[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre intégration alors ceci ne suffira pas bien évidemment pour préparer un contrôle ou un examen mais l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants du chapitre on verra donc dans cette séquence la notion d' intégrale de primitives et je t'expliquerai comment appliquer les principales propriétés sur les intégrales pour exercer ensuite je te conseille de cliquer sur le lien qui te mènera à d'autres vidéos présentant des exercices sur ce thème c'est parti on peut commencer alors on le voit dans le titre la notion d' intégral est totalement liée à la notion d' air on va déjà essayer de comprendre pourquoi et surtout pourquoi on a été amené à introduire cette notion on le voit ici on connaît des formules nombreuses pour calculer l'air d'un rectangle d'un carré d'un pareil au g etc et puis si jamais on a un polygone dont on n'a pas directement la formule on fait des petits découpage avec des morceaux de triangle etc et on calcule de façon indépendante chacune des surfaces on additionne le tout on obtient la surface de notre politique mais c'est un peu plus compliqué quand la limite de notre figure est une courbe par exemple ceci je voudrais connaître cet air à je suis un peu embêté comment je peux faire et bien c'est là justement que la notion d'intégrale intervient alors j'ai représenté ici quelque chose de plus simple donc c'est une courbe et l'idée serait d'obtenir heller qui est donc coloré en rouge ici alors cette surface eh bien elle est délimité par la cour la courbe d'une fonction f donc sur le dessus par l'axé des abscisses sont le dessous et par deux droites l'une d'équations x égal à à gauche en bleu et l'autre d'équations x et galbées à droite en bleu tout ça ça me donne donc une aire est bien cet air s'appelle l'intégrale de la fonction f sur ab sur le segment ab cette notion là dans un premier temps est valable pour n'importe quelle fonction continue est positive on verra ensuite dans la suite de la leçon ce qui se passe pour une fonction qui n'est pas toujours positive en tout cas pour n'importe quelle fonction positive si je considère l'intégrale de cette fonction sur ab et bien j'aurai l'air de la surface délimitée par je répète sous la courbe au dessus de l'axé des abscisses et les droits d'équations x égal 1 x et galbées et on a moyen de noter cette intégrale ça se note de cette façon intégrale ceci c'est le signe intégral je vais expliquer tout de suite d'où il vient entre a et b c'est sur l'intervalle ab il faut préciser quelle est la fonction considérez donc là dans notre exemple c'est la courbe représentatives de la fonction f et marquer derrière dx alors des geeks j'explique pourquoi dès le déviant en fait de dérivés dérivation tu vas comprendre dans la suite du coup que la notion d'intégration est totalement liée à la notion de dérivation donc ce petit des à une explication que tu comprendra certainement mieux en post-bac et x et bien le x ici signifie que je vais intégrer sur la variable x alors ça c'est très important et tu comprendra aussi mieux dans la suite du court si à la place de dx je mets ici un thé d'été ça veut dire que la variable d'intégration c'était alors là je n'ai pas de t ce qui veut dire que ça c'est une constante c'est un nombre qui ne varie pas c'est un paramètre terminé ça simplifierait grandement le calcul de l'intégrale qui est là donc c'est très important de savoir sur quel variable on intègre surtout si jamais là dedans il y a plusieurs inconnues plusieurs lettres donc habituellement on a du dx ou du dt ça dépend du contexte de l'exercice en tout cas ça c'est l'intégrale entre a et b a et b s'appelle les bornes d'intégration c'est dans ce périmètre là que je vais intégrer de la fonction f donc sous la courbe de f au dessus de l'axé des abscisses dx pour préciser la borne d'intégration mais si tu regarde de plus près dans la définition il ya quelque chose dont je n'ai pas parlé exprimées en unités d'air qu'on