Notizen zur Vorlesung über das Pauli-Prinzip und Elektronenhülle

Einführung

• Thema: Auswirkungen des Pauli-Prinzips auf die Elektronenhülle
• Rückblick auf das letzte Mal
  • Wasserstoffatom und Schrödinger-Gleichung mittels Coulomb-Potentials
  • Kugelsymmetrisches Potential
  • Umwandlung in Kugelkoordinaten und Produktansatz zur Lösung

Wellenfunktionen und Quantenzahlen

• Aufteilung der Schrödinger-Gleichung in drei Gleichungen
  • Quantenzahlen:
    • n (Energieniveau)
    • l (Bahndrehimpuls)
    • m (Z-Komponente des Bahndrehimpuls)
• Betragsquadrat der Wellenfunktion = atomare Orbitale
  • RnL: Abstandsabhängigkeit
  • Theta und Phi: Winkelabhängigkeit
• R von R-Funktionen
  • Laguerre-Polynome und Dejendre-Polynome

Heliumatom

• Heliumatom: zwei Protonen und zwei Elektronen
• Aufaddierung der potenziellen Energien
  • Term für gegenseitige Abstoßung der Elektronen
• Um die Schrödinger-Gleichung ohne Abstoßung zu lösen, Wellenfunktionen nur von R1 und R2 abhängig
• Erste naive Annahme: Wellenfunktion als Produkt
• Probleme beim Produktansatz
  • Physikalisch nicht korrekt

Pauli-Prinzip

• Antisymetrische und symmetrische Wellenfunktionen
  • Fermionen: antisymmetrisch
  • Bosonen: symmetrisch
• Symmetrie unter Teilchenaustausch:
  • Antisymmetrisch = Vorzeichenwechsel
  • Symmetrisch = unverändert
• Wellenfunktion für Fermionen und Bosonen

Konsequenzen des Pauli-Prinzips

• Zwei Fermionen können nicht im gleichen Zustand sein
• Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit = unterschiedliche Eigenschaften
  • Bedeutung für atomare Orbitale: max. 2 Elektronen in einem Orbital
• Spin-Wellenfunktionen
  • Unterschiedliche Orientierungen und Gesamtspin
  • Symmetrische und antisymmetrische Spin-Wellenfunktionen

Heliumspektrum

• Unterscheidung zwischen Singulett- und Triplett-Zuständen
  • Singulett – Gesamtspin 0, symmetrische Ortswellenfunktion
  • Triplett – Gesamtspin 1, antisymmetrische Ortswellenfunktion
• Übereinstimmung theoretischer Vorhersagen mit Experimenten

Zusammenfassung

• Gesamtwellenfunktion für Fermionen: antisymmetrisch (Psi A1,2 = -Psi A2,1)
• Gesamtwellenfunktion für Bosonen: symmetrisch (Psi S1,2 = Psi S2,1)
• Universelle Gültigkeit des Pauli-Prinzips (z.B. auch für Quarks)