In diesem Video werden wir uns mit einem der letzten Puzzlestückchen beschäftigen, das wir benötigen, um den Aufbau der Elektronenhülle zu verstehen, nämlich das Pauli-Prinzip und wie das Pauli-Prinzip sich auf die Elektronenhülle auswirkt. Bevor wir damit beginnen, wollen wir noch einmal kurz wiederholen, wie weit wir beim letzten Mal gekommen sind. Wir haben uns also letztes Mal das Wasserstoffatom angeschaut.
Wir haben gesehen, dass man die Schrödinger Gleichung für das Wasserstoffatom mithilfe des Coulomb-Potentials genauer mithilfe der potenziellen Energie des Elektrons im Potential des Protons aufschreiben muss. Und dann sieht die Schrödinger Gleichung in kathesischen Koordinaten so aus. so aus und diese Schrödinger Gleichung hat ein kugelsymmetrisches Potenzial.
Deswegen ist der erste Schritt, dass man diese Schrödinger Gleichung in Kugelkoordinaten umschreibt. Dann hat sie diese komplizierte Gestalt. Diese komplizierte Schrödinger Gleichung löst man nun durch einen Produktansatz.
Und zwar setzt man die Wellenfunktion an als ein Produkt aus drei Wellenfunktionen r von rθ von θ und φ von φ, die dann nur von den Kugelkoordinaten r, θ und φ abhängen. Wenn man diese Schrödinger Gleichung mithilfe dieses Produktansatzes löst, zerfällt sie im Endeffekt in drei Gleichungen. Und aus diesen drei Gleichungen bekommen wir alle Lösungen, nämlich Ausdrücke für diese Faktoren in der Wellenfunktion, aber auch die Energien der jeweiligen elektronischen Zustände und drei Quantenzahlen n, l, m.
n steht dann für die Energie. L steht für den Bahndrehimpuls und Lz für die Z-Komponente des Bahndrehimpulses. Wenn man sich die Wellenfunktion anschaut, dann ist der erste Zusammenhang, der wichtig ist, dass das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion das ist, was man als atomare Orbitale bezeichnet.
RnL, das gibt die Abstandsabhängigkeit an, das ist hier die innere Struktur eines solchen Orbitals, also die räumliche Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons. Und das Theta von Theta mal Phi von Phi, das gibt die Winkelabhängigkeit hier dieses Orbitals an, beziehungsweise die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion. R von R-Funktionen bestehen aus den zugeordneten Laguerre-Polynomen multipliziert mit einem Faktor R hoch L und E hoch minus Alpha R. In dem Alpha, da steckt im Prinzip der Bursche-Radius drin und hier in dem Winkelabhängigen Anteil, das sind die zugeordneten Dejendre-Polynome, multipliziert mit E hoch I M Phi.
E hoch I M Phi ist dann hier Phi von Phi. Das ist das Wesentliche, was wir gelernt haben. Für die Drehimpulse hat man herausgefunden, dass die Drehimpulse keine beliebigen Werte annehmen können, sondern nur ganz bestimmte Werte.
Diese ganz bestimmten Werte kann man über die Drehimpulsquantenzahl L und die Magnet-oder Richtungsquantenzahl M ausdrücken. Für die Beträge, die ein Drehimpuls annehmen kann, bekommen wir dann also diesen Ausdruck. Und für die Z-Komponenten, das heißt die Orientierung des Drehimpulses, bekommen wir dann diesen Ausdruck.
Wir schauen uns kurz noch einmal an, wie man solche Orbitale normalerweise darstellt, weil die Darstellung der Orbitale ausgesprochen schwierig ist. Denn man hat hier ja sowohl eine äußere Form als auch eine innere Struktur darzustellen und das lässt sich ganz schwer gleichzeitig machen. Und deswegen wählt man eben zum Beispiel einfach einen festen Wert der Aufenthaltswahrscheinlichkeit, also zum Beispiel 10% des maximalen Wertes und nimmt die Flächen, auf denen dieser Wert konstant ist und dann erhält man die äußere Gestalt. Aber man darf eben nicht vergessen, dass da drinnen auch noch eine innere Verteilung sitzt, die man dann eben zum Beispiel durch einen Anschnitt, so als ob man ein Tortenstück rausschneidet, dann darstellen kann.
