[Musica] Ciao ragazzi in questo video parleremo di asintoti verticali e asintoti orizzontali e vedremo oltre naturalmente alle definizioni anche come fare concretamente a trovare gli eventuali asintoti quando ci viene data una funzione da studiare Cominciamo con occuparci degli asintoti che si trovano forse più comunemente si dice che la retta X = ad a è un asintoto verticale per la funzione FD X se si verifica almeno una di queste quattro casistiche o il limite per x che tende ad a-o della nostra funzione FX fa o+ o meno infinito oppure il limite per x tendente ad a+ della nostra funzione fa di nuovo o- o più infinito in termini grafici Questo significa che il grafico della funzione FX deve sostanzialmente vedete sdraiarsi addosso alla retta verticale X = a E nel fare questo la funzione può andare a più infinito come accade nella prima e nella quarta casistica oppure andare verso meno infinito come accade invece nella seconda e nella terza come vedremo una funzione può avere un numero qualsiasi di asintoti verticali ci sono ad esempio delle funzioni come y = x qu 2 che ha per grafico una parabola che non hanno alcun asintoto verticale e infatti vedete il grafico della parabola qui non tende a sdraiarsi addosso a nessuna retta passatemi il termine e poi ci sono anche delle funzioni come ad esempio la tangente di x che hanno infiniti asintoti verticali perché se ci pensate infatti la tangente è una funzione periodica quindi si ripete uguale ad intervalli di Pi greco e vedete che ha Quindi tutta una serie infinita se uno proseguisse di asintoti verticali che si trovano in pi2 + k p come fare quindi a capire se una certa funzione che ci viene data da studiare ha o meno degli asintoti verticali ed eventualmente determinare Dove si trovano l'idea qui è quella di identificare tutti quei punti che potrebbero avere problemi di definizione e sono Sostanzialmente i buchi no che uno trova all'inizio quando si occupa del dominio della funzione ed eventualmente i bordi del dominio e andare a vedere poi se in questi punti almeno uno tra i limiti destro e sinistro fa più o meno infinito Cioè In altre parole se si verifica una delle quattro casistiche di cui parlavamo prima per fissare meglio le idee consideriamo subito un esempio e proviamo a determinare se la funzione Y = logaritmo naturale di x + 1 FR x - 2 ha o meno degli asintoti verticali e per fare questo chiediamoci Innanzitutto Dov'è definita questa funzione vedete che abbiamo un logaritmo naturale che è definito Naturalmente per X Mag di 0 e poi abbiamo la frazione che esiste sempre tranne quando il suo denominatore x - 2 si annulla e segue quindi che il dominio Se volete della nostra funzione sarà X Mag 0 intersecato x diverso da 2 qui vedete Veo anche rappresentato schematicamente e capite che dov'è che ci sono problemi di definizione nel buco tra virgolette no del dominio che abbiamo in due e poi nell'estremo sinistro del nostro dominio che vedete in questo caso è x = 0 e segue quindi che le rette x = 0 ed x = 2 potrebbero essere degli asintoti verticali e come facciamo a vedere se lo sono veramente dobbiamo calcolarci il limite per x tendente a 2 e il limite per x tendente a 0 della nostra funzione e naturalmente visto che 2 si trova in mezzo al dominio possiamo fare sia il limite sinistro che il limite destro mentre per Per quanto riguarda Zer che vedete all'estremo sinistro del nostro dominio potremmo solo fare il limite destro quindi solamente il limite per x tendente a 0+ se a questo punto non si svolge i limiti si scopre che il limite per x tendente a 0+ fa meno infinito perché infatti quando X tende a 0+ il logaritmo tende a - infinito mentre la frazione qui tende a - 1/2 e quindi quando poi uno somma viene - infinito mentre i limiti a 2-o e a 2+ tendono rispettivamente a Men infinito e più infinito perché la frazione 1 FR x - 2 quando X tende a 2 Men ha il denominatore che tende a 0 Men e quindi 1 FR 0 - - infinito mentre nel secondo caso quando X tende a 2+ al denominatore che tenderà a 0+ e quindi 1 FR 0 + + infinito possiamo quindi concludere che le rette verticali x = 0 ed X = A2 sono degli asintoti verticali per la nostra funzione FX di cui vedete Vi ho riportato un grafico qualitativo qui sulla destra notate che la retta verticale x = 0 cioè l'asse y si comporta come asintoto verticale solo a destra di 0 e pertanto viene anche detto asintoto verticale destro mentre in x = 2 c'è un comportamento tipo asintoto sia a sinistra che a destra quindi se volete x = 2 sarebbe sia un asintoto verticale sinistro che un asintoto verticale destro e quindi si dice semplicemente asintoto verticale notate che in questo caso in entrambi i punti dove avevamo dei problemi di definizione abbiamo trovato degli asintoti verticali ma in generale mi raccomando non è detto che dove c'è un problema di definizione ci sia necessariamente un asintoto verticale a titolo di esempio consideriamo la funzione Y = Sen X su X che ha chiaramente un problema di definizione solo in x = 0 dove si annulla il denominatore quindi il suo dominio naturale sarà x diverso da z0 ora se andiamo a vedere cosa succede in zero si scopre che questa funzione non ha alcun asintoto verticale lì e perché succede questo perché se andiamo a calcolarci il limite per x tendente a 0 più o meno non importa tanto fa la stessa cosa di sen