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Aula Extra sobre Vetores

Então vamos lá boa tarde para todo mundo para quem for assistir gravada tá hoje vamos fazer nossa aula extra sobre vetores tá as operações aí com os vetores né Nós estudamos ainda no na primeira aula lá na aula quando vocês me conheceram que eram as grandezas vetoriais e agora essas grandezas vetoriais nós podemos fazer operações com elas tá quando for né necessário Quando a gente tiver a necessidade de usar algum alguma ferramenta né dos vetores a gente vai ver nessa aula aqui quais ferramentas nós podemos usar tá então é é uma aula né de um conteúdo mais de ferramenta a gente fala que ele não chega a ser um protagonista ali numa questão mas pode ser um Quad vante mas que é muito necessário saber e entender e saber operar com os vetores para conseguir obter o resultado tá então você pode precisar por exemplo para aplicar aplicar em força em velocidade tá aplicar as operações ou decompor como é que se decompõe uma força né porque a gente estudou por exemplo até agora um plano horizontal nas aulas normais né SAS aulas a gente estudou as forças no plano horizontal imagina se eu colocar um plano inclinado né como que eu vou saber a força que tá atuando a gente vai ter decompor em eixo X e eixo Y né a força em x e a força em y e aí né tem que saber fazer isso e isso vem através dos vetores Tá mas vamos começar do do começo né Vamos do princípio só tô dando um spoiler aqui do que é mais ou menos mas o que que é um vetor vamos revisar isso a gente já conhece eu já passei esse conceito na primeira aula então vetor né ele vai ser aí algo que vai é uma grandeza na verdade não é uma grandeza em si mas el é um matemático que tem moddo direção e sentido tá então se perguntar o que é um vetor você responde é um ente matemático que tem modo direção e sentido eu falo que isso é o tripé de um vetor e a gente tem aqui as grandezas vetoriais que vão ter a necessidade de ter um módulo uma direção e um sentido tá então os vetores vão ser segmentos de retas orientados aqui por uma seta a gente pode representar por uma letra minúscula tá ou uma letra maiúscula também a gente pode representar mas geralmente uma grandeza vetorial a gente representa com uma setinha em cima essa setinha É só para falar que é uma grandeza vetorial tá em homenagem aos meus alunos de 2021 quando eu dei essa aula né quando eu falei vetor ficaram no chat colocando a é a é em referência a vetor do filme né então sempre vai ter aqui vetor no slide em homenagem a eles aqui tá sepre toda a aula que eu dou eu lembro e coloco aqui a fotinha eh de Vetor no slide e É engraçado porque ele explica né fala que Vitor é o nome de nerd dele né agora ele é vetor e ele explica o quem é o vetor né que tem direção sentido e magnitude magnitude seria o módulo Tá mas tá aqui a homenagem sempre eu coloco ela tá mas dando segmento aqui as grandezas vetoriais elas né grandeza a gente lembra que é tudo aquilo que a gente pode medir né a gente viu isso na primeira aula só que as vetoriais além de precisar da medida elas precisam da direção e do sentido tá então por exemplo se eu for empurrar um carro eu tenho que empurrar de trás paraa frente andar pra frente por exemplo não vou conseguir fazer ele andar pra frente se eu empurrar de baixo para cima eu tô tentando levantar ele por quê Porque a força que eu tô aplicando eu tenho que dizer qual é a direção e qual é o sentido que eu vou aplicar ela se eu aplicar em outra direção ou em outro sentido diferente O resultado vai ser diferente tá então grandezas vetoriais são grandezas que a gente precisa informar o módulo que é o valor a direção e o sentido dela tá E aí alguns exemplos de grandezas vetoriais são as forças né aceleração impulso empuxo que também é uma força campo elétrico a gente viu né que as forças elas são vetoriais a gente representa as forças né como setas Principalmente nesse segundo módulo nesse segundo módulo a gente começou estudando né as lei de Newton né como calcular força resultante né que a Segunda Lei de Newton depois a gente estudou força normal força peso força de atrito tem a aula gravada de força de tração força elástica e ontem a gente viu força centrípeta e a gente representa ela como setas né a gente representa por vetores e nós podemos usar vetores para fazer operações com as forças tá ou também com outras grandezas vetoriais como tem aqui tá mas a gente ainda não viu todas as grandezas eh todas as forças que a gente tem para ver ainda ainda tem a ainda tem teremos no Próximo módulo também então o vetor né que a gente vai definir né explicar o que é módulo que é direção que é sentido o módulo do vetor tá antes de começar aqui alguma dúvida até aqui sobre a definição de grandeza vetorial tranquila essa parte todo mundo lembra todo mundo a gente tá revisando