Hola muchachos, ¿cómo están? Les saludo nuevamente. Ya saben que mi nombre es Cristian y también saben que soy el profe que más conoce de Xani en todo el país. Chicos, en esta ocasión les traigo la clase número 14 de este curso completito de pensamiento matemático para que puedas superar con éxito tu nuevo Xani 2. Este curso te lo estoy regalando, te lo estoy haciendo con mucho esfuerzo, cariño, para que tengas recursos gratuitos al alcance, al alcance de solamente un clic en internet. Y de esta forma puedas estudiar de forma maravillosa para que puedas vencer tu examen de admisión, para que puedas ser admitido a la carrera que estás aplicando en la universidad que sea.
No importa si vas a la UNL, no importa si vas a la Unison, si vas a la de Nayarit, a la de Zacatecas, a la UB, a la UAD, a cualquier universidad, siempre y cuando ésta aplique el nuevo XENI2, déjame decirte que estás en el curso indicado. El tema de hoy es el tema de Autorema de Pitágoras. El tema de Autorema de Pitágoras, chicos, no aparece en la guía oficial.
del nuevo oxenido, si tú te vas a la página oficial del nuevo oxenido y descargas la guía oficial, la página oficial se llama Ceneval, si te vas a la página de Ceneval, descargas la guía, en la guía oficial no vas a encontrar el teorema de Pitágoras, sin embargo yo considero apropiado verlo, ¿por qué? porque para ver el tema de razones trigonométricas necesito que tú sepas primero el teorema de Pitágoras, en el examen real, ya si tú hiciste un nuevo oxenido con anterioridad, no me vas a dejar mentir, vienen ejercicios de razones trigonométricas, en los que en algunos casos tienes que conocer un lado del triángulo rectángulo aplicando teorema de Pitágoras. Entonces, teorema de Pitágoras es un insumo para otros temas. Por eso, es la razón por la cual yo decidí meter este tema aquí en el curso.
Espero que lo disfrutes. También espero que todos los ejercicios que te voy a presentar los hagas tuyos, porque son ejercicios interesantes y ejercicios, algunos de ellos se han presentado incluso en el examen de admisión, y los hago para ti. Entonces, vamos a comenzar con la explicación. ¿Qué te parece?
Mira. El teorema de Pitágoras prácticamente consiste en una igualdad, en una ecuación. La ecuación es esta.
Esta es la ecuación, la voy a seleccionar. Esta es la ecuación del teorema de Pitágoras. Es c cuadrada igual a a cuadrada más b cuadrada. Esa ecuación, ¿dónde existe? Existe en un triángulo rectángulo, en un triángulo donde uno de sus ángulos internos mide 90 grados.
El teorema de Pitágoras solamente lo puedes emplear en un triángulo que tenga un ángulo de 90 grados. Si el triángulo no tiene un ángulo de 90 grados, se tiene que usar ley de senos, ley de cosenos o algún otro instrumento, pero no el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras es exclusivamente para triángulos rectángulos, triángulos que tienen un ángulo de 90 grados en su interior. Mira, si tú observas el triángulo que se encuentra al lado derecho de la igualdad, vas a notar que tiene letras.
Los lados del triángulo tienen letras. Generalmente, el lado vertical también se le denomina cateto. Este cateto. generalmente el cateto vertical se simboliza con la letra A, y el cateto horizontal se simboliza con la letra B, generalmente. Generalmente el vertical es el A y el horizontal es el B.
Así lo puede relacionar, siempre sale, siempre es funcional. El vertical es el A, el horizontal es el B. Y fíjate bien, el lado frontal al de 90, este es el de 90, ¿no?
Este es el de 90, el frontal es lo que está al frente, entonces el frontal siempre es la hipotenusa. Esta es la hipotenusa. La hipotenusa siempre es el lado C, ¿sale?
La hipotenusa siempre es el lado C, el lado C, siempre el lado C. Entonces, tú lo que tienes que saber es que el teorema de Pitágoras es prácticamente, fíjate bien, este cuadrado, este cateto al cuadrado, este cateto al cuadrado, más este cateto al cuadrado, me va a dar la hipotenusa al cuadrado. Me va a dar la hipotenusa al cuadrado, que es prácticamente lo que te dice esta ecuación, ¿sale?
La hipotenusa al cuadrado... Es igual al primer cateto al cuadrado más el segundo cateto al cuadrado. Eso es Pitágoras, prácticamente.
Y lo que tienes que hacer es una sustitución para encontrar la incógnita en cada uno de estos tres casos. Vamos a hacerlo. Fíjate bien, ¿eh?
