हेलो ए नमस्कार सो वेलकम बैक टू माय चैनल गा और आज की वीडियो में हम डिस्कस करने वाले हैं मॉक ऑफ क्विज वन ठीक है तो यह हमारा सबसे पहला क्वेश्चन है और क्वेश्चन क्या कह रहा है जॉइंट प्रोबेबिलिटी मास फंक्शन ऑफ टू डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल एक्स एंडवा इ गिवन ठीक है यह दिया हुआ है ठीक है जॉइंट पीएमएफ टेबल ओके पूछ रहा है आर एक्स एंड वा इंडिपेंडेंट इंडिपेंडेंट के लिए याद हो तो हमें प्रॉपर्टी क्या होती है कि एफ ऑफ f ऑफ एक्सवा ऑफ एक्सवा अगर है ठीक है तो किसके बराबर हो f एक ऑफ एक्स इनटू में एवा ऑफ वा ठीक है ये अगर हो जाता है कंडीशन ये सभी के लिए ऑल द एलिमेंट्स इन द जॉइंट पीएमएफ टेबल अगर ये वैलिड होता है सबके लिए तो हम कह क्या कि हमारा जो एलिमेंट जो जॉइंट पीएमएफ टेबल है यानी रैंडम वेरिएबल है वो क्या है हमारा इंडिपेंडेंट है ठीक है तो यहां पर देख लेते तो इसके लिए मैंने क्या करा सबके मार्जिन निकाल लिए जैसे कि इन सभी का अगर मैं ऐड कर दू क्योंकि यवा का है तोवा इव प निकालना है मेरे को मार्जिनल और इ तो इन सब का ऐड करूंगा ऐसे इट का मार्जिनल तो इ सब ड करूंगा ऐसे x इव का मार्जिनल और एक का मार्जिनल ठीक है तो बा का य मार्जिनल क्या होता है मार्जिनल यानी की ये ओनली एक्स का पीएमएफ और वा का पय जॉइंट पीएम है तो f एक् एवा ऑफ वव हम चेक करते हैं सबसे पहले तो 1 1 प हमारी ये है ठीक है तो यह किसके बराबर होगा fx1 * में fy1 जो कि यह वाला चीज जो है है ना ये वाला जो मैंने बताया अभी ठीक है तो इसका क्या हो गया 1/4 ठीक है अब f ऑफव क्या आया f एक ऑफव आया हमारा 4/8 है ना ये आया यहां पे एंड fy1 क्या आया fy1 हमारा आया 5/8 है ना इन दोनों को चेक करा तो ये एलएचएस है हमारा है ना और ये हमारा क्या है ये आरएचएस है हमारा राइट तो इन दोनों को जब हमने चेक करा तो ये दोनों आपस में इक्वल नहीं आए तो हम कहेंगे कि सीधा कि क्या है ये इंडिपेंडेंट नहीं है ठीक है अच्छा याद हो तो क्योंकि ये 2 बाटू टेबल है राइट x के भी दो एलिमेंट है 2 बाटू टेबल है तो अगर हम इट इज इनफ टू चेक वन है ना इट इज इनफ टू चेक फॉर वन राइट याद हो और अगर 3/3 है तो 3/3 है तो 3/3 है तो इट इज इनफ टू चेक फोर है ना चार चेक कर लो इनफ है और इसमें फिर दो चेक कर लो इनफ है ठीक है तो ये फर्स्ट क्वेश्चन हो गया हम सेकंड क्वेश्चन की तरफ बढ़ते हैं ठीक है सेकंड क्वेश्चन ये हमारा है कह रहा है फाइंड द वैल्यू ऑफ v एक प्वा = 3 ठीक है एंड आंसर द करेक्ट यूजिंग थ्री डेसीमल ठीक है तो x प्वा = 3 और यही वाला टेबल का यूज करना है हमें ठीक है इसी वाले टेबल का यूज़ करके हमें x + y = 3 निकालना है तो x + y = 3 कब आ सकता है तो यहां पे हमें दो केसेस बन रहे हैं x + y = 3 आने का पहला क्या कि x = 1 y = 2 हो ठीक है तब आ सकता है या फिर क्या हो x = 2 हो y = 1 हो तीसरा कोई केस नहीं है क्योंकि क्या है x का रेंज क्या है x का रेंज है व को अ 1 2 राइट एंड y का भी रेंज क्या है 1 2 ठीक है तो और कोई तीसरा केस नहीं है हमारे पास राइट तो अ दोनों का x = 1 y = 2 पे कितना है हमारा वैल्यू x = 1 y = 2 हम चेक करेंगे यहां पे तो x इ x = 1 ये वाला और इसमें y = 1 ये वाला यानी कि 1/4 है ठीक है y = 2 राइट x = 1 प y = 2 तो 1/4 है हमारा है ना और 1/4 है ऐसे ही हमारा क्या x = 2 एंड y इ 1 के लिए चेक करते x = 2 एंड y = 1 प कितना है x = 2 है ना x = 2 एंड y = 1 प 3/8 है राइट इन दोनों का सम करेंगे तो तो आया कितना हमारे पास 0 प 625 ये हमारा आंसर हो गया ठीक है नेक्स्ट हमें निकालना क्या है फाइंड द मैक्सिमम ऑफ मैक्सिमम ऑफ एकवा लेसन इक्व 2 ठीक