note habituellement ua qu'est ce que cela signifie bien forcément si je calcule une ère une ère bien il faudrait pouvoir dire si je trouve 32 je trouve 32 kw à 32 centimètres carrés 32 kilomètres carrés trente deux carreaux ou 32 autre chose alors on n'a pas toujours dans les exercices une graduation qui est bien défini en cm en carreaux ou en autre chose parfois bien c'est une graduation d'unités quelconque comme on le voit ici d'unités quelconque si on veut elle définit quand même le cette unité par exemple sur l'axé des abscisses elle définit comme toute la graduation sur l'axé des abscisses et bien pour savoir ce que c'est que une unité d'air c'est à dire en gros bien l'unité avec laquelle je vais travailler il suffit de regarder quelle est l'unité sur l'axé des abscisses quelle est l'unité sur l'axé des ordonnées je fais 1 x 1 j'obtiens ici le petit rectangle rouge et bien ce petit rectangle rouge et le rectangle qui possède une unité d'air c'est la base de tout c'est ce rectangle rouge qui va définir en quelques sortes les unités d autres surfaces justement si on regarde à côté le grand rectangle vert dans ce grand rectangle vert je peux compter 8 petit rectangle rouge est bien le grand rectangle vert à huit unités d'air les résultats que j'obtiendrais lorsque je ferai un calcul intégral qui me donnera une ère sous une courbe seront donnés en unités d'air unités d'air définit donc par le petit rectangle des fausses et 1/4 et 1/2 de longueur 1 sur 1 alors je voudrais revenir à la notation est à ce symbole ici qui est en réalité un s allonger un s est tiré cette dotation est en fait due au mathématicien allemand leibniz qui a choisi ce symbole parce qu'il fait justement penser à un ace et qui exprime le l'idée d'une somme oui car le calcul intégral au départ a été introduit à partir de somme une somme mais attention une somme infini pour comprendre regardons cette animation et on voit ici donc on a une courbe j'ai représenté donc sous cette courbe une surface délimitée donc part à part b par la cour bien sûr et l'axé des abscisses et bien on pourrait recouvrir cette surface en fait par un réseau de rectangle je vais commencer par recouvrir cette surface à l'aide de 4 rectangles on le voit ici j'ai mis 4 rectangles au dessus enfin disons 4 rectangles qui recouvre la surface par le dessus et 4 rectangles qui recouvre ma surface par le dessous et on voit donc tous ces rectangles recouvre la surface sous la courbe parle de sous donc quelque part cette surface est inférieure à celle sous la courbe mais elle est pas trop éloigné si on considère maintenant les rectangles qui recouvre la courbe par le dessus cette fois ci on a une surface la surface bleue qui est un petit peu supérieur à la surface sous la courbe alors ça c'est bien mais c'est pas très précis pour avoir quelque chose de plus précis il faudrait augmenter le nombre de rectangles on va passer à 8 rectangle on voit maintenant qu'on a donc j'ai mis les deux surfaces ensemble la surface rouge et la surface bleue qui encadrent toujours l'air sous la courbe celle en rouge et un petit peu plus près de la coupe que tout à l'heure celles en bleu un petit peu plus près par le dessus que tout à l'heure et on continue comme ça on passe maintenant avec 20 rectangle qu'est ce qui arrive là on se retrouve de plus en plus proche de la courbe donc on encadre en fait l'air sous la courbe par deux surfaces qui maintenant sont pratiquement égal à l'air sous la courbe et on continue on continue comme ça et au bout d'un moment en fabriquant ce réseau de rectangle au dessus et en dessous on obtient un encadrement de qualité très très bonne c'est à dire on peut obtenir de cette façon une valeur approché de l'hers la courbe est bien le calcul intégral il a été défini de cette façon là je rende pas plus dans les détails mais on voit bien que finalement pour calculer l'air de la surface rose ont fait une somme de rectangle pour calculer l'air de la surface bleue ont fait une somme