Fíjate bien. Voy a ponerle letras. El vertical es el A. Este es el A. El horizontal es el B.
Y la hipotonusa siempre es el C. Aquí también este es el A. Este es el B.
Y este es el C. Aquí también este es el A. Este es el B. Y este es el C. Y ya nomás sustituyes.
Fíjate, vamos a hacer la sustitución. Voy a usar la ecuación. La ecuación es, con otro colorcito, es c cuadrada igual a cuadrada más b cuadrada.
Y ahí voy a sustituir. Vamos a sustituir, con calma. A ver, la c. La c es la que me están pidiendo. La c es x.
Entonces, aquí vas a colocar la x. Será x al cuadrado. Ok.
Ah, la vale 2. Entonces, aquí colocas 2 al cuadrado. Y en lugar de la b vas a colocar su valor, que es 1. 1 al cuadrado. Y simplificas. 2 al cuadrado me da 4, 1 al cuadrado me da 1 y acá pues es x cuadrada y 4 más 1 pues me da 5, te quedas con que x cuadrada es igual a 5 y ese cuadrado, este cuadrado se manda al otro lado con raíz.
Entonces la x sería igual a la raíz cuadrada de 5. Y listo. Esto sería raíz cuadrada de 5. De esa forma encontramos el valor de la incógnita, el valor del lado faltante. Es lo único que tienes que hacer.
En cualquier problema de Pitágoras, es lo único que tienes que hacer. Sustituir los lados que conoces en la ecuación original de Pitágoras. Por ejemplo, en el caso número 2 es lo mismo.
La ecuación es c cuadrada igual a cuadrada más b cuadrada. ¿Sabes? Entonces, ¿qué voy a hacer ahí?
sustituyes, fíjate bien, la c es una raíz, la raíz de 29, será raíz de 29, 29 raíz, pero al cuadrado, al cuadrado, perfecto, es igual a, la vale 2, sería 2 al cuadrado, perfecto, más b, la b es x, x al cuadrado, ahí quedó, y simplificas y despejas x, a ver, aquí lo que tienes que saber o recordar es que, acuérdate, una raíz elevada a un cuadrado se cancela, te quedas con 29, Igual acá 2 al cuadrado me da 4 más x cuadrada, ¿no? Y este 4, aquí está sumando el 4, lo mandas para acá a restar. Entonces te quedas con que 29 menos 4 es igual a x cuadrada.
Y 29 menos 4 pues me da 25. 25, fíjate bien, 25 es igual a x cuadrada. Entonces es como que si lo tuviera al revés. x cuadrada igual a 25. Y ese cuadradito lo mandas en raíz al otro lado.
Entonces x es igual a la raíz cuadrada de 25. ¿Y la raíz cuadrada de 25 cuánto es? La raíz cuadrada de 25, pues es 5. Entonces, x es 5. Y aquí pondrás ese 5. Aquí pondrás ese 5. La x es 5, con color negrito. La x es 5. Ahí quedó. Ya encontramos su valor.
Y aquí encontramos que la x era 5, ¿no? Perdón, en el primer ejercicio encontramos que la x era raíz de 5. Y en el segundo, que la x es 5. Y en el caso 3, igual. Es lo mismo. En el caso 3, fíjate bien. Es a cuadrada más b cuadrada.
igual a c cuadrada, ¿no? o al revés, primero comienzas con la c cuadrada, a ver, voy a comenzar primero con c cuadrada, ¿qué te parece? primero con c cuadrada para seguir el orden aquí, c cuadrada, ¿no?
y en lugar de c sustituyes, en lugar de c vas a colocar raíz de 20, será raíz de 20 igual a, en este caso es x, x al cuadrado y la b, la b es 4, 4 al cuadrado y simplificas, ¿sale? pero esta raíz de 20 debe estar elevada al cuadrado porque es c cuadrada, entonces esto lo elevas al cuadrado, ¿sabes? Y acuérdate que la raíz al cuadrado se elimina y te quedas con 20, ya que es x cuadrada y 4 al cuadrado me da 16, ahí quedó. Y este 16 que estás sumando lo mandas al otro lado a restar, te quedas con que 20 menos 16 es igual a x cuadrada, ¿sabes? Y 20 menos 16 pues me da 4, 4 es igual a x cuadrada y ese cuadrado lo mandas en raíz, la raíz de 4 es igual a x y la raíz de 4 pues es 2, la x es 2. Y ese 2 aquí lo pondrías, aquí lo pondrías.
Entonces ya encontramos el valor de la incógnita x. ¿Cómo ves? Es lo único que tienes que hacer.