aqui algo que a gente já viu certo tranquilo né Vamos seguir aqui vamos lá qualquer dúvida é só me interromper aqui que a gente tira Uai agora eu que não tô conseguindo então o módulo né do vetor né ele vai ser aí a intensidade né o valor numérico do nosso vetor tá seguido de unidade de medida como por exemplo a gente tem a força e a unidade medida de força é Newton se fosse falar de um vetor aceleração a unidade de medida é o met por segundo quadrado tá então o vetor ele vai ter um valor numérico seguido de unidade de medida que representa ali a grandeza que a gente tá trabalhando só que o comprimento do vetor é proporcional ao módulo tá então isso é um pouquinho chato mas quando você for fazer operação com vetor assim de preferência né é só isso não vai dar errado necessariamente no cálculo se colocar o valor certo Claro mas toma cuidado só com o tamanho da seta na hora de desenhar mesmo por exemplo se você tem um vetor que é o dobro do outro tenta respe tá até no no esboço até no desenho como é o caso aqui ó por exemplo o vetor B né Digamos que u seja uma unidade ou seja uma unidade duas unidades três unidades e quatro unidades o vetor B tem 4 U certo ou seja 4 U o vetor a tem a metade então a gente coloca ele como metade do comprimento de b então o vetor a tem 2 u logo 4 e 2 são os módulos do meu vetor tá então é o vetor tem modo direção e sentido é o que define aí tá é a grandeza vetorial então aqui a gente tem ó que o meu vetor B como ele tem um dobro né o dobro ali do módulo de a ele vai ter ali eh n a gente coloca a gente representa como uma setinha maior justamente para dar a entender isso at que o vetor B vai ser maior E aí ele vai ser no caso aqui o do e o 4 são os módulos tá do meu vetor tá é o valor do meu vetor então se eu tenho uma força de 10 New eu vou desenhar o vetor dela e esse vetor tem 10 New é o módulo dele a direção agora a gente vai falar da direção a direção do vetor né é a inclinação da nossa reta Ou seja é a inclinação do vetor e cada vetor o vetor Ele só pode ter uma direção ou seja ele só pode ter uma inclinação ou ele tá como a na vertical ou como B na horizontal ou como c na diagonal existe essas três direções aqui pro vetor e um um único vetor só Pode ocupar uma Ele só pode ter uma direção Então as direções elas vão ser a inclinação do meu vetor tá então quando a gente fala em direção você vai olhar se ele tá na vertical se ele tá na horizontal ou se ele tá numa diagonal assim como o vetor C ali tá então aqui você vai quando falar direção você vai lembrar que ele vai ser aqui a inclinação do nosso vetor e por fim o sentido tá o sentido do vetor ele vai ser aí demonstrado pela seta para onde a seta aponta tá então ela pode aí apontar pra direita pra esquerda para cima para baixo na diagonal para cima pra direita Na diagonal para cima pra esquerda na diagonal para baixo paraa direita Na diagonal para baixo paraa esquerda tá então perceba que ele vai ter uma direção e um sentido para o qual ele tá apontando tá E aí no exemplo eh a gente tem op Deixa eu voltar aqui a gente tem aqui né o vetor D né aqui apontando paraa direita aqui um vetor - D apontando paraa esquerda que que acontece o sinal de menos quando a gente fala de vetores ele não vai necessariamente significar uma subtração como a gente tá acostumado nesse caso ele tá significando o sentido ou seja o Eu determino aqui então que esse que o vetor apontando paraa direita é positivo se eu indico que o vetor apontando paraa direita é positivo automaticamente o sentido contrário tem que ser negativo E se eu dissesse que o vetor pra esquerda é positivo automaticamente o vetor pra direita teria que ser negativo Porque eles estão em sentidos contrários tá isso também vale na vertical ou na diagonal tá se ele tá apontando no sentido contrário e você diz que o outro sentido é positivo esse sentido passa a ser negativo porque ele é contrário àquele que você diz ser positivo então o sentido do vetor aqui D que aponta né vou voltar aqui o original aponta pra direita ele vai ser determinado como positivo automaticamente se eu apontar meu meu vetor um outro vetor paraa esquerda esse vetor tem que levar um sinal negativo porque ele aponta no sentido contrário tá então as o sentido das forças seriam Opostas como por exemplo se eu aplico uma força por exemplo se tem uma caixa no chão eu aplico uma força pra direita eu pensar assim O atrito a força de atrito ela é uma força dissipativa e ela aponta paraa esquerda então quando eu fosse calcular resultante da minha força com a força de atrito teria que ser a força de atrito teria que ser menos tá ou seja teria que fazer uma subtração tá então a gente é porque aqui nesse slide como é aula só de vetores é uma aula mais geral tá você pode pegar isso e aplicar PR força PR velocidade PR aceleração pras grandezas vetoriais mas a