de rectangles et on poursuit sa à l'infini en faisant une somme infinie de rectangles une somme somme s infinie la notion ici d'intégrale est une notion infinie c'est ce qu'on appelle également du calcul infinitésimal c'est à dire que derrière ceux-ci se cache un calcul de limites ceci bien sûr n'est pas directement utilisés dans les exercices mais c'est pour mieux comprendre d'où vient la notion d'intégration alors un premier théorème qui va nous permettre de justifier dans la suite du court l'introduction des primitives et plus précisément le calcul intégral c'est ça qu'on a besoin de savoir faire dans les exercices pour le comprendre on a représenté donc ici une surface en bleu qui est donc délimité par la courbe représentative d'une fonction f là des abscisses et donc les bornes à et x attention x est une variable ici du coup et bien j'ai une j'ai une intégrale qui est défini et que je pourrai noté je pourrais la notte de cette façon alors ça fait donc l'intégrale entre a et x de f 2 x dx alors attention j'ai fait une erreur ici enfin j'ai fait plutôt une grosse maladresse parce que le problème c'est que je considère ici donc la variable d'intégration x et je considère une autre variable celle qui va rire qui fait varier donc ma bande supérieure d'intégration c'est pas mal hein parce que chacune a un rôle et j'ai choisi la même lettre donc il faudrait changer une des deux lettres peu importe soit je change celle ci soit je change celle ci je vais justement se changer celle ci pour te montrer que ça n'a pas d'importance car en fait ici si au lieu de matic je m'étais j'avais dit tout à l'heure que attention du coup ceux ci devenait une constants sauf si ici au lieu de matrix et bien je m'étais également cela veut dire quoi cela veut dire que j'intègre toujours la fonction f dont la variable était s'est défini ici par d'été en fait quand on intègre on peut toujours changer la variable d'intégration si l'agf 2x dx c'est également égal à f2 tdt mais ça serait également égal à f2 aide dz et cetera pourvu juste qu'on explicite bien ici la même lettre c'est donc ce que j'ai fait dans ma formule alors là c'est plus clair ça veut donc dire que j'intègre la fonction f donc l'air sous la courbe de f c'est marqué ici la variable c'est donc tu es entre a et x alors si ceux ci à une variable x du coup ceux ci peut être considérée comme une fonction je vais donc l'appeler grand f 2 x eh bien oui puisque l'âge est quelque chose qui varient je peux donc faire bouger la bande supérieure à 6 savary c'est donc une fonction ce qui veut dire que je définis une fonction grand f 2 x qui est égal à l'intégrale de a à x la banque peut varier de ma fonction est bien cette fonction grand f cette fonction grands chefs et des rives à bhl et sa dérive et c'est la fonction petit f eh oui si je fais grand exprime je tomberais sur petit f grand theft primes de x est égal à petit f2 x alors ceci je vais pas le démontrer maintenant parce que c'est trop long a démontré par contre je t'invite à retourner si tu souhaites avoir la démonstration de retourner sur mon site matt éthiques tu vas dans le niveau terminale s et ce chapitre là tu trouveras la démonstration mais par écrit bien sûr pas en vidéo cette fois ci est bien à partir de là on peut définir ce qu'on appelle une primitive et bien une primitif c'est quoi c'est noté ici tu prends une fonction af continu sur un intervalle on appelle primitive de f une fonction grand f qui est des rives abl tels que grand theft prime égale petitesse est exactement ce qui est noté ici grand theft prime égale petit f bien si on a ceux ci on dira que grand f est une primitive de petit f on dira donc que petit f à pour primitif grand f et on dira donc que grand f à pour dériver petit f et voilà on est en train de faire le chemin réciproque entre la dérivation et l'intégration dans un sens cela donne la dérive et dans l'autre sens cela donne la primitive normal si f à pour primitive grand f ça veut dire que f prime égale