Dies wäre dann also so eine Darstellung mit so einem Anschnitt. Nachdem wir also hier diese wesentlichen Dinge wiederholt haben, wollen wir uns jetzt demnächst... komplizierteren Atom zuwenden und das nächst kompliziertere Atom, das ist das Heliumatom. Ein Heliumatom besteht ja zuerst einmal aus einem Atomkern mit der Kernladungszahl z gleich 2, das heißt da sind zwei Protonen drin und folglich hat es auch zwei Elektronen in seiner Elektronenhülle.
Wir schreiben das schon mal ganz allgemein für z auf. Wenn wir jetzt die Schrödinger Gleichung für dieses Heliumatom aufschreiben wollen, dann müssen wir natürlich zuerst einmal jetzt die potenziellen Energien der Elektronen aufaddieren. Das heißt, für unser Potenzial haben wir die zugehörige potenzielle Energie von Elektron 1. die entsprechende potenzielle Energie von Elektron 2. Aber nun haben wir natürlich auch zusätzlich noch eine gegenseitige Abstoßung der beiden Elektronen, die von ihrem jeweiligen Abstand abhängen.
Das heißt, das ergibt hier eine potenzielle Energie entsprechend diesem Ausdruck. An dieser Stelle haben wir es jetzt aber dann mit einem Term zu tun, der beide Koordinaten enthält, ein sogenannter gemischter Term. Und der sorgt dafür, dass wir diese Schrödinger Gleichung nicht mehr mit einem Produktansatz lösen könnten.
Wir wollen erstmal mit einer einfachen Variante starten und deswegen wird die Abstoßung der beiden Elektronen hier vernachlässigt. Dann bleibt als potenzielle Energie, also einfach nur die potenzielle Energie der beiden Elektronen über und damit können wir dann die Schrödinger Gleichung aufschreiben. In der Schrödinger Gleichung haben wir also jetzt Wellenfunktionen stehen, die von den Koordinaten R1, R2 der beiden Elektronen abhängen.
Und hier die entsprechenden Ableitungen sind dann natürlich die Ableitungen nach den jeweiligen Koordinaten. Also hier, das wäre dann der Daplace-Operator mit den Ableitungen nach x1, y1, z1 und dieser hier mit den Ableitungen nach x2, yz2. Wenn wir jetzt also versuchen... diese Schrödinger Gleichung mit Hilfe eines Produktansatzes zu lösen, dann wäre der erste Ansatz für die Wellenfunktion Psi von R1, R2, könnte eine Wellenfunktion Psi A von R1 sein, die eben nur von R1 abhängt, mal Psi B von R2, die eben nur von R2 abhängt.
Das würde dann zu zum Beispiel einer Addition der Energien führen, ganz genau so, wie Sie das zum Beispiel bei dem dreidimensionalen Potentialtopf in Ihren Übungsaufgaben gesehen haben. Das Dilemma ist hier nur, dass das nicht funktioniert, weil es physikalisch nicht vernünftig ist. Wo ist das Problem bei diesem Ansatz und wo sitzt der Fehler in diesem Ansatz?
Wir sehen das am besten, wenn wir uns anschauen, wie man es tatsächlich schreiben muss. Wenn man es tatsächlich richtig macht, dann muss man nämlich eine solche Wellenfunktion wählen. Das heißt, hier haben wir Psi a von R1 mal Psi b von R2. Das war unser erster naiver Ansatz. Aber jetzt müssen wir auch die andere Variante mit dazu packen, nämlich Psi a von R2 mal Psi b von R1.
Und daraus müssen wir eine Superposition bilden. Wieso das so sein muss, wissen wir eigentlich schon, denn wir haben schon gelernt, wenn ein quantenmechanisches Teilchen mehrere Möglichkeiten hat, dann müssen wir seine Wellenfunktionen immer so bilden, dass alle Möglichkeiten da drin stecken. Welche Möglichkeiten gibt es nun? Es gibt nun natürlich die Möglichkeit, dass Elektron 1 im Zustand A sitzt und Elektron 2 im Zustand B. Das entspricht also hier quasi diesem Summanden. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass Elektron 2 im Zustand A sitzt und Elektron 1 im Zustand B und das entspricht diesem Summanden.