gente tá falando de forma mais geral tá então S são forças quando forem Opostas atuando no corpo vai ser uma situação que a gente tem uma força para um lado e o atrito meio que tentando atrapalhar Deu para entender voltar aqui a gente tem um vetor muito importante que é o vetor resultante tá ele vai seguir aí o mesmo princípio de uma força resultante mas quando a gente fala de Vetor resultante vai ser um vetor que ele é resultado das operações vetoriais tá Ou seja você tem várias operações você pode ter várias mais de uma força na verdade agindo sobre um corpo e a força resultante é a soma dessas outras forças tá ou seja vamos pegar aqui vamos imaginar que você tenha que empurrar essa caixa aqui o vetor a e o vetor B né eu poderia dizer que o a vamos como a gente já estudou as lei de Newton e as forças a gente pode até falar que Quais forças são a força C A força que o rapaz imprime né na caixa a força d o vetor D perdão vetor D é a força de atrito o vetor a seria a o peso e o vetor B seria a normal que é a reação aqui pelo contato com o chão certo e o vetor R seria a força resultante do que o rapaz tá fazendo o que que acontece aqui a gente tem que o peso e a normal aqui ó você percebe que a seta deles tem o mesmo tamanho certo seta vermelha e a seta Azul Logo eles são iguais ou seja eles estão em equilíbrio Entretanto a força que o rapaz imprime aqui ó tá sendo uma parte dissipada pelo atrito ou seja ele aplica uma força desse tamanho Lembrando que o tamanho da seta eh vai significar né o tamanho da força e uma parte da força que ele faz uma parte do vetor c é perdida pelo atrito em D logo o result a resultante da força que ele imprime vai ser R que é um vetor bem menor que C tá vendo tá vendo isso porque o atrito tá diminuindo a força que ele tá fazendo Tá agora imagine que não tivesse O atrito aqui não existe atrito aqui ó vamos eliminar o atrito o que que aconteceria com o vetor resultante alguém pode me dizer eliminei O atrito não tem o vetor D ali o que que aconteceria com o vetor resultante é uma superfície ali sem atrito que o rapaz consiga andar ele aumenta ele aumenta mas ele aumenta em que proporção yasm chega aí yasm vem vamos lá vamos lá você respondeu certo mas tá com dúvida tá colocando interrogação ele aumenta em que Em qual em qual proporção não eh Não ele tá na horizontal mas a a proporção que ele aumenta é o tamanho de C ele vai ficar no mesmo tamanho que c Por que que o vetor justamente convertor C porque não vai ter mais atrito para dissipar Ou seja a força que o rapaz imprime vai ser a força que vai ser a resultante tá então é a proporção seria o tamanho de c né Então como eu não poderia falar em dobro porque a gente não tem valores ali né A gente só tá trabalhando com os vetores para dar o exemplo então Eh aí a gente teria que falar em questão de proporção Mas aí o c seria igual ao R tá porque b e a meio que se anulam ali por estar em equilíbrio e a força que ele faria seria a força que ia ser a resultante certo mas como tem o vetor D como tem um atrito uma parte dessa força boa parte né dessa força que ele imprime em C é perdida aí pelo atrito né O atrito ent a caixa a madeira e o chão e aí R fica assim né Fica bem menor do que el o esforço que ele tá fazendo Tá então se você for empurrar uma caixa Numa superfície de cerâmica você tem mais facilidade do que na superfície de piso de cimento porque o atrito no cimento é maior então você vai ter uma força de atrito maior E aí se você imprime a mesma força nas duas situações a resultante no cimento seria menor do que a resultante no na cerâmica alguma dúvida aqui gente pode colocar qualquer dúvida e daí é só me perguntar aqui tranquilo todo mundo entendendo aqui vetor todo mundo especialista em vetores vamos lá deixa eu ver eh agora sim vamos voltar aqui agora a gente vai começar a fazer as operações com os vetores é assim fundamental é conhecer cada uma das situações de operações com com vetores porque cada situação vai gerar ali uma forma de calcular diferente tá mas é muito legal muito legal calma não precisa desesperar é muito legal aqui calcular com vetores primeiro ó soma e subtração de vetores com mesma direção vocês quando forem fazer o resumo ou vocês tiverem fazendo o resumo agora sempre dê ênfase para isso aqui que eu vou cirr porque essa é a situação com a mesma direção se a gente tem a mesma na direção os vetores que a gente tá operando vai est na diagonal na vertical na na horizontal tá aqui eles estão na horizontal no exemplo com sentidos iguais ou seja vetores com sentidos iguais nós vamos somar os módulos dos seus vetores então a soma vetorial aqui vai ser uma soma mesmo então a gente tem um vetor B de 6 n e um vetor a de 3 N A soma vetorial a + b Vai ser 6 + 3 logo o vetor R que é o vetor resultante é no Olha só legal né legal essa é legal essa é fácil é