमेंशनल पोटेंशियल बॉक्स जिसके विथ आपको दे राखी है आप सबसे पहले विथ आपको दे राखी है विथ क्या होती थी हमारी बॉक्स की देखो वृत्त को या तो एलसीएम करेंगे या फिर ए तो ये जो विथ है यहां से यहां तक इसको आप अब मां सकते हो लब मां सकते हैं ठीक है ना तो ए और ल दोनों फॉर्म में ले सकते हैं तो यहां पर मैं ल ले रहा हूं चले तो हमें यहां पर क्या क्या जिवन है जरा पहले देख लेते हैं जीवन क्या है ध्यान दीजिए यहां पर आपको जीवन है ल की वैल्यू कितनी है 2.5 * 10 की पावर माइंस 10 मी 2.5 दिया कैलकुलेट क्या करना है कैलकुलेट करना है हाइट ऑफ डी बॉक्स तू बी इंफिनिटी मतलब ये इंफ्राइनाइट वर्ब जो हमें अभी अभी हमने पार्टिकल इन बॉक्स पढ़ा है इस का क्वेश्चन है कैलकुलेट डी लोएस्ट परमिटेड एनर्जी वैल्यू ऑफ डी इलेक्ट्रॉन लोएस्ट परमिटेड कैलकुलेट डी लोएस्ट तू परमिटेड मतलब आपको यहां पर लोएस्ट एनर्जी कैलकुलेट करनी है मतलब आपको यहां पर दो चीज कैलकुलेट करनी है एवं और e2 ये दो वैल्यू आपको फाइंड आउट करनी है तो ये तो बहुत सिंपल हो गया सीधे फॉर्मूला लगाना है तो ए के फार्मूले में क्या-क्या आता है ए के फार्मूले में आपके पास जरा ध्यान दीजिए हा ए जाता है तो मैं हा की वैल्यू यहां पर लिख देता हूं हा कितना होता है 6.63 * 10 की पावर -34 हमारे पास ए गया हा हमारे पास ए गया और क्या आएगा फार्मूले में चलिए अब मैं यहां पर फॉर्मूला अप्लाई करता हूं जरा ध्यान से देखें तो फॉर्मूला आप जैसे ही अप्लाई करेंगे तो आपको आंसर मिल जाएगा तो फॉर्मूला देखिए क्या होगा हमारे पास एनर्जी का स्क्वायर एक्स स्क्वायर अपन ए स्क्वायर तो यहां पर ए की जगह अब यहां पर सिर्फ वैल्यू को सब्सीट्यूट करना है हमें साड़ी वैल्यू पता है अच्छा एम इलेक्ट्रॉन है इलेक्ट्रॉन के लिए मास कितना होगा 9.1 * 10 की पावर -31 किलोग्राम ये मास है साड़ी वैल्यू को यहां पर पट कर देंगे तो हमें क्या मिलेगा ए एन इक्वल तू अभी मैं एन की वैल्यू को पट नहीं कर रहा हूं एन को ऐसे ही रहने दो हा 6.63 * 10 की पावर -34 का होल स्क्वायर डिवाइडेड बाय 8 * 9.1 * 10 की पावर माइंस कितना है 2.5 * 10 की पावर माइंस 10 इसका हमें करना होल स्क्वायर और अब आपको कुछ नहीं करना सिर्फ कैलकुलेटर में साड़ी वालुज को इंटर करना है और जैसे ही आप कैलकुलेटर में साड़ी वालुज को इंटर करेंगे आपको इसका आंसर मिल जाएगा तो यहां से आपके पास देखिए एन कितना आएगा अभी ये इन टर्म्स ऑफ एन आएगा तो मैं यहां पर फाइनल आंसर लिख देता हूं की आपका इन टर्म्स ऑफ एन आंसर कितना आने वाला है देखिए तो इसको जब आप कैलकुलेट करेंगे तो ये आंसर आपका आएगा देखिए आंसर लिख लीजिए एक बार आपको ये इवेलुएट करना है कैलकुलेटर से मैं डायरेक्ट यहां पर आंसर लिख रहा हूं तो ये देखिए ए एन ए एन की वैल्यू आपके पास आएगी 6.9.66 * 10 की पावर -19 स्क्वायर ऐसे ही रहेगा इसको डिवाइड कर देते हैं .2 और यह जो यूनिट हो जाएगी अब इलेक्ट्रॉन वॉल्ट हो जाएगी देखो हमने क्या किया इसको इलेक्ट्रॉन के चार्ज से डिवाइड कर दिया तो जिसको जब डिवाइड करेंगे तो इसके यूनिट इलेक्ट्रॉन वॉल्ट में कन्वर्ट हो जाएगी पर इस वैल्यू को जब आप फाइंड आउट करेंगे तो ये वैल्यू आपके पास आएगी एन इक्वल तू 6.04 6.04 n² इलेक्ट्रॉन वॉल्ट ये वैल्यू ए जाएगी अब आपसे पूछा गया था आपसे पूछा था कैलकुलेट डी लोएस्ट तू परमिटेड एनर्जी वैल्यू तो यानी की आपको e1 कैलकुलेट करना है तो यहां पर एन की जगह वन पट कर देंगे तो आंसर आएगा 6.04 इलेक्ट्रॉन वॉल्ट पहले आंसर और अगर आप तू पट कर देंगे एन के प्लेस पर तो ये फोर से मल्टीप्लाई हो जाएगा तो ये आंसर ए जाएगा 24.16 इलेक्ट्रॉन वॉल्ट तो ये हमारे लोएस्ट एनर्जी लेवल ए गए दोनों तो आपको एवं और e2 की वैल्यू निकाल लेते जो मैंने यहां से कैलकुलेट कर दी ठीक है तो मेरे ख्याल से आप सभी को समझ में ए गया होगा की किस तरीके से ये वैल्यू कैलकुलेट होगी और लास्ट में दो क्वेश्चन और है जो आपको अपने आप पर प्रैक्टिस करने हैं सिंपल सिंपल क्वेश्चन है आंसर इनका यहां पर लिखा है है ना इनका आंसर आपको यही पर दिया गया है तो ये तो बहुत आसानी से सॉल्व हो जाएंगे क्वांटम मैकेनिक्स ये हमारा इसका रिवीजन जो है वो कंप्लीट हो गया इसमें एक इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है डेट इस फिजिकल इंटरप्रिटेशन ऑफ वे फंक्शन तो मैंने आपको वे फंक्शन का फिजिकल इंटरप्रिटेशन बता दिया है एक्चुअल में वे फंक्शन जो होता है वो किस चीज को रिप्रेजेंट करता है वे फंक्शन रिप्रेजेंट करता है हमारा जैसे वे फंक्शन के मोड का अगर हम स्क्वायर ले ले तो यह रिप्रेजेंट करता है की पार्टिकल को फाइंड करने की प्रोबेबिलिटी क्या है है ना तो ये थियोरेटिकल क्वेश्चन है इसका आंसर भी मैं आपको इसमें नोट्स में एड करके दे दूंगा ठीक है ना तो अभी आप इन क्वेश्चन को प्रैक्टिस करिए और जो पूरा का पूरा यूनिट है उसको ठीक से रिवाइज करिए ओके थैंक यू सो मैच