Wir können also die beiden Elektronen überhaupt nicht unterscheiden. Wir können gar nicht unterscheiden, ob nun 1 in A sitzt oder 2 in B, denn die Elektronen sind ununterscheidbar. Und wir müssen im Prinzip genau deswegen die...
die Wellenfunktion als Überlagerung dieser beiden Möglichkeiten ansetzen, als Superposition dieser beiden Möglichkeiten. Das heißt, nur eine dieser jeweiligen Möglichkeiten ist nicht erlaubt und deswegen geht unser erster Ansatz nicht. Und wir müssen mit diesem Ansatz weitermachen.
Nun wollen wir beim besten Willen nicht diese Schrödinger Gleichung hier lösen, sondern wir gehen jetzt weiter und schauen uns an, welche Konsequenzen das hat, dass wir die Wellenfunktion genau so schreiben müssen. Dahinter verbirgt sich nämlich das, was das Pauli-Prinzip beinhaltet. Also jetzt gehen wir auf das Pauli-Prinzip.
Das Pauli-Prinzip beinhaltet nämlich, dass eine solche Wellenfunktion nicht für jedes Teilchen in jeder Form vorkommen kann. Die Gesamtwellenfunktion für ein Teilchen hängt jetzt davon ab, ob es sich um ein Fermion oder ein Boson handelt und genauso natürlich auch für mehrere Teilchen. Das heißt, die Gesamtwellenfunktion für Fermionen ist anders als die Gesamtwellenfunktion für Bosonen.
Bei Fermionen kommt nur die Variante mit dem Minus vor und bei Bosonen kommt ausschließlich nur die Variante mit dem Plus vor. Die Variante mit dem Minus, die nennen wir antisymmetrisch und die Variante mit dem Plus, die nennen wir symmetrisch. Das Pauli-Prinzip heißt also quantenmechanisch und fachlich richtig formuliert, die Gesamtwellenfunktion für Fermionen muss antisymmetrisch sein und die Gesamtwellenfunktion für Bosonen muss symmetrisch sein. Was verbirgt sich nun hinter der Antisymmetrie bzw. der Symmetrie?
Es beschreibt die Symmetrie unter Teilchenaustausch. Symmetrisch bedeutet, wenn... dass die Funktion sich durch Teilchenaustausch nicht verändert und antisymmetrisch bedeutet, dass sie unter Teilchenaustausch ihr Vorzeichen ändert. Das Pauli-Prinzip beschreibt also die Symmetrie unter dem Vorgang, wenn wir zwei Teilchen vertauschen. Wir gucken uns kurz erstmal die symmetrische Variante an.
Also Teilchen vertauschen bedeutet einfach, dass wir in dieser Wellenfunktion hier jetzt die Argumente in den Klammern 1 und 2 vertauschen, denn die symbolisieren die jeweiligen Teilchen. Also machen wir jetzt hier im ersten Summanden, dann schreiben wir da Psi a von 2 mal Psi b von 1. Damit haben wir Teilchen 1 und 2 vertauscht. Machen wir das im zweiten Summanden auch, dann steht hier Psi a von 1 und hier Psi b von 2. Und das ist natürlich genau die gleiche Wellenfunktion, die wir vorher hatten, weil wir natürlich einfach nur die Reihenfolge dieser beiden Summanden hier umgekehrt haben. Das ist also eine Wellenfunktion, die symmetrisch unter Teilchenaustausch ist. Bei der oberen Wellenfunktion, der antisymmetrischen, sieht das anders aus.
Wenn wir hier nämlich jetzt im ersten Summanden die Teilchen vertauschen, dann haben wir also jetzt... Psi a von 2 mal Psi b von 1. Und wenn wir das hinten auch noch machen, dann haben wir da also jetzt Psi a von 1 mal Psi b von 2. Und wenn wir das jetzt mit unserer Ausgangswellenfunktion vergleichen, dann sehen wir, der erste Summand hat nun ein negatives Vorzeichen bekommen. Der war vorher positiv. Und der zweite Summand, der vorher ein negatives Vorzeichen hatte, hat nun ein positives Vorzeichen bekommen.