é a forma mais simples que nós temos já com sentidos opostos com sentidos Apóstolos nós vamos subtrair os módulos dos nossos vetores Ou seja eu tenho um vetor B aqui apontando pra esquerda aqui de 6 New e um vetor a apontando pra direita de 3 New Quando eu fizer a - b eu vou ter 6 Men 3 o vetor R passa a ter 3 New de módulo porque vai ser a diferença de 6 com 3 apontando pra esquerda ele vai apontar sentido do vetor maior tá vamos pensar assim vamos imaginar que na primeira situação ali quando é igual você esteja empurrando uma caixa vem outra pessoa el ajuda a empurrar empurra na mesma direção e no mesmo sentido que você logo pessa tá imprimindo uma força junto com você e aí vai ficar mais leve né vai dar uma sensação de ficar mais leve porque tem mais força Então se uma aplica se outro aplica 3 newtons a força seria nove só que vamos supor que um Você tá empurrando a caixa vem outra pessoa e empurra no sentido contrário todo mundo concorda que a Caixa vai no sentido de quem tiver empurrando mais forte ou seja de quem tiver imprimindo ali o maior módulo e na direção também no sentido de quem tiver imprimindo o maior módulo então a resultante nela vai ser uma subtração porque vai ter uma força de um lado e uma força do outro só que ela vai andar que a gente V aqui no sentido eh no sentido do maior modo tá eh ela vai contar na direção em sentido do maior E aí o que que acontece Imaginem assim se eu digo que ah vamos supor que tem uma pessoa nesse ponto aqui vamos entender aqui como é que seria um movimento através de vetores se uma pessoa nesse ponto eu falo ela anda 1 m ela andou 1 m pra frente e depois eu falei dá outro anda outro metro paraa frente ela andou 1 m paraa frente percebeu que ela andou no mesmo sentido na mesma direção em sentido aqui logo a distância que ela tá do ponto inicial é de 2 m certo por quê porque somou agora você olha olha ela andou 2 m e tá uma distância de 2 m se eu digo pra pessoa anda 1 m pra frente ela andou 1 m pra frente e depois volta 1 m quanto ela andou ela andou 2 m Mas qual é a distância dela do ponto inicial nenhum ela voltou pro mesmo lugar percebeu que aqui quando a gente andou dois passos paraa frente foi uma soma quando a gente foi voltou foi uma subtração ela andou 2 m Só que ainda assim ela ficou no mesmo lugar que ela tava antes do ponto de origem porque é o movimento foi no sentido contrário logo seria uma subtração alguma dúvida aqui soma de soma e subtração com a mesma direção mesmo sentido ou sentido oposto são as situações mais legais as situações mais simples aqui e muito interessante tranquilo alguma dúvida pode perguntar gente coloca aí legal essa então vamos passar aqui soma e subtração de Vetor perpendiculares tá agora a gente vai falar de vetores perpendiculares o que que seriam vetores perpendiculares quando a gente fala que algo é perpendicular a outro é porque eles formam um ângulo de 90º tá então se eu tô em pé né em pé sobre uma superfície plana normal eu digo que eu tô perpendicular ao chão né eu for pegar ali meu calcanhar vai formar 90º ali com o chão tá então eu vou estar perpendicular quando forma 90º e aí a gente tem um ângulo de 90 aqui por exemplo ó aqui seria um ângulo de 90º entre o vetor a e o vetor B mas para somar dois vetores com direções perpendiculares perceba que agora a gente não tá com a mesma direção um se encontra na horizontal e o outro na vertical e eu quero somar esses vetores o vetor a o vetor b e o vetor a eles um tá na vertical outro tá na horizontal como que eu somo agora com essas duas situações que a gente viu aqui não dá né não tenho como fazer com isso daqui logo eu vou pegar a origem né do vetor a Opa a origem do vetor a e vou colocar aqui no na extremidade né no final do vetor B quando eu faço isso né ficaria assim né vetor a vetor B quando eu faço isso eu preciso fechar essa figura eu vou pegar aqui da origem ó e Vou traçar uma seta e essa seta é o vetor resultante tá é o vetor meu R aqui que é o resultante logo aqui forma 90º e aí é engraçado porque forma uma figura muito conhecida que é o triângulo que triângulo é esse a gente conhece esse triângulo aí que triângulo é esse é o E como que eu calculo o r de um triângulo retângulo o r é quem a hipotenusa logo A e B são os meus catetos do meu triângulo portanto para calcular fazer a soma eu vou usar o teorema de Pitágoras muito bem então para determinar aqui o módulo do meu vetor resultante eu vou usar aqui o teorema de Pitágoras Aqui tá escrito de uma outra forma perceba que meio que o expoente aqui ao quadrado já foi jogado pro outro lado tá aí tá como um radical mas se você quiser escrever como Sendo R qu = a qu + B qu é exatamente a mesma coisa tá então você pode reescrever assim também que vai dar no mesmo você vai ter que jogar para cá de qualquer jeito é a mesma coisa só que escrita de forma