petit f du coup et bien f&a pour dériver petit f concrètement un exemple pour bien comprendre si on prend petit ff2 x qui est égal à x et bien une primitive de petit f sera grand f égal à ixxo carrés sur deux alors pourquoi ceci bien tout simplement parce que si je dérive grand f je retombe sur petit f allons-y essayons f primes de x est égal à je dérive ça me fait 2 x sur 2 2x sûrs d'eux ça fait x eh bien je retrouve bien ici petit f2 x et oui la dérive et de grant f est égal à petit elle ce qui veut dire que grand f et qu'une primitive de petit fc le chemin inverse on va tout de suite le voir en regardant les tableaux des primitives alors voilà ce premier tableau je vais pas tout lire en détail mais juste pour m'assurer que c'est bien compris on va quand même se poser sur certaines d'entre elles on a donc dit que la primitive c'est le chemin inverse de la dérive et ce qui veut dire que dans ce sens là j'obtiens une primitive et dans l'autre sens j'obtiendrai donc la dérive est alors regardons par exemple à la ligne f 2 x égal 1 sur x f 2 x égal 1 sur x a pour primitive elle n 2 x hockey revenons en arrière dans le chapitre logarithme n'était rien quelle est la dérive et de ln2 x elle est notée ici et bien la dérive et de ln2 x c'est un sur x on voit bien le chemin réciproque aujourd'hui on vient de voir que 1 sur x a pour primitive hélène de x pourquoi parce que la dérive et de hélène 2x c1 sur x on peut prendre un autre exemple je prends f 2 x égale x puissance n une primitive 2x puissance nc1 suresnes + 1 x puissance incluse ou là ça paraît compliqué alors là on n'a pas directement le chemin inverse dans le tableau de dérivation qu'on avait en classe de première mais pour le retrouver c'est simple normalement si je dérive ce qui est à droite je devrais obtenir ce qui est à gauche vérifions fdx égal 1 / n + 1 x puissance n cousin est ce que si je dérive ça je retombe sur x puissance n dérivant f kin 2 x égal 1 sur un an +1 je dérive its puissance n + 1 ça me fait n + 1 x puissance n je balance le n + 1 je perds un degré j'ai dû en plus à issy éduenne +1 ici ils s'en vont il me reste donc x puissance head it puissant scène qui est bien donc égale en f2 x et oui le chemin dans l'autre sens fonctionne également on a bien la réciprocité pour la dérivation alors je sais pas si tu as remarqué mais jusque là je disais à chaque fois une primitive j'ai jamais dit la primitive par contre on dit bien la dérive et pourquoi ça et bien tout simplement parce qu'une fonction n'a pas une et une seule primitive elle en a en fait une infinité pour comprendre là encore un exemple je prends eve 2 x égale x au cube je voudrais une primitive de cette fonction là et bien si j'applique la formule qui est à droite cela sera un quart de x puissance 4 pour s'en convaincre dérivons ceci et on va remarquer qu'on va retomber sur nos pieds ça nous donne quoi f primes de x égale un quart x 4 x puissance 3 je balance leucate je perds un degré les 400 vont il me reste bien x puissance 3 c'est à dire je retombe bien sûr est de xcom c'est noté au dessus mais que se passerait-il si ici derrière je rajoutais par exemple un nombre disons 2 alors du coup je dérive grand f ça me donne quoi ça me donne toujours un quart x 4 x puissance 3 plus la dérive et 2 2 mais la dérive et 2 2 c'est quoi c'est zéro donc plus 0 ce qui veut dire que bah je retombe de nouveau sur f2 x autrement dit ceci est également une primitive de petit f et que se passerait-il si derrière je mets trois appareils la dérive est de 3 c zéro et si derrière je mets moins 5 toujours pareil la dérive est de - 5 c zéro autrement dit derrière ici je peux mettre n'importe quel constante c'est bon la note c je dis bien constante si jamais là dedans il ya des petits tics c'est pas vrai mais on peut mettre derrière n'importe quel constante ce qui fait qu'on n'a pas une primitive particulière pour une fonction mais on en a tout un tas s'est donc exprimé dans cette propriété si grand est faite une