है तो याद हो p ऑफ मैक्स ऑफ x ऑफ एकवा ऑफ लेसन इ 2 को हम क्या लिख सकते हैं बेसिकली p ऑफ x < 2 एंड y < 2 है ना यही होगा हमारा राइट याद हो तो ठीक है और अगर हम देखें क्योंकि मैक्सिमम निकालना है राइट तो तीन केसेस होते हैं तो अगर देखे तो लेसन इक्वल टू निकालना है ठीक है लेस देन और इक्वल टूट तो इसमें क्योंकि हमारा एक्स क्या है एकस हमारा टू है वा हमारा भी क्या है टू तो मैक्सिमम ऑफ मैक्सिमम ऑफ अ है ठीक है एक्सवा का और टू आना चाहिए तो क्या होगा या तो x इ 2 हो है ना और y इसका क्या हो लेसन टू हो ठीक है एक तो इसकी वाली तो इस के इस केस में मैक्सिमम अगर इस दोनों का निकालेंगे तो ये आएगा टू राइट या दूसरा केस क्या है कि x लेसन 2 हो ठीक है और y हमारा क्या हो इक्वल टू 2 हो ठीक है ये केस हो गया या फिर तीसरा क्या है x भी टू हो और y भी टू हो तब तब भी हमारा क्या आएगा मैक्सिमम यही आएगा राइट याद हो तीन तीन केसेस लेकिन हम यहां पे एक चीज देख रहे हैं क्योंकि हमारे पास दो ही है इससे ज्यादा है ही नहीं तो इससे ज्यादा तो मैक्सिमम हो ही नहीं सकता है और उससे कम और उससे इक्वल टू दोनों की प्रोबेबिलिटी पूछी है तो यानी कि ये पूरे का प्रोबेबिलिटी पूछा है राइट पूरे का प्रो पूरे का प्रोबेबिलिटी कितनी होती है वन होती है तो इसका डरेट आंसर हम लिख देंगे ठीक है क्योंकि ल सभी प्रोबेबिलिटीज को इंक्लूड कर रहा है राइट नेक्स्ट करते है तो नेक्स्ट हमारा क्वेश्चन है फोर्थ क्वेश्चन ठीक है सपोज एक्स इ नॉर्मली डिस्ट्रीब्यूटर वन तो जब मीन और जीरो और वेरियंस वन होता है तो इसको कहते है स्टैंडर्ड नॉर्मल राइट है ना ये हमें पता है जब मीन जीरो हो और वेरियंस वन हो तो हमारा स्टैंडर्ड नर्म होता है सपोज एक्स प ऑफ एक्स लेसन माइनस इ 0.1 और कह रहा है इसकी वैल्यू फाइंड करो ठीक है तो नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन कुछ ऐसा दिखेगा हमारा राइट कुछ ऐसा दिख रहा है ठीक है तो ये वाला जो एरिया ये वाला है तो ये जो है -2 ठीक है क्योंकि p एक प्रोबेबिलिटी ऑफ x लेसन -2 यानी कि इससे नीचे वाला एरिया जो है इसकी वैल्यू कितनी है 0.1 है ठीक है तो नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन है नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन क्या होता है सिमेटिक होता है तो अगर x लेसन 0 लेन -2 की है तो इसके सिमेटिक ग्रेटर देनस इसका भी क्या होगा प्रोबेबिलिटी 0.1 ही होगा जितना लेस है उतना ही ग्रेटर का भी प्रोटी होगा ठीक है तो हमें निकालना क्या है माइनस सेट के बीच यानी ये रीजन का है ये रीजन का निकालना है स वाला रीजन जो है यह वाला रीजन पूरा है ठीक है तो इसका प्रोटी क्या होगा अगर मैं सभी के प्रोटी में से इन दोनों को माइनस कर दू ठीक है तो यहां पर देखेंगे तो लेट से प एक् लेसन टू ठीक है तो हमें य से पता च ग्रेटर दन की कितनी है 0.1 है है जैसे की माइनस लेसन माइनस की प्रोटी पता है तो इसका सिमेटिक तो एक ग्रेटर इक्ट यानी ये वाले रीजन का प्रोटी हम पता है ठीक है तो अगर इतना का प्रोटी हमें पता है तो इसके इधर वाला इधर वाला कौन सा यह वाला सारा जो है इस पूरे एरिया का इस पूरे एरिया का प्रोटी क्या होगा अगर न में से इसको माइनस कर तो व सारा इस वाले पूरे एरिया का प्रोटी होगा ट इ दिस है ना ठीक है अब हमें निकालना क्या है माइट सेट तो क्योंकि य ये वाला है तो इसका हम ये लिख सकते है ना प ऑफ ये लिखा हुआ है ठीक है प ऑफ माइट सेट के बीच में तो इसको हम कह सकते क्या f एक ऑट माइन f एक माइट याद हो फार्मूला हमारे पास है ए लेस एक्स ले बी ये है तो हमारा क्या होगा ये कैपिटल ए एक्स ऑफ बी माइनस