diferente tá é o nosso teorema de Pitágoras aqui tá mas aqui até o desenho Tá escrit escrito de outra forma se eu pego também eu poderia fazer isso eu coloquei aqui o vetor a e o vetor B Unidos na origem deles origem é o ponto de onde o vetor começa e extremidade é onde tá a seta tá então eu coloquei os dois pontos na origem e liguei o vetor R aqui ó porque imagina assim imagina que tem um barbante aqui nesse lado o barbante eu vou aplicar uma força no barbante aqui e uma força em um outro barbante aqui se eu faço isso aqui com o barbante o objeto vai ser lançado na diagonal não é então o objeto vai estar sobre influência da for essa resultante R todo mundo concorda que aqui é o vetor a e aqui é o b todo mundo concorda que esse lado aqui que eu tô desenhando aqui ó esse pon na verdade esse pontilhado colocar um pontilhado esse pontilhado tem o mesmo módulo é o mesmo valor de A tá então a gente pode ainda assim vira um triângulo retângulo tá então percebam que aqui ó esse pontilhado aqui ele tem o mesmo valor de a e ainda assim você vai usar o triângulo retângulo para isso logo se eu for calcular a soma de vetores aí que formam 90º eu vou usar o teorema de Pitágoras alguma dúvida até aqui Tranquilo então tá uma questão aqui para a gente treinar aqui os vetores o vetor posição de um objeto em relação à origem do sistema de coordenadas pode ser desenhado como mostra a figura então o vetor tá aqui né a setinha dele tá aqui na extremidade dele tem uma seta aqui calcule o módulo em metros desse vetor tá já tá em metro aqui tanto em x quanto em Y então não vou precisar converter tá percebam que é esse vetor aqui que ele se refere V mudar de aqui para para dar para ver mas a gente ele tem ali um sistema de coordenadas o vetor que ele tá me pedindo para calcular o módulo é um vetor Pera aí que isso é um módulo aqui eu tô conseguindo tirar isso da frente vai travar agora OK voltou então eles é esse vetor aqui tá que ele tá querendo que eu calcule percebam que esse vetor a posição dele aqui é 10 no eixo Y e em x se eu desço aqui ó a posição dele é cinco ó entre 4 e 6 é C logo esse lado aqui de 0 a 5 todo esse lado do meu do meu triângulo aqui ó vale 5 e esse aqui a altura dele ó que é em Y ou seja vale 10 e eu quero calcular o v R né que é o meu resultante aqui como eu formo um triângulo retângulo o ângulo de 90º tá aqui eu tenho o quê que usar o teorema de Pitágoras E aí eu vou dizer que R qu vou fazer com vermelho para não travar de novo é igual a a quadr + b qu então meu minha resultante aqui meu vetor resultante ao quadrado vai ser Ah vou dizer que é 10 aqui né que é o em Y ali e B em x aí se eu colocasse a como sendo c e b y no final você vai fazer uma soma Então não vai ter eh diferença tá na ordem ali não vai importar né no caso a ordem que você coloca aqui na equação 10 qu 100 25 e 5 qu 25 a gente vai ter que r vou jogar o expoente pro outro lado vai passar como raiz vai ser 125 que não é um quadrado perfeito tá vou ter que fatorar ele aqui como primo Então vamos fatorar por primos ó vamos pegar aqui o 125 todo mundo já viu fatoração por primo quem nunca viu aí coloca a enquanto eu faço aqui tá mas quem nunca viu fatoração por primo todo mundo já viu a gente pesa aqui ó vamos dividir aqui por números primo 125 por 5 vai dar 25 que por 5 novamente vai dar 5 e divid por 5 que dá 1 aqui a gente vai ter 5 c né a gente junta no final aqui ó 5 apareceu três vezes então 5 c só que 5 C eu posso reescrever porque eu tenho uma raiz quadrada ó eu vou reescrever na manha aqui como seend do 5 qu x 5 todo mundo concorda Lembrando que o 5 aqui ó tá elevado a expoente 1 não é se eu fizer aqui 5 se eu fosse multiplicar 5 qu x 5 eu vou fazer conserva a base primeira propriedade de potência conserva a base som os expoentes 2+ 1 3 então D no mesmo tá vendo É igual então eu posso reescrever ó já que 125 é 5 x 5 eu vou reescrever no lugar dele ali ó é igual a gente pode substituir então 5 qu ve 5 eu vou cortar tá esse quadrado com o radical logo a gente vai ter aqui ó vou colocar aqui na frente que R é igual a 5 √5 tá logo R dá aproximadamente ra5 é do e alguma coisa vai dar 10 vai dar 11 ia dar 11 V2 ele tá pedindo resultado em metros né aproximadamente 11,2 aí em metros n que ele pediu Cabaret aqui letra D tá então tá aí a gente usou o teorema de Pitágoras e conseguimos o que a gente fez foi uma soma vetorial mas não é uma soma tradicional tá não poderia somar aqui 10 com C senão vai dar 15 mas tá errado esse 15 aqui não poderia ser por quê Porque um tá na horizontal o outro tá na vertical eu só somo quando tem a mesma direção e o mesmo sentido tá alguma dúvida tranquilo depois você pode assistir gravada tá então aqui a gente vai ter esse valor tranquilo gente pode perguntar qualquer dúvida aqui é só perguntar Então esse aqui são os vetores perpendiculares e agora