primitif de petit f alors pour n'importe quel réel c'est n'importe quel constante c'est la fonction qui a x associe grand f + c est également une primitive de petit f alors poursuivons cette fois ci avec les opérations et les fonctions composer on le voit ici dont un deuxième tableau qui nous deux qui nous donne encore d'autres fonctions et leur primitive alors toutes ces formules bien sûr là encore je vais ni les démontrer ni rentrer en détail sur des exemples concrets pour cela je te conseille bien évidemment de t'entraîner et donc d'éventuellement cliquer sur les liens sur qui te mèneront donc à une playlist ou tu auras tout un tas d'exemples de deux primitive à calculer je vais tout simplement on expliquer une celle qui est la plus utilisée en terminale c'est la fameuse supprime eu de eu alors une prime eu de u nous renvoie eux dû alors là bien encore c'est très simple pourquoi ça et bien tout simplement parce que lorsqu'on regarde dans notre tableau de dérivation qu'on avait dans le chapitre exponentielle la dérive est 2e de u c'est une prime de 2 u dont bien sûr dans l'autre sens on obtient ce qui est dans le tableau alors à savoir également qu'on peut pas faire tout et n'importe quoi avec les primitives il existe des fonctions qui possède une primitive mais on n'en connaît pas une formule explicite alors quand je dis on c'est pas moi c'est on peut pas l'écrire il n'est pas possible de l'exprimer en fonction de x elle existe mais on ne peut pas la notte il y en a une qui est bien connu c'est celle ci c'est une primitive pour la fonction e de moins x au carré on voit bien qu'on est un peu embêté par rapport justement à notre forme il formule une prime de 2 u c'est que si on voulait arriver à trouver une primitive de cette fonction il faudrait avoir ici devant le but prime puisque l'âge et le e de u or lui prime c'est moins 2 6 - 2 x donc là ici il me manque du x et c'est une variable je veux pas équilibré à la limite tu le verras dans les exemples quand c'est une constante quand c'était un nombre on peut toujours s'arranger mais quand il nous manque ici quelque chose qui varient une fonction c'est pas possible donc là par exemple pour cette fonction on ne peut pas ici donné deux formules explicite de sa primitive et enfin pour les primitifs ce qu'on appelle les formules de linéarité qui nous dit que si grand est faite une primitif de petit f si grange est une primitif de petits jets et bien grand f + granger est une primitive de petit oeuf plus petit j'ai c'est très pratique si par exemple on a calé à calculer une primitive de xo carré +1 sur x qu'est ce que je vais faire eh bien je vais chercher une primitif du xe au carré une primitive de 1 sur x et j'additionne ray le résultat et j'aurai donc une primitive du tout je ne le fais pas je te laisse le faire c'est pas bien difficile et on y est on nous dit également que dans la même situation qu'à fois grand f alors car c'est un nombre réel est une primitive de cas fois petit f alors ça aussi c'est pratique parce que si par exemple ici j'ai un facteur 5 disons bien je vais pas chercher une primitive de 5x au carré je vais chercher une primitive de xo cas récemment mais le facteur 5 bien je leur copie ce qui veut dire que je vais simplement réfléchir pont pie x au carré en n'oubliant pas de reporter le 5 attention ceci c'est vrai si le 5 est un facteur ses marques et 15 fois f alors on arrive on le voit vers le calcul intégral c'est ça qui nous intéresse c'est de savoir comment calculer l'intégrale d'une fonction et on va aller un peu plus loin parce que je les dis au début donc de secours que l'intégrale est définie comme une ère une ère sous une courbe mais il peut y avoir des intégrales dont le résultat est un nombre négatif c'est à dire ça ne sera dans ce cas là dans ce cas là ça ne sera pas une aire puisque une aire est forcément positive alors avant ça regarde ont déjà la définition plus tôt c'est une propriété qui va nous permettre de faire du calcul intégral