salve a tutti e benvenuti in questa mini lezione oggi parleremo di applicazioni lineari argomento che si colloca in algebra lineare quante volte nei compiti in classe viene assegnata un'applicazione lineare di cui si richiede di determinare quindi la matrice associata all'applicazione lineare poi studiare l'immagine il nucleo magari al variare di un certo parametro hk quello che si sa magari anche studiare la contro immagine e se abbiamo unendo moltissimo magari andare a determinare gli auto valori gli auto vettori gli auto spazi e vedere se questo moltissimo il semplice ma andiamo per ordine cosa vuol dire però che un'applicazione è lineare spesso e volentieri prima di andare a determinare quello che abbiamo detto prima cioè immagine nucleo e via dicendo viene richiesto di verificare se l'applicazione data è un'applicazione lineare quindi vediamo cosa vuol dire allora consideriamo di avere un'applicazione che va quindi la chiamiamo ad esempio f che va da uno spazio vettoriale vi ad uno spazio vettoriale w grande woogie e w con possono essere vari spazi vettoriali ad esempio lo spazio metterò vettoriale dei vettori oppure quello delle matrici quello dei polinomi o lo spazio vettoriale delle funzioni e via dicendo ora cosa vuol dire che questa applicazione è un'applicazione lineare l'applicazione definita da b a b doppio e lineare se vengono verificate due proprietà allora quali sono una quindi la prima proprietà è la seguente consideriamo di scegliere due qualsiasi vettori del primo spazio vi chiamiamoli quindi vicolo 1 heavy con due appartenenti a di grande ora questa applicazione in lineare se viene soddisfatta questa proprietà ovvero la funzione calcolata nella somma di questi due vettori cioè in b1 più v2 è uguale a che cosa afdb 1 ovvero l'immagine del primo vettore più fdv 2 ma non basta la seconda proprietà è la seguente consideriamo a solito un vettore di v appartenente a v grande e consideriamo uno scalare chiamiamolo ad esempio lambda appartenente a un certo campo k in questo caso potrebbe essere il campo dei numeri reali dei numeri complessi poco importa qui generalizziamo quindi lambda parte né a k in questo caso deve accadere che la funzione calcolata in land da terzi quindi nel prodotto dilambda per il vettore vi deve essere uguale a f calcolato in vico invio ovviamente lettori di b grande che moltiplica lambda se vengono verificate queste due proprietà l'applicazione si dice lineare facciamo un semplice esempio allora consideriamo un applicazione chiamiamola al solito f definita che vada r3 ad r3 quindi questo è un punto moltissimo perché vada uno spazio a se stesso così lo invento a casaccio un esempio molto semplice ad esempio fdi y z è la seguente hicks più y poi hicks ed hicks meno z questa è la legge che ho inventato io ora questa applicazione possiamo dire che è l'ideale vediamo vediamo se vengono verificate queste due proprietà allora cosa facciamo scegliamo due elementi generici dr3 quindi un vettore v con uno lo chiamo hicks con uno gli hoops loncon 1 e z con uno così come b con due uguale a in questo caso a ips con due sono con due zeta con due cosa faccio ora voglio vedere se fdv con uno più vi con due è uguale afdb con uno più fdb con due allora cosa faccio calcoliamo quindi concentriamoci sul primo membro quindi calcoliamo v con uno più vi con due calcolare plico monti conto è molto semplice è la somma delle componenti omonime quindi chi sarà in questo caso vi con uno più b con due ovviamente la prima componente x1 più x2 poi la seconda componente y uno più y con due ea seguire z con uno più z con due ora cosa vuol dire andare a calcolare quindi questa funzione in questo vettore qua certo abbiamo la funzione in corrispondenza di questo vettore per andare a sostituire semplicemente allora al posto di questa hit devo andare a mettere hicks con uno più hicks con due quindi cosa otteniamo quindi chi è fdv uno più vi con due non è altro che con uno più ips con due quindi solo uno più hicks con due poi più y y rappresenta questa somma qui quindi più x1 più ips slow con due poi virgola seconda componente cosa dobbiamo andare a mettere il governo in questo caso hicks con uno più hicks con due è infine hicks meno z ovvero x1 x2 quindi x1 x2 di meno ovviamente chi è in questo caso zzz 1 chiuse da due quindi cambiando i segni meno z1 meno z2 vedete questa è il primo membro ora vediamo se il primo membro è uguale alla somma di ftv uno più fdp 2 beh questo è anche molto semplice perché chi è fdv 1 in questo caso b1 e x1 y1 z con uno quindi è molto semplice ovviamente basta andare a sostituire qui quindi e hicks con uno più x3 con uno virgola it con uno virgola e con uno meno z1 mentre ovviamente fdv con due basta andare a sostituire ovviamente nella ecc i valori x2 x3 con due zeta due quindi abbiamo hicks con due più y con 2,2 e infine hicks con due meno z2 ora andiamo a fare la somma di fdv uno più fdv 2 cosa spunta che guardate otteniamo esattamente il primo membro per che otteniamo x1 più y1 più x2 più y con due vedete qua quindi applicando ovviamente associandoli diversamente cioè otteniamo facilmente che x1 più in questo caso x2 più ips uno più ips