En el teorema de Pitágoras es prácticamente lo único que tienes que hacer. Es una mera sustitución en la ecuación original. Lo único, lo único. Entonces, ¿qué te recomiendo? Te recomiendo que copies estos ejercicios porque, como te digo, son importantísimos para el tema de razones trigonométricas.
El teorema de Pitágoras es fundamental para el tema de razones trigonométricas. Fundamental, fundamental. Tú te vas a dar cuenta cuando posteriormente en este mismo curso llegues a la clase de razones trigonométricas. Y ahí va los ejercicios. Ahí voy a usar pitágoras.
Entonces chicos, vamos a continuar. Fíjate bien, voy a continuar. ¿Qué dice el problema número 4?
Problema número 4. Siguiente laminilla. Son otros tres casos. Tres casos más.
A ver, vamos a practicar un poquito más. Anótalos en tu cuaderno. El primer caso, el caso número 4. Ok, fíjate bien.
El triángulo está al revés. El triángulo está al revés, entonces hay que identificar quién es tu hipotenusa. La hipotenusa es el lado frontal al de 90. El lado frontal al de 90, este es el de 90, ¿eh?
El de 90. Su frontal a lo que está al frente, el frente. Entonces, este es la hipotenusa. Por lo tanto, esta será la letra C, ¿sabes?
Y el vertical puedes llamarle A. Puedes llamarle A y el horizontal puedes llamarle B. No hay problema, ¿sale?
Y acá lo mismo, el vertical es A, el horizontal es B y la hipotenusa pues es C. Y acá igual. La hipotenusa C, el vertical que sea A y el horizontal que sea B. Y sustituyes, aquí es C cuadrada igual a cuadrada más B cuadrada. Entonces voy a sustituir, en lugar de la C, que voy a colocar la X, sería X al cuadrado.
En lugar de la A que voy a colocar, este 4, sería 4 al cuadrado, perfecto. Y en lugar de la B voy a colocar este valor, 3, 3 al cuadrado. Y simplificas, X cuadrada es igual a 4 al cuadrado que es 16. 3 al cuadrado pues es 9, y 16 más 9 me da 25, entonces x cuadrada es 25. Y esa raíz, perdón, ese cuadrado, ese cuadrado lo mandas en raíz, acuérdate, un cuadrado se manda en raíz. Entonces te quedas con que x es igual a la raíz de 25. Y la raíz de 25, ¿sabes qué es 5?
Entonces, x es igual a 5. Y aquí pondrías ese 5, 5. Ahí quedó. ¿Sabes? A ver, ¿qué observas en este triángulo?
¿Qué es lo que tú observas? Tienes que observar algo. Lo que tú observas, fíjate bien, voy a borrar las letras. Letra, letra y letra. ¿Qué observas?
Que los tres lados son enteros. Los tres lados son enteros, fíjate bien. Aquí tienes un número entero, un número entero y un número entero. Los tres lados son enteros. Si los tres lados...
Si los tres lados son enteros, se dice que es un triángulo pitagórico. Es un triángulo pitagórico. ¿Por qué es un triángulo pitagórico?
Porque tiene tres lados enteros. Y te voy a decir algo más. En el exáni 2, comúnmente lo que viene es triángulos pitagóricos. Cuando tienes que usar el teorema de Pitágoras, prácticamente te ponen triángulos pitagóricos.
Es decir, triángulos que tienen sus tres lados enteros. Este es el primer triángulo pitagórico, el de 3, 4 y 5. 3, 4 y 5, ¿eh? Los catetos son 3 y 4 y la hipotonusa 5. A ver, el otro, el caso siguiente, este. Vamos a resolverlo. Mi ecuación, mi ecuación es c cuadrada igual a cuadrada más b cuadrada, ¿no?
En lugar de c voy a colocar 13. 3 al cuadrado, en lugar de a voy a colocarle x, x al cuadrado y en lugar de b voy a colocar 5. Simplificas, 3 al cuadrado es 13 por 13, me da 169. Pasas de x cuadrada y 5 por 5. porque 5 al cuadrado de 5 por 5 pues me da 25 y ahí vamos, ese 25 lo mandamos a restar al otro lado, te quedas con 169 menos 25 y acá te quedas con x cuadrada y 169 menos 25 me da 144, la x cuadrada es igual a 144 y ese cuadrado se manda en raíz, entonces la x es igual a la raíz de 144 y la raíz de 144 es 12 con tu calculadora, ¿sale? Recuerda que en el examen tienes acceso a una calculadora, la x es 12. Esto es 12. Y mismo caso que el problema anterior. ¿Qué notas?
Voy a borrar las letras. ¿Qué notas? Que los tres lados son enteros. Fíjate bien.
