Anteckningar om delbarhet och primtal

Introduktion

• Begrepp: delbarhet och primtal.
• Låt a, b vara heltal där b ≠ 0.

Delbarhet

• b delar a om a = k * b (där k är ett heltal).
• b kallas delare till a.
• a är en multipel av b.
• Notation:
  • b | a (b delar a)
  • b ⊄ a (b delar inte a)*

Exempel på delbarhet

• 2 delar 6: 6 = 3 * 2. (3 är heltalet k)
• 4 delar inte 6: 6 kan inte skrivas som ett heltal gånger 4.
  • 6 = 1.5 * 4 (1.5 är inte ett heltal).
• 6 är en multipel av 2 och 3: 6 = 3 * 2 och 6 = 2 * 3.

Första satsen om delbarhet

• Om c | a och c | b, då gäller:
  • c | (ax + by) för alla heltal x och y.

Bevis för satsen

• c | a ➔ a = k1 * c
• c | b ➔ b = k2 * c
• ax + by = k1cx + k2cy = c*(k1x + k2y)
• Slutsats: c delar summan ax + by.*

Specialfall

• c | (a - b) när x = 1 och y = -1.

Primtal

• Definition:
  • Heltal p ≥ 2 är ett primtal om det endast har delarna ±1 och ±p.
  • Triviala delare: ±1 och ±p.
  • Äkta delare: delare som inte är triviala.

Exempel på primtal

• Talet 7: delare ±1, ±7 (primtal, inga andra delare).
• Talet 6: delare ±1, ±6, ±2, ±3 (inte primtal, äkta delare: 2 och 3).

Negativa delare

• Negativa tal kan också vara delare.
  • Exempel: -1 delar 6 (−6 är heltal k).

Många primtal

• Det finns oändligt många primtal.
• Euclides primtalsats: bevisas i nästa klipp.