a gente tem soma e subtração de vetores oblíquos tá Quando a gente tiver soma e subtração de vetores oblíquos né a gente vai usar aqui a gente tem dois métodos né o método do paralelogramo e a linha poligonal linha poligonal é muito simples né meio que seguir ali a direção dos vetores só que o método do paralelogramo vai envolver aí uma matemática tá é muito importante conhecer aí o método do paralelogramo que até vai ser mais útil tá mais cobrado então primeiro você vai traçar aqui né vai posicionar a origem tá dos juntos né a origem é o ponto de partida do vetor você vai posicionar eles na origem e depois vai traçar um vetor diagonal né formando paralelogramo Como assim a explicação aqui ela não faz sentido sem o exemplo então Imagine que você tinha esse vetor Vamos separar eles aqui que o exemplo já tá junto o vetor a e o vetor B vou deixar a cena certinho em cima tá mas não tem problema só para representar aqui um vetor eu vou pegar né eu tenho esses dois vetores eu quero calcular a soma deles né eu vou pegar o vetor a e o vetor b e vou posicionar eles na origem ó Então vou Coloca eles no mesmo ponto depois eu vou traçar uma reta essa reta essa reta é o o meu vetor R E aí esses valores aqui ó esses pontilhados equivalem aos vetores ou seja esse pontilhado aqui equivale ao vetor a ele tem o mesmo módulo o mesmo valor do de a e esse aqui equivale a b tá E aí para calcular o vetor R eu vou dizer que R vai ser a qu + B qu + 2 x a x b vezes cosseno teta essa daqui essa equação aqui nós chamamos de lei dos cossenos tá quem aí já conheceu a lei dos cossenos né geralmente vocês vão estudar isso em matemática lá na aula de em em trigonometria todo mundo já estudou o lei dos cossenos Então você vai usar ela Justamente percebam que ela até até o B quadado parece o teorema de Pitágoras Tá mas como o ângulo não é 90º o ângulo vai ser o ângulo qualquer você vai ter mais duas vezes a x b vezes cosseno teta a realidade é que o teorema de Pitágoras é um caso específico é um caso especial da leios cenos Porque como o cosseno de 90 vai ser vai zerar tudo isso aqui zera E aí só sobra R qu iG qu + B qu como aqui a gente vai ter um valor para os cossenos que vão ser ângulos diferentes por isso oblíquos porque aqui vai ser ângulos diferentes de 90 tá nós teremos aqui um valor né de um cosseno e aí você vai usar essa equação aqui para calcular o nosso vetor R tá então então é bem importante essa parte aqui que vocês podem ver bastante aí tá em exercícios que tenham né forças por exemplo se tivesse uma força aqui na diagonal e outra na horizontal formando esse ângulo teta a força resultante seria esse em vermelho e aí para calcular essa força resultante você teria que usar o teorema de Pitágoras Ô perdão a lei dos cossenos tá então aqui eh vai ser aí justamente para você calcular quando você tiver duas forças perceba que se você tiver duas forças desse jeito aqui a e b você não consegue fazer muita coisa com o que a gente viu você precisaria usar operações com vetores tá alguma dúvida aqui é então o exercício alguns exercícios Camila eles vão informar o valor do Cosseno do seno né para outras situações quando você for precisar mas existem três ângulos que a gente chama de ângulos notáveis que eles não informam nem sempre algum algumas questões podem informar mas eles não informam esses ângulos notáveis a gente aprende com a musiquinha os ângulos são 30º 45º e 60º tá então 30 quem já ou viu falar na musiquinha Hoje é aula da musiquinha hein quem é que vai cantar eu tô volando no ponto ali para ser os graus 60 G vai ser do Seno do Cosseno e da tangente tá só que eu vou colocar só seno e cosseno aqui porque a gente não vai usar a tangente aqui tá Opa Então vou colocar aqui seno você pesquisar a tabela dos ângulos notáveis aí vocês vão completar ela porque eu vou colocar aqui só do seno e do Cosseno tá pra gente não usar muito tempo aqui cosseno então Ó você canta a musiquinha 1 2 TR vou tá fora de ritmo três Deixa eu botar esse trê para cá 3 2 1 então 1 2 3 3 2 1 todos sobre dois raiz onde não tem um tá então você vai cantar 1 2 3 3 2 1 dois embaixo de todos raiz onde não tem um então dois embaixo de todos você vai colocar dois aqui dividindo todo mundo e raiz onde não tem um aqui você vai pegar e vai colocar raiz aqui aqui aqui e aqui pronto você tem a os a tabela eh trigonométrica aí dos ângulos notáveis tá 1 2 3 3 2 1 dois embaixo de todos raiz onde não tem um tá decorou essa musiquinha pronto vai fazer tudo mas Xuxa que virou bagunça isso daqui foi em ótica a gente vai usar é que que na Xuxa é mais animado né tipo Xuxa porque a Xuxa é animado se cantando um dois TR animão a galera bora animação animação eu não vou cantar nesse ritmo tá então aqui a teoria aqui vocês vão estudar essa teoria em matemática tá quando eu dar aula de trigonometria n eu passei assim