I det här första klippet inom talteori så kommer vi introducera begreppen delbarhet och primtal. Låt a, b vara heltal där b är skilt från noll. Att b är skilt från noll är för att den ska kunna utgöra en delare. Vi säger att b delar a om a kan skrivas som ett heltal k gånger b. Om det finns något sådant heltal k.
För något heltal k. B kallas då en delare till a. Och vi säger att a i sin tur är en multipl av b.
Och vad det innebär ska vi visa i ett exempel nedan alldeles strax. Vi skriver b delar a med det här lodräta strecket mellan b och a. Om b inte delar a... Då skriver vi B delar inte A med ett streck över notationen.
Vi har det här flera gånger i matematik, till exempel inte lika med att vi stryker ett streck över likhetstecknet. Vi har alltså begreppen delare, multipl och de här notationen. De begrepp vi nu har introducerat ramar vi in, de ska vi ta med oss. Låt oss titta på ett par exempel.
2 delar talet 6 eftersom jag skriver då 6 kan uttryckas som ett heltal 3 gånger 2. Och det här talet 3 här det har då rollen av att vara det här heltalet k. Att det finns ett sådant heltal att 2 går 3 hela gånger i talet 6. Men talet 4 delar inte talet 6. Eftersom om vi skulle uttrycka talet 6 i talet 4, ja då skulle det ju få bli en och en halv gånger. Och det här, det där är ju inte ett heltal. Nej, heltal. Så talet 4 delar då inte talet 6. Vi säger att 6 är en multipl av 2. Och låt mig få visa med en liten bild vad det innebär.
Om vi säger att den här stapeln är talet 6, då kan vi dela in den i ett helt antal tvåor. Två går tre hela gånger. Och på det här sättet är 6 en multipl av två. Men 6 är inte en multipl av fyra, för om vi försöker ställa fyror här, då kommer fyra till två.
Den får plats en och en halv gång. Vi kan också säga att talet 6 är en multipl av 3. Vi kan nämligen ställa två stycken treor. Inuti den här stapeln som är 6. Och det ryms precis två hela gånger.
Så 6 är också en multipl av 3. Och man kan göra så här med varje delare till ett tal. Ett tal kan skrivas som en multipl av varje delare. Nu till vår första sats. Om c delar ett tal a och c delar ett tal b.
Då gäller... Att c delar en summa a gånger x plus b gånger y. Där de här talen x och y är heltal för alla heltal x och y. Om vi tar talen a och b som är delbara med c och multiplicerar med... Tal x och y, det kan vara både positiva och negativa heltal, så kommer c hela tiden att dela det talet.
Och den där satsen ramar vi in, vi ska visa att den gäller. Så bevis för den här satsen. Att c delar a.
Ja, det är samma sak som enligt det vi skrev här uppe, att a kan skrivas som ett heltal k1 gånger c. Och att c delar b, det är på motsvarande sätt samma sak som att b kan skrivas som ett heltal k2 gånger c. K1, k2 är heltal. Om vi nu tittar på det här talet ax plus by. Då kan vi ersätta a och b med de här uttrycken i c och får då k1 gånger c, det är a.
Gånger x plus istället för b k2 gånger c gånger y. Ja, nu ser vi att c dyker upp på två ställen här och vi kan då bryta ut talet c. Och kvar får vi k1x på ett gånger x plus, här får vi k2y kvar.
Så, men eftersom de där är heltal, k1 är heltal, x är heltal, k2 är heltal, y är heltal, så kommer ju den här summan av produkten, summan av två produkter, vara just ett heltal. Så vi kan alltså skriva det här som c gånger något heltal. Jag kallar det för k3. Och det här är ju precis definitionen av att c delar den här summan.
Alltså c delar ax plus by för alla heltal x och y. Och att x och y heltal är viktigt. Om x och y inte är heltal, då blir inte det här talet ett heltal. Då vet vi inte att c delar det här talet ax plus by.
Jag ska också lägga till ett specialfall som vi kommer använda flera gånger. Speciellt så gäller att c delar a minus b. Om x är ett... och b-1, och där får det vara xy kan vara negativa, så får vi den här situationen. Och att varje differens av två tal som delas av c också delas av c, det kommer vi använda bland annat när vi visar att det finns oändligt många primtal.
En speciell typ av tal är primtal och de spelar en väldigt viktig roll inom talteorin, särskilt inom tillämp. när det gäller datasäkerhet och kryptering. Men vad är ett primtal? Vi tittar på definitionen. Ett heltal p som är större än eller lika med 2 kallas för ett primtal om talet endast har delarna plus minus 1 och plus minus p.
Alltså att det bara är delbart med 1 och sig självt skulle man kunna uttrycka det som. Att vi använder p större än lika med 2 det gör att vi undantar talet 1 från att vara ett primtal. De här talen plus minus 1 det är ju de två tal som varje tal p är delbar med.
Det är ju de två tal som alla tal p är delbara med. Men är man bara delbar med dem då är man ett primtal alltså. Och därför kallas de här för de triviala delarna. Triviala delare. Alla tal har de här delarna.
Och om ett tal har andra delare än de triviala så kallas de för äkta delare. Delare som ej är triviala kallas äkta delare. Triviala och äkta. Låt oss titta på ett exempel på några tal.
Om vi till exempel tittar på talet 7 så har det delarna a plus minus 1 är alltid med. Plus minus 7 är också en delare. Men finns det några andra?
2 delar inte 7. 3 gör det inte. 4 går inte ett helt antal gånger 7. Inte 5 och inte 6. Så det här är ett primtal. 7 är ett primtal.
Ett av dem. Många. Om vi istället tittar på talet 6. Så har det också förstås delarna plus minus 1 och plus minus 6. Vi kan börja skriva upp plus minus 1. Men det finns fler delare. Två delar plus minus 2. Tre delar.
Inte 4 av 5, men talet 6 delar. Och här ser vi att vi får ett antal äkta delare. 2 och 3 är äkta delare. Så talet 6 är inte ett primtal.
Inte ett primtal. Det här med att negativa tal också är delare vill jag kommentera lite kort. Om vi tar talet 6. Och sen så vill vi visa att minus 1 är en delare till det talet. Då ska vi ju enligt definitionen av delbarhet hitta ett heltal k som gångar minus 1 blir 6. Och jo, det finns ju.
Talet minus 6 funkar ju som en sån här heltalsfaktor. Så minus 1 delar talet 6 och kvoten blir minus 6. På ett liknande sätt som vi har gjort här ovanför talet 6 och 7 så kan man för olika tal gå igenom och se är de primtalade inte genom att titta på om de delas av olika tal. För stora tal blir det här en ganska tidsödande uppgift och det är precis det som gör att stora primtal spelar en nyckelroll när det gäller kryptering.
Det är svårt att hitta stora primtal på ett effektivt sätt även för en dator. Finns det många primtal? Ja, vi har redan varit inne på att det finns oändligt många primtal.
Och det visar Euclides primtalsats. Euclides är en av våra tidigaste matematiker och han har fått den här satsen uppkallad efter sig. Och för dig som är intresserad så ska vi i nästa klipp bevisa Euclides primtalsats.
Att det verkligen är så att det finns oändligt många primtal.