कैपिटल ए एक्स ऑफ ए ये हमारा फार्मूला होता है ठीक है तो यहां से एक्सट हमारा यहां से आ गया है ना और f एक -2 हमारा यहां पर दिया हुआ है राइट तो इसको माइनस करेंगे 0.8 हमारा आंसर आ जाएगा ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन फिफ्थ क्वेश्चन हम देखते हैं यहां क्या कह रहा है टू अनवास डाइस आर थ्रोन रिपीटेडली ठीक है बारबार फिका जा रहा है फाइंड द एक्सपेक्टेड नंबर ऑफ ट्रायल्स नीडेड टू गेट द सेम वैल्यू ऑन बोथ ा अभी सेम वैल्यू चाहिए हमें दोनों डाई पे ठीक है तो हम कहते देखते हैं प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस क्या है जब हमारा दोनों डाई पे सेम वैल्यू आएगा दैट इज 6/36 है ना इतने अ बार में आ सकता है राइट और इसको हम क्या कह सकते हैं 1/6 तो प्रायोरिटी ऑफ़ सक्सेस क्या है 1/6 और प्रोटी फेलियर क्या है 5/6 ठीक है तो सक्सेस और फेलियर मिल गया और क्योंकि क्या कह रहा है एक्सपेक्टेड नंबर ऑफ़ ट्रायल्स नीडेड टू गेट द अह सेम वैल्यू है ना तो यानी कि फर्स्ट अ जो हमारा सक्सेस है ना तो वह बेसिकली किसको फॉलो करेगा वह फॉलो करेगा किसको ज्योमेट्री डिस्ट्रीब्यूशन को राइट और ज्योमेट्री डिस्ट्रीब्यूशन कि है p x = k = 1 - की पावर के माइव इन प है ना यहां पर प क्या होता है प होता है सक्सेस राइट सक्सेस की प्रोबेबिलिटी प्रोटी ऑफ सक्सेस है ना तो ये हो गया और इसका ही ज्योमेट्री का ही एक्सपेक्टेशन वैल्यू क्या होता है / प ठीक है एक्सपेक्टेशन वैल्यू ऑफ ज्योमेटिक डिस्ट्रीब्यूशन क्या होता है / प है ना और य जो के है ये क्या है नंबर ऑफ ट्रायल्स नंबर ऑफ ट्रायल्स है ना ठीक है तो तो / प है तो प हमारा यहां से आ चुका है 1/6 तो इसको हम इसमें पुट करेंगे दैट इज सिक्स तो सिक्स हमारा क्या आ जाएगा आंसर आ जाएगा ठीक है सिंपल सा क्वेश्चन था ठीक है अब नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन हमारा क्या है सिक्सथ नंबर क्वेश्चन तो ये क्वेश्चन पूछा था कि ये हमारा दिया हुआ है ठीक है डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल का हमें पूछा था कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल का ठीक है डिस्क्रीट को हम स्मल एफ से रिप्रेजेंट करते जबक कंटीन्यूअस को हम कैपिटल ए से रिप्रेजेंट कर रहे ना ई आरवी और ये है डीआरवी डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल राइट और इसको ऐसे भी लिखते हैं डिस्क्रीट को है तो इसे हमें क्या करना है कंटीन्यू रैंडम वेरिएबल में तो य पर एक चीज देखना कंटन रंड वेबल माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी तक जाते हैं माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी ततक जाते ठीक है तो य दिया हु जीरो से लेस होगा अगर कोई ठीक है जीरो से लेस में उसकी प्रोटी कितनी होती है जीरो होती है ठीक है जो कि हमारे को यहां देखने मिल रहा है यहां देखने मिल इन दोनों में देखने नहीं मिल तो ये दोन पहले ही रंग हो ग ठीक है ओके नेक्स्ट और इसमें अ ग्रेटर दन वन की भी मतलब ग्रेटर दन जो लास्ट लिमिट है उससे ऊपर की भी प्रोटी देखने को मिलती है ठीक है जो कि इन दोनों में है ठीक है नेक्स्ट अ नेक्स्ट क्या चीज है कि जैसे-जैसे ये लिमिट बढ़ेगी ठीक है जैसे कि वन था है ना वन फिर टू फिर थ्री फिर फोर तो ऐसे करते हैं तो इसकी प्रोबेबिलिटीज भी क्या होती है बढ़ती जाती है क्योंकि ये इंक्लूड करता जाता है अगर सीडीएफ की बात करें अ कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल में प्रोटीज की बात करें तो वो इंक्लूड करता जाता है तो यहां पे देखेंगे 0 41 0.15 ठीक है तो ये बेसिकली