mas vocês vão dar aula de em geometria não eu cantei 1 2 3 3 2 1 dois embaixo de todos raiz onde não tem um já foi aí tem a tangente é diferente veja só você √3 so 3 1 √3 pronto a tangente eu vou deixar de fora porque a gente não vai usar a tangente aqui tá então vou deixar só seno e cosseno mas dando continuidade aqui você também tem a linha poligonal tá a linha poligonal seria mais ou menos para você identificar ali para onde que vai o vetor Então você tem aqui o vetor a na diagonal Aqui para baixo vetor B para cima vetor c e o vetor D para saber o vetor resultante dele você organiza ele de forma que forma né quase que um polígono por isso poligonal né vai formar um polígono o que que é um polígono é uma figura geométrica fechada tá vocês vão ver lá em geometria plana e aí você forma aqui um valor Ah mas a ordem dos vetores importa não tá a ordem não importa Ó aqui tá a b c d a a gente para organizar teve que deixar em DB tá não tem problema a ordem mas aí no final quando você tiver organizado os vetores você vai traçar o o vetor resultante da origem do primeiro paraa extremidade do último certo é uma regrinha também legal mas o paralelogramo que é onde você usa a lei dos cossenos é muito mais útil tranquilo alguma dúvida até aqui digar essa parte já estão vendo os polígonos né então aqui só Fal fala poligonal porque vai dar um um polígono assim né meio esquisito mas vai dar aí um polígono é meio ele é convexo né ainda mas não vai eh ter tanta interferência como e a regra do paralelograma prefo que vocês peguem aí o paralelogramo que é bem mais importante para se usar tá então aqui a gente fala né que é importante né o vetor resultante ele tem que fechar o polígono tá como a gente fez aqui é ele quem fecha o polígono tá E aí a propriedade é comutativa né O que que diz a propriedade comutativa a ordem que você posicionar os vetores não altera resultante a propriedade comutativa é uma propriedade da Matemática é aquela propriedade que diz que a ordem dos fatores não altera o resultado tá então a ordem que eu colocar os vetores não vai alterar dentro que fique correto e tem que respeitar as as direções o sentido do vetor ó vetor D tá na vertical para baixo tem que ficar na vertical para baixo vetor A tá na diagonal aqui pra direita tem que ficar na diagonal para baixo paraa direita tem que respeitar isso se mudar algum de direção ou de sentido aí vai dar errado tá Você vai estar mudando o vetor vai ser um outro vetor aí tá então vamos lá mais uma questão alguma dúvida aqui tranquila essa parte Então vamos lá para essa questão aqui da Estadual de Feira de Santana o diagrama vetorial da figura esquematiza as forças exercidas por dois elásticos aí um dente uma pessoa que faz tratamento ortodôntico pessoal aí de que quer prestar para Odontologia admitindo-se F = 10 New seno de 45 0,7 Ceno de 45 = 0,7 a intensidade da força aplicada pelos elásticos no dente no dente em Newton é igual a percebam que é uma questão de que envolve né força mas a gente pelas leis de Newton por exemplo pela forma que a gente coloca né pela forma que a gente estudou a gente não consegue chegar no resultado tá não pode e também não pode chegar e somar porque cada um aqui ó vai ter um o vetor F aqui né Você tem um ângulo de 45 por isso que ele colocou seno e cosseno de 45 E você tem F aqui F aqui né um elástico puxando o dente que tá aqui o valor de F é o mesmo tá ele fala ó F = 10 n Então os dois aqui valem 10 não poderia simplesmente chegar e somar e dizer que é 20 n tanto que nem tem aqui nas alternativas só que percebam que o ângulo é diferente de 90 portanto se o ângulo é diferente de 90 tem que usar a lei dos cossenos tá logo a lei dos cossenos diz que r r qu é igual a a qu + B qu + 2 x a x b is é a lei dos cossenos vezes cosseno de teta né teta é o ângulo né que a gente fala então vamos colocar os valores aqui no nosso no nosso cálculo aqui então vai a força né a que seria os FS né o a Tá sendo os FS aqui as forças então é 10 a quadr mais a outra força também que é 10 qu poderia ser valores diferentes a questão colocou os mesmos por opção ve 2 x 10 x 10 vees cosseno de teta não o cosseno seria o teta é 45 né como é 45 o cosseno de 45 tá 0,7 ele nos deu tá ele nos deu mas se eles não não nos tivesse dado o valor aqui dos cossenos ó a gente teria que olhar aqui tá tá cosseno aqui de 45 tá √2 so 2 mas eh ele já colocou como forma eh ele lá tá como fração e aqui tá como decimal tá mas aí seria o mesmo valor tanto que o √2 2 é 1,4 1,4 Divo para 2 dá 0,7 vamos aqui então R quado Vamos abrir aqui né 10 x 10 100 + 100 mais Du aqui 10 x 10 vai dar 100 x 2 200 200 x 0,7 é 70% de 200 vai dar 140 tá logo R né vou jogar raiz né o quadrado para outro lado passa como raiz R iG 300 40 de 340 né E aí a gente vai precisar o qu fatorar por primo o 340 Então vamos pegar aqui ó 340 e