X su X ci viene 1 1 naturalmente non è né più né meno infinito e quindi la funzione in prossimità di x = 0 non avrà un asintoto verticale Ma si comporta invece più o meno vedete come vi ho disegnato qui quindi non è definita in x = 0 Ma avvicinandosi a 0 tende al valore 1 Quindi mi raccomando non sempre quando abbiamo un problema di definizione ed in particolare non sempre quando si annulla il denominatore c'è per forza un asintoto verticale quindi l'asintoto verticale è forse l'eventualità più comune però nel bestiario delle possibilità ci sono anche situazioni un po' più losche tipo questa qui occupiamoci adesso degli asintoti orizzontali si dice che la retta di equazione y UG ad L è un asintoto orizzontale di FX per X tendente a più infinito se il limite per x tendente a più infinito della funzione FX fa l e un'analoga definizione si dà per X tendente a - infinito per distinguere i due casi si possono anche utilizzare gli aggettivi destro riferito al caso più infinito e sinistro riferito al caso meno infinito da un punto di vista grafico quello che succede di solito in questi casi è che la nostra funzione FX o per X molto molto grandi quindi quando X tende all'infinito o per X molto molto piccole quindi quando X tende a meno infinito ha il grafico che tende a sdraiarsi addosso l'asintoto Quindi vedete tende a diventare la retta orizzontale y = l ed è quindi un po' come se il nostro asintoto orizzontale fosse una specie di tangente all'infinito per il grafico della nostra funzione No in realtà questa idea della tangente all'infinito che è molto evocativa No da un punto di vista geometrico e che si presta benissimo in moltissimi casi non è però sempre correttissima a titolo di esempio vi ho riportato il il grafico della funzione Y = Sen X qu FR x e notate che se voi fate il limite per x tendente ad esempio a più infinito di questa funzione si ottiene che questo limite fa zero ed il motivo ragazzi è che abbiamo una quantità limitata al numeratore e quindi se la dividiamo per una cosa che tende all'infinito questo limite deve fare zero dovremmo quindi concludere in base alla definizione che abbiamo dato poco fa che la retta Y = 0 è a questo punto un asintoto orizzontale in questo caso destro Ma si verifica facilmente che è anche sinistro se facciamo il limite a meno infinito per la nostra funzione FX però vedete che la nostra funzione in realtà non è che abbia il grafico che si sdraia addosso alla retta Y = 0 quindi vedete che il discorso della tangenza all'infinito questa volta si presta male quindi l'idea da avere in testa Secondo me è che nella stragrande maggioranza dei casi comuni effettivamente c'è il grafico che è tangente all'infinito all'asino come i due esempi che vi ho fatto vedere prima ma bisogna anche essere consapevoli che ci sono delle funzioni decisamente più rare da trovare Se volete in cui questo non si verifica per chi fosse interessato ad approfondire ulteriormente la questione vi lascio un link in descrizione qui sotto dove trovate tutta questa faccenda trattata molto bene È poi interessante notare che a differenza degli asintoti verticali gli asintoti orizzontali possono essere intersecati dal grafico della funzione e il numero delle intersezioni può essere anche infinito come vedete ad esempio nella funzione che abbiamo disegnato prima vedete che qui il grafico interseca l'asse delle x che era il nostro asintoto orizzontale infinite volte per trovare le coordinate degli eventuali punti di intersezione è sufficiente mettere a sistema la funzione con l'equazione dell'asintoto e risolvere le eventuali soluzioni del sistema saranno proprio le coordinate dei punti di intersezione un'altra differenza rispetto agli asintoti verticali che possono essere anche infiniti è che una funzione può avere al massimo due asintoti orizzontali diversi 1 a Men infinito ed 1 a più infinito qui Vi ho riportato tre esempi vedete la funzione y = x qu che ha per grafico una parabola non ha nessun asintoto orizzontale la funzione e all X ne ha uno solo e precisamente è l'asse x che fa da asintoto orizzontale sinistro mentre la funzione arcotangente ha due asintoti orizzontali diversi a più infinito Infatti il grafico tende a sdraiarsi addosso alla retta Y = pi2 mentre a inf finito l'asintoto orizzontale è rappresentato dalla retta Y = - pi2 chiediamoci Infine come si fa operativamente a trovare gli eventuali asintoti orizzontali che la funzione potrebbe avere e l'idea qui è che bisogna fare il limite a più o meno infinito della nostra funzione e guardare se il limite ci viene una quantità finita oppure no Se il limite esiste ed è finito Ovvero se viene un numero diremo che la retta orizzontale y uguale a quel numero è il nostro asint orizzontale destro o sinistro A seconda di quale dei due casi stiamo considerando Mentre se il limite non esiste oppure fa più o meno infinito possiamo concludere che non ci sono asintoti orizzontali in quest'ultimo caso quindi se il risultato del limite fosse più o meno infinito potrebbero comunque esserci degli asintoti obliqui e di questo parleremo diffusamente nel prossimo video Io per il momento Ragazzi vi saluto come sempre se avete trovato utile questa video lezione ricordatevi di mettere mi piace passa a trovarci sulla pagina Facebook e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video [Musica]