Das heißt, durch Vertauschung der Teilchen bekommen wir hier jetzt ein Minuszeichen für unsere Wellenfunktion. Und das nennen wir antisymmetrisch Unterteilchenaustausch. Und der entscheidende Punkt ist, dass wir eben in der Natur immer nur diese Wellenfunktionen für die jeweilige Teilchenart finden. Das heißt also, wir fassen es nochmal zusammen, die Gesamtwellenfunktion Psi 1,2 müssen wir jetzt ausdrücken durch unsere Fermion, das heißt für unsere Elektronen hier in unserem Heliumatom, durch eine antisymmetrische Gesamtwellenfunktion. Und die Gesamtwellenfunktion, die setzt sich jetzt eben nicht nur aus unserer Wellenfunktion zusammen, die wir hier aus unserer Schrödinger Gleichung herausbekommen haben, sondern jetzt ist tatsächlich der Moment, wo wir uns auch mal mit dem Elektronen Spin beschäftigen müssen, denn die Gesamtwellenfunktion ist das Produkt aus der Ortswellenfunktion, die also hier die Orte der Teilchen versucht zu beschreiben und der Spinwellenfunktion, die hier Chi genannt wird.
Und das ist der entscheidende Punkt, wenn wir das nicht nachvollziehen, die gesamte Wellenfunktion muss antisymmetrisch sein und sie setzt sich aus der Wellenfunktion für die Orte der Elektronen multipliziert mit der Wellenfunktion für die Spins der Elektronen zusammen. Dann können wir atomare Spektren und die Aufbau der Elektronenhülle eines Atoms nicht verstehen. Bevor wir uns konkret anschauen, was für einen Einfluss das auf das Heliumspektrum hat, gucken wir uns zuallererst einmal an, was für einen Einfluss das ganz allgemein hat. Dazu betrachten wir nochmal hier diese antisymmetrische Wellenfunktion. Wenn wir uns das hier anschauen, dann stellen wir fest, in dem Moment, wo die Wellenfunktionen Psi A und Psi B gleich sind, da verschwindet die Gesamtwellenfunktion.
Und das ist der Hintergrund, warum zwei Fermionen und eben auch zwei Elektronen niemals in exakt und hundertprozentig genau dem gleichen Zustand sitzen können. Sie müssen sich immer in irgendeiner Eigenschaft, zum Beispiel in ihrem Spin oder Ähnlichem unterscheiden, sonst können sie nicht den gleichen Zustand besetzen. Und das ist der entscheidende Hintergrund, warum zum Beispiel in einem atomaren Orbital nur genau zwei Elektronen sitzen können.
Und diese beiden Elektronen, die müssen sich dann in ihrem Spin unterscheiden. Und was für uns als letztes noch wichtig ist, was passiert eigentlich mit der Symmetrie einer solchen Wellenfunktion, wenn wir zwei Wellenfunktionen miteinander multiplizieren? Das ist genau wie mit den Vorzeichen. Wenn wir eine antisymmetrische mit einer antisymmetrischen Wellenfunktion multiplizieren, ist das Produkt symmetrisch. Wenn wir zwei symmetrische Wellenfunktionen miteinander multiplizieren, ist das Produkt auch wieder symmetrisch.
Wenn wir aber eine antisymmetrische mit einer symmetrischen Wellenfunktion multiplizieren, dann ist das Produkt antisymmetrisch. Also stellen Sie sich das symmetrisch wie die 1 vor und das antisymmetrisch wie die minus 1 und dann haben wir genau das Verhalten, wie sich die Produkte benehmen. Und das ist jetzt entscheidend.
Für unser Heliumatom hat das nun folgende Konsequenzen. Hier haben wir einmal die symmetrische Wellenfunktion für den Ort und hier die antisymmetrische Ortswellenfunktion. Und hier auf der rechten Seite haben wir die entsprechenden möglichen Spin-Wellenfunktionen.