इंक्रीजिंग ऑर्डर में नहीं है ठीक है ये इंक्रीजिंग ऑर्डर में नहीं है यहां देखेंगे तो ये क्या है इंक्रीजिंग ऑर्डर में है 0 फिर 4 फिर 5 फ9 और मतलब कहने का मतलब क्या है वन से टू है ना वन से टू में इन दोनों का इंक्लूड हो जाता है ठीक है थ से टू में ये सारा इंक्लूड होता है और इनमें ये सारा इंक्लूड होता है और फिर यहां से ये सारा इंक्लूड होता है ठीक है ऐसे चलता है तो ये हमेशा इंक्रीजिंग में बढ़ेगा ठीक है तो ये मेरा पहचानने का यहां पर तरीका था कि बहुत आराम से हमें पता चल गया कि कौन सा आंसर है इसमें ठीक आई होप आपको समझ में आया नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं तो नेक्स्ट क्वेश्चन है हमारा सेवंथ क्वेश्चन दैट इज द टाइम टेकन बाय कृष्णा टू कंप्लीट अ रेस फॉलो एन एक्सपो एशियल डिस्ट्रीब्यूशन एक्सपो शियल डिस्ट्रीब्यूशन हमें फॉलो करता है ठीक है विथ एक्सपेक्टेड टाइम हमारा 20 तो e ऑफ एक दे रखा है ऑफ एक हमारा एक्सपो शियल में क्या होता है / लडा है तो 1 बा लडा इ 20 दे रखा है तो यहां से लडा इक्व हमारा क्या आ गया 1/2 ठीक है ओके अब कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल है कह रहा है व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट कृष्णा टेक लेस दन 15 मिनट्स ठीक है x लेस दन इक्ट 15 ठीक है टू कंप्लीट द रेस्ट ठीक है एक्चुअली नॉट इक्वल टू होगा बस लेस देन होगा ओके स लेसन होगा राइट प एक ले 15 का हमारा क्या होगा तो एक्सपेंश में याद हो है ना तो प ऑफ एक्स लेसन एक्स क्या होता है हमारा 1 माइन e की पावर माइन लडा एक्स ठीक है ये होता है राइट तो यहां प माइन एक्स हमारा क्या है 15 है ट य पर 15 है है ना तो 1 माइनस e की पावर माइनस लडा 15 और लडा हमारा क्या है / 20 य पर पुट करेंगे सॉल्व करेंगे तो हमारे पास वैल्यू आएगी 0.53 ठीक है जो कि हमारा आंसर है इसी का कंटिन्यू क्वेश्चन क्या है कह रहा है कि फाइंड व्ट इ द प्रोबेबिलिटी ट कृष्णा टेक लेस देन 30 मिनट्स ठीक है लेसन 30 मिनट्स बट मोर देन 50 मिनट्स ओके टू कंप्लीट द यानी 15 से ऊपर और से ले यानी की प ऑफ 15 ग्रेटर दन इ x लेन इ 30 ठीक है तो इसको फिर अगेन हमको याद है अभी जो पिछले बार पिछले क्वेश्चन में ही फार्मूला पढ़ा था है ना क्या p ऑफ a < x < ब क्या होता है हमारा कपिल f एक ऑफ b माइन f एक ऑफ a है ना सेम फार्मूला तो यहां से f एक ऑफ 30 - f एक ऑफ 15 ठीक है ऊपर वाले जैसे हमने निकाला 15 का ठीक है 15 का हमने यहां से निकाल ही रखा है वैसे भी ठीक है 30 का निकालना है राट तो सेम फार्मूले में पुट कर देंगे ठीक है लडा एक्स तो x की पावर माइन 30 हो जाएगा इसमें इसमें माइ 15 था दोनों करके सॉल्व करेंगे हमारा आंसर क्या आएगा 0.25 ठीक है तो ये हमारा आंसर हो गया नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है नेक्स्ट क्वेश्चन कह रहा है कि ए क्या है ए प्लेयर रोज टू डाइस ठीक है एक प्लेयर दो इंडिपेंडेंटली करता है इंडिपेंडेंट है है ना एंड अनस 30 अगर दोनों इवन होता है 20 अर्न करता है जब वन डाई शो इवन है ना एगजैक्टली वन करता है तब और 10 लूज करता है अगर दोनों डाई ऑड हो ठीक है तो कह रहा है एक्सपेक्टेड अर्निंग बतानी है अमाउंट बताना है ठीक है तो हम x1 कह देते हैं कि लेट्स से दोनों डाई इवन हो ठीक है x2 कह दे कि एगजैक्टली वन इवन हो और x3 हम क्या कह रहे हैं अ बोथ दई ऑडर ठीक है तो x1 की प्रोबेबिलिटी कितनी होगी दोनों इवन हो तो 3/6 इवन आने की प्रोटी और सेकंड पे भी इवन आने की प्रोटी ठीक है तो 3/6 * 3/6 दैट इज 9वा 36 ठीक है एगजैक्टली वन इवन आने की तो दो केसेस है यानी कि पहला इवन आए दूसरा