Cours sur l'intégration

Introduction

• Objectif : rappeler et expliquer les éléments importants du chapitre sur l'intégration.
• Thèmes principaux : notion d'intégrale, primitives, et principales propriétés des intégrales.
• Recommandation de suivre des vidéos complémentaires pour des exercices pratiques.

Notion d'intégrale

• Liée à la notion d'aire
  • Problème de calcul de l'aire sous une courbe.
• Air sous une courbe en rouge
  • Fonction f continue et positive sur un intervalle [a, b].
  • Notation : ( \int_a^b f(x) , dx ).
  • Fonction symbole d'intégrale : s allongé (dérivé de somme infinie).
  • Importance de la variable d'intégration (x dans dx).
  • Absence de graduation claire : usage des unités d'aires (UA).

Calcul intégral par somme de rectangles

• Approche par recouvrement de la surface sous la courbe avec des rectangles.
• Plus le nombre de rectangles augmente, plus la précision s'améliore.
• Calcul intégral originellement défini par une somme infinie de rectangles (calcul infinitésimal).

Primitives

• Définition et relation avec dérivées
  • Fonction grand F est une primitive de petit f si ( F' = f ).
• Exemples :
  • Si ( f(x) = x ), alors une primitive est ( F(x) = \frac{x^2}{2} ).
• Tableau des primitives
  • Ex : ( f(x) = \frac{1}{x} ) a pour primitive ( \ln(x) ).
  • Importance des constantes ajoutées à la primitive (( c )).
• Fonctions continues et primitives
  • Existence de multiples primitives pour une même fonction.
• Calcul pratique
  • Usage de tableaux et formules pour reconnaître et calculer des primitives.

Propriétés de l'intégrale

• Fondamentale
  • Si F est une primitive de f, alors ( \int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) ).
• Intervalles quelconques
  • Fonction en partie sous l'axe donne un résultat négatif pour l'intégrale, mais l'air est positive.
  • Décomposition en plusieurs intégrales pour obtenir l'air totale.

Propriétés supplémentaires

• Opérations linéaires
  • Addition : ( \int_a^b (f(x) + g(x)) , dx = \int_a^b f(x) , dx + \int_a^b g(x) , dx )
  • Constante multiplicative : ( \int_a^b kf(x) , dx = k \int_a^b f(x) , dx )
• Inégalité
  • Si ( f(x) \leq g(x) ) sur [a, b], alors ( \int_a^b f(x) , dx \leq \int_a^b g(x) , dx )
  • Encadrement si fonction inconnue ou trop complexe.
    • Ex : ( x \leq f(x) \leq 5 ) => ( \int_a^b x , dx \leq \int_a^b f(x) , dx \leq \int_a^b 5 , dx ).

Valeur moyenne d'une fonction

• Définition
  • ( m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) , dx )
  • Relation : même aire sous la courbe que sous la droite y = m.
  • Application : moyenne des températures sur une période.

Conclusion

• Importance des exercices pratiques pour maîtrise du calcul de primitives.
• Recommandation de suivre des liens pour des exercices supplémentaires.