Die symmetrische Ortswellenfunktion ist hier einmal visualisiert. Die Ortswellenfunktion hängt ja jetzt von zwei Koordinaten ab, deswegen haben wir hier eine Auftragung mit den beiden Koordinaten der Elektronen. Und die Diagonale hier, das entspricht dem Umstand, dass die Orte beider Elektronen gleich sind. So, und wir sehen, dass wir hier die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit dann haben, wenn die beiden Elektronen am selben Ort sind.
Wenn wir uns dagegen die antisymmetrische Ortswellenfunktion anschauen, dann sehen wir, dass auf der Diagonale, das heißt, wenn die Orte der beiden Elektronen gleich sind, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 0 ist. Hier haben wir tatsächlich die größte Aufenthaltswahrscheinlichkeit, wenn die Elektronen einen bestimmten Abstand haben. Gucken wir uns einmal diesen Buckel an, dann bedeutet dieser Buckel ja zum Beispiel, dass das Elektron R1 also ungefähr hier an diesem Ort ist und das Elektron R2 fast am Ort gleich 0 ist. Also hier sind sie weiter auseinander.
Und das ist eben auch eine wesentliche Eigenschaft, eine wesentliche Unterscheidung dieser beiden Wellenfunktionen. Also in antisymmetrischen Wellenfunktionen, da haben die Teilchen einen größeren Abstand zueinander als in symmetrischen Wellenfunktionen, da sind sie näher beieinander. Das ist übrigens auch ein wichtiger Punkt am Ende dann für die Energien, die die Teilchen haben.
Aber diese Ortswellenfunktionen dürfen beide auftreten, wenn man sie mit den richtigen Spinwellenfunktionen kombiniert, denn wir verlangen ja nur für die Gesamtwellenfunktion, dass sie antisymmetrisch ist. Wir dürfen also eine symmetrische Ortswellenfunktion mit einer antisymmetrischen Spinwellenfunktion kombinieren. kombinieren und umgekehrt dürfen wir eine antisymmetrische Ortswellenfunktion mit symmetrischen Spinwellenfunktionen kombinieren. Für die Spinwellenfunktionen der zwei Elektronen gibt es nun vier verschiedene Möglichkeiten, wie sich die Spins zueinander orientieren können.
Die erste Variante ist, dass die beiden Spins so zueinander stehen, dass ihre Summe 0 ist, das heißt hier ist der Gesamtspinder 0. In diesem Fall haben wir also Elektron 1 spin up, Elektron 2 spin down und müssen hier natürlich wieder die Superposition bilden, weil die beiden Elektronen unterschiedliche Spin-Zustände haben und deswegen müssen wir natürlich auch die Variante einführen, dass Elektron 2 spin up hat und Elektron 1 spin down. Das ist also die antisymmetrische Spin-Wellenfunktion und so sieht die aus. Die ergibt den Spin gleich 0. Nun können wir aber auch symmetrische Spinwellenfunktionen bilden, nämlich beide Spins ab oder beide Spins down.
Die ist absolut symmetrisch unter Teilchenaustausch, das sehen Sie sofort. Und weil natürlich die beiden Elektronen jeweils genau den gleichen Spin haben, gibt es auch keine andere Möglichkeit, also da gibt es gar keine Möglichkeit der Superposition, denn es sind ja schon alle Möglichkeiten da, beide Elektronen haben Spin ab. Keine Alternative.
Aber wenn ein Elektron Spin abharte und ein Elektron Spin down, gibt es eben noch eine andere Möglichkeit, wie diese Spins zueinander stehen können. Sie können nämlich genauso stehen, wie das hier gezeigt ist. Und dann addieren sich die beiden Spins hier nicht zu 0, sondern zu 1. Das heißt, diese drei symmetrischen Wellenfunktionen, die ergeben die Addition des Gesamtspins zu 1. Hier haben wir also Spin gleich 0, hier haben wir Spin gleich 1 und für Spin gleich 1 gibt es drei Möglichkeiten.
Und diese drei Spinwellenfunktionen, die können jetzt eben zusammen mit der antisymmetrischen Ortswellenfunktion auftreten. Und wir erkennen also dabei... dürfen die Elektronen auch nicht am selben Ort sein. Das heißt also hier, wenn die Spins so zueinander stehen, das heißt die Spins gleich gerichtet sind, haben die Elektronen einen größeren Abstand zueinander, als wenn der Gesamtspin 0 ist.