ऑड आए ठीक है या फिर दूसरा इवन है पहला ऑड है ठीक है तो इस केस में क्या होआ इसकी भी प्रोटी 3/6 इसकी प्रोटी 3/6 इसकी भी प्रोटी 3/6 इसकी प्रोबेबिलिटी 3/6 यानी टू टाइम्स ऑफ़ 3/6 * 3/6 दैट इज 18/6 ठीक है सेम x3 की प्रोबेबिलिटी कितनी हो जाएगी x3 की प्रोबेबिलिटी भी कितनी हो जाएगी 3/6 * 3/6 है ना दोनों पे ऑड आने की प्रोटी सेम है है ना तो ये हो गया ठीक है अब एक्सपेक्टेशन वैल्यू क्या होगी तो 30 इन दिस पफ x1 है ना प् 20 इन पफ x2 एंड -10 क्योंकि लूज कर रहा है है ना तो - 10 9/36 इसको सॉल्व करेंगे हमारा 15 आंसर आएगा ठीक है तो ये हमारा आंसर हो गया नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन क्या है हमारे पास नेक्स्ट क्वेश्चन सपोज एक इ यूनिफॉर्म 223 ठीक है एंड लेट y इवा गिवन x इ एक् इमेट्रिक / एक ठीक है जमेट / क रहा फाइंड p ऑफ y ग्रेन 5 गिवन कि x = 2 ठीक है तो हमें यहां से ये पता है कि ये क्या है ज्योमेट्री है ज्योमेटिक कैसे फॉलो करता है 1 माइ p की पावर k-1 इनू में p है ना ज्योमेटिक डिस्ट्रीब्यूशन का होता है राइट तो यहां से x = 2 है हम y = के ले लेते हैं ठीक है तो y इ के के लिए हमारा फार्मूला क्या हो जाएगा ये है ना 1 - 1/2 क्योंकि हम x = 2 लिख रखे हैं तो यहां पे जो x होगा वही यहां प वैल्यू होगी है ना सक्सेस की भी तो 1 - 1/2 ट इज 1/2 की पावर k - 1 इनटू में 1 दैट इज 1/2 की पावर k ठीक है अब कह रहा है y लेसन 5 की निकालने ग्रेटर दन 5 की निकालने तो हम अगर 1 माइ ले इ 5 कर देंगे तो हो जाएगा हमारा आंसर आ जाएगा राइट तो अ हमने y < इ 5 निकाला ठीक है तो y ले = 5 के लिए क्या करेंगे हम समेशन करेंगे है ना वन से लेकर फ तक का राइट तो वन से लेके फ तक का समेशन 1/2 की पावर k है ना अब k की x की वैल्यू बढ़ती जाएगी वैसे k की वैल्यू रखते जाएंगे तो फर्स्ट टाइम में क्या होगा वन तो 1/2 की पावर 1 इज दिस फिर टू हो जाएगा तो 1/2 की पावर 2 इज दिस है ना ऐसे ही पावर थ पावर फोर एंड पावर 5 सबको ऐड करेंगे 31/32 ठीक है हमें निकालना था ये हमने ये निकाल लिया तो अब इस से वन में से इसको माइनस कर देंगे तो हमारा आंसर आ जाएगा राइट तो p p ऑफ y ग्रेटर 5 गिवन की x = 2 इज बेसिकली 1 - p y < = 5 गिवन x = 2 ठीक है तो इसको सॉल्व करेंगे है ना ये हो गया 32 तो 1/32 आएगा दैट इज 0.031 ठीक है यह हमारा आंसर आ गया राइट ओके अब अ बात करते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन की नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है हमारा तो नेक्स्ट क्वेश्चन कह रहा है फाइंड द वैल्यू ऑफ़ p > 5 p > 5 निकालना है ठीक है तो p y > 5 निकालना है तो p > 5 में दो केसेस हो सकता है पहला कि p ऑफ y क्योंकि हमें हमने यह पढ़ा है राइट जॉइंट अ कंडीशनल अ इक्वल्स टू अ कंडीशनल इक्वल टू जॉइंट अपॉन मार्जिनल राइट तो हमें चाहिए पवा ग्रेन फ दैट इज मार्जिनल तो मार्जिनल इक्वल टू क्या हो जाएगा मार्जिनल इक्वल टू हो जाएगा कंडीशनल इनटू में जॉइंट राइट ये चीज हो जाएगी तो यहां पर दो कंडीशन बन सकती है ना इसके लिए दैट इज p ऑफ y > 5 गिवन x = 2 है ना जब सक्सेस हमारा क्या हो 2 हो इंटू में p x = 2 और p ऑफ y > 5 गिवन x = 3 इंटू में p y = 3 ये कहां से आया तो याद हो अगर हम पिछले स्लाइड में जाए तो हमारे पास यूनिफॉर्म क्या है 2 और थ है ना ू और थ के ऊपर यहां 2 और 3 और y हमारा आ रहा है ठीक है तो टू और थ दोनों पे डिपेंड कर रहा है राइट तो एक बार जब टू आएगा तब y की वैल्यू है ना यानी कि y की कुछ वैल्यू आएगी कब जब x = 2 होगा है ना और y की वैल्यू कब आएगी जब x = 3 भी होगा है ना तो दोनों है तो दोनों