et bien si on connaît une primitive de notre fonction de la fonction à intégrer grand f et bien dans ce cas là l'intégrale de saab et de f est égal à grand f 2 b - grand f2 à c'est-à-dire ont fait la différence entre l'image de à et de bay dans l'ordre d'abord b et ensuite à la fonction primitive et cette définition peut être étendue à des fonctions de signe quelconque si on a une fonction on le voit ici une fonction dont sa représentation est en dessous de l'axé des abscisses et bien on gardera de la même manière le calcul grand f b 2 b - grand f2 à mais tu le verras si tu effectues ce calcul qu'est ce qui va arriver eh bien il va arriver tout simplement que le résultat obtenu sera un nombre négatif on ne pourra donc pas dire que c'est la surface en dessous de la courbe eh bien oui mais c'est la surface en dessous de la courbe oui et non c'est à dire que dans ce cas là l'intégrale de la fonction f est égal à l'opposé de l'air comprise entre l'axé des abscisses et la coupe représentatives de la fonction f autrement dit concrètement si on regarde sur ce schéma est bien la surface rouge est égale à la surface bleue si j'intègre la fonction f je vais trouver un nombre négatif disons au moins trois ce qui veut dire que l'air bleus sera pas égale à - 3 mai sera égal à +3 l'air de la surface bleue est exactement la même que celle de la surface rouge donc autrement dit quand on intégrera une fonction dont la coupe se trouve en dessous de l'axé des abscisses c'est à dire la fonction est négative on obtient un nombre négatif la surface c'est le ce nombre là mais ramené un positif là où c'est embêtant c'est quand on a quelque chose de ce type là et qu'on va intégrer par exemple ici entre a et b parce que là on va se retrouver avec temps en temps et un morceau qui est positif et temps en temps un morceau qui est négatif ce qui veut dire que si j'intègre entre ce nombre est ce nombre là pas de problème l'intégrale me renvoie un nombre positif pareil ici est pareil ici donc les valeurs que je vais trouver en calculant l'intégrale seront tout de suite les bonnes valeurs par contre si j'intègre sur cet intervalle là le nombre que j'obtiendrais sera un nombre négatif pareil sur cette zone là on va donner des exemples pour mieux comprendre j'ai intégré entre ici ici ma fonction j'ai trouvé deux ici j'ai trouvé 1,25 et ici j'ai de nouveau trouvé deux j'intègre sur cet intervalle ici j' ai je dit bien je trouve un nombre négatif je trouve par exemple - 1 là je trouve moins 3 et bien que va faire que va nous renvoyer le calcul intégral entre a et b eh bien il va nous renvoyer 2 - 1 plus 1 5 - 3 + 2 ceci nous donne 1,5 autrement dit si ça c'est donc la courbe d'une fonction f et bien l'intégrale entre a et b de f2 x dx sera égal à 1,5 ok ça c'est le résultat de l'intégrale mais on est bien d'accord que ce n'est certainement pas la somme totale de toute c r si je souhaite avoir la somme totale de toutes ces aires eh bien il va falloir faire autrement il va falloir à chaque fois prendre la valeur absolue de toutes les petites intégrales que j'ai obtenu séparément autrement dit eh bien je devrais pour obtenir la somme totale des surfaces colorier faire deux plus un plus avec plus 3 + 2 j'ai donc pris à chaque fois la valeur absolue de toutes ces valeurs et on trouve 9,5 unités d'air cette fois ci donc attention l'intégrale ici nous renvoie une valeur en unités d'air quand on parle d'une fonction positive ce que j'ai expliqué au début de la vidéo mais si jamais notre fonction n'est pas positive ce n'est pas vrai dans ce cas là on est obligé de décomposer en morceaux le calcul intégral et de prendre la valeur absolue de tous les résultats on fait donc la somme est là oui on obtient cette fois ci la surface en nullité d'air neuf points cinq unités donc ça c'est une petite subtilité qui est très importante il faudra être vigilant pas de problème quand la fonction est positive si jamais elle n'est pas tout le temps il faut faire des découpages