Tienes la hipotenusa 13, un cateto 5 y un cateto 12. Los tres lados son enteros. Entonces es otro triángulo pitagórico. Ya llevamos dos.
El primero es el de 3, 4 y 5 y el segundo es el de 5, 2 y 13. Son dos triángulos pitagóricos. ¿Qué pasa con el caso 6? A ver, caso 6. Vamos al caso 6. El caso 6 me dice esto, fíjate bien, misma sustitución, me dice que el cateto A es 8, el cateto B es X y la hipotenusa es 17. Quedamos que C cuadrada es igual a cuadrada más B cuadrada, sustituyes, en lugar de C vas a colocar 17, 17 al cuadrado, en lugar de A vas a colocar 8, sería 8 al cuadrado y en lugar de B pues de X.
17 al cuadrado ¿cuánto es? Yo tengo mi calculadora, a ver, voy a agarrar mi calculadora y voy a multiplicar, fíjate bien, voy a multiplicar 17 al cuadrado que es 17 por 17, eso me da 289, 289. Y 8 al cuadrado pues es 8 por 8, 64. O sea, más la x cuadrada, ¿no? Aquí me hizo falta el cuadradito, me hizo falta, porque la b está al cuadrado.
Y ese 64 lo mandas a restar, te quedas con que 289 menos 64 es igual a x cuadrada. A ver, voy a hacerlo, 289 menos 64 me da 225. Entonces 225... Es igual a la x cuadrada.
Y ese cuadrado lo mandas en raíz. Entonces te quedarías con que la x es igual a la raíz de 225. Y la raíz de 225 pues es 15. Entonces la x es 15. Y ese 15 lo pondrías aquí. 15 ahí.
Y mismo caso que los problemas anteriores. Voy a borrar las letras. ¿Qué notas? Que los tres lados son enteros. Tienes el 17, el 8 y el 15. Entonces estos son los tres triángulos pitagóricos que tú necesitas para tu examen de admisión.
Con estos tres prácticamente todos los ejercicios del examen salen. Con estos tres te vas a dar cuenta. Ahorita te traigo una aplicación.
Entonces, es el de 3, 4 y 5. 5, 2 y 13. Y 8, 15 y 17. ¿Sabes? La hipotenusa siempre es el lado más grande. La hipotenusa siempre es el lado más grande. Entonces, ¿qué te recomiendo?
Que estos tres triángulos pitagóricos los anotes en tu cuaderno. Y los sombrés los marques ahí con algo fosforescente. Algo que sea visualmente atractivo para ti.
Porque es lo que necesitas para tu examen de admisión. ¿Sale? Repito, 3, 4, 5, 5, 12, 13 y 8, 15, 17. A ver, siguiente problema, el último problema.
Te traigo un problema de aplicación. Yo sé que si tú ya has hecho el Exani 2 con anterioridad, no me vas a dejar mentir. No me vas a dejar mentir.
Algo así que te voy a presentar ahorita te apareció. Pero antes de mostrarte ese problema, te quiero invitar al curso Exani 2 del Instituto UNX. En el Instituto UNX yo imparto la clase de pensamiento matemático y aparte te doy otras cositas para ti.
tu examen de admisión. Si te gusta mi forma de explicar... Si quieres tomar clase conmigo, si quieres tener exámenes de simulación súper importantes, clases en vivo conmigo, asesorías conmigo, tareas, etc. Pues puedes hacerlo a través del Instituto UNX simplemente buscándonos en nuestra página de internet o mandando un mensajito a este teléfono. Y ahí preguntas por el profe Cristian y te van a decir todo.
En qué horario da clases, en qué salón da clases. También tenemos cursos en línea, entonces en las clases en línea pues yo te imparto las clases de manera... virtual en vivo a través de Zoom, es un curso súper perfecto, todavía que sea una plataforma, vas a aprender conmigo, te voy a dar todos los tips que yo siempre les comparto a mis estudiantes, te voy a dar materiales muy muy valiosos, muy interesantes y te aseguro que juntos lo podemos lograr, solamente es cosa de que nos pongamos manos a la obra y claro, por supuesto, no tengo duda de que podemos ingresar a la carrera que tú quieras en la universidad a la que estás aplicando.
Entonces, ahora sí vamos a contener con el siguiente problema, mira. El siguiente problema que dice es un problema de aplicación. Si tú ya hiciste el examen I2 con anterioridad, no me vas a dejar mentir.
Algo así te apareció. Un ejercicio como este sí te ha parecido. Similar a este. Este estilo de problemas a veces es complicado para un estudiante percatarse que es un teorema de Pitágoras. Porque tienes que hacer un dibujito.
