Appunti su Asintoti Verticali e Orizzontali

Introduzione

• Discussione sugli asintoti verticali e orizzontali.
• Importanza di capire come trovare asintoti in una funzione.

Asintoti Verticali

• Definizione: La retta x = a è un asintoto verticale per la funzione f(x) se:
  • Il limite per x che tende ad a- di f(x) è + o - infinito.
  • Il limite per x che tende ad a+ di f(x) è + o - infinito.
• Grafico: La funzione f(x) si sdraia sulla retta verticale x = a.
• Esempi:
  • Funzione parabola y = x^2 non ha asintoti verticali.
  • Funzione tangente ha infiniti asintoti verticali in x = (π/2 + kπ).

Come Trovare Asintoti Verticali

1. Identificare i punti di potenziale problema (buchi o limiti del dominio).
2. Controllare i limiti destro e sinistro in questi punti.
   • Esempio:
     • Funzione: y = ln(x + 1) / (x - 2)
     • Dominio: x > 0 e x ≠ 2.
     • Potenziali asintoti: x = 0 e x = 2.
     • Limiti:
       • x tendente a 0+: -∞
       • x tendente a 2-: -∞
       • x tendente a 2+: +∞

• Conclusione: Asintoti verticali in x = 0 (destro) e x = 2 (sinistro e destro).

Esempio di Funzione Senza Asintoto Verticale

• Funzione: y = sin(x) / x
  • Problema di definizione in x = 0.
  • Limite: x tendente a 0 di sin(x)/x è 1.
  • Conclusione: Non c'è asintoto verticale.

Asintoti Orizzontali

• Definizione: La retta y = L è un asintoto orizzontale se:
  • Il limite per x che tende a +∞ di f(x) è L (asintoto destro).
  • Il limite per x che tende a -∞ di f(x) è L (asintoto sinistro).
• Grafico: La funzione tende a sdraiarsi sulla retta orizzontale y = L.

Esempi di Asintoti Orizzontali

• Funzione: y = sin(x) / x
  • Limite per x tendente a +∞ è 0, quindi y = 0 è un asintoto orizzontale.
• Funzione: y = arctan(x)
  • Due asintoti orizzontali a +∞ (y = π/2) e -∞ (y = -π/2).

Come Trovare Asintoti Orizzontali

1. Calcolare il limite della funzione per x tendente a +∞ e -∞.
2. Se il limite è un numero finito, allora y = L è un asintoto orizzontale.
3. Se il limite è + o - infinito, non ci sono asintoti orizzontali.

Conclusione

• Gli asintoti verticali sono più comuni, ma non sempre presenti.
• Gli asintoti orizzontali possono essere intersecati dalla funzione.
• Esistono anche asintoti obliqui, che saranno trattati nel prossimo video.