Zusammenfassung der 1. Übungswoche: Volumenbegriff und Riemann-Integral

Ziel

• Einführung eines mathematischen Volumenbegriffs
• Verknüpfung mit intuitivem Volumenverständnis

Beispiel

• Einheitswürfel in (\mathbb{R}^3) hat Volumen 1
• Quader in (\mathbb{R}^3) hat Volumen (a \times b \times c)

Riemann-Integral

• Ziel: Volumen komplizierter Teilmengen von (\mathbb{R}^n) zuweisen
• Definition über das Integral der Indikatorfunktion
• Praktisch oft nicht nützlich

Normalbereich

• Viele Mengen können als Normalbereiche konstruiert werden
• Beispiel: Einheitskreis in (\mathbb{R}^2)
  • Definitionsbereich schreiben als Intervall
  • Konstruktion: (x_1) zwischen (-1) und 1, (x_2) abhängig von (x_1)

Satz von Fubini

• Ermöglicht einfaches Integrieren über Normalbereiche
• Beispiel: Volumen des Einheitskreises in (\mathbb{R}^2)
  • Iterierte Integration:
    • Erst nach (x_1)
    • Dann nach (x_2)
• Resultat entspricht (\pi)

Volumen unter Graphen

• Integral einer Funktion über einer Menge
• Beispiel: Normalbereich in (\mathbb{R}^2) und Funktion (f(x,y) = x\cdot y)
  • Iteriertes Integral berechnen

Lebesgue-Nullmenge

• Definition: Menge, deren Integral verschwindet
• Beispiele:
  • Punkte in (\mathbb{R}^1)
  • Eindimensionale Kurve in (\mathbb{R}^2)
• Anwendung: Riemann-Integrabilität
  • Funktion (f) ist Riemann-integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist
  • Fast überall stetig: Unstetigkeitsmenge hat Lebesgue-Maß 0

Beispiele für Riemann-Integrabilität

• Riemann-integrierbare Funktionen:
  • Stetige Funktionen
  • Stückweise stetige Funktionen
• Nicht Riemann-integrierbar: Dirichlet-Sprungfunktion
  • Funktion hat zu viele Unstetigkeiten
  • Anzahl der Unstetigkeitsstellen keine Lebesgue-Nullmenge

Ausblick

• Einführung Lebesgue-Integral zur Behandlung pathologischer Funktionen
• Vergleich mit Riemann-Integral in späteren Vorlesungen