केस हम कंसीडर करेंगे राइट तो ये हमारा इसका तो हमने ऑलरेडी कैलकुलेट कर रखा है ट इज ये y > 5 गिवन x = 2 पिछले क्वेश्चन में हमने कैलकुलेट कर दैट इज ये होगा 1/32 ठीक है * p x = 2 इज बेसिकली क्योंकि यूनिफॉर्म है x x हमारा क्या है यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन है यूनिफॉर्म 2 3 है है ना तो यानी कि p x = 2 की वैल्यू भी कितनी है 1/2 है ना और p x = 3 की वैल्यू भी कितनी है 1/2 राइट ये दोनों की वैल्यू / थ अब ये वाला निकालना है ये वाला निकालना है तो हम इसमें यहां पर मैंने निकाल रखा है जैसे हमने ये निकाला वैसे ही हमने ये भी निकाला ठीक है तो यह हमारा पूरा आया दैट इज यहां पे है 243 और यह भी क्या है 243 ठीक है तो ऐसे करके हमने पूरा ये निकाल लिया ठीक है y ग्र इ 4 अब इसको हमने यहां प पुट कर दिया राइट तो यहां पे हमने इस चीज को पुट कर दिया अब इसको सॉल्व कर लि हमारा आंसर कितना आया 0.81 ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन कह रहा है इज वा अ ज्योमेटिक डिस्ट्रीब्यूशन क्या वा जो है वो ज्योमेट्री डिस्ट्रीब्यूशन है तो यहां पर हम देख सकते हैं वा जो हमने निकाला ये बेसिकली क्या है मिक्स्ड है है ये मिक्सड है ज्योमेटिक नहीं है यह मिक्स्ड है ओके तो ज्योमेटिक नहीं आंसर नाउ नेक्स्ट क्वेश्चन नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है कि डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ हाइट ऑफ स्टूडेंट इन अ सर्टेन स्कूल जज मीन इतना एंड डेविएशन इतना ठीक है मीन दे रखा है डेविएशन दे रखा है हमने नोट कर लिया कि मीन भी दे रखा है चलो डेविएशन भी दे रखा है नोट कर लिया राइट यूजिंग चेवी शेप्स इन इक्वलिटी टू फाइंड द प्रोबेबिलिटी ऑफ रैंडम ली सिलेक्टेड स्टूडेंट फ्रॉम हाई फ्रॉम दैट स्कूल हैज ए हाइट आइर ग्रेटर दन और इक्वल टू 180 अ सेंटीमीटर एंड लेस दन इक्व ट 120 है ना तो कह रहा है क्या p ग्रेटर दन इक्व टू यानी कि 120 से बड़ा हो और 180 से छोटा हो यही निकालना है हम ठीक है ओके हा ठीक है यह निकालना है तो इसके लिए हम यादव में च सेप्स हमारा है च हमारी ये है ठीक है ये हमारा क्या है चेवी से इक्वलिटी राइट हमने पढ़ा है बहुत डिटेल में अगर डिटेल में अगर नहीं पढ़ा अभी तक तो आप जाओ और हमारी वीडियो देख सकते हो तु ठीक है वो ब क तो इसको हम ब्रेक करेंगे ये स क्वेश्चन हमने करे हैं एक्टिविटी क्वेश्चन अगर याद हो ऐसा क्वेश्चन हमने बहुत सारे करे हैं ठीक है तो क्योंकि ये मॉड्यूल है तो मॉड्यूस के लिए एक प्लस के साथ आएगा एक माइनस के साथ आएगा राइट और k हमारा है और सिग्मा हमारा दे रखा है 10 और म हमा तो इसको सब्सीट्यूट करेंगे तो ये हमारा इसको हम ऐसे में ट्रांसफॉर्म करेंगे है ना एक प्लस वाला और एक माइनस वाला राइट ये हो गया अब ये दे रखा है तो यहां से हम इसको और ऐसे कन्वर्ट करेंगे राइट है ना और ये ले इ 1 ले = 1 / k स् होगा है ना हमें बेसिकली निकालना क्या है हमें k निकालना है है ना k हमें पता चलेगा सभी तो वन बाय केस यानी कि ये एक्सट्रीम वैल्यू निकालनी है ना हमें कि इससे कम ही होगी है ना ये च हमारा इक्वलिटी क्या करता है बताता है कि हाईएस्ट अपर बाउंड बताता है राइट अपर बाउंड याद है ए सेप्स क्या बताता है अपर बाउंड बताता है है ना प्रोबेबिलिटीज की ठीक है तो इसको हम ऐसे सॉल्व करेंगे तो ये हो गया p ऑफ x ग्र 10 के प् 150 और ये x ले 10 के माइ 150 ठीक है तो ये ग्रेटर दन ग्रेटर यहां पे देख सकते हैं ग्रेटर देन किसके 120 से बड़ा होना चाहिए है ना तो इसको हम इस वाले को बेसिकली हम किससे कर कंपेयर कर सकते हैं 120 से है ना तो इसको हमने 