troncon 2 poi vicolo ovviamente qua per la seconda componente x1 più pix due quinti x1 più x2 e infine x1 più x2 vedete meno z1 meno z2 quindi abbiamo scoperto che cosa abbiamo verificato che fdp uno più p2 è uguale a f di più più fdv due quindi la prima proprietà è stata verificata verificare la seconda proprietà è davvero banale perché cosa vuol dire andare a calcolare qui lambda vi è quindi è finland dhabi intanto consideriamo il generico vettore per esempio potremmo prendere questo vivono quindi cosa vuol dire chi è in questo caso lambda vi quindi lambda per vi non è altro che in questo caso lambda per b1 per x1 poi lambda x y con uno è lambda terra z con 1 ora cosa vuol dire andare a calcolare la funzione in lambda vibe al posto di hicks vado a mettere lambda 1 al posto di in questo caso di yoox non vado a mettere lambda uk sono con una al posto ovviamente della z va ad ammettere lambda z con uno e quindi cosa otterremo otterremo facilmente beh basta andare a sostituire nella legge qui quindi otteniamo land da hicks con uno più lambda y con uno poi abbiamo per quanto riguarda hicks abbiamo lambda che moltiplica e hicks con uno è infine lambda che molti che moltiplicati ips con uno meno land da che moltiplica in questo caso z con uno ma cosa vuol dire invece verifiche vediamo cosa vuol dire questo termine qua beh fdp ovviamente guarda te ce l'abbiamo qui praticamente sostituito essendosi come l'ho chiamato però io vi con con l'indice in questo caso b con uno ho usato quindi vi con un x1 luke01 z1 non c'è corrisponde a che cose in questo caso fdv fdp con uno a questa legge ma dobbiamo mettere cuoco 11 11 e 1 al posto di ogni variabile quindi cosa sarebbe in questo caso quindi moltiplicare lambda per fdp v con uno chiamiamolo andare a moltiplicare tutto per l'ambra cioè land da ics più lampe da y lambda hicks land anche qui per hicks meno lambda da zero cioè questa scrittura qua sotto quindi banalmente abbiamo verificato che questa è un'applicazione lineare vediamo invece un contro esempio cioè un'applicazione che non è lineare lo vediamo immediatamente consideriamo la seguente applicazione f di y z uguale a hicks virgola e poi y più z più uno questa è una applicazione che manda un vettore a tre componenti in un vettore a due componenti vediamo se questa applicazione è lineare o meno vi mostreremo ovviamente che non è lineare allora vediamo di cominciare a vedere la prima proprietà cosa dice la prima proprietà che f calcolato in b1 più v2 come abbiamo visto poco fa è uguale a fdv uno più fdp 2 andiamo quindi ci scegliamo 2 generici e vettori quindi il primo vettore v con uno che x1 y con uno z con 1 il secondo vettore b con due è in questo caso come abbiamo fatto poco fa x2 x3 con due zeta con due allora chi è la somma v con uno più vi con due l'abbiamo visto poco fa è x1 più x2 virgola y con uno più y con due è invece nella terza componente z con uno più z con due cosa vuol dire andare a calcolare la funzione in b con uno più b con due beh vuol dire andare a mettere al posto di chi questa componente questa somma quindi ex1 più x2 chi è la seconda componente e dobbiamo scrivere in questo caso io sono più z che uno ovvero uk sono quindi y con uno più y con due poi più z con uno più z con due quindi la terza componente e poi attenzione dobbiamo andare ad aggiungere ovviamente più puro e chiudo qui ora questo quindi è il primo membro vediamo di andare a verificare ora chi è se andiamo a calcolare fdp 1 ed fdp 2 e poi verificheremo meno l'uguaglianza fra primo e secondo membro ovviamente chi è f calcolato in b con uno ovviamente g con uno è il vettore di componenti x1 x1 z1 quindi applichiamo la legge hicks con 1,1 tz1 più uno invece chi e fdb con due ovviamente è hicks con due poi la seconda componente invece ips con due più z con due più uno ora andiamo a fare la somma di fdv con uno fdp con due c'è delle immagini chi è la somma quindi quindi andiamo a fare questa somma in pratica quindi sa che cosa sarà uguale a la prima componente hicks con uno più hicks con due e guardate in questo caso coincide vedete quindi sembra che tutto stia andando bene ma attenzione qui qui abbiamo y1 più y con due quindi sono con uno più y con due e quindi vedete siamo arrivati qua sembra che c'è l'uguaglianza poi ancora c'è più z con uno più z con due quindi sempre che tutto sta andando bene ma attenzione cosa abbiamo qui 1 più 1 1 che uno ovviamente risulta due quindi più due quindi come potete vedere questo vettore qui non coincide con questo vettore qui basta abbiamo finito abbiamo verificato che questa non è una applicazione lineare ovviamente di esempi se ne potrebbero fare tantissimi ma io mi limito a fare qualche esempio molto ma molto semplice per giunta nello spazio dei rettori perché si potrebbero fare decine centinaia di esempi anche in altri spazi vettoriali molto interessanti quelli delle matrici quelli dei polinomi te le funzioni eccetera eccetera ma ovviamente per mancanza di tempo spazio eccetera eccetera mi limito a fare questo esempio quindi come al solito spero che questa piccola mini lezione possa esservi d'aiuto greche dirvi arrivederci al prossimo video ciao a tutti