et donc revenons à notre formule de calcul intégral qui nous dit on le voit que pour calculer l'intégrale il faudra faire f2b - f2 à grands élèves de bep moins grand f 2 à autrement dit on aura besoin systématiquement d'avoir une primitif de la fonction f ça sera le seul moyen d'obtenir une valeur exacte de notre intégral et on écrira de cette façon l'intégrale de ab de f2 ixe et xe est égal à je mets donc ici une primitive de grand f on écrit ça entre crochets et on recopie les bandes d'intégration donc tout le travail du calcul intégral va se situer ici et autant dire que de temps en temps c'est pas évident de trouver une primitive d'une fonction f les manipulations algébrique affaires sont pas évidentes et pour cela il faut beaucoup s'entraîner une fois qu'on a d'autres primitive après c'est facile c'est un calcul d'image grand f2b moins grand f 2 a donc voilà le grand principe du calcul intégral je commence par écrire ici une primitive de ma fonction petit f entre a et b et ensuite je calcule les images successives d'abord pour b ensuite pour a le résultat que j'obtiens c'est l'intégrale de la fonction f alors on poursuit avec une première série propriété d'abord les deux premières qui sont assez simple à comprendre l'intégrale entre a et a' de notre fonction f est égal à zéro bah oui parce que si j'intègre entre a et a en fait les deux bornes sont écrasés l'une sur l'autre ce qui veut dire que entre les deux la surface elle est nulle donc forcément l'intégrale est égal à zéro que se passe-t-il si j l inverse les bornes a et b ici au lieu de dalé 2a en b je vais de bep en a et bien c'est égal à - l'intégrale de à en b ceci c'est assez simple à comprendre l'intégrale de béant à cf2 à - fb l'intégrale de à en b cf 2 b - f2 à on voit bien donc que le calcul est opposé donc forcément j'obtiens des valeurs qui sont opposés également propriétés suivantes qui s'appelle la relation de chasles mais relation de chasles cette fois ci pas pour les vecteurs mais pour les intégrales qui nous dit et bien que l'intégrale entre a et c + l'intégrale entre c -b est égal à l'intégrale entre a et b bien en fait c'est tout simplement ce que j'ai montré tout à l'heure où on avait fait des petits découpage en intervalles c'est si on veut calculait l'intégrale de tout une fonction sur un grand intervalle eh bien on peut décomposer en petits morceaux par exemple on pourrait dire que l'intégrale entre 0 et 5 d'une fonction f est égal à l'intégrale entre 0 et 1 de cette même fonction f + l'intégrale entre 1 et 5 de cette fonction f ceci peut être très pratique justement quand on a un calcul des affaires et que on sait par exemple que la fonction a fait les positives là dessus et négatives là dessus donc de cette manière là on pourra effectuer les découpages la linéarité qu'on retrouve avec donc soit j'intègre kf et je peux sortir le cas de l'intégrale soit j'intègre f plus j'ai et je peut séparer en l'intégrale de f + l'intégrale de g là encore dans les exercices c'est une propriété qui est souvent utilisé un exemple je veux intégrer entre 1 et 5 x au cube +1 sur racine 2x dx et bien je peux casser ça en deux morceaux si je le souhaite ça va me donner l'intégrale entre 1 et 5 2 x occupe que je vais faire tout seul dans son coin plus l'intégrale entre 1 et 5 toujours les bornes ne doivent pas changer attention 2 1 sera sindeu xtx la première propriété nous dit si en plus on a un petit coefficient on peut le sortir de l'intégrale bien s'il a par exemple g13 donc là j'aurais 1,3 et bien seuls trois ici si je veux je peux le sortir et le met carrément hors de l'intégrale du coup et bien un peu comme tout à l'heure avec la primitive je vais intégrer ça et je reporte simplement mon 3 là encore ça peut être une pratique qui est intéressante alors on arrive ensuite avec les notion d'inégalité la première propriété on en a déjà parlé plusieurs fois ci la fonction est positive l'intégrale est positive puisque si la fonction est positive on a dit que ça