120 से करा तो हमारे k की वैल्यू कितनी आई -3 आई ठीक है तो अपर बाउंड हमारा यहां से k की वैल्यू हमें पता चल गई तो अपर बाउंड भी पता चले 1 अपन k स्क्वा है अपर बाउंड है ना तो वहां पे k की वैल्यू पुट करें तो ये आ गया 1/9 तो लेस दन इक्वल टू यानी एट मोस्ट 1/9 होना चाहिए तो एट मोस्ट हमारा यहां पे है ऑप्शन में तो एट मोस्ट हमारा 1/9 हमारा आंसर हो गया ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन हमारा ये ठीक है कंसीडर द फॉलोइंग पीडीएफ अ f एक ऑफ एक् ऑफ अ रैंडम वेरिएबल एक् यानी किय क्या दे रखा है हमारा डिस्क्रीट वाला है ना डिस्क्रीट दे रखा है ये है ना हमें क्या कह रहा है फाइंड द सपोर्ट ऑफ x सपोर्ट ऑफ x याद हो तो सपोर्ट क्या होता है जैसे कि हमारा रेंज होता है डिस्क्रीट में रेंज होता है किसम डिस्क्रीट में वैसे हम हमारा सपोर्ट होता है किसमें कंटीन्यूअस में यह सारी चीजें हमने पढ़ा रखी है अपने थ्योरी वाले अ चैप्टर्स में तो आप देख सकते हो उसको जाके प्लेलिस्ट में ठीक है प्लेलिस्ट में जाके एक्सेस करो तो ये हो गया ठीक है तो सपोर्ट हमारा क्या होगा रो और वन है ना ओपन आएगा क्योंकि ये ओपन ही होगा राइट लेस दन इक्व 0 पे तो वो रो ही होता है अदर वाइज है ना तो ये हो गया तो हमारा सपोर्ट ऑफ x क्या आएगा जीरो ओपन व ठीक है नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं अब क फाइंड द वैल्यू ऑफ के सो दैट ए एक वैलिड पीम वैलिड पीएमएफ कब होगा जब सबकी सम की वैल्यू कितनी होगी वन हो जाएगी सारे प्रोटी की तो इसको हम इंटीग्रेट कर देंगे जीरो से व तक है ना जीरो सेव तक इसको इंटीग्रेट करेंगे राइट के रट एक्स है ना इक्व तो यहां से रट एक का अगर इंटीग्रेशन नहीं आता हो तो मैं बता देता हूं रट एक् को 1/2 लिख सकते हैं है ना d एक अब इसका इंटीग्रेशन जब हम करते तो क्या होता प्व अपॉन में ये तो 1/2 प् 1 और जो ये आया पावर इसको नीचे लिख देते हैं राइट तो ये हो गया x की पावर 3/2 अपन 3/2 इसको हम लिख सकते हैं 2/3 एक की पावर 3/2 ठीक है यही आ गया हमारा और इसको हमने जीरो से वन तक लिमिट है हमारा ठीक है इसको पुट कर तो यहां से हमें क्या आ गया यहां पे जीरो वाला तो वैलिड ही नहीं होगा क्योंकि ये क्या होता है पहले ऊपर वाला पुट करते हैं माइनस नीचे वाला पुट करते हैं राइट तो ये आएगा तो नीचे वा जीरो पर तोय पूरा ही जीरो हो जाएगा ठीक है तो वन है तो वन के लिए क्या होगा यह वन हो जाएगा तो यह तो वन हो गया ठीक है तो के इन 2 बा 3 इव तो य से 3 बाट आट इ बा 1.5 तो इसका 1.5 आंसर अब के की वैल्यू आ गई तो के की वैल्यू आ गई तो हमारे पास हमारा वो भी आ गया पीडीएफ है ना तो के की वैल्यू कितनी आ हमारे पास 3 बाटू तो यह हो गया हमारा जो हमारा ये है 3/2 आया k है ना तो ये हो गया 3 √ एकवा 2 ठीक है हम यहां पे लिख लेते हैं अपना 3/2 र एक है ना ये हो गया हमारा जीरो से वन तक करया और बाकी जीरो अदर वाइज ठीक है अब कह रहा है क्या p ऑफ x ग्र इ 0.4 और गिवन कि x < 0.8 है इसका आंसर निकालो ठीक है तो इसको हम ऐसे कह सकते हैं ग्रेटर दन तो इसको हम लेसन कह सकते माइन पफ एक्स ले इ लेसन 4 गिवन की एक् लेसन प8 है ना तो अब हम इसकी वैल्यू निकालनी है ठीक है तो इसकी वैल्यू के लिए हम क्या इसको क्या कर सते क्योंकि य कंडीशनल है ठीक है कंडीशनल तो हम क्या करेंगे जॉइंट अपॉन मार्जिनल राइट जइट अपन मार्जिनल हो गया हमारे पास ठीक है तो यहां से जॉइंट अपॉन में जो जो कंडीशन दिया है उसी का मार्जिनल राइट तो p x < 0.4 गिवन एंड कॉमा x < 0.8 गिवन और अपॉन में p x < 0.8 ठीक है तो इसका कहने का मतलब मेमोरी लेस प्रॉपर्टी से हम इसको क्या कहते