Mini Lezione sulle Applicazioni Lineari

Introduzione

• Tema: Applicazioni lineari in algebra lineare.
• Argomenti comuni nei compiti:
  • Determinazione della matrice associata.
  • Studio dell'immagine e del nucleo.
  • Variazione di parametri.
  • Determinazione di autovalori, autovettori e autospazi.

Definizione di Applicazione Lineare

• Un'applicazione è lineare se verifica due proprietà:
  1. Proprietà di somma:
     Se [ v_1, v_2 \in V ]
     allora
     [ f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) ]
  2. Proprietà di scalarità:
     Se ( v \in V ) e ( \lambda \in K ), allora
     [ f(\lambda v) = \lambda f(v) ]

Esempio di Applicazione Lineare

• Consideriamo l'applicazione
  [ f(x, y, z) = (x + y, x, x - z) ]
• Verifica delle proprietà:
  1. Proprietà di somma:
     • Dati ( v_1 = (x_1, y_1, z_1) ) e ( v_2 = (x_2, y_2, z_2) )
     • Calcolo di ( f(v_1 + v_2) ) e confronto con ( f(v_1) + f(v_2) ):
       [ f(v_1 + v_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_1 + x_2, x_1 - z_1 - z_2) ]
       [ f(v_1) + f(v_2) = (x_1 + y_1, x_1, x_1 - z_1) + (x_2 + y_2, x_2, x_2 - z_2) ]
       • Verifica che i membri siano uguali.
  2. Proprietà di scalarità:
     • Dato ( \lambda \in K )
       [ f(\lambda v) = f(\lambda (x, y, z)) = f( (\lambda x, \lambda y, \lambda z) ) ]
       • Verifica se ( \lambda f(v) ) è uguale.

Controesempio di Applicazione Non Lineare

• Consideriamo l'applicazione
  [ f(x, y, z) = (x, y + z + 1) ]
• Verifica delle proprietà:
  1. Proprietà di somma:
     • Verifica che
       [ f(v_1 + v_2) \neq f(v_1) + f(v_2) ]
       • Dimostrazione del fallimento di questa proprietà.

Conclusione

• Importanza delle applicazioni lineari in algebra lineare.
• Ulteriori studi su matrici, polinomi e funzioni per approfondire l'argomento.
• Saluti e arrivederci al prossimo video.