nous renvoie directement la surface sous la courbe en unités d'air ensuite si on a deux fonctions f et g tels que l'une des plus grandes que l'autre qu'arrive-t-il et bien l'intégrale de l'une des plus grandes que l'intégrale de l'autre ça ça peut être très pratique par exemple lorsqu'on ne sait pas calculer une intégrale pour la raison simple c'est que je ne connais pas de primitive de la fonction à intégrer et bien de cette façon là on pourrait par exemple obtenir un encadrement de cette fonction regardons j'ai une fonction f qui est comprise entre 6 et 5 sur un intervalle donné donc je sais que ma fonctionne toujours plus grande que x et que l toujours plus petit que 5 cette fonction là elle est vachement compliqué et je sais pas trouvé primitif de cette fonction alors ce que j'aimerais faire c'est quand même pouvoir obtenir une valeur approcher un encadrement de l'intégrale de cette fonction c'est à dire de la surface admettons qu'elle soit positive de la surface où la fonction est bien ce que je vais faire c'est que je vais dire que l'intégrale donc sur l'intervalle considéré entre a et b de ma fonction f 2 x est plus grande que l'intégrale entre a et b de x ça je sais faire ge s'est intégré la fonction x est plus petit te que l'intégrale entre a et b 2 5d x ça c'est une constante je sais bien évidemment aussi intégrer la fonction 5 ça donc on saura le calculer ça on sera le calculer est du coup eh bien on aura un encadrement de notre intégral entre a et b alors bien sûr c'est pas génial parce qu'on n'a pas précisément la valeur de notre intégral mais bon ben on s'en contentera on aura au moins un encadrement dernière notion la notion de valeur moyenne d'une fonction alors pour comprendre revenons à la moyenne tout court tu sais faire des calculs de moyennes par exemple calculer la moyenne de t notes la moyenne de la taille des élèves d'une classe etc mais qu'arrive-t-il lorsqu'on travaille avec des données continue par exemple courbe de température on sait que les températures ne passe pas comme ça de 2 à 3 degrés de façon directe entre temps elle a passé de 1 2-2 2-3 et même de 2 à 2 1 2 2 0 1 2 0 2 et c'est donc on a bien quelque chose de continue qu'on pourrait schématiser par exemple ici par une courbe admettons que ceux ci ça soit une courbe de température et que je souhaite calculée entre deux moments donnés la moyenne de ses températures comment je vais faire je peux pas prendre les valeurs puisque les valses et des valeurs continuent en à une infinité est bien comment on va faire eh bien on va faire un calcul intégral justement pour cela on a une formule qui nous dit que la valeur moyenne de f donc la fonction f qui représentait ci dessous sur l'intervalle ab et le nombre c'est un nombre réel est un peu le tm égal à 1 / b - n'a donc la différence des bornes de d'intégration de de l'intervalle l'intègre de l'intégrale entre a et b de la fonction f en réalité on va obtenir un nombre m cette valeur moyenne que l'on peut schématiser sur le schéma ici et bien ce nombre m fait que l'air sous la courbe représentatives de la fonction f donc l'air qui est toute en rouge représentait donc tout en rouge sous la courbe celui dont on parle depuis le début de cette séquence est égal en fait tu as l'air sous la droite d'équations y égal à m en bleu c'est à dire la surface de tout le rectangle bleu est donc cette valeur m est ce qu'on appelle la valeur moyenne de notre fonction revenons à nos températures si donc ceci est une courbe de température la valeur m qui est noté ici serait la moyenne de des températures sur la période donnée voilà on en a fini avec ce court sur le chapitre d'intégration bien évidemment encore une fois je l'aurais je le répète pas question d'aborder un contrôle ou n'importe quel examen sans avoir fait beaucoup beaucoup d'exercices en particulier des calculs de primitifs qui est un exercice très difficile et pour cela une fois encore je te renvoie sur le lien en haut cette séquence est terminée