हैं x लेन 0.4 ही है बेसिकली x क्या है 0.8 और ये क्या है 0.4 तो इसको हम कह सकते हैं x 0.4 से लेस है ना अपन में x 0.8 अब ये हमारे पास दे रखा है इसको बस इंटीग्रेट करना है 0 से 0.4 तक के लिए इंटीग्रेट कर दो 0 से 0.8 के लिए ये 3/2 है 3/2 दोनों है इंटीग्रेशन से बाहर आ जाएगा कैंसिल आउट हो जाएगा ठीक है √ x का पावर क्या हो जाएगा x x की पावर 3/2 और 2/3 यहां पे और 2/3 यहां पे जो कि कैंसिल आउट हो जाएगा राइट ठीक है अब इसमें वैल्यूज पुट करेंगे तो 0.4 की पा 3/2 अपन में 0.8 की पावर 3/2 है ना इसको सॉल्व करेंगे तो 1/2 की पावर 3/2 दैट इज 0.35 ठीक है तो ये आ गया हमारे पास ये निकालना था हमें है ना तो 1 माइनस दिस इसकी वैल्यू 0.35 तो इसको माइनस करें तो 0.65 हमारा आंसर आ जाएगा ठीक है ये हो गया नेक्स्ट क्वेश्चन नेक्स्ट क्वेश्चन हमारे पास क्या है सपोज कि हमें दिया हुआ है क्या सपोज x1 से लेके x10 तक क्या है आईआईडी है बर्नोली 1/4 है ना बर्नोली 1/4 है यानी प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस हमारा कितना है व बा 1/4 ओके ठीक है और y क्या कह रहा वा हमारा रैंडम वेरिएबल है y सभी 10 रेंडर वेरिएबल का सम है तो एक चीज हमें यहां से समझ में आ कि x1 x2 x10 सारे क्या है हमारे पास बर्नोली यानी कि x1 भी हमारा क्या है बर्नोली है 1/4 ऐसे ही x2 भी हमारा क्या है x2 हमारा बर्नोली है 1/4 राइट ऐसे ही x3 भी हमारा बर्नोली है ये सब हमाने हमें पता है आईडी का ये प्रॉपर्टी है ठीक है क रहा विच ऑफ द फॉलोइंग आर ट्रू तो 10 है ठीक है अब y इक्व टू क्या है इन सभी का सम ठीक है तो सम हो गया तो y हमारा किसको फॉलो करेगा तो y हमारा फॉलो करेगा किसको बानो मियल को बानो 10 गिवन 10 1/4 है ना इसको फॉलो करें और बानो मियल तो बानो मियल का रेंज हमें पता कहां से स्टार्ट होता है हमारा बाइनल का रेंज स्टार्ट होता है जीरो से ठीक है हमारा जीरो भी आ गया ठीक है ये आंसर हो गया हमारा तो ये और ये सही है तो ये गलत हो गया ये गलत हो गया है ना यहां प सक्सेस की प्रोटी लिखते ना कि फेलियर की राइट नेक्स्ट क्वेश्चन नेक्स्ट हमारा और ये आईस लास्ट क्वेश्चन हमारा है ना तो प ऑफ फाइंड द वैल्यू ऑफ p x1 इ 0 गिवन कीवा इ 8 ठीक है y इ 8 है और x1 इ 0 तो हमें पता है आईईडी हमें दिया हुआ है एक्सव एक्सट अप टू अप टू एक्स है ना यह क्या है बर्नोली / फ है ठीक है / फ दिया और हमें दे कह रहा क्या x1 इ 0 है तो ये तो हमारा जीरो हो गया ठीक है तो अब हमारा जो क्योंकि वा हमारा क्या है एक प् x2 अप टू अप टू x10 है ना तो अब x1 हमारा जीरो हो गया तो y हमारा क्या आ सकता है अब इसका जो बचा ये क्या है ना बचा है 10 थे टोटल तो 10 के लिए सम मैक्सिमम कितना हो सकता है 10 अब यहां पे ये तो जीरो हो गया तो अब बचे कितने ना ठीक है अब कह रहा है कि y = 8 गिवन है है ना y = 8 आया है और x = 0 है ना पहला जीरो है और इसका सम 8 आने की प्रोटी पूछ रहा है ठीक है तो ये बेसिकली क्या हो x = 0 y = 8 अपॉन में क्योंकि कंडीशनल है तो जॉइंट अपॉन मार्जिनल राइट तो x = 0 y = 8 अप y = 8 है ना अब ये क्या है बेसिकली ये वही चीज क्योंकि x = x1 = 0 हो गया तो बचे कितने 9 न में से आठ चाहिए है ना आठ स चाहिए तो 9c 8 * 1/4 * 3/4 और इंटू में पहला जो फाल लिया था 3/4 राइट अपॉन y = 8 यानी कि 10 में से आठ आने की प्रोबेबिलिटी ठीक है तो 10 c4 1/4 की पावर 8 और 3/4 की पावर 4 इन सभी को सॉल्व कर तो हमारा आंसर कितना आएगा 0.2 और य हमारा लास्ट क्वेश्चन था आई होप आपको वीडियो पसंद आया वीडियो पसंद आए तो लाइक करना चैनल को सब्सक्राइब करना मिलते हैं नेक्स्ट वीडियो में बाय बाय