Vamos a hacer el dibujito. Fíjate bien, hay que comprender el problema. Dice una plataforma de 36 metros de alto.
A ver, ya te dan la altura. Esta es la altura, ¿sale? Dice el problema que mide 36 la altura, ¿no?
90 grados. Forma 90 grados con respecto al suelo. Aquí hay 90 grados, ¿sale? Aquí hay 90 grados.
Muy bien, 90 grados. Voy a hacer el cuadrito. 90 grados. Ahí quedó. Sale, vale.
Y dice, si se coloca una marca en el piso a 48 metros de la plataforma... La marca estaría más o menos por aquí, a 48 metros, es decir, de aquí a acá hay 48 metros. De aquí a acá hay 48 metros. ¿Y qué te preguntan? Dicen, ¿qué distancia habrá entre la marca?
Es decir, entre este puntito y la parte más alta de la plataforma, la parte más alta es este puntito. Me está impidiendo prácticamente esta longitud. Esa longitud me está impidiendo, me está impidiendo la hipotenusa. ¿Te fijas? Es un triángulo rectángulo, puedo aplicar Pitágoras.
Esto es lo bello de este problema. ¿Puedo aplicar Pitágoras si yo llevo el texto al dibujito? Entonces, a ver, si yo quiero aplicar Pitágoras, lo puedes hacer, porque tú sabes que el cateto vertical es A, el horizontal es B, y la hipotonusa es C.
Tendrías que sustituir en esta ecuación. C cuadrada es igual a A cuadrada más B cuadrada. Pero los números te quedarían muy grandes, porque A es 36, B es 48, imagínate, ¿no? Entonces, ¿qué te recomiendo que tú uses? Te recomiendo que hagas uso de los triángulos pitagóricos.
¿Te acuerdas de ellos? Eran tres. El de 3, 4 y 5. El de 5, 2 y 13. Y el de 8, 15 y 17. Los voy a anotar. El de 3, 4 y 5. El de 5, 12 y 13. El de 8, el de 15 y el 17. ¿Sabes? A ver, uno de estos tres, una de estas tres ternas, es el triángulo que me están pidiendo.
El triángulo que tengo que resolver para resolver este ejercicio. Una de esas tres ternas. A ver, vamos a hacerlo, fíjate bien. Voy a dibujar un triangulito pequeño, para que veas. Un triangulito pequeño, lo voy a hacer.
Un triangulito pequeño. Peque��o aquí mi triangulito. Y este es mi ángulo de 90 grados.
Ok. La hipotenusa, pues, es el mayor. 5, ¿no? Es la hipotenusa. Voy a suponer que este es el de 3 y este es el de 4. Ahí quedó.
A ver, voy a hacer bien, bien, bien, bien el cuadrito de ahí. ¿Sabes? Lo hice feo, ¿no?
Ahí quedó. Fíjate bien. Este triangulito... Con este triangulito puedo encontrar este. ¿Por qué?
Porque hay cierta relación entre los catetos y la hipotenusa. Fíjate bien, ¿eh? Este 3 se multiplica por algo para este 12. 3, perdón, este 3 se multiplica por algo para este 36, ¿no? Lo dije mal.
3 para 36, ¿por cuánto se multiplica? Si quieres convertir este 3 a 36, se multiplica por 12. Fíjate bien, 3 por 12, 36. Y sorpresa, a esta cantidad... Para este cateto también se multiplica por 12. 4 por 12 me da 48. Entonces los catetos se multiplican por 12 para encontrar los catetos del triángulo mayor.
Que significa que la hipotenusa también se debe multiplicar por 12. ¿Sabes? Por 12. Entonces 5 por 12 me da 60. Y 60 será la respuesta. Y de esta forma encontramos este ejercicio. Si tú no quisieras hacer uso de las ternas pitagóricas, tendrías que sustituir en la ecuación original el valor de A y el valor de B para encontrar el valor de la C, y también te va a dar 60 al final, pero esta es una forma de resolver este ejercicio.
aplicando los triángulos pitagóricos ¿qué te parece? espero que te haya gustado esta clase, espero que hayas sacado algo provechoso y que sigas viendo las clases anteriores y las pasadas, si no has visto las anteriores por favor regresate a las anteriores, hay mucho contenido en cada una de las clases te estoy compartiendo materiales reales así que chicos, tienen todo mi apoyo hay que seguir, hay que ser optimistas vienen muchas cosas para todos ustedes y aquí estoy para ayudarlos entonces cuídense mucho chicos y nos vemos en la siguiente clase bye