vamos fatorar por primo aí pr gente tirar da raiz tá já que não tem quadrado perfeito dividido por 2 D 70 por 2 dá aqui dava aa D 85 né 85 85 é ímpar não dá por 2 não dá por TR mas dá por 5 que dá 17 17 é primo quando é um número primo a gente tem que colocar só por ele mesmo tá que vai dar um logo nós temos o seguinte do aparece duas vezes 2 qu x 5 x 17 vou substituir lá tá vai ficar raiz aqui de 2 qu x 5 x 17 o 2 Quad ó vou cortar aqui o o o expoente com o radical logo eu vou ter 2 √5 x 17 ó 185 di para 5 dá 17 17 x 5 dá 85 tá logo o vetor resultante vai ser 285 New aqui gabarito letra c não deu uma força muito bonitinha mas chegamos aí no nosso resultado tá percebam que ele deu seno e cosseno Mas a gente não usou o seno algumas questões podem fazer isso tá elas podem dar o seno e o cosseno para você só usar um E isso é para confundir tá isso seria para confundir mas ali se você sabe que é a lei dos cossenos você não confunde porque já tá ligado ali no qual é o problema que a gente vai ter é um aparelho ortodôntico deve ser antigo né esse negócio deve doer mesmo mas alguma dúvida aqui tranquilo o valor alguma dúvida deixa eu ver aqui então vamos lá vamos dar continuidade aqui e a gente entra na decomposição de vetores a decomposição vetorial é quando a gente tem aqui um vetor né meio que traçando aqui a diagonal e aí para eu saber o valor desse vetor por exemplo se a gente não conseguir não conseguir calcular a gente pode descobrir o valor do vetor que eu tô decompondo ele no plano perceba que eu tenho um plano x e y tá um plano cartesiano no plano cartesiano eu vou decompor em x e vou decompor no eixo Y tá então eu tenho minha força que é a força real e essa força tá sendo decomposta e no eixo X e a gente vai chamar de FX e no eixo Y que a gente chama de fy logo a gente vai ter o seguinte que para calcular os vetores o valor do vetor FX fy a gente diz que o fy vai ser o vetor F vezes o seno teta e para calcular o FX Você Vai Multiplicar o vetor F original vezes o cosseno teta o teta é o ângulo aqui ó é o ângulo que tá sendo formado no caso a gente voltar aqui no deseno Inicial ó é esse ângulo aqui ó então o cosseno e o seno desse ângulo é o é o que vão identificar o x x e o fy uma dica aqui quando você tiver fx e o fy e você não lemb seno se usa cosseno lembra que o X é o eixo que tá na horizontal se tá na horizontal tá deitado se tá deitado tá com sono se tá com sono é cosseno logo o y só sob o seno tá então lembra deitado com sono com sono acendo já foi não esquece mais nunca e não erra mais nunca isso daqui como é que é colocando V Tod Calma isso daqui a gente usa em plano inclinado né você vai ter lá a gente vai ter por exemplo o plano inclinado aqui por exemplo com uma caixa para onde é que aponta o peso da Caixa a força peso aponta pro centro da Terra ela aponta aqui mas qual é a força que tá atuando na decida aí você vai ter aqui ó você vai ter o PX aqui e o p y aqui ó tá então a gente tem que decompor tá o vetor do do peso para conseguir saber qual é a força que tá atuando aqui na direção x na descida da rampa tá então é para isso que serve a decomposição vetorial em outros casos também então a gente pode decomp por outros vetores como velocidade também a gente pode ter questões que envolvam isso por isso que eu falei que é uma ferramenta tão importante para vocês calcularem eh a as grandezas vetoriais dessa forma e aí se caso você tem o FX o fy e quer saber a força F ela forma o triângulo retângulo ó aqui o o ângul 90 logo F qu vai ser FX qu + f de y qu tá E aí você chega no resultado da força tranquilo alguma dúvida aqui gente pode colocar as dúvidas como ficaria um vetor em um plano tridimensional esse calcula no plano tridimensional A gente vai ter uma outra forma também aí de calcular só que com a forma agora com a o eixo Z tá então a gente vai ter um plano mesmo você vai ter todo ali um valor só que aqui a gente só vai precisar de um bidimensional tá geralmente e não vai ter e questão tridimensional em vestibular assim mas você pode quer fazer algum curso de exatas É porque geralmente isso você pode ver lá mas quando você tiver em um vetor né em um plano tridimensional também você pode colocar é outro você vai ter uma outra uma outra coordenada que seria a coordenada Z também tá então aí além de FX F você vai ter também uma outra coordenada que seria e o z Tranquilo mais alguma dúvida Lembrando que aqui a gente vai usar acho que na aula de plano inclinado precisar mais uma aula exra mas vamos deixa eu encerrar aqui já tô passando do tempo Lembrando que eu ainda tinha mais uma questão tá tem uma questão aqui né Essa questão aqui vou deixar para uma próxima oportunidade tá vou encerrar aqui tá mas qualquer dúvida é só colocar aqui no chat deixa parar a gravação mas é legal você gostar de física isso aí tá vendo melhor disciplina