Und das Pauli-Prinzip steckt also hier noch einmal drin. Die Gesamtwellenfunktion, also das Produkt aus Orts-und Spinwellenfunktion, muss für Teilchen mit halbzahligem Spin antisymmetrisch sein. Und das sehen wir dann natürlich auch im Spektrum des Heliumatoms.
Und wenn Sie sich einmal die Mühe machen und folgendes ausrechnen, Sie nehmen das Produkt aus Psi S und Psi A und setzen dann Psi A und Psi B gleich. Dann werden Sie feststellen, das verschwindet nicht mehr, sondern Sie erhalten dann 2 Psi A Quadrat mal dem ersten Summanden hier minus 2 Psi A Quadrat mal dem zweiten Summanden hier. Das heißt in diesem Fall...
da dürfen die beiden Elektronen in der gleichen Ortswellenfunktion sein. Wenn Sie also die antisymmetrische Spin-Wellenfunktion wählen, dann dürfen die beiden Elektronen in der gleichen Wellenfunktion und das heißt im gleichen Orbital sein. Das bedeutet zwangsläufig, dass sie sich in ihrem Spin unterscheiden. Wenn Sie dagegen die andere Variante wählen, dann funktioniert das nicht.
Also hier ist es unmittelbar klar, wenn Sie eine von diesen beiden symmetrischen Wellenfunktionen wählen, dann verschwindet natürlich sofort auch das Produkt, wenn Psi A gleich Psi B ist. Aber auch dieses hier können Sie ausmultiplizieren und werden feststellen, auch dann, wenn Sie diese Variante der symmetrischen Spin-Wellenfunktion wählen, dann verschwindet die Gesamtwellenfunktion, wenn Psi A gleich Psi B ist. Das heißt, sobald der Spin 1 ist und die Spins eben auf diese Art und Weise orientiert sind, dann dürfen die Elektronen nicht mehr im gleichen Orbital sein. So, und mit etwas vertieftem Hintergrund schauen wir uns jetzt zum Schluss noch einmal das Heliumspektrum an.
Wir haben diese Folie ja schon einmal gesehen. Wir kennen das Heliumspektrum insofern schon, als dass wir hier diese entsprechenden atomaren Zustände Nun haben wir aber einen tieferen Hintergrund, warum es also diese Singulett-Zustände gibt. Auf der einen Seite, das sind nämlich alles die Zustände mit einem Gesamtspin von 0. Und die gehören also alle zu den symmetrischen Ortswellenfunktionen. Und auf der anderen Seite haben wir eben all die Zustände mit dem Spin von 1, das heißt die Triplett-Zustände.
Und warum es gerade 3? Zustände sind, also das sind die jeweiligen Triplett-Zustände und die gehören zu den antisymmetrischen Ortswellenfunktionen. Und die Übereinstimmung dieses Spektrums mit den theoretischen Vorhersagen, die man eben genau aus diesen Annahmen macht, ist natürlich ein eindrucksvoller Beleg dafür, dass es tatsächlich alles so ist.
Das Pauli-Prinzip gilt natürlich nicht nur für Elektronen in atomaren Höhlen, sondern das Pauli-Prinzip gilt ganz universell und ganz allgemein. Das gilt also genauso gut für die Wellenfunktionen, zum Beispiel von Quarks im Atomkern und in der gesamten Elementarteilchenphysik. Also das ist ein ganz universell geltendes Prinzip. Wir fassen noch einmal kurz zusammen. Das Pauli-Prinzip besagt also, die Gesamtwellenfunktion muss für Fermionen antisymmetrisch bei Teilchenvertauschung sein und antisymmetrisch bedeutet, Psi A1,2 muss minus Psi A2,1 sein.
Die Gesamtwellenfunktion muss für Bosonen symmetrisch bei Teilchenvertauschung sein, das bedeutet, Psi S1,2 muss gleich Psi S2,1 sein. Und die Gesamtwellenfunktion für Fermionen können wir also als einen Superpositionszustand mit einem Minuszeichen dazwischen schreiben und für Bosonen als einen Superpositionszustand mit einem Pluszeichen dazwischen.