in diesem video und beschäftigen wir uns mit den inhalten der ersten übung woche also mit der reintegration im ende mensa nördlichen raum unser ziel ist es dabei einen mathematischen volumen begriff einzuführen welcher sich mit dem was wir intuitiv unter einem volumen verstehen entdeckt so würden wir beispielsweise einem einheits würfel in der 3 das volumen 1 zuordnen oder ganz allgemein einen quader in der 3 das volumen a b x t also das produkt seiner seitenlänge genauso gut könnten wir eine flasche ein volumen zu ordnen dieses ist jedoch nicht mehr so leicht zu bestimmen und mit dem riemann integral möchten wir vor allem komplizierten teilmengen des rnn volumen zu weisen dabei betrachten wir eine solche menge a und dann ist das volumen von ah definiert heißt das integral über was dem integral über die indikator funktion entspricht welche immer dann eins ist wenn nix in der menge enthalten ist und 0 sonst mehr oder weniger zählt also dieses integral alle punkte welche in der menge enthalten sind und so erhalten wir das gesamtvolumen diese definition des volumens ist leider für praktische anwendungen nahezu nutzlos zum glück können wir viele mengen als sogenannten normalbereich konstruieren und über diesen können wir relativ unkompliziert integrieren betrachten wir mal ein einfaches beispiel wo wir uns einen solchen normalbereich konstruieren dazu betrachten wir den einheitspreis also alle punkte xm r2 deren 29 kleiner gleich eins ist für die konstruktion eines normalbereich müssen wir den definitions bereich einer variablen als intervall schreiben hierbei werden wir die variable x1 so dass der betrag von x1 kleiner gleich eins ist x1 ist also zwischen minus eins und eins eingeschlossen und die nächste variable drücken wir dann in abhängigkeit von x1 aus das heißt x2 ist dann im betrag kleiner gleich als die wurzel von 161 quadrat und so haben wir schon die menge als normalbereich konstruiert grafisch kann man sich dabei die erste menge eben als ein intervall vorstellen und die zweite gleichung sagt uns nun wie weit wir in abhängigkeit der ersten variablen nach oben oder unten marschieren müssen damit wir unseren einheitspreis bekommen so ist hier am rand die x1 variable 1 und 1 - 1 ist 0 womit x20 ist hier in der mitte ist x10 und damit nix 2 zwischen minus eins und eins eingeschlossen und so erhalten wir schritt für schritt unseren einheitspreis der vorteil im normalbereich ist nun dass wir auf ihnen relativ leicht integrieren können solche integrale können wir nämlich mit dem satz von phobien ausrechnen welcher besagt dass für einen normalbereich mrm und eine riemann integrierbare funktion f von a nach erhielt dass das integral von fk einer folge von integrierten integralen entspricht wobei diese iterationen aus der konstruktion der menge als normalbereich folgen als einfaches beispiel können wir das volumen des einheitspreises immer zwei ausrechnen das volumen von e ist also das integral über die x1 x2 da wir zwei variablen haben und wir haben die menge schon als normalbereich konstruiert mit dem satz von roubini dürfen wir zunächst nach x1 entwickeln wobei wir gemäß unserer ersten gleichungen von -1 bis 1 integrieren müssen und dann entdecken wir nach x2 wobei wir gemäß der zweiten gleichung von - wurzel 161 quadrat bis wurzel 161 quadrat integrieren müssen das innere integral ist schnell berechnet da wenn nur die konstante 1 funktion entwickeln müssen wir erhalten das doppelte des integral -1 bis 1 wurzel 16 1 grad führen wir nun eine substitution x1 gleich sinus von y durch so erhalten wir das doppelte des integral von - die halbe bis die halbe wurzel 1 - quadrat oops i lon cosinus y/y was dem doppelten des integrales von - die halbe bis die halbe großes quadrat von y y entspricht dieses können wir mit doppelwinkel identitäten weiter ausrechnen und erhalten so schlussendlich als zahlenwert p was genau der fläche des einheitspreises entspricht nun liefert das integral über das volumen von a häufig treten jedoch auch integrale der form integral einer funktion über einer menge auf für eine nicht negative funktion entspricht das dann anschaulich dem was wir als volumen unter dem grafen bezeichnen würden betrachten wir beispielsweise den normalbereich welcher allen punkten xy dem er zwei entspricht so dass es zwischen 0 und 1 1 geschlossen wird und y zwischen den von ex abhängigen funktionen ickx und evo ix eingeschlossen wird sowie die funktionen von xy gleich xy die menge a sieht dann grafisch so aus das heißt iks wird zwischen den achsen 0 und 1 eingeschlossen und y wird zwischen den funktionen ex und fx eingeschlossen und auf dieser menge müssen wir nun unsere funktion integrieren das integral von 11 über a entspricht dabei gemäss dem satz von roubini dem integrierten integral zunächst über apps integriert von null bis eins dann über y integriert phonix bis e books und dann schreiben wir noch unsere funktion in der sind egal dann integrieren wir von innen nach außen aus zunächst indem wir die y variable und erhalten x-mal y quadrat halbe als stamm funktion des integrierten dann setzen wir unsere grenzen des ypsilon integrales ein und erhalten diese von nix abhängige funktionen welche wir dann noch nach iks in den grenzen von null bis eins integrieren müssen und dann als wert e quadrat achtel erhalten dann finden wir den wichtigen begriff der lebek 0 menge ein grob gesprochen trennen wir hierbei für das integral unwesentliche von den wesentlichen mengen denn immer dann wenn wir eine menge mrn haben gilt dass das integral über diese 0 menge verschwindet 0 mengen können dabei nieder dimensionale teilmengen eine unter mannigfaltigkeit sein so sind punkte in er welche dann 0 dimensional sind 0 mengen beispielsweise ist das integral über eine funktion f wenn wir von a bis a integrieren 0 da wir hier nur über einen punkt edition welche eine null menge in er ist des weiteren sind ein missionar die kurven im r20 mengen und genauso zweidimensionale flächen im mehr 3 mathematisch präzise ist eine menge immer dann gegeben wenn wir diese menge durch kleine quader überdecken können so dass die vereinigung aller quader diese menge zumindest überdeckt und wenn das gesamtvolumen aller einzelnen quader kleiner einer vorgegebenen zahl der ypsilon ist mit diesen 0 mengen können wir ein wichtiges integritäts kriterium herausarbeiten sei eine beschränkte teilmenge des rnn und der rand von a eine menge von lübeck maß 0 mrn dann ist eine beschränkte funktion f von a nach er genau dann riemann integrierbar wenn f auf fast überall stetig ist fast überall stetig meint ihr dass die anzahl der unsc tätigkeiten eine menge vom lbeg maß 0 sein muss das heißt ins andere das stetige funktionen die gräber sind jedoch sind auch stückweise stetige funktionen integriert so hat diese funktion hier hier und hier eine unstetigkeit und es handelt sich um drei isolierte punkte auf der reellen achse an welchem die funktion tätig sind welche eine menge vom lübeck maß 0 in er darstellen womit die funktion trotz ihrer unstetigkeit riemann integrierbar ist ein beispiel für eine nicht prima integrierbare funktion ist die direkte sprung funktionen diese ist ein sven dix eine rationale zahl ist und null wenn xi rational ist diese springt dann sehr häufig zwischen den werten 0 und 1 hin und her und hier haben wir das problem dass die anzahl der unsc tätigkeiten keine 0 menge in er ist so ist zwar keine 0 menge in er jedoch ist dann er ohne kuh keine 0 menge und damit ist die anzahl der unsc tätigkeiten keine 0 menge das problem dass wir solch pathologische funktionen nicht integrieren können werden wir in einigen wochen im rahmen der mars und integrations theorie durch einführung eines neuen